Learning objectives / 学习目标
- 用反射几何证明平面镜像的等距、等大、正立和虚像性质。
- 从球面法线与近轴小角条件得到 \(f=R/2\)，并说明其近似边界。
- 在明确的笛卡尔符号约定下使用镜面公式与横向放大率。
- 用至少两条主光线检验代数结果中的位置、方向、大小与虚实。
- 解释球差的几何来源、孔径依赖及常见抑制方法。
Prerequisites / 先修知识
- Law of Reflection。
- 相似三角形、\(\sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta\)。
- “实像由真实出射光线会聚、虚像由出射光线反向延长会聚”的操作定义。
Scope and conventions / 范围与约定
- 本课采用 笛卡尔坐标约定：镜面顶点 \(V\) 置于 \(x=0\)，入射光从左向右，\(+x\) 向右；所有轴向位置直接用坐标 \(x_o,x_i,R,f\)，不是无符号距离。
- 实物位于镜前左侧，故 \(x_o<0\)；反射后的真实光在左侧会聚，故实像 \(x_i<0\)；镜后右侧的虚像 \(x_i>0\)。
- 曲率中心在右侧时 \(R>0\)，在左侧时 \(R<0\)。因此面对左侧来光的凹面镜有 \(R<0,f<0\)，凸面镜有 \(R>0,f>0\)。
- 横向高度以光轴上方为正；\(m>0\) 表示正立，\(m<0\) 表示倒立。
- 不得把本课符号与“实为正”教材约定混用。换约定时必须整体转换，而不是只改一个符号。
- 球面公式要求近轴、镜面口径远小于曲率半径；所有示意图均非按比例。
Notation and modeling contract / 符号与建模契约
| Symbol | Cartesian meaning | SI unit |
|---|---|---|
| \(x_o\) | object coordinate from the mirror vertex | m |
| \(x_i\) | image coordinate from the mirror vertex | m |
| \(R\) | signed radius; center coordinate relative to vertex | m |
| \(f=R/2\) | signed paraxial focal coordinate | m |
| \(y_o,y_i\) | signed object and image heights | m |
| \(m=y_i/y_o\) | transverse magnification | 1 |
| \(a\) | mirror semi-aperture | m |
Knowledge 1 — Plane-mirror images / 平面镜成像
Knowledge ID: P05-U02-L02-K01
从物点发出的两条光线经平面镜反射后仍发散；观察者把它们沿直线反向延长，延长线在镜后相交。该交点没有真实光通过，所以是 virtual image。
由反射角相等和全等三角形可得镜像与物点关于镜面对称。在本课坐标中
\[\boxed{x_i=-x_o}, \qquad \boxed{m=\frac{y_i}{y_o}=+1}.\]
所以平面镜像等距、等大、正立且为虚像。所谓 lateral inversion 更准确地说是镜面法向坐标反转：前后方向被反演，镜面内的上下与左右坐标本身并未交换。
镜像变换可写成坐标映射 \((x,y,z)\mapsto(-x,y,z)\)（这里 \(x\) 为镜面法向）。它改变三维手性，因此文字看似左右颠倒；但若人绕到“镜后”而不是把自己旋转过去，坐标比较方式也随之改变。
Knowledge 2 — Spherical mirrors and paraxial approximation / 球面镜与近轴近似
Knowledge ID: P05-U02-L02-K02
球面镜是球面的一部分。任一入射点的局部法线都穿过曲率中心 \(C\)。对面向左侧来光的凹面镜，\(C\) 位于镜前左侧，所以本课约定 \(R=x_C<0\)；凸面镜的 \(C\) 在镜后，\(R>0\)。
考虑一条平行于光轴、在高度 \(y\) 处撞击凹面镜的近轴光线。局部法线与轴的角约为 \(\alpha\approx y/\lvert R\rvert\)，反射方向转过约 \(2\alpha\)。到轴的距离约为
\[\lvert f\rvert\approx\frac{y}{2\alpha} =\frac{\lvert R\rvert}{2}.\]
保留笛卡尔符号即
\[\boxed{f=\frac R2}.\]
近轴条件不仅是“角度看起来小”，而是典型光线高度 \(\lvert y\rvert\ll\lvert R\rvert\)，使
\[\sin\alpha\approx\tan\alpha\approx\alpha, \qquad \cos\alpha\approx1.\]
离轴越远，高阶项越重要；球面镜就不再把平行光聚到单一点。
Knowledge 3 — Mirror equation and magnification / 镜面成像公式与放大率
Knowledge ID: P05-U02-L02-K03
从常用正距离式转换为笛卡尔式
对凹面镜的实物—实像情形，若暂以正的长度 \(s_o=-x_o\)、\(s_i=-x_i\)、\(r=-R\) 表示镜前距离，相似三角形给
\[\frac1{s_o}+\frac1{s_i}=\frac2r.\]
整体代回坐标，得到本课统一的笛卡尔镜面公式
\[\boxed{\frac1{x_o}+\frac1{x_i}=\frac2R=\frac1f}.\]
顶点光线两侧的相似三角形给横向放大率
\[\boxed{m=\frac{y_i}{y_o}=-\frac{x_i}{x_o}}.\]
\(x_i<0\) 表示真实反射光在镜前左侧会聚；\(x_i>0\) 表示反射光仍发散，只能在镜后反向延长得到虚像。\(m\) 的符号独立描述上下方向：\(m<0\) 倒立，\(m>0\) 正立。
镜面公式也包含平面镜极限：\(R\to\infty\) 时
\[\frac1{x_i}=-\frac1{x_o} \quad\Longrightarrow\quad x_i=-x_o.\]
Knowledge 4 — Ray diagrams and sign conventions / 光线图与符号约定
Knowledge ID: P05-U02-L02-K04
四条主光线
在近轴条件下，从同一物点任选两条即可定位像点：
- 平行光轴入射，凹面镜反射后通过 \(F\)；凸面镜反射线的反向延长通过 \(F\)。
- 指向 \(F\) 入射，反射后平行光轴。
- 指向曲率中心 \(C\) 入射，沿原路返回。
- 打到顶点 \(V\)，相对光轴满足等角反射。
作图时实线只表示真实传播段，虚线只表示反向延长；虚线相交不能称为“光真的在这里会聚”。
符号决策链
先画 \(+x\)，再标 \(V=0\)、\(C\) 和 \(F\)；然后把物和像写成坐标，而不是先猜“正负”。代数求出 \(x_i,m\) 后，用主光线复核：
- \(x_i<0\)：镜前真实反射光相交，real image。
- \(x_i>0\)：镜后反向延长相交，virtual image。
- \(m<0\)：倒立；\(m>0\)：正立。
- \(\lvert m\rvert>1\)：放大；\(\lvert m\rvert<1\)：缩小。
切换到其他教材的“实为正”约定时，凹面镜常写 \(f>0\)；这不与本课 \(f<0\) 矛盾，因为变量定义不同。可观测的像位置、方向和大小必须相同。
Knowledge 5 — Spherical aberration / 球差
Knowledge ID: P05-U02-L02-K05
球面上离轴较远处的法线角不再满足一阶近轴关系。对平行入射光，marginal rays 通常比 paraxial rays 更靠近镜面与光轴相交，于是不存在唯一焦点；轴上交点的范围称 longitudinal spherical aberration，在选定像面上的模糊斑称 transverse spherical aberration。
减小 aperture 可让 \(\lvert y/R\rvert\) 更小并削弱球差，但同时减少集光量并增强 diffraction。对无限远轴上物体，paraboloidal mirror 能让所有平行轴向光线有相同光程并聚到同一焦点；实际系统还可能采用 aspheric surface 或 corrective optics。球差与 chromatic aberration 不同：理想反射定律本身不依赖波长，镜面不会像普通透镜那样因材料色散产生一阶色差。
Worked Examples / 完整例题
Worked Example 1 — Plane mirror in Cartesian coordinates
高 \(0.240\,\mathrm m\) 的物体位于平面镜顶点左侧 \(1.20\,\mathrm m\)。求像坐标、像高和性质。
研究对象： 平面镜与轴上有限物体。
参考系/系统： 镜面静止；二维子午面。
坐标： \(V=0\)，\(+x\) 向右，故 \(x_o=-1.20\,\mathrm m\)，\(y_o=+0.240\,\mathrm m\)。
模型： 理想平面镜、几何光学。
\[x_i=-x_o=+1.20\,\mathrm m, \qquad m=+1.\]
\[y_i=my_o=(+1)(0.240\,\mathrm m)=+0.240\,\mathrm m.\]
答案： 像位于镜后 \(x_i=+1.20\,\mathrm m\)，正立、等大、虚像。
检查： 轴向与横向量均以 SI 长度 m 表示，\(m\) 本身无量纲；关于镜面对称，\(m>0\) 与正立一致。结果按三位有效数字报告。
Worked Example 2 — Real image from a concave mirror
凹面镜 \(R=-0.800\,\mathrm m\)，物体在 \(x_o=-1.20\,\mathrm m\)，高 \(y_o=+6.00\,\mathrm{cm}\)。求像。
研究对象： 近轴凹面镜成像。
参考系/系统： 镜面静止。
坐标： \(V=0\)、\(+x\) 向右；\(R<0\) 表示曲率中心在左。
模型： 球面、近轴、单次反射。
\[f=\frac R2=-0.400\,\mathrm m.\]
\[\frac1{x_i}=\frac1f-\frac1{x_o} =\frac1{-0.400}-\frac1{-1.20} =-1.667\,\mathrm{m^{-1}},\]
\[x_i=-0.600\,\mathrm m.\]
\[m=-\frac{x_i}{x_o}=-0.500, \qquad y_i=-3.00\,\mathrm{cm}.\]
答案： 镜前 \(0.600\,\mathrm m\) 处的倒立、缩小、实像。
检查： \(x_i<0\) 与真实反射光在左侧会聚一致；\(m<0\) 倒立；\(1/x\) 的量纲为 \(\mathrm{m^{-1}}\)。三位有效数字。
Worked Example 3 — Virtual magnified image from a concave mirror
凹面镜 \(R=-0.400\,\mathrm m\)，物体置于 \(x_o=-0.120\,\mathrm m\)。求像坐标与放大率。
研究对象： 焦内实物。
参考系/系统： 静止镜面。
坐标： \(f=-0.200\,\mathrm m\)；物体在镜前但比焦点更靠近镜面。
模型： 近轴球面镜。
\[\frac1{x_i}=\frac1{-0.200}-\frac1{-0.120} =3.333\,\mathrm{m^{-1}},\]
\[x_i=+0.300\,\mathrm m, \qquad m=-\frac{+0.300}{-0.120}=+2.50.\]
答案： 镜后 \(0.300\,\mathrm m\) 的正立、放大 \(2.50\) 倍虚像。
检查： \(x_i>0\) 对应反向延长线在镜后相交；\(x_i\) 的 SI 单位为 m、\(m\) 无量纲，结果按三位有效数字报告；当 \(x_o\to f\) 时 \(\lvert x_i\rvert\to\infty\)。
Worked Example 4 — Convex safety mirror
凸面镜 \(R=+0.600\,\mathrm m\)，实物位于 \(x_o=-1.50\,\mathrm m\)。求像坐标与放大率。
研究对象： 近轴凸面镜。
参考系/系统： 静止镜面。
坐标： \(+x\) 向右，故 \(f=+0.300\,\mathrm m\)。
模型： 球面、近轴。
\[\frac1{x_i}=\frac1{+0.300}-\frac1{-1.50} =4.000\,\mathrm{m^{-1}},\]
\[x_i=+0.250\,\mathrm m, \qquad m=-\frac{0.250}{-1.50}=+0.167.\]
答案： 镜后 \(0.250\,\mathrm m\) 的正立、缩小、虚像。
检查： 凸面镜对实物给 \(0<x_i<f\)；\(x_i,f\) 均以 SI 长度 m 表示，\(0<m<1\) 为无量纲，与广角安全镜的缩小像一致。三位有效数字。
Lesson synthesis / 本课综合
平面镜是 \(R\to\infty\) 的统一极限；球面镜在近轴条件下由 \(f=R/2\) 和 \(1/x_o+1/x_i=1/f\) 描述。真正防止符号错误的方法是：先画坐标与真实传播方向，再把物、像、曲率中心写成坐标；最后用两条主光线检验 \(x_i\)、\(m\) 和虚实。离轴高度增大时，一阶模型失效并出现球差。
Formula-and-decision table / 公式与决策表
| Need | Formula in this lesson | Conditions | Main caution |
|---|---|---|---|
| plane image | \(x_i=-x_o\), \(m=+1\) | ideal plane mirror | virtual image lies behind mirror |
| spherical focus | \(f=R/2\) | paraxial spherical mirror | concave facing left has \(R<0\) here |
| image coordinate | \(1/x_o+1/x_i=1/f\) | Cartesian convention stated above | never mix with real-is-positive convention |
| transverse size | \(m=-x_i/x_o=y_i/y_o\) | paraxial imaging | sign gives orientation |
| real/virtual test | \(x_i<0\) real, \(x_i>0\) virtual | incident light travels left to right | rule depends on this coordinate setup |
| reduce spherical aberration | smaller aperture or asphere | finite aperture | stopping down trades light for quality |
Model boundaries / 模型边界
- 主光线只是易画的代表；真实成像由整个 aperture 的光束形成。
- \(f=R/2\) 和镜面公式只是一阶近轴结果，不能用于大口径边缘光线的精确交点。
- “实像/虚像”由真实出射光是否通过像点定义，不由某个孤立符号定义。
- 平面镜与球面镜模型忽略表面粗糙、涂层相位、散射、衍射和有限反射率。
- Parabolic mirror 只对指定的轴上平行光束消除球差；离轴仍可能有 coma。
- 缩小 aperture 会增加 diffraction，不能无限改善分辨率。
Misconception clinic / 误区诊所
- “凹面镜焦距永远为正。” 只有在某些教材约定中如此；本课笛卡尔坐标下凹面镜焦点在左，故 \(f<0\)。
- “虚像不存在。” 虚像不能由该光束直接投屏，但它是出射光方向编码的明确像点，可被眼睛或后续光学元件成像。
- “画一条主光线就能定位像。” 一条线只能给轨迹，至少两条非共线主光线才能定位像点。
- “球面镜所有平行光都过 \(R/2\)。” 只有近轴光近似如此；边缘光产生球差。
- “镜子把左右交换。” 镜面反演的是法向坐标；日常的左右感来自把镜像与旋转后的自己比较。
Practice and retrieval / 练习与提取
- K01 计算： 物点在平面镜左侧坐标 \(x_o=-0.750\,\mathrm m\)。求像坐标。
Answer
\(x_i=-x_o=+0.750\,\mathrm m\)，位于镜后，是虚像。
- K01 概念： 平面镜像为何不能直接投到放在镜后位置的屏上？
Answer
镜后像点只有反射光的反向延长线通过，实际光线仍在镜前传播；屏上没有在该点会聚的真实能流。
- K02 计算： 本课约定下凹面镜曲率中心在 \(x=-0.500\,\mathrm m\)。求 \(R\) 与 \(f\)。
Answer
\[R=-0.500\,\mathrm m, \qquad f=R/2=-0.250\,\mathrm m.\]
- K02 边界： 若镜面半口径从 \(a\) 增至 \(3a\)，近轴近似通常变好还是变差？
Answer
变差，因为典型 \(\lvert y/R\rvert\) 增大，高阶角度项与球差更显著。
- K03 计算： 凹面镜 \(f=-0.200\,\mathrm m\)，物体 \(x_o=-0.600\,\mathrm m\)。求 \(x_i,m\)。
Answer
\[\frac1{x_i}=\frac1{-0.200}-\frac1{-0.600}=-3.333\,\mathrm{m^{-1}},\] \[x_i=-0.300\,\mathrm m, \qquad m=-\frac{-0.300}{-0.600}=-0.500.\]
- K03 极限： 当实物从凹面镜外侧趋近焦点时，像坐标如何变化？
Answer
\(1/x_i=1/f-1/x_o\to0\)，所以 \(\lvert x_i\rvert\to\infty\)；恰在焦点时反射光平行。
- K04 判断： 求得 \(x_i=+0.180\,\mathrm m\)、\(m=-0.40\)。该结果能否来自本课轴上单球面镜的实物近轴成像？
Answer
不能。\(x_i>0\) 表示虚像，而单镜实物形成的虚像应由同侧发散光反向延长，通常正立即 \(m>0\)；\(m<0\) 暗示符号或模型混用。
- K04 作图： 凸面镜平行主光线的反射线应怎样处理？
Answer
反射实线向镜前发散；把它向镜后画虚线反向延长，延长线通过虚焦点 \(F\)。
- K05 概念： 为什么减小光阑能减弱球差？代价是什么？
Answer
它阻挡远离轴的 marginal rays，使 \(\lvert y/R\rvert\) 更小；代价是通光量下降，且 aperture 太小时 diffraction 增强。
- 综合换约定： 某教材用凹面镜 \(f=+20\,\mathrm{cm}\)、实物距 \(60\,\mathrm{cm}\)。转换到本课坐标并求像。
Answer
本课为 \(f=-20\,\mathrm{cm}\)、\(x_o=-60\,\mathrm{cm}\)。于是 \[\frac1{x_i}=\frac1{-20}-\frac1{-60}=-\frac1{30}\,\mathrm{cm^{-1}},\] \[x_i=-30\,\mathrm{cm}, \qquad m=-0.500.\] 即镜前 \(30\,\mathrm{cm}\) 的倒立实像，与另一约定的物理结论相同。
Exit ticket / 离堂检核
- 给一面未知球面镜，只凭 \(C\) 在顶点哪一侧，写出本课约定的 \(R,f\) 符号，并画两条光线判断一个实物的像。
- 解释“孔径缩小同时减小球差与增强衍射”为何不是矛盾，并指出几何光学在何处失效。
References and source notes / 参考资料与来源说明
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| OpenStax University Physics Vol. 3, 2.1 Images Formed by Plane Mirrors | plane-mirror image geometry | K01 | ideal plane mirror and geometric rays |
| OpenStax University Physics Vol. 3, 2.2 Spherical Mirrors | focal relation, mirror equation, ray rules, magnification, aberration | K02–K05 | source uses a different sign convention; converted consistently here |
| University of Texas at Austin, Spherical Mirrors | paraxial approximation and spherical-versus-parabolic focusing | K02, K05 | axis-near rays; ideal reflecting surface |
| MIT OCW 2.71, Lecture 25: Review and Aberrations | first-order versus higher-order aberration viewpoint | K05 | paraxial theory retains first angular order |
| Feynman Lectures Vol. I, Ch. 27: Geometrical Optics | paraxial focusing, sign-convention awareness, aberration boundary | K02–K05 | source convention differs; observable results are invariant |
| NASA, Hubble's Mirror Flaw | real-system consequence and corrective optics for spherical aberration | K05 | engineering case study, not a derivation of Gaussian optics |
资料和链接实际打开核对日期：2026-08-28。所有图均按本文坐标与方程原创绘制；例题与练习独立复算。
复习与拓展
- Reflection and Refraction：局部反射定律与光路可逆。
- Lenses and Optical Systems：沿同一 \(+x\) 坐标转入球面折射、透镜和 ABCD 矩阵。
- Optical Instruments：反射望远镜与复合成像。
- Imaging Quality and Aberrations：从球差扩展到 coma、astigmatism、field curvature 与 distortion。