相干性与干涉测量

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 区分 temporal coherence 与 spatial coherence，并指出它们分别比较同一场在不同时刻和不同位置的相关性。
2. 在明确谱线形状和阈值定义后计算 coherence time 与 coherence length，并解释为何不存在唯一通用因子。
3. 使用 mutual coherence function 推导一般双束强度与 visibility，分离强度失配和失相干。
4. 画出 Michelson、Mach–Zehnder、Sagnac 的真实光路，正确识别单程/双程、公共路径和敏感物理量。
5. 由条纹数或相位分数求位移、折射率与旋转相位，并建立包含波长、环境、几何、相位拟合的误差账本。

Prerequisites / 先修知识

• 双束相位与 visibility。
• 多束干涉与腔线宽。
• 波包、谱宽和群延迟。
• 复数共轭、时间平均、Fourier transform 的基本概念和不确定度传播。

Scope and conventions / 范围与约定

• 使用解析信号或准单色复场 \(E(\mathbf r,t)\)；角括号 \(\langle\cdot\rangle\) 表示比光学周期长、比实验漂移短的系综或时间平均。
• mutual coherence 的共轭放在第一个场：

\[\Gamma_{12}(\tau) =\left\langle E_1^*(t)E_2(t+\tau)\right\rangle.\]

• normalized degree of coherence 为

\[\gamma_{12}(\tau) =\frac{\Gamma_{12}(\tau)} {\sqrt{\Gamma_{11}(0)\Gamma_{22}(0)}}.\]

• 真空中的延迟与 OPD 关系为 \(\tau=\Delta/c\)。色散介质的包络延迟使用 group index。
• Michelson 镜位移 \(x>0\) 定义为使该臂物理长度增加。Sagnac 先选有向面积 \(\mathbf A\)；沿其右手边界方向传播的光定义为 \(+\) 束，反向为 \(-\) 束，并定义 \(\Delta\phi_{\mathrm S}=\phi_+-\phi_-\)。
• 本课不展开完整统计光学、量子相干、高阶相关或噪声谱估计，只建立一阶 coherence 和经典干涉测量。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Temporal and spatial coherence / 时间与空间相干性

Knowledge ID: P05-U04-L03-K01

1.1 时间相干：同一场能“记住”多久

时间相干比较同一点场在相隔 \(\tau\) 的两个时刻：

\[\Gamma(\tau)=\left\langle E^*(t)E(t+\tau)\right\rangle.\]

理想单色场的相位永不漂移，\(\lvert\gamma(\tau)\rvert=1\)。真实有限谱宽场由许多频率分量组成，延迟后它们相对相位逐渐散开，使 \(\lvert\gamma(\tau)\rvert\) 衰减。Wiener–Khinchin relation 表明一阶自相关与功率谱互为 Fourier transform；“窄谱对应长相干时间”不是口号，而是 Fourier 对偶。

1.2 空间相干：同一波前能“横向一致”多远

空间相干比较同一时刻不同位置 \(\mathbf r_1,\mathbf r_2\) 的场：

\[\Gamma(\mathbf r_1,\mathbf r_2) =\left\langle E^*(\mathbf r_1,t)E(\mathbf r_2,t)\right\rangle.\]

远处小角源的不同源点产生不同横向波矢；当两采样点间距增加，各源点贡献的相位差分散，条纹变淡。van Cittert–Zernike theorem 把远场 mutual coherence 与非相干源的角强度分布联系起来。数量级上，若源角宽为 \(\alpha\)，

\[\ell_{\mathrm{coh}}\sim\frac{\lambda}{\alpha},\]

但精确系数取决于源形状和 coherence width 的定义。

时间与空间相干不是两种光；它们是同一随机场沿不同变量切片的相关性。实验装置可同时受二者限制。

Knowledge 2 — Coherence time, length, and area / 相干时间、长度与面积

Knowledge ID: P05-U04-L03-K02

2.1 必须把“宽度定义”和“谱线形状”说清楚

一种常用定义是：\(\tau_c\) 为 \(\lvert\gamma(\tau)\rvert\) 降到 \(1/e\) 的延迟。若功率谱是 Lorentzian，FWHM 为 \(\Delta\nu\)，则

\[\lvert\gamma(\tau)\rvert =e^{-\pi\Delta\nu\lvert\tau\rvert}, \qquad \tau_c=\frac{1}{\pi\Delta\nu}.\]

真空 coherence length 为

\[l_c=c\tau_c.\]

若采用积分定义、半高定义或 Gaussian 谱，数值因子不同。因此只写 \(l_c=c/\Delta\nu\) 而不声明 convention 只能作为数量级估计。

2.2 相干面积

若横向相关在 \(x,y\) 两方向的特征宽度为 \(\ell_{cx},\ell_{cy}\)，数量级上

\[A_c\sim \ell_{cx}\ell_{cy}.\]

圆对称情况下常写 \(A_c\sim\pi\ell_c^2\)，但“半径”取 \(1/e\)、半高或第一零点会给不同面积。实验报告必须说明阈值和所用相关函数。

Knowledge 3 — Fringe visibility and mutual coherence / 条纹可见度与互相干性

Knowledge ID: P05-U04-L03-K03

3.1 一般双束强度

两束场在探测器叠加，延迟为 \(\tau\)，外加可扫描相位 \(\phi\)。时间平均强度为

\[I(\phi,\tau) =I_1+I_2 +2\sqrt{I_1I_2} \operatorname{Re}\!\left[\gamma_{12}(\tau)e^{i\phi}\right].\]

扫描 \(\phi\) 得

\[\mathcal V =\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}} =\frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2} \lvert\gamma_{12}(\tau)\rvert.\]

因此可见度是“强度平衡因子”与“相干度”的乘积。若不先测 \(I_1,I_2\)，不能把 \(\mathcal V\) 直接当成 \(\lvert\gamma_{12}\rvert\)。

3.2 如何测量 mutual coherence

• 改变 delay 并记录 \(\mathcal V(\tau)\)：得到 temporal coherence envelope。
• 改变两个采样孔的横向间距并记录 \(\mathcal V(\rho)\)：得到 spatial coherence。
• 每个 delay 先分别遮挡两臂测 \(I_1,I_2\)，再除去强度平衡因子。
• 有限像素、振动、相位扫描非线性和背景光都会偏置极值，必须纳入不确定度。

Knowledge 4 — Michelson, Mach–Zehnder, and Sagnac interferometers / 三类典型干涉仪

Knowledge ID: P05-U04-L03-K04

4.1 Michelson：紧凑双程、对位移敏感

一个 beamsplitter 把光分到相互垂直的两臂，镜面反射后返回并重合。镜位移 \(x\) 改变往返 OPD \(2x\)。补偿片可使两束通过相近玻璃厚度，减小色散差。

4.2 Mach–Zehnder：分离单程路径、适合放置样品

两个 beamsplitter 和两个 mirrors 形成分开的两条单程路径，再在第二分束器合束。样品可只置于 signal arm，便于成像或流场测量；但非公共路径使它对振动和空气扰动更敏感。

4.3 Sagnac：反向共路、对旋转敏感

同一 beamsplitter 产生 \(+\) 与 \(-\) 两束，它们沿同一闭合路径反向传播；选定 \(\mathbf A\) 后，\(+\) 束沿其右手边界方向。静止互易扰动多为 common mode；装置旋转时两束传播时间不同。定义 \(\Delta t=t_+-t_-\)，则真空中、低速极限：

\[\Delta t=t_+-t_- =\frac{4\mathbf A\cdot\boldsymbol\Omega}{c^2},\]

\[\Delta\phi_{\mathrm S} =\phi_+-\phi_- =\omega\Delta t =\frac{8\pi\mathbf A\cdot\boldsymbol\Omega}{\lambda_0c}.\]

Knowledge 5 — Precision displacement and index measurement / 精密位移与折射率测量

Knowledge ID: P05-U04-L03-K05

5.1 位移与相位

Michelson 中镜位移 \(x\) 使 OPD 变化 \(2x\)：

\[\Delta\phi=\frac{4\pi x}{\lambda_0}, \qquad x=\frac{\lambda_0\Delta\phi}{4\pi}.\]

若只数完整条纹 \(N\)，

\[x=\frac{N\lambda_0}{2}.\]

相位拟合允许测量小于一整条纹的位移，但“亚波长分辨率”不等于“亚波长准确度”；系统误差仍受波长真空/空气换算、cosine error、Abbe error、相位非线性和温漂控制。

5.2 折射率

长度 \(l\) 的气室从真空变为折射率 \(n\)：

• Mach–Zehnder 单程：\(\Delta=(n-1)l\)。
• Michelson 气室被往返穿过：\(\Delta=2(n-1)l\)。

对应完整条纹计数分别为

\[N_{\mathrm{MZ}}=\frac{(n-1)l}{\lambda_0}, \qquad N_{\mathrm{Mich}}=\frac{2(n-1)l}{\lambda_0}.\]

5.3 测量链与不确定度

图 11 提醒：干涉仪直接输出相位或强度，不直接输出“真实长度”。从相位到物理量必须经过模型、校准和不确定度传播。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — 由 Lorentzian 线宽求相干时间与长度

已知： 光源功率谱为 Lorentzian，FWHM \(\Delta\nu=1.00\,\mathrm{GHz}\)。采用 \(\lvert\gamma\rvert=1/e\) 定义 \(\tau_c\)，在真空中传播。
研究对象与参考系： 实验室中同一场的延迟自相关；延迟正负对模长相同。
模型理由： 已明确 Lorentzian 线形和 \(1/e\) amplitude convention。

\[\tau_c=\frac{1}{\pi\Delta\nu} =\frac{1}{\pi(1.00\times10^9)} =3.18\times10^{-10}\,\mathrm s.\]

\[l_c=c\tau_c =(2.9979\times10^8)(3.18\times10^{-10}) =9.54\times10^{-2}\,\mathrm m.\]

结果： \(\tau_c=0.318\,\mathrm{ns}\)，\(l_c=95.4\,\mathrm{mm}\)。
检查与解释： \(\Delta\nu\tau_c\) 无量纲；线宽趋零时相干时间趋无穷。若改用 Gaussian 谱或 FWHM correlation 定义，数值因子会改变，不能无说明比较。

Worked Example 2 — 从 visibility 分离强度失配与相干度

已知： \(I_1=9.00\,\mathrm{W\,m^{-2}}\)、\(I_2=4.00\,\mathrm{W\,m^{-2}}\)，扫描相位测得 \(\mathcal V=0.700\)。求 \(\lvert\gamma_{12}\rvert\)。
系统： 固定探测器收集同偏振同频带两束光；背景已扣除。
模型理由： 相位扫描覆盖极大和极小，强度在扫描中稳定。

\[\lvert\gamma_{12}\rvert =\mathcal V\frac{I_1+I_2}{2\sqrt{I_1I_2}} =0.700\frac{13.00}{12.00} =0.758.\]

检查与解释： 结果满足 \(0\le\lvert\gamma\rvert\le1\)。若错误地把 \(\mathcal V\) 直接当 \(\lvert\gamma\rvert\)，会把强度失配造成的损失也归因于失相干。

Worked Example 3 — Michelson 条纹计数测镜位移

已知： \(\lambda_0=632.8\,\mathrm{nm}\)，镜面缓慢移动时有 \(N=237\) 个完整条纹通过固定参考点。
研究对象与方向： Michelson 可动镜；正方向取臂长增加。
模型理由： 镜移动造成双程 OPD \(2x\)；空气折射率变化和相位漏计忽略。

\[x=\frac{N\lambda_0}{2} =\frac{237(632.8\,\mathrm{nm})}{2} =74.99\,\mu\mathrm m.\]

检查与解释： 每个条纹对应镜移动 \(\lambda_0/2=316.4\,\mathrm{nm}\)，数量级一致。若镜沿光轴反向移动，位移带负号但计数绝对值相同。四位有效数字反映给定波长和整数计数，不代表未计入的系统误差。

Worked Example 4 — Sagnac 环的旋转相位

已知： 单圈平面环面积 \(A=0.250\,\mathrm{m^2}\)，法向与角速度同向，\(\Omega=0.500\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\)，\(\lambda_0=632.8\,\mathrm{nm}\)。
系统与参考系： 随装置旋转的闭合真空光路；低速 \(v_{\mathrm{rim}}\ll c\)。
方向： 按本课约定，\(+\) 束沿 \(\mathbf A\) 的右手边界方向传播，且 \(\Delta\phi_{\mathrm S}=\phi_+-\phi_-\)。这里 \(\mathbf A\cdot\boldsymbol\Omega>0\)，所以 \(+\) 束与装置同向旋转、传播时间较长，故相位差为正。

\[\Delta\phi_{\mathrm S} =\frac{8\pi A\Omega}{\lambda_0c} =\frac{8\pi(0.250)(0.500)} {(632.8\times10^{-9})(2.9979\times10^8)} =1.66\times10^{-2}\,\mathrm{rad}.\]

检查与解释： 相位无量纲；\(A\to0\) 或 \(\Omega\to0\) 时信号消失，反转旋转方向时符号反转。单圈相位很小，实际 fiber gyro 通过多圈有效面积和锁相读出增强灵敏度。

Lesson synthesis / 本课综合

1. 先定义比较对象： 时间延迟、横向间距或两条仪器路径。
2. 选择相关函数： \(\Gamma_{12}\) 给绝对交叉强度，\(\gamma_{12}\) 给归一化相干度。
3. 预测可见度： 把强度平衡因子与 \(\lvert\gamma_{12}\rvert\) 分开。
4. 选择拓扑： Michelson 适合紧凑双程位移；Mach–Zehnder 适合单程样品与成像；Sagnac 适合反向共路的非互易相位。
5. 画路径并算 OPD： 明确单程/双程、分束器相位和样品通过次数。
6. 把相位反演为物理量： 同时传播波长、相位拟合、环境和几何不确定度。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• 平稳统计： 若光源或装置在平均窗口内显著漂移，时间平均不等于稳定系综平均。
• 一阶 coherence： \(\gamma_{12}\) 描述强度干涉；非经典光和 photon correlations 需要更高阶相关。
• 谱宽—相干长度： 必须给出谱线形状和宽度定义；多峰谱可出现 coherence revival，不能只用一个 \(l_c\)。
• 空间 coherence： \(\ell\sim\lambda/\alpha\) 是数量级；精确轮廓由源强度分布的 Fourier transform 决定。
• 仪器拓扑： 实际 beamsplitter 有偏振、色散和附加相位；不对称损耗改变输出端口关系。
• metrology： 相位分辨率不是准确度。波长溯源、空气折射率、热膨胀、Abbe/cosine error、电子非线性都可主导误差。
• Sagnac： 给出的式子是低速真空单圈结果；运动介质、非平面回路和相对论精密模型需更完整处理。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “看得到条纹就叫完全相干。” 任意非零 \(\lvert\gamma\rvert\) 都可能给条纹；完全相干要求归一化模为 1，且还要校正强度失配。
2. “coherence length 永远是 \(c/\Delta\nu\)。” 数值因子取决于谱线形状、FWHM 或 RMS 宽度以及 coherence threshold。
3. “时间相干差就是空间相干差。” 它们分别沿时间延迟与空间分离测量；同一源可在一方面好、另一方面差。
4. “Michelson 镜移动一波长只走一条条纹。” 往返 OPD 变化 \(2\lambda\)，会走两条条纹。
5. “Sagnac 两束走同一路，所以永远零相位差。” 静止互易扰动近似共模；旋转使反向传播时间不同，正是信号来源。
6. “能拟合到 \(10^{-3}\) 条纹就有 \(10^{-3}\lambda\) 准确度。” 这只描述读出分辨率；系统校准和环境偏差可能大得多。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01： temporal coherence 比较什么？spatial coherence 又比较什么？

2. K02： Lorentzian 线宽 \(\Delta\nu=5.00\,\mathrm{MHz}\)，按本课 \(1/e\) 定义求真空 \(l_c\)。

3. K02： 源的角宽加倍而波长不变，横向 coherence width 数量级怎样变？

4. K03： 等强双束测得 visibility \(0.62\)，背景已扣除。求 \(\lvert\gamma_{12}\rvert\)。

5. K03： 完全相干但强度比 \(I_2/I_1=1/9\)，最大 visibility 是多少？

6. K04/K05： Michelson 中镜移动 \(12.0\,\mu\mathrm m\)，\(\lambda_0=600\,\mathrm{nm}\)。经过多少条纹？

7. K05： Mach–Zehnder 一臂中长 \(l=10.0\,\mathrm{mm}\) 的气室产生 \(N=4.00\) 条纹，\(\lambda_0=500\,\mathrm{nm}\)。求 \(n\)。

8. K04： 上题气室若放入 Michelson 并被往返穿过，其他条件不变，会走多少条纹？

9. K04： 反转 Sagnac 环面积矢量而保持 \(\boldsymbol\Omega\) 不变，输出相位怎样变？

10. 综合： 扫描 delay 时 visibility 降低，但两臂单独强度也随 delay 改变。怎样提取真正的 \(\lvert\gamma_{12}(\tau)\rvert\)？

Exit ticket / 离堂检核

1. 设计一个实验区分“有限线宽导致的 temporal decoherence”和“机械振动导致的 visibility 降低”，明确要扫描的变量和预期函数形状。
2. 为 \(100\,\mathrm{nm}\) 量级位移测量在 Michelson、Mach–Zehnder、Sagnac 中选一种拓扑；说明选择理由、相位—位移关系及前三项系统误差。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料与 URL 实际打开核对日期：2026-08-28。正文重新组织；所有图依据方程原创绘制；数值例题与练习独立复算。

复习与拓展

• Huygens–Fresnel diffraction：孔径不同位置的空间相干决定可否作场的相干积分。
• Fourier Optics：mutual intensity 与 coherent/incoherent transfer functions。
• Laser linewidth and cavities：腔模、线宽与 temporal coherence 的来源。
• 实验接口：phase unwrapping、quadrature detection、Allan deviation、空气折射率补偿和 SI-traceable wavelength。