激光原理

Learning objectives / 学习目标

1. 用 Einstein \(A,B\) 系数区分吸收、自发与受激辐射，并判断净吸收或净增益。
2. 由速率方程解释为何两能级连续谐振泵浦不能维持反转，以及三、四能级方案如何绕开这一限制。
3. 从一次往返的增益—损耗账本推出 laser threshold，并计算阈值增益。
4. 区分 phase index 与 group index，计算 longitudinal modes、free spectral range、linewidth 与 coherence time。
5. 用时间—频率互补解释 Q-switching 与 mode locking，并由平均功率求 pulse energy 与 peak power。

Prerequisites / 先修知识

• Coherence and Interferometry：相干时间、谱宽与干涉可见度。
• Multiple Slits and Gratings：离散共振条件与频谱选择。
• 原子能级、光子能量 \(E=h\nu=hc/\lambda_0\)、一阶常微分方程与指数增长/衰减。

Scope and conventions / 范围与约定

• 讨论半经典 laser model：介质能级量子化，腔场先按经典模处理；不量化场算符，不推导完整 master equation。
• 原子数密度为 \(N_i\)，单位 \(\mathrm{m^{-3}}\)；简并度为 \(g_i\)。简化例题若未说明，取 \(g_1=g_2\)。
• 光沿 \(+z\)，小信号强度满足 \(dI/dz=(g-\alpha_i)I\)；\(g,\alpha_i\) 的单位均为 \(\mathrm{m^{-1}}\)。
• 线形按 Lorentzian 时采用 \(\tau_c\simeq1/(\pi\Delta\nu)\)；其他线形只保留数量级关系，不能机械套系数。
• 腔长为几何长度 \(L\)；resonance 近似用 phase index \(n\)，FSR 用 group index \(n_g\)。
• 所有示意图均为 schematic, not to scale；箭头表示过程或能流，不表示粒子真实轨迹。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Absorption, spontaneous emission, and stimulated emission / 吸收、自发与受激辐射

Knowledge ID: P05-U07-L01-K01

设两能级差满足 \(E_2-E_1=h\nu_0\)。光场在 \(\nu_0\) 附近可驱动三类过程：

• absorption：\(1\to2\)，每次从场中移去一个光子；速率密度 \(R_{12}=N_1B_{12}\rho(\nu_0)\)；
• spontaneous emission：\(2\to1\)，无需外场触发；速率密度 \(R_{sp}=N_2A_{21}\)，相位、方向和偏振通常随机；
• stimulated emission：\(2\to1\)，由已有模触发；速率密度 \(R_{st}=N_2B_{21}\rho(\nu_0)\)，新增辐射进入同一频率、传播模与相位关系。

在热平衡中，下能级占据通常更大，吸收压过受激辐射。若计入简并度，Einstein relations 给

\[g_1B_{12}=g_2B_{21}.\]

在本文把 \(\rho(\nu)\) 定义为包含全部传播方向与两种偏振、每单位频率的 spectral energy density 时，另一条 detailed-balance relation 为

\[\boxed{\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3}}.\]

若改用每单位 angular frequency 的 energy density，或只统计单一方向/偏振模，\(B\) 的数值、单位表达与右端模态密度因子必须随 convention 一起转换，不能混用。

因此净受激贡献与

\[\Delta N=N_2-\frac{g_2}{g_1}N_1\]

同号。\(\Delta N>0\) 才能在小信号极限提供净 stimulated gain。自发辐射不是“坏掉的受激辐射”；它既是激光起振的种子，也是 phase noise 与 fundamental linewidth 的来源。

Knowledge 2 — Population inversion and pumping / 粒子数反转与泵浦

Knowledge ID: P05-U07-L01-K02

Population inversion 指 laser transition 上能级的有效占据超过下能级，即 \(\Delta N>0\)。它不是“所有粒子都在激发态”，而是一个特定跃迁、特定简并权重下的非平衡分布。Pumping 是把外部能量送入介质的过程，可为光泵浦、电流注入、放电或化学反应。

纯两能级系统若用同一频率的连续光泵浦，吸收和受激辐射共享 Einstein coupling；强泵最终只会使两能级趋于饱和（等简并时 \(N_2\to N_1\)），不能得到稳态 \(N_2>N_1\)。三能级 laser 先泵到更高能级 \(3\)，快速无辐射弛豫到 metastable level \(2\)，再由 \(2\to1\) 激光跃迁。四能级 laser 的下激光能级也快速排空，因此阈值反转通常更易建立。

以四能级简化模型为例，反转可写成

\[\frac{d\Delta N}{dt}=R_p-\frac{\Delta N}{\tau}-\sigma\Phi\Delta N,\]

其中 \(R_p\) 为有效泵浦率密度，\(\tau\) 为上能级寿命，\(\Phi\) 为腔内 photon flux。阈值以下 \(\Phi\) 小，\(\Delta N\approx R_p\tau\)；阈值以上 stimulated depletion 增强，反转被 gain clamping 在阈值附近，而额外泵浦主要转成输出光。

Knowledge 3 — Optical gain and threshold / 光增益与阈值

Knowledge ID: P05-U07-L01-K03

小信号、均匀介质中，频率 \(\nu\) 的 gain coefficient 近似为

\[g(\nu)=\sigma(\nu)\Delta N, \qquad I(z)=I(0)e^{[g(\nu)-\alpha_i]z}.\]

但有增益不等于已经起振。长度 \(L\) 的 linear cavity 经过一次往返，强度乘子为

\[G_{rt}=R_1R_2\exp\left[2(g-\alpha_i)L\right].\]

阈值为 \(G_{rt}=1\)，因此

\[\boxed{g_{th}=\alpha_i+\frac{1}{2L}\ln\left(\frac{1}{R_1R_2}\right)}.\]

这个式子是能量账本：分布损耗和两个镜面损耗必须由一圈增益恰好补回。若介质只占腔长的一部分，应把 \(gL\) 改为对增益区的路径积分，不能把整段空腔误当 gain medium。

实际 gain 会随强度饱和。常用均匀展宽近似为

\[g(I)=\frac{g_0}{1+I/I_s},\]

其中 \(g_0\) 是 small-signal gain，\(I_s\) 是 saturation intensity。阈值以上，腔内强度增长使 \(g(I)\) 降到有效损耗附近，所以线性指数增长不会无限持续。

Knowledge 4 — Resonator modes, linewidth, and coherence / 谐振腔模、线宽与相干性

Knowledge ID: P05-U07-L01-K04

平面平行腔的近轴 longitudinal resonance 条件为往返相位 \(2\pi q\)：

\[2n(\nu_q)L=q\lambda_0, \qquad \nu_q\simeq\frac{qc}{2nL}.\]

相邻模间隔需考虑色散，近似

\[\boxed{\Delta\nu_{FSR}=\frac{c}{2n_gL}}.\]

Gain bandwidth 内可能容纳许多纵模，但只有同时满足 cavity resonance、gain exceeds loss 与 transverse-mode stability 的模才能振荡。理想稳定 Gaussian resonator 还需要由镜面曲率决定的横模条件；本课不展开 ABCD stability 推导。

Laser 线宽来自有限 photon lifetime、spontaneous-emission phase diffusion、技术噪声与环境漂移。若功率谱近 Lorentzian，first-order coherence 的衰减给

\[\tau_c\simeq\frac{1}{\pi\Delta\nu}, \qquad L_c\simeq\frac{c\tau_c}{n_g}.\]

“laser 是单色光”只是近似；任何有限持续时间与噪声都会给非零 \(\Delta\nu\)。Cavity resonance linewidth 与 emitted laser linewidth 也不是同一概念；后者可远窄于 passive cavity resonance，但受 Schawlow–Townes 类噪声下限约束。

Knowledge 5 — Continuous-wave, pulsed, and mode-locked operation / 连续、脉冲与锁模运行

Knowledge ID: P05-U07-L01-K05

Continuous-wave (CW) laser 在稳态连续输出，速率方程达到近定常解。Q-switching 先把腔损耗维持在高值以储存反转，再迅速提高 cavity \(Q\)，释放高能量、通常 ns 量级的脉冲。Mode locking 则让许多纵模的相位差固定；频域梳状线相干叠加，在时域形成周期性超短脉冲列。

对 fundamental mode locking 且腔内每个 round trip 只有一个 pulse，若纵模间隔为 \(\Delta\nu_{FSR}\)，pulse repetition rate 近似

\[f_{rep}=\Delta\nu_{FSR}, \qquad T_{rep}=\frac{1}{f_{rep}}.\]

Harmonic mode locking 或稳定的每圈多脉冲态可给 \(f_{rep}=m\Delta\nu_{FSR}\)，其中 \(m\) 为正整数。

平均功率、单脉冲能量和峰值功率满足

\[E_p=\frac{P_{avg}}{f_{rep}}, \qquad P_{peak}\sim\frac{E_p}{\tau_p},\]

第二式的精确系数取决于 pulse shape。Transform-limited Gaussian pulse 的 intensity FWHM 精确满足

\[\Delta\nu\,\Delta t=0.441\ldots\simeq0.44.\]

一般 Gaussian pulse 则有 \(\Delta\nu\,\Delta t\ge0.441\)。Chirp 会让脉冲比 transform limit 更长；宽光谱是短脉冲的必要条件，但不是充分条件，频谱相位也必须合适。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Transition wavelength

某跃迁能量差为 \(\Delta E=1.96\,\mathrm{eV}\)。求共振真空波长。

研究对象： 单个理想原子跃迁。
系统/参考系： 原子静止系；忽略 recoil、Doppler 与 line broadening。
坐标与方向： 本题只求标量波长，无方向约定。
模型理由： 光子能量满足 \(\Delta E=hc/\lambda_0\)。

用 \(hc=1239.84\,\mathrm{eV\,nm}\)：

\[\lambda_0=\frac{1239.84}{1.96}\,\mathrm{nm}=632.6\,\mathrm{nm}.\]

检查： eV 相消后得到 nm；可见红光量级合理；\(\Delta E\) 增大时 \(\lambda_0\) 变短。按三位有效数字为 \(633\,\mathrm{nm}\)。

Worked Example 2 — Laser threshold

均匀增益介质充满 \(L=0.300\,\mathrm m\) 腔，\(R_1=0.990\)、\(R_2=0.950\)，内部分布损耗 \(\alpha_i=0.0100\,\mathrm{m^{-1}}\)。求阈值增益。

研究对象： 腔内沿轴传播的单一小信号模。
系统/参考系： 镜与介质静止；系统边界取一次完整往返。
坐标： \(+z\) 从 \(R_1\) 指向 \(R_2\)；往返路程 \(2L\)。
模型理由： 均匀 gain/loss，镜面只以 power reflectivity 计损耗。

\[g_{th}=0.0100+\frac{1}{0.600}\ln\left(\frac{1}{0.990\times0.950}\right).\]

\[g_{th}=0.0100+0.1022=0.112\,\mathrm{m^{-1}}.\]

检查： 对数无量纲，除以长度得到 \(\mathrm{m^{-1}}\)；若 \(R_1,R_2\to1\)，阈值趋近 \(\alpha_i\)；阈值为正且量级合理。三位有效数字。

Worked Example 3 — Cavity modes under a gain line

线性腔 \(L=0.250\,\mathrm m\)、\(n_g=1.50\)，gain bandwidth 为 \(120\,\mathrm{GHz}\)。估算 FSR 与位于该带宽内的纵模数。

研究对象： 近轴 longitudinal cavity modes。
系统/参考系： 腔静止，忽略端面相位色散。
坐标： 腔轴为 \(z\)。
模型理由： 带宽远小于中心频率，取常量 \(n_g\)。

\[\Delta\nu_{FSR}=\frac{2.998\times10^8}{2(1.50)(0.250)} =3.997\times10^8\,\mathrm{Hz}.\]

即 \(\Delta\nu_{FSR}=400\,\mathrm{MHz}\)。带内间隔数约

\[N\simeq\frac{120\times10^9}{3.997\times10^8}=300.\]

检查： Hz 单位正确；腔越长 FSR 越小、容纳模越多。端点是否恰落在模上会造成约一个模的不确定性，所以报告“约 \(300\) 个”。

Worked Example 4 — Pulse energy and peak power

Mode-locked laser 的 \(P_{avg}=100\,\mathrm{mW}\)、\(f_{rep}=80.0\,\mathrm{MHz}\)，Gaussian intensity pulse 的 FWHM 为 \(100\,\mathrm{fs}\)。求单脉冲能量与峰值功率。

研究对象： 稳定周期 Gaussian pulse train。
系统/参考系： 在固定输出截面测量；忽略脉冲间 pedestal。
坐标与方向： 时间零点取单脉冲峰值。
模型理由： \(P(t)=P_0\exp[-4\ln2\,t^2/\tau_{FWHM}^2]\)，其积分为 \(1.0645P_0\tau_{FWHM}\)。

\[E_p=\frac{0.100}{80.0\times10^6}=1.25\times10^{-9}\,\mathrm J.\]

\[P_{peak}=\frac{E_p}{1.0645\tau_{FWHM}} =\frac{1.25\times10^{-9}}{1.0645\times100\times10^{-15}} =1.17\times10^4\,\mathrm W.\]

检查： \(\mathrm J/\mathrm s=\mathrm W\)；\(12.5\,\mathrm{ns}\) 的脉冲间隔远大于 \(100\,\mathrm{fs}\)，脉冲不重叠；平均仅 \(0.100\,\mathrm W\) 而峰值约 \(11.7\,\mathrm{kW}\)，体现低 duty cycle。三位有效数字。

Lesson synthesis / 本课综合

建模顺序应为：先选跃迁并写微观 transition rates；再检查 pump 是否能建立 \(\Delta N>0\)；把 \(g=\sigma\Delta N\) 放入一次往返增益—损耗账本求 threshold；用 cavity mode spacing 与 gain envelope 决定可振荡频率；最后由 gain saturation、损耗调制或模间相位关系判断 CW、Q-switched 或 mode-locked 输出。任何一步缺失，都不能仅凭“存在受激辐射”宣布激光起振。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Einstein rate model ignores coherent Rabi oscillations and density-matrix effects; strong ultrafast driving needs optical Bloch equations.
• Two-level no-inversion result assumes continuous resonant pumping through the same transition; transient coherent control or multilevel pathways lie outside that claim。
• \(g=\sigma\Delta N\) is small-signal and local; spatial hole burning、inhomogeneous broadening and gain competition alter multimode behavior。
• Plane-parallel threshold formula omits diffraction、output coupling phase、standing-wave pattern and transverse overlap; partial gain filling requires an overlap factor。
• \(\tau_c=1/(\pi\Delta\nu)\) assumes a Lorentzian spectrum and stationary statistics。
• Fourier time-bandwidth product only bounds transform-limited pulses; chirp and higher-order spectral phase lengthen them。
• “Mode locking” is not merely “many modes oscillate”; their relative phases must be stabilized。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “受激辐射一出现就会激光。” 只有 round-trip gain 至少补偿全部损耗才起振。
2. “粒子数反转是所有原子都在上能级。” 它是特定跃迁上按简并修正后的相对占据条件。
3. “强光可把理想两能级连续泵到 \(N_2>N_1\)。” 同一光场也同样增强受激向下跃迁，稳态趋于饱和而非反转。
4. “Laser 完全单色、相干长度无限。” 自发辐射和技术噪声必给有限线宽。
5. “宽光谱自动产生短脉冲。” 还需受控的谱相位；随机相位只给起伏的连续场。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01： \(\Delta E=2.48\,\mathrm{eV}\) 的跃迁对应何种真空波长？

2. K01： 为什么自发辐射既有帮助又造成噪声？

3. K02： 等简并两能级在强连续共振泵浦下可达到的饱和占据关系是什么？

4. K02： 为什么四能级 laser 通常比三能级 laser 更易起振？

5. K03： \(L=0.50\,\mathrm m\)、\(R_1=R_2=0.98\)、\(\alpha_i=0\) 时求 \(g_{th}\)。

6. K03： 若 gain medium 只占腔长的四分之一，可否仍把整腔 \(L\) 代入 \(e^{2gL}\)？

7. K04： 空气腔 \(L=0.750\,\mathrm m\) 的 FSR 约多少？

8. K04： Lorentzian linewidth \(\Delta\nu=2.00\,\mathrm{MHz}\) 时，估算真空 coherence length。

9. K05： \(P_{avg}=2.00\,\mathrm W\)、\(f_{rep}=100\,\mathrm{kHz}\)，求 pulse energy。

10. K05： Transform-limited Gaussian pulse 的光谱 FWHM 为 \(5.00\,\mathrm{THz}\)，最短 intensity FWHM 为多少？

Exit ticket / 离堂检核

1. 用一句话分别说明 inversion、threshold 与 saturation 的不同角色，并写出连接它们的两个核心方程。
2. 某 laser 有宽增益谱但只输出单一窄线；列出至少两种可能的 cavity/selective mechanism，并指出“宽增益谱”为何不等同“宽输出谱”。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料实际打开核对日期：2026-08-29。四个核心直接来源均成功打开；正文重新组织，图示由本文方程原创，例题与练习独立复算。

复习与拓展

• Optical Fibers and Waveguides：把 laser 输出耦合到受限传播模并分析损耗和色散。
• Nonlinear and Integrated Photonics：短脉冲高峰值场驱动 \(\chi^{(2)}\)、\(\chi^{(3)}\) 过程。
• Quantum optics：spontaneous emission、coherent states 与 Schawlow–Townes linewidth 的量子推导。
• Laser engineering：ABCD stability、Gaussian eigenmodes、thermal lensing、Q-switch 与 mode-locker 实现。