Learning objectives / 学习目标
完成本课后，你应能：
- 从两个简谐光场的叠加推导一般双束强度式，并解释交叉项为何携带相位信息。
- 把几何路程、折射率和元件相移统一写入 optical path difference (OPD)。
- 从杨氏双缝的精确几何推得远场条件 \(d\sin\theta=m\lambda\)，再在明确的小角近似下求条纹位置。
- 计算不等强度双束的极大、极小和 visibility，并区分低可见度的不同成因。
- 预测波长、缝距、屏距、均匀介质和插入薄片对条纹的影响，并用极限与量纲检查结果。
Prerequisites / 先修知识
Scope and conventions / 范围与约定
- 取单色标量场的真实部分 \(E(\mathbf r,t)=\operatorname{Re}[\tilde E(\mathbf r)e^{-i\omega t}]\)。两束光具有相同频率和相同偏振；偏振不平行时的修正留到 Unit 5.6。
- 真空波长写 \(\lambda_0\)，真空波数 \(k_0=2\pi/\lambda_0\)。若整个传播区是均匀折射率 \(n\) 的介质，则介质波长 \(\lambda=\lambda_0/n\)。
- 屏面横坐标 \(y\) 向上为正；双缝中心为原点，缝间距 \(d\)，屏距 \(L>0\)。
- OPD 定义为“路径 2 的光程减路径 1 的光程”。改变编号会同时改变相位符号，却不改变强度。
- 先讨论相干、稳定、窄缝、远场的理想模型；有限缝宽的衍射包络在 Lesson 5.5.2 加入。
Notation and modeling contract / 符号与建模契约
| Symbol | Meaning | SI unit |
|---|---|---|
| \(I_1,I_2,I\) | 两束单独强度与叠加强度 | \(\mathrm{W\,m^{-2}}\) |
| \(\delta\) | 到达探测点的总相位差 | rad |
| \(\mathrm{OPL}=\int n\,ds\) | optical path length / 光程 | m |
| \(\Delta=\mathrm{OPL}_2-\mathrm{OPL}_1\) | optical path difference / 光程差 | m |
| \(d,L,y,\theta\) | 缝距、屏距、屏坐标、观察角 | m, m, m, rad |
| \(m\) | 干涉级次 | 1 |
| \(\mathcal V\) | fringe visibility / 条纹可见度 | 1 |
Knowledge 1 — Phase difference and optical path difference / 相位差与光程差
Knowledge ID: P05-U04-L01-K01
1.1 探测器读出的不是场，而是场平方的时间平均
在同一点写两束复振幅为
\[\tilde E_1=A_1e^{i\phi_1}, \qquad \tilde E_2=A_2e^{i\phi_2}.\]
线性介质中场先相加，再求强度：
\[I\propto \left\langle (E_1+E_2)^2\right\rangle_t.\]
同频、同偏振且相位稳定时，令 \(\delta=\phi_2-\phi_1\)，得到
\[I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta.\]
前两项是各束单独贡献；最后的 interference term 可正、可负，因而把不可直接测量的光学相位转换为强度变化。能量并未在暗纹“消失”，而是在空间中重新分配到亮纹。
图 1 把相位差画成两个相量的夹角。合相量长度随 \(\delta\) 改变，所以强度随 \(\cos\delta\) 改变，而不是把两个强度直接相加。
1.2 从光程差到相位差
非均匀各向同性介质中，
\[\mathrm{OPL}=\int_{\mathcal C}n(\mathbf r,\omega)\,ds.\]
单频光沿路径累积的传播相位为 \(k_0\mathrm{OPL}\)。总相位差还可包含源相位和光学元件相位：
\[\delta =k_0\Delta+\delta_{\mathrm{src}}+\delta_{\mathrm{elem}}, \qquad \Delta=\int_{\mathcal C_2}n\,ds-\int_{\mathcal C_1}n\,ds.\]
在色散介质中这里使用相位折射率 \(n(\omega)\)；不能把群折射率代入单色相位。若两束来自同一波前并经过对称元件，常有 \(\delta_{\mathrm{src}}=\delta_{\mathrm{elem}}=0\)。
图 2 强调 OPD 是两条完整路径的积分差，不只是图上某一小段的几何长度。
Knowledge 2 — Young's double-slit interference / 杨氏双缝干涉
Knowledge ID: P05-U04-L01-K02
2.1 为什么两条缝能成为相干源
一个源先照亮上游窄缝 \(S_0\)，再以同一波前照亮 \(S_1,S_2\)。双缝不是两个彼此独立的灯；它们是同一场的两个 secondary sources，因此源相位差稳定。若改用两台未锁相的普通灯，快速漂移的相位会使交叉项时间平均为零。
2.2 精确几何与远场近似
令两缝位于 \(y=\pm d/2\)，屏上点 \(P\) 位于 \((L,y)\)。几何路程为
\[r_1=\sqrt{L^2+\left(y-\frac d2\right)^2}, \qquad r_2=\sqrt{L^2+\left(y+\frac d2\right)^2}.\]
均匀介质中的精确 OPD 为 \(\Delta=n(r_2-r_1)\)。当 \(L\gg d\) 且观察点处于远场，两条出射方向近似平行：
\[\Delta\approx nd\sin\theta.\]
若用介质波长 \(\lambda=\lambda_0/n\)，亮纹与暗纹分别满足
\[d\sin\theta_m=m\lambda, \qquad m=0,\pm1,\pm2,\ldots,\]
\[d\sin\theta_{m+\frac12} =\left(m+\frac12\right)\lambda.\]
图 4 中 \(d\sin\theta\) 是远场近似，不是任意 \(L,d,y\) 下的恒等式。精密计算可直接使用 \(r_2-r_1\)。
图 5 对比相差 \(2\pi m\) 与 \((2m+1)\pi\) 的场叠加。暗纹要求振幅也相等；若振幅不等，只能部分抵消。
Knowledge 3 — Fringe spacing and intensity distribution / 条纹间距与强度分布
Knowledge ID: P05-U04-L01-K03
3.1 从角位置到屏上位置
若还满足 \(\lvert y\rvert\ll L\)，则
\[\sin\theta\approx\tan\theta\approx\frac yL.\]
亮纹位置与相邻亮纹间距为
\[y_m\approx\frac{m\lambda L}{d}, \qquad \Delta y\approx\frac{\lambda L}{d} =\frac{\lambda_0L}{nd}.\]
三重近似必须分开检查：窄缝近似、远场近似和小角近似。即使 \(L\gg d\)，高阶条纹也可能使 \(\theta\) 不再小。
3.2 强度函数
理想点源、等强 \(I_1=I_2=I_s\) 时，
\[I(\theta)=2I_s\left[1+\cos\left(\frac{2\pi d\sin\theta}{\lambda}\right)\right] =4I_s\cos^2\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right).\]
小角屏坐标式为
\[I(y)\approx4I_s\cos^2\left(\frac{\pi d y}{\lambda L}\right).\]
图 6 给出相位域周期，图 7 给出空间域条纹。实际有限缝宽会乘上衍射包络，而不是保持所有峰同高。
3.3 不等强度与可见度
极值为
\[I_{\max}=\left(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}\right)^2, \qquad I_{\min}=\left(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}\right)^2.\]
定义 Michelson visibility：
\[\mathcal V=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}} =\frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}.\]
这个等式假设完全相干。更一般地还需乘 \(\lvert\gamma_{12}\rvert\)，因此低 visibility 既可能来自强度失配，也可能来自不完全相干。
Knowledge 4 — Effects of wavelength, geometry, and refractive media / 波长、几何与介质的影响
Knowledge ID: P05-U04-L01-K04
4.1 参数变化不是口诀，而是同一相位模型的结果
在小角、均匀介质模型中 \(\Delta y=\lambda_0L/(nd)\)：
- 增大 \(\lambda_0\) 或 \(L\)：条纹变疏。
- 增大 \(d\) 或均匀填充介质的 \(n\)：条纹变密。
- 给两束同时增加相同 OPL：公共相位改变，但条纹不移动。
- 只改变一路 OPL：整组条纹平移；理想情况下间距不变。
4.2 单路插入平行薄片
背景折射率为 \(n_b\)，在一路插入厚度 \(t\)、折射率 \(n_p\) 的平行薄片，并忽略倾斜造成的几何偏移，则新增
\[\Delta_{\mathrm{plate}}=(n_p-n_b)t, \qquad \Delta\delta=k_0(n_p-n_b)t.\]
条纹移动的级次数
\[N=\frac{\Delta_{\mathrm{plate}}}{\lambda_0}.\]
符号取决于薄片放在哪一路及 \(y\) 正方向；移动“多少条”通常报告 \(\lvert N\rvert\)。
4.3 近似边界图
图 11 是模型地图而非数值相图。横轴以两点源尺度定义的 \(N_F=d^2/(\lambda L)\) 区分近场与远场；具体阈值取决于允许的相位误差。进入黄色区时，远场近似仍成立，但应使用 \(\theta=\arctan(y/L)\) 并保留 \(\sin\theta\)；进入红色区则必须使用精确路程差或 Fresnel diffraction。这样，“能否用远场”与“能否用小角近似”是两项独立判断。
Worked Examples / 完整例题
Worked Example 1 — 不等强双束的极值与可见度
已知： 同频、同偏振、完全相干的两束光单独强度 \(I_1=9.0\,\mathrm{W\,m^{-2}}\)、\(I_2=4.0\,\mathrm{W\,m^{-2}}\)。
研究对象与参考系： 固定实验室中的一个点探测器；只比较同一点的时间平均能流。
模型理由： 频率、偏振一致且相位稳定，可使用理想双束强度式；坐标方向不影响标量强度。
极大和极小分别对应 \(\cos\delta=\pm1\)：
\[I_{\max}=(3.0+2.0)^2=25\,\mathrm{W\,m^{-2}},\]
\[I_{\min}=(3.0-2.0)^2=1.0\,\mathrm{W\,m^{-2}}.\]
\[\mathcal V=\frac{25-1}{25+1}=0.923.\]
检查与解释： 单位仍为 \(\mathrm{W\,m^{-2}}\)；相位平均值为 \(I_1+I_2=13\,\mathrm{W\,m^{-2}}\)，而 \((I_{\max}+I_{\min})/2=13\,\mathrm{W\,m^{-2}}\)，一致。暗纹不为零是振幅失配，不必归因于“不相干”。
Worked Example 2 — 由杨氏装置求条纹间距并检验小角近似
已知： 真空中 \(\lambda_0=632.8\,\mathrm{nm}\)，\(d=0.250\,\mathrm{mm}\)，\(L=1.50\,\mathrm m\)。求间距与第 5 级亮纹位置。
系统与坐标： 双缝—自由空间—屏为系统；双缝中心 \(y=0\)，向上为正。
模型理由： \(L/d=6000\gg1\)，可用远场；结果后验检查 \(\lvert y\rvert/L\ll1\)。
\[\Delta y=\frac{\lambda_0L}{d} =\frac{632.8\times10^{-9}\times1.50}{0.250\times10^{-3}} =3.7968\times10^{-3}\,\mathrm m.\]
取三位有效数字，\(\Delta y=3.80\,\mathrm{mm}\)；保留上一式护栏位计算第五级位置：
\[y_5\approx5\Delta y =18.984\,\mathrm{mm} \approx19.0\,\mathrm{mm}.\]
精确角度由
\[\sin\theta_5=\frac{5\lambda_0}{d}=0.012656\]
给出，\(\tan\theta_5\) 与 \(\sin\theta_5\) 的相对差约 \(8.0\times10^{-5}\)；精确值的护栏位为 \(18.9855\,\mathrm{mm}\)，三位有效数字同样是 \(19.0\,\mathrm{mm}\)。
检查与解释： \(\lambda L/d\) 量纲为长度；\(y_5/L=0.0127\ll1\)，小角自洽。正负第 5 级关于中心对称。
Worked Example 3 — 插入玻璃薄片引起的条纹移动
已知： 空气中一条光路插入 \(t=12.0\,\mu\mathrm m\)、\(n_p=1.515\) 的平行薄片，\(\lambda_0=589.3\,\mathrm{nm}\)，取空气 \(n_b=1.000\)。
研究对象与边界： 比较插片前后同一双束干涉仪；薄片表面垂直光束，忽略反射和倾斜。
正方向： 定义插片所在路径的 OPD 增加为正。
\[\Delta_{\mathrm{plate}}=(1.515-1.000)(12.0\times10^{-6}) =6.18\times10^{-6}\,\mathrm m.\]
\[N=\frac{6.18\times10^{-6}}{589.3\times10^{-9}} =10.49.\]
结果： 条纹相对原位置移动 \(10.5\) 个条纹间距（方向由插片路径编号和屏坐标决定）。
检查与解释： \(N\) 无量纲；当 \(n_p\to n_b\) 或 \(t\to0\) 时移动趋零。非整数 \(N\) 完全允许，表示固定参考点最终不是同类亮纹。
Worked Example 4 — 用条纹计数测气体折射率
已知： 长 \(l=20.00\,\mathrm{mm}\) 的气室置于一路，充气后有 \(N=31.6\) 条条纹通过参考线；\(\lambda_0=632.8\,\mathrm{nm}\)。求气体相对真空的相位折射率。
系统与参考系： 固定实验室中的气室和干涉仪；气室只在一路、单程通过一次。若是 Michelson 双程，公式会多因子 2，本题不是。
模型： 均匀、透明、弱色散气体，温度与压力稳定。
\[N=\frac{(n-1)l}{\lambda_0} \quad\Rightarrow\quad n=1+\frac{N\lambda_0}{l}.\]
\[n-1 =\frac{31.6(632.8\times10^{-9})}{20.00\times10^{-3}} =9.99824\times10^{-4} \approx1.00\times10^{-3}, \qquad n=1.00100.\]
检查与解释： 折射率无量纲且略大于 1，数量级符合稀薄气体。若误把单程装置当双程，会把 \(n-1\) 低估一半；系统路径图是计算前的必要步骤。
Lesson synthesis / 本课综合
双源干涉可以压缩为一条建模链：
- 确认可叠加的场： 同频分量、偏振投影和相干条件。
- 画完整路径： 明确路径编号、介质区段和附加元件相移。
- 算 OPD： \(\Delta=\int_{\mathcal C_2}n\,ds-\int_{\mathcal C_1}n\,ds\)。
- 转为相位： \(\delta=k_0\Delta+\delta_{\mathrm{src}}+\delta_{\mathrm{elem}}\)。
- 先用一般强度式： \(I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta\)。
- 再声明几何近似： 只有在远场、小角条件成立时才写 \(y_m=m\lambda L/d\)。
- 做三项检查： 单位、\(\lvert\sin\theta\rvert\le1\)、以及 \(d\to\infty\) 或 \(n_p\to n_b\) 等极限。
Formula-and-decision table / 公式与决策表
| Question | Model / equation | Use only when | Common limit |
|---|---|---|---|
| 两相干场的强度？ | \(I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta\) | 同频、同偏振、相位稳定 | 不完全相干需乘 \(\lvert\gamma_{12}\rvert\) |
| 路径怎样变成相位？ | \(\delta=k_0\Delta+\delta_{\mathrm{src}}+\delta_{\mathrm{elem}}\) | 单色相位传播 | 色散介质用 phase index |
| 双缝精确几何？ | \(\Delta=n(r_2-r_1)\) | 已知两条完整几何路径 | 不需小角近似 |
| 角向亮纹？ | \(d\sin\theta_m=m\lambda\) | 窄缝、远场、均匀介质 | \(\lvert m\lambda/d\rvert\le1\) |
| 屏上等间距？ | \(\Delta y\approx\lambda L/d\) | 另需 \(\lvert y\rvert\ll L\) | 高阶条纹并非严格等间距 |
| 可见度？ | \(\mathcal V=(I_{\max}-I_{\min})/(I_{\max}+I_{\min})\) | 稳定扫描到极值 | 不能单独区分失配与失相干 |
| 单路薄片移多少级？ | \(N=(n_p-n_b)t/\lambda_0\) | 正入射、单程、均匀薄片 | 双程装置需额外因子 2 |
Model boundaries / 模型边界
- 标量近似： 偏振不平行时，交叉项还含偏振矢量点积；正交偏振在理想探测器上不产生条纹。
- 单色近似： 宽带源的不同频率条纹相互平均，visibility 随延迟下降。
- 点缝近似： 有限缝宽引入 \(\operatorname{sinc}^2\) 衍射包络和 missing orders。
- 远场近似： \(L\gg d\) 仍需结合孔径尺寸和 Fresnel number 判断；近场条纹不由简单 \(d\sin\theta\) 完整描述。
- 小角近似： \(\sin\theta\approx\tan\theta\approx y/L\) 只在 \(\lvert y\rvert/L\ll1\) 成立。
- 稳定介质： 温度、压力、机械振动会使 OPD 漂移；公式本身不包含噪声与有限探测器积分。
Misconception clinic / 误区诊所
- “两个光源的强度总是直接相加。” 场先相加。只有相位快速随机或偏振正交时，交叉项平均为零。
- “暗纹没有能量，所以违反能量守恒。” 干涉把能流重新分配；对完整横截面积积分，理想无损系统的总功率不变。
- “OPD 就是几何长度差。” 介质中必须积分 \(n\,ds\)，还要单独记反射、偏振器件等附加相位。
- “\(d\sin\theta\) 和 \(dy/L\) 都是精确式。” 前者已用远场，后者又叠加小角近似。
- “条纹不清楚只说明光不相干。” 强度不平衡、偏振失配、有限像素、振动和宽带谱都能降低 visibility。
- “插入薄片一定改变条纹间距。” 单路均匀薄片主要增加常量相位，使整组条纹平移；若其引入角度或梯度才会改变局部间距。
Practice and retrieval / 练习与提取
- K01 相位： OPD 为 \(1.25\lambda_0\)，无附加相移。求相位差在 \(0\) 到 \(2\pi\) 内的等价值。
Answer
\(\delta=2\pi(1.25)=2.5\pi\)，模 \(2\pi\) 后为 \(\pi/2\)。
- K01 强度： \(I_1=9\,\mathrm{W\,m^{-2}}\)、\(I_2=4\,\mathrm{W\,m^{-2}}\)、\(\delta=\pi/3\)。求总强度。
Answer
\[I=9+4+2\sqrt{36}\cos(\pi/3)=19\,\mathrm{W\,m^{-2}}.\]
- K03 可见度： 完全相干双束测得 \(\mathcal V=0.800\)，且 \(I_2\le I_1\)。求 \(I_2/I_1\)。
Answer
令 \(a=\sqrt{I_2/I_1}\)，\(0.8=2a/(1+a^2)\)，得 \(a=0.5\)，所以 \(I_2/I_1=0.25\)。
- K02 级次边界： \(\lambda=500\,\mathrm{nm}\)、\(d=2.50\,\mu\mathrm m\)。数学上最高亮纹级次是多少？
Answer
\(\lvert m\rvert\le d/\lambda=5\)，故最高为 \(\lvert m\rvert=5\)。它对应 \(\theta=90^\circ\)，普通平面屏上通常不可实际收集。
- K03 间距： \(\lambda=520\,\mathrm{nm}\)、\(L=2.00\,\mathrm m\)、\(d=0.400\,\mathrm{mm}\)。求小角条纹间距。
Answer
\[\Delta y=\frac{\lambda L}{d}=2.60\,\mathrm{mm}.\]
- K04 薄片： 空气中一路插入 \(n=1.50\)、\(t=10.0\,\mu\mathrm m\) 薄片，\(\lambda_0=500\,\mathrm{nm}\)。移动多少级？
Answer
\[\lvert N\rvert=\frac{(1.50-1.00)10.0\,\mu\mathrm m}{0.500\,\mu\mathrm m}=10.0.\]
- K04 均匀介质： 整个缝后空间由空气换成 \(n=1.33\) 的均匀液体，其他量不变。间距变为原来的多少？
Answer
介质波长为 \(\lambda_0/n\)，所以 \(\Delta y'/\Delta y=1/n=0.752\)。
- 模型判断： \(L=0.20\,\mathrm m\)、\(d=5.0\,\mathrm{cm}\)。可以无检查地使用 \(d\sin\theta\) 远场式吗？
Answer
不可以。\(L/d=4\) 并不大，应先用精确 \(r_2-r_1\) 或 Fresnel 模型，并结合实际孔径尺寸判断。
- 源相位： 两缝几何 OPD 为零，但源给第二缝固定附加相位 \(\pi\)。中心是亮还是暗？
Answer
总相位差为 \(\pi\)。等强理想情况下中心为暗纹；这说明几何零程差不必等于零总相位。
- 综合： 同一双缝同时用 \(600\,\mathrm{nm}\) 与 \(500\,\mathrm{nm}\) 两色光。除中心外，最小的共同亮纹满足哪些级次？
Answer
需 \(m_r(600)=m_g(500)\)。最小公倍光程为 \(3000\,\mathrm{nm}\)，故红光 \(m_r=5\)，绿光 \(m_g=6\)。
Exit ticket / 离堂检核
- 某双缝条纹突然变淡且整体平移。列出至少三种可区分的物理原因，并为每一种写出一个可观测诊断量。
- 不使用小角近似，从 \(r_1,r_2\) 写出屏上第 \(m\) 级亮纹的数值求根方程；再说明何时可退化为 \(y_m=m\lambda L/d\)。
References and source notes / 参考资料与来源说明
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| OpenStax University Physics Vol. 3, 3.1 Young's Double-Slit Interference | common-source Young apparatus and qualitative fringe formation | K02 | narrow secondary-source slits |
| OpenStax University Physics Vol. 3, 3.2 Mathematics of Interference | \(d\sin\theta\), bright/dark orders, screen positions | K02–K03 | far field and small angle stated separately |
| MIT OCW 2.71, Lecture 15 | phasors, OPLD, Young intensity and Huygens picture | K01–K03 | scalar, paraxial wave optics |
| MIT OCW 2.71, Lecture 11 Notes on Wave Optics | unequal-intensity interference and spatial-correlation interpretation | K01, K03–K04 | time-averaged detector; coherence distinguished from imbalance |
资料与 URL 实际打开核对日期：2026-08-28。正文为重新组织的教学表达；所有图依方程原创，例题与练习独立复算。
复习与拓展
- Thin Films：把两个离散路径推广到反射相移与无限多次往返。
- Coherence：以 \(\gamma_{12}\) 定量描述有限谱宽和有限源尺寸。
- Single-Aperture Diffraction：把两个 secondary sources 推广为连续孔径积分。
- 实验接口：用线性拟合 \(\Delta y\) 对 \(L\) 或 \(1/d\)，并把像素标定、零点和斜率不确定度纳入结果。