反射与折射

Learning objectives / 学习目标

1. 从界面切向相位匹配或光程平稳性推出反射定律与 Snell 定律。
2. 以“相对法线的角”为唯一角度定义，判断折向法线或离开法线。
3. 推导全反射的两个必要条件，并解释临界角处与临界角以上的界面场。
4. 用 \(n(\lambda)\) 分析棱镜偏折、最小偏向与光谱次序。
5. 从近轴几何推导视深，并识别平行平板造成的横向位移与模型边界。

Prerequisites / 先修知识

• Models of Light 中的 ray approximation。
• Fermat's Principle 中的 optical path length。
• Radiometry and Photometry 中的能流与亮度概念。
• 正弦、反正弦、相似三角形与小角近似。

Scope and conventions / 范围与约定

• 界面局部视为平面；介质均匀、各向同性、静止，折射率取实数 \(n>0\)。
• 所有入射角、反射角、折射角均取光线与界面法线直线的非负最小夹角；传播解满足 \(0^\circ\le\theta\le90^\circ\)，不是与界面的夹角。
• 介质 1 是入射侧，介质 2 是透射侧；法线可任选方向，但图和方程必须始终一致。
• 本课只求几何方向；反射与透射的振幅、相位和能量比例需用 Fresnel coefficients。
• 几何光学要求界面变化尺度与光学元件尺寸远大于波长；临界角附近的 evanescent field 不能仅靠光线模型描述。
• 棱镜公式先假定外界为空气、棱镜均匀；视深公式只用于近法线观察。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Law of reflection / 反射定律

Knowledge ID: P05-U02-L01-K01

直觉：界面不会凭空提供切向“节拍差”

平整、静止的界面对所有切向位置等价。入射波在界面上某处达到波峰时，反射波必须以同一切向相位速率接续，否则边界上相位会在相邻点断裂。令界面切向为 \(x\)，则

\[k_{i,x}=k_{r,x}.\]

反射前后仍在同一介质，\(k_i=k_r\)，于是

\[k_i\sin\theta_i=k_r\sin\theta_r \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\theta_r=\theta_i}.\]

入射线、反射线与法线还必须共面；这就是完整的 law of reflection。

由 Fermat 原理复核

把真实反射路径展开：将像点 \(B'\) 关于镜面反射为 \(B\)。任意反射点 \(P\) 的路径 \(AP+PB'\) 等于直线路径 \(AP+PB\)；最短路径是 \(A\) 到 \(B\) 的直线。镜面对称立即给出入射角与反射角相等。这个构造也说明光路可逆。

反射定律只规定方向，不说明“反射多少”。粗糙面仍在每个微小面元上服从局部反射定律，但不同面元的法线不同，宏观上形成 diffuse reflection。

Knowledge 2 — Snell's law / 斯涅尔定律

Knowledge ID: P05-U02-L01-K02

模型：跨界面保持频率与切向波矢

静止界面不改变频率，故 \(\omega_i=\omega_t\)。边界上相位匹配又要求

\[k_i\sin\theta_i=k_t\sin\theta_t.\]

非磁透明介质中 \(k=n\omega/c\)，所以

\[\boxed{n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_t}.\]

若 \(n_2>n_1\)，则 \(\theta_t<\theta_i\)，折向法线；若 \(n_2<n_1\) 且仍有传播解，则 \(\theta_t>\theta_i\)，离开法线。真正保持不变的是 \(n\sin\theta\)，不是角度本身。

由光程平稳性推导

两点 \(A=(-a,h_1)\)、\(B=(b,-h_2)\) 之间的路径在界面 \(P=(x,0)\) 折转，其光程为

\[\mathcal L(x)=n_1\sqrt{(x+a)^2+h_1^2} +n_2\sqrt{(b-x)^2+h_2^2}.\]

令 \(d\mathcal L/dx=0\)：

\[n_1\frac{x+a}{AP}=n_2\frac{b-x}{PB}.\]

几何上两比值分别为 \(\sin\theta_i\) 与 \(\sin\theta_t\)，故得到 Snell 定律。这是“最短时间”的局部平稳形式；复杂系统中驻值不必是全局最小值。

图中的曲线表达 \(\theta_t=\arcsin[(n_1/n_2)\sin\theta_i]\)；它不是直线，因此大角度时不能用 \(n_1\theta_i\approx n_2\theta_t\)。

Knowledge 3 — Total internal reflection and critical angle / 全反射与临界角

Knowledge ID: P05-U02-L01-K03

两个必要条件

只有光从高折射率介质射向低折射率介质，即 \(n_1>n_2\)，折射角才会随入射角增长得更快。令临界状态 \(\theta_t=90^\circ\)：

\[n_1\sin\theta_c=n_2, \qquad \boxed{\theta_c=\arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)}.\]

因此全反射条件是

\[n_1>n_2 \quad\text{且}\quad \theta_i>\theta_c.\]

在 \(\theta_i=\theta_c\) 时，理想几何光线沿界面传播；在 \(\theta_i>\theta_c\) 时，不存在实数传播角 \(\theta_t\)，但低折射率侧仍有指数衰减的 evanescent field。若另一介质在几个衰减长度内靠近，可能发生 frustrated total internal reflection，所以“全反射”不等于“界面另一侧场处处为零”。

受限导光的几何条件

阶跃折射率光纤用高折射率 core 包围在低折射率 cladding 中。芯内光线撞击界面时若满足 \(\theta_i>\theta_c\)，即可反复全反射；真实 fiber mode 则是由 Maxwell 方程与边界条件决定的离散模式，不应把锯齿光线当作所有尺度上的真实轨迹。

Knowledge 4 — Dispersion and prism spectra / 色散与棱镜光谱

Knowledge ID: P05-U02-L01-K04

透明材料的折射率一般依赖真空波长：\(n=n(\lambda_0)\)。在多数可见光正常色散区，短波蓝紫光的 \(n\) 大于长波红光，所以蓝紫光偏折更强。

对棱镜顶角 \(A\)，两次折射的内部角满足

\[r_1+r_2=A,\]

总偏向角为

\[\delta=i_1+i_2-A.\]

在对称、最小偏向状态，\(i_1=i_2=i\) 且 \(r_1=r_2=A/2\)，因此在空气中

\[\boxed{n(\lambda_0)= \frac{\sin[(A+\delta_{\min})/2]}{\sin(A/2)}}.\]

最小偏向不是“偏向最小所以没有色散”；不同波长有不同的 \(n\)，因而各自有不同的 \(\delta_{\min}\)。

色散强弱可由 \(dn/d\lambda_0\) 或棱镜的角色散 \(d\delta/d\lambda_0\) 衡量。靠近吸收共振可能出现 anomalous dispersion；此时简单的“蓝光一定折得更多”不再是普适规律。

Knowledge 5 — Apparent depth and plane interfaces / 视深与平面界面

Knowledge ID: P05-U02-L01-K05

视深是反向延长所得的虚像位置

物点位于介质 1 中，真实法向深度为 \(h\)；观察者位于介质 2。出射光线折射后，眼睛按直线反向延长，得到深度 \(h'\) 的虚像。对近法线光线，\(\sin\theta\approx\tan\theta\)，同一横向距离 \(x\) 给出

\[\tan\theta_1\approx\frac{x}{h}, \qquad \tan\theta_2\approx\frac{x}{h'}.\]

结合 \(n_1\theta_1\approx n_2\theta_2\)：

\[\boxed{h'=\frac{n_2}{n_1}h}.\]

水中物体从空气近法线观察时 \(n_2<n_1\)，所以 \(h'<h\)。大视角时，不同出射线的反向延长不严格交于一点，单一“视深”只是近轴近似。

平行平板：方向复原但位置平移

空气中的光穿过厚度 \(t\)、折射角 \(r\) 的平行平板后，出射光与入射光平行，但横向位移为

\[\boxed{s=t\frac{\sin(i-r)}{\cos r}}.\]

原因是第二界面的法线与第一界面平行，Snell 定律使角度恢复；有限厚度却使实际路径与无平板路径错开。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Air-to-glass refraction

一束光从空气以 \(\theta_i=42.0^\circ\) 入射到 \(n_2=1.520\) 的玻璃，求反射角与折射角。

研究对象： 单色窄光束与局部平面界面。
参考系/系统： 界面静止实验室系；介质 1 为空气 \(n_1=1.000\)，介质 2 为玻璃。
坐标与角度： 角度均从界面法线量起。
模型： 均匀、各向同性、透明介质；几何光学。

反射定律直接给出

\[\theta_r=\theta_i=42.0^\circ.\]

Snell 定律给出

\[\sin\theta_t=\frac{n_1}{n_2}\sin42.0^\circ =\frac{1.000}{1.520}(0.6691)=0.4402,\]

\[\boxed{\theta_t=26.1^\circ}.\]

检查： \(n_2>n_1\)，结果确实折向法线；角度无量纲。三位有效数字。若 \(n_2\to n_1\)，公式给 \(\theta_t\to\theta_i\)。

Worked Example 2 — Glass-to-air total internal reflection

折射率 \(1.500\) 的玻璃向空气界面发出 \(50.0^\circ\) 入射光。判断是否全反射。

研究对象： 玻璃内部的一条几何光线。
参考系/系统： 静止玻璃—空气平面界面。
坐标与角度： \(\theta_i\) 从玻璃侧法线量起。
模型： \(n_1=1.500\)、\(n_2=1.000\)，无吸收。

\[\theta_c=\arcsin\left(\frac{1.000}{1.500}\right) =41.8^\circ.\]

因 \(50.0^\circ>41.8^\circ\)，故发生 total internal reflection。

\[\boxed{\theta_r=50.0^\circ,\quad\text{无传播折射光线}}.\]

检查： 只有从高 \(n\) 到低 \(n\) 才可能满足条件；把 Snell 定律形式代入会得到 \(\sin\theta_t=1.149>1\)，正好表明实角传播解不存在。角度本质上无量纲，结果按三位有效数字报告；界面空气侧仍可有 evanescent field。

Worked Example 3 — Refractive index from minimum prism deviation

空气中一棱镜顶角 \(A=60.0^\circ\)，某单色光的最小偏向角 \(\delta_{\min}=40.0^\circ\)。求折射率。

研究对象： 棱镜中的对称最小偏向光路。
参考系/系统： 棱镜静止，外界为空气。
坐标： 每一界面角均相对各自法线。
模型： 均匀棱镜、单色、几何光学。

\[n=\frac{\sin[(A+\delta_{\min})/2]}{\sin(A/2)} =\frac{\sin50.0^\circ}{\sin30.0^\circ} =1.532.\]

\[\boxed{n=1.53}.\]

检查： 折射率无量纲且大于 1；若 \(\delta_{\min}\to0\)，该式给 \(n\to1\)。输入角精度支持三位有效数字。

Worked Example 4 — Apparent depth of a pool

水深 \(h=2.40\,\mathrm m\)，水的折射率 \(n_1=1.333\)。从空气中近法线观察池底，求视深。

研究对象： 池底一点发出的近轴光束。
参考系/系统： 水面静止；观察者在空气 \(n_2=1.000\)。
坐标： 深度取垂直水面向下的正幅值。
模型： 平面界面、近法线、小角度。

\[h'=\frac{n_2}{n_1}h =\frac{1.000}{1.333}(2.40\,\mathrm m) =1.80\,\mathrm m.\]

\[\boxed{h'=1.80\,\mathrm m}.\]

检查： 单位为 m；从高折射率介质向低折射率介质观察应显得更浅，\(h'<h\)；当 \(n_1=n_2\) 时 \(h'=h\)。三位有效数字。

Lesson synthesis / 本课综合

界面问题可统一为“频率不变 + 切向相位匹配”：同一介质中的反射给 \(\theta_r=\theta_i\)；跨介质传播给 \(n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_t\)；当高折射率侧要求的 \(\sin\theta_t\) 超过 1，传播折射光转为 evanescent field 并出现全反射。再把 \(n\) 的波长依赖加入，就得到棱镜色散；把折射光反向延长，则得到平面界面的虚像与视深。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Ray optics ignores diffraction, interference and subwavelength surface structure.
• Snell 定律给方向，不给 Fresnel amplitude、phase 或能量比例；吸收介质还需复折射率。
• 全反射的低折射率侧存在 evanescent field；有限间隙可产生 frustrated TIR。
• \(n(\lambda)\) 的正常色散趋势不适用于所有共振附近波段，也不能跨不透明吸收带随意外推。
• \(h'=(n_2/n_1)h\) 只在小角近轴观察下给唯一像点。
• 平行平板式忽略多重反射、干涉、楔角和表面粗糙度。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “角度从界面量起。” 本课所有光学角都从法线量起；从界面量会把 \(\theta\) 换成 \(90^\circ-\theta\)。
2. “进入高折射率介质一定减小光的频率。” 静止界面保持频率；改变的是相速与波长。
3. “全反射时另一侧完全没有电磁场。” 没有传播折射波，但一般仍有 evanescent field。
4. “白光经棱镜后红光折得更多。” 在普通玻璃可见光正常色散区通常蓝紫光 \(n\) 更大、偏折更强。
5. “水底真的升高了。” 视深是折射线反向延长形成的虚像位置，不是物体机械位移。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01 方向： 一束光相对镜面本身成 \(25.0^\circ\) 入射。反射角（相对法线）是多少？

2. K02 计算： 光从空气以 \(30.0^\circ\) 入射水面，取 \(n_{\mathrm w}=1.333\)，求折射角。

3. K02 概念： 光跨越静止界面时，频率、相速和波长中哪些保持不变？

4. K03 计算： 金刚石 \(n_1=2.42\) 到空气 \(n_2=1.00\) 的临界角是多少？

5. K03 判断： 空气中的光以 \(80^\circ\) 射向玻璃，能否全反射？

6. K04 推理： 普通玻璃棱镜中 \(n_{450\,\mathrm{nm}}>n_{650\,\mathrm{nm}}\)。哪种光的最小偏向角更大？

7. K04 计算： 空气中 \(A=50.0^\circ\) 的棱镜对某光有 \(\delta_{\min}=30.0^\circ\)。求 \(n\)。

8. K05 计算： 空气中近法线观察厚 \(5.00\,\mathrm{cm}\)、\(n=1.50\) 的玻璃板底面，视深是多少？

9. K05 计算： 厚 \(1.00\,\mathrm{cm}\) 的玻璃平板 \(n=1.50\)，空气中入射角 \(45.0^\circ\)。求横向位移。

10. 综合边界： 为什么不能用一条折射光线描述临界角以上低折射率侧的全部物理？

Exit ticket / 离堂检核

1. 不背公式，从“频率不变、切向波矢连续”重建反射定律、Snell 定律和临界角条件。
2. 画出水中物点被空气中观察者看到的两条近轴光线，标出真实深度、视深、实线与反向延长虚线。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料和链接实际打开核对日期：2026-08-28。所有图均按本文方程原创绘制；例题与练习独立复算。

复习与拓展

• Fermat's Principle：用光程平稳性统一反射与折射。
• Mirrors：把局部反射定律应用到曲面并建立成像符号约定。
• Lenses and Optical Systems：把球面折射串联成透镜与矩阵系统。
• Polarization States：在界面处进一步区分 s/p polarization 与 Brewster angle。