单孔径衍射

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 用 Huygens–Fresnel superposition 解释“每个孔径点都贡献相量”的物理图景，同时指出其标量近似边界。
2. 以 Fraunhofer 条件或透镜焦平面建立单缝孔径积分，并推导 \(\operatorname{sinc}^2\) 强度分布。
3. 求单缝极小角、中央主极大宽度和指定角度的相对强度，并区分极小与次极大。
4. 从孔径的二维 Fourier transform 推出矩形孔径的可分离图样和圆孔的 Airy pattern。
5. 使用 Fresnel number、量纲、极限和能量分布检查近似是否合理。

Prerequisites / 先修知识

• 相量叠加、OPD 与干涉强度。
• 空间相干与有限孔径。
• 积分 \(\int e^{iqu}\,du\)、小角近似、复指数和 Bessel function 的基本识别。

Scope and conventions / 范围与约定

• 先取单色、标量、空间相干平面波，真空波长 \(\lambda_0\)；孔后均匀介质中的波长写 \(\lambda\)。
• 单缝沿 \(y\) 方向宽 \(a\)、沿 \(x\) 方向很长；观察角 \(\theta\) 从光轴向上为正。
• aperture plane 为 \(z=0\)，观察屏或透镜后焦面在 \(z>0\)。
• \(\operatorname{sinc}u\) 在本课定义为 \(\sin u/u\)，且 \(\operatorname{sinc}0=1\)；不采用工程中 \(\sin(\pi u)/(\pi u)\) 的归一化版本。
• Fraunhofer regime 可由足够大传播距离或透镜后焦平面实现；两者的坐标尺度不同但角谱相同。
• 不讨论矢量衍射、高数值孔径、近场倏逝波或完整 Kirchhoff 边界推导。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Huygens–Fresnel principle / 惠更斯—菲涅耳原理

Knowledge ID: P05-U05-L01-K01

1.1 连续孔径是连续的 secondary-source superposition

Huygens 图景把波前上每一点视为次级球面波源；Fresnel 补上相位与振幅叠加。标量形式可概略写为

\[U(P) \approx\frac{1}{i\lambda} \iint_A U(Q) \frac{e^{ikr}}{r} K(\theta)\,dA,\]

其中 \(Q\) 是孔径点，\(r=\lvert\mathbf r_P-\mathbf r_Q\rvert\)，\(K(\theta)\) 是 obliquity factor。它不是说孔径材料真的产生新能量，而是把满足边界条件的波场表示为传播 Green function 的叠加。

图 1 中所有孔径点由同一入射波照明，因而初始相位受控；观察点处必须进行复振幅积分，而不是把各点强度相加。

1.2 Fresnel 与 Fraunhofer 不是“有无衍射”

两区都有衍射。区别在于传播相位能否只保留孔径坐标的一次项：

• Fresnel diffraction： 有限距离，保留二次相位，图样随 \(L\) 变化。
• Fraunhofer diffraction： 远场或透镜焦平面，场近似为孔径函数的 Fourier transform。

以特征孔径宽 \(a\) 定义

\[N_F=\frac{a^2}{\lambda L}.\]

\(N_F\ll1\) 支持远场近似；“远”必须与 \(a^2/\lambda\) 比较，而不是只凭米数判断。

上半图中，孔径上两个点到同一有限距离观察点 \(P\) 的方向明显不同，传播相位必须保留二次项。下半图中，孔径上不同点沿同一远场方向 \(\theta\) 贡献，透镜把这组近似平行的光线会聚到焦平面同一点 \(P_f\)；若不用透镜，则需 \(L\gg a^2/\lambda\) 才能在远屏上实现同一近似。

Knowledge 2 — Single-slit Fraunhofer diffraction / 单缝夫琅禾费衍射

Knowledge ID: P05-U05-L01-K02

2.1 孔径积分

均匀照明单缝中，坐标 \(y'\in[-a/2,a/2]\) 的条带到远场角 \(\theta\) 多出相位 \(ky'\sin\theta\)：

\[\tilde E(\theta) \propto \int_{-a/2}^{a/2} e^{iky'\sin\theta}\,dy'.\]

积分给

\[\tilde E(\theta) =\tilde E(0)\frac{\sin\beta}{\beta}, \qquad \beta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}.\]

因此

\[I(\theta) =I(0)\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2.\]

2.2 相量弧

把缝分成许多窄条，每条贡献大小近似相同、相位逐步增加。所有小相量首尾相接形成圆弧；弧的弦就是总振幅。当总相位跨越 \(2\pi m\) 时，圆弧闭合，总场为零。

2.3 透镜焦平面实现

若孔后放焦距 \(f\) 的薄透镜，来自同一方向 \(\theta\) 的平面波聚焦到 \(y_f\approx f\theta\)。即使物理屏距不满足自由空间远场，后焦面仍显示 Fraunhofer angular spectrum：

\[y_f\approx f\sin\theta \quad\text{(paraxial)}.\]

这不是透镜“消除衍射”，而是把角度编码为空间位置。

Knowledge 3 — Intensity minima and central maximum / 强度极小与中央主极大

Knowledge ID: P05-U05-L01-K03

3.1 极小条件

除 \(\beta=0\) 的可去奇点外，\(\sin\beta=0\) 给极小：

\[a\sin\theta_m=m\lambda, \qquad m=\pm1,\pm2,\ldots.\]

第一极小可用“上下半缝一一相消”解释；第 \(m\) 个极小可把缝分为 \(2m\) 个等区并配对。注意 \(m=0\) 不是极小，而是中央主极大。

3.2 中央主极大宽度

中央峰位于两侧第一极小之间：

\[\Delta\theta_{\mathrm{central}} =2\arcsin\left(\frac{\lambda}{a}\right) \approx\frac{2\lambda}{a}.\]

小角、屏距 \(L\) 时

\[W_{\mathrm{central}}\approx\frac{2\lambda L}{a}.\]

相邻外侧极小间距约为 \(\lambda L/a\)，所以中央峰约为其他主瓣宽度的两倍。

3.3 次极大

次极大不是简单位于两个极小的正中。令 \(dI/d\beta=0\) 可得

\[\tan\beta=\beta\]

（排除 \(\beta=0\) 与极小点）。其位置通常数值求解；首个侧瓣峰强度约为中央峰的 \(4.7\%\)。这说明极小条件易解析，次极大位置则不应套用“半整数”口诀。

Knowledge 4 — Rectangular and circular apertures / 矩形与圆形孔径

Knowledge ID: P05-U05-L01-K04

4.1 矩形孔径：二维可分离

均匀矩形孔尺寸 \(a\times b\)，Fraunhofer 强度为

\[\frac{I(\theta_x,\theta_y)}{I(0,0)} = \operatorname{sinc}^2\left(\frac{\pi a\sin\theta_x}{\lambda}\right) \operatorname{sinc}^2\left(\frac{\pi b\sin\theta_y}{\lambda}\right).\]

孔径在某方向越窄，该方向的衍射越宽。这是 Fourier reciprocity，而不是光“偏爱”长边。

4.2 圆孔径：Airy pattern

直径 \(D\) 的均匀圆孔具有圆对称 Fourier transform：

\[\frac{I(\theta)}{I(0)} =\left[\frac{2J_1(u)}{u}\right]^2, \qquad u=\frac{\pi D\sin\theta}{\lambda}.\]

第一零点为

\[\sin\theta_1=1.22\frac{\lambda}{D}.\]

焦距 \(f\) 的透镜后焦面 Airy disk 第一暗环半径

\[r_1\approx1.22\frac{\lambda f}{D}.\]

4.3 Fraunhofer 模型地图

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — 检查远场并求单缝中央峰

已知： \(a=0.100\,\mathrm{mm}\)，\(\lambda=633\,\mathrm{nm}\)，屏距 \(L=2.00\,\mathrm m\)。
系统与坐标： 均匀照明竖直单缝，屏中心 \(y=0\)，向上为正。
模型理由： 先用 Fresnel number 判断，再决定是否使用 Fraunhofer 小角式。

\[N_F=\frac{a^2}{\lambda L} =\frac{(1.00\times10^{-4})^2} {(633\times10^{-9})(2.00)} =7.90\times10^{-3}\ll1.\]

第一极小位置

\[y_1\approx\frac{\lambda L}{a} =\frac{633\times10^{-9}\times2.00}{1.00\times10^{-4}} =12.7\,\mathrm{mm}.\]

中央峰宽

\[W_{\mathrm{central}}=2y_1=25.3\,\mathrm{mm}.\]

检查与解释： \(N_F\) 无量纲；\(y_1/L=0.00633\ll1\)，小角近似自洽。孔径变窄时中央峰变宽，符合 Fourier reciprocity。

Worked Example 2 — 由中央峰宽反求缝宽

已知： \(\lambda=532\,\mathrm{nm}\)，\(L=1.50\,\mathrm m\)，测得两侧第一极小间距 \(W=8.00\,\mathrm{mm}\)。
研究对象： 单缝的 Fraunhofer 图样；屏坐标已校准。
模型与方向： 正入射、均匀照明；宽度只取正值。

\[a=\frac{2\lambda L}{W} =\frac{2(532\times10^{-9})(1.50)} {8.00\times10^{-3}} =2.00\times10^{-4}\,\mathrm m =2.00\times10^2\,\mu\mathrm m.\]

结果： \(a=2.00\times10^2\,\mu\mathrm m\)（三位有效数字）。
检查与解释： 量纲为 m；把 \(W\) 误当单侧半宽会使结果差因子 2。反算 \(N_F=a^2/(\lambda L)\approx0.050\)，远场近似尚可但精密工作应估计修正。

Worked Example 3 — 指定相位参数处的相对强度

已知： 观察方向满足 \(\sin\theta=\lambda/(2a)\)。求相对中央强度。
系统与参考系： 单缝远场角谱；\(\theta\) 正负给相同强度。
模型理由： 相干均匀标量照明。

\[\beta=\frac{\pi a}{\lambda}\frac{\lambda}{2a}=\frac{\pi}{2}.\]

\[\frac{I}{I(0)} =\left[\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}\right]^2 =\left(\frac{2}{\pi}\right)^2 =0.405.\]

检查与解释： 比值无量纲且小于 1；此点在中心与第一极小之间，不应为零。若 \(a\to\infty\) 而保持有限 \(\theta\)，\(\beta\) 增大，能量集中到更窄角域。

Worked Example 4 — 圆孔 Airy 第一暗环

已知： 圆孔直径 \(D=50.0\,\mathrm{mm}\)，\(\lambda=550\,\mathrm{nm}\)，后接 \(f=1.00\,\mathrm m\) 透镜。
系统与坐标： 轴上平面波、圆形均匀 pupil；焦平面径向坐标 \(r\ge0\)。
模型理由： \(D\gg\lambda\)、paraxial angle 很小，可用 Airy 第一零点。

\[\theta_1\approx1.22\frac{\lambda}{D} =1.22\frac{550\times10^{-9}}{50.0\times10^{-3}} =1.34\times10^{-5}\,\mathrm{rad}.\]

\[r_1=f\theta_1=13.4\,\mu\mathrm m.\]

检查与解释： 角度无量纲，焦面半径为长度；直径加倍会把 Airy disk 半径减半。这里的 \(13.4\,\mu\mathrm m\) 是第一暗环半径，不是强度 FWHM。

Lesson synthesis / 本课综合

1. 把孔径上的场写成复振幅分布 \(U(Q)\)，确认照明相干性与偏振近似。
2. 用 \(N_F=a^2/(\lambda L)\) 或透镜焦平面判断采用 Fresnel 还是 Fraunhofer。
3. 在 Fraunhofer 区，把观察角对应的线性相位乘到 aperture function 上并积分。
4. 单缝得到 \(\operatorname{sinc}\) 振幅与 \(\operatorname{sinc}^2\) 强度；零点来自完整相量闭合。
5. 二维孔径取二维 Fourier transform：矩形可分离，圆孔给 Bessel/Airy。
6. 检查 aperture narrowing 是否导致 angular broadening，以及第一零点、中央宽度、角度上限和能量重分配。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Huygens–Fresnel scalar form： 当孔径尺度接近波长、高 NA 或偏振边界效应重要时，需要 vector diffraction。
• Kirchhoff 边界： 简化积分忽略屏厚、边缘材料响应和倏逝场；亚波长孔不由本课模型完整描述。
• Fraunhofer： \(N_F\ll1\) 是数量级判据；透镜焦平面可实现角谱，但透镜自身像差和有限 pupil 会叠加。
• 均匀照明： Gaussian beam 或渐变振幅会改变旁瓣和有效孔径。
• 空间相干： 若孔径不同点互不相干，应叠加强度相关而不是单一复振幅积分。
• Airy 模型： 中央遮挡、支撑结构、像差或非圆 pupil 会改变环结构和第一零点。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “衍射只发生在小孔。” 任意有限孔径都衍射；孔很大时角展宽小，常被几何光学近似忽略。
2. “Huygens 点各自发出额外能量。” secondary wavelets 是波动方程解的表示；总能量来自入射场。
3. “Fresnel 区没有标准图样，Fraunhofer 区才叫衍射。” 两者都是衍射，只是保留的传播相位阶数不同。
4. “单缝第一极小在半波程差。” 整个缝上下边缘程差为一波长，半缝配对才差半波。
5. “所有旁瓣峰在极小正中。” 次极大满足 \(\tan\beta=\beta\)，一般不在简单半整数位置。
6. “圆孔也用单缝 sinc-squared。” 圆对称积分给 Bessel/Airy function，第一零点系数是 1.22。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01： \(a=0.50\,\mathrm{mm}\)、\(\lambda=500\,\mathrm{nm}\)、\(L=0.50\,\mathrm m\)。求 \(N_F\) 并判断。

2. K01： 为什么孔径积分必须加复振幅而不是强度？

3. K02： 写出本课 \(\operatorname{sinc}\) 的定义以及在零点的连续延拓。

4. K03： \(a=0.200\,\mathrm{mm}\)、\(\lambda=600\,\mathrm{nm}\)。第一极小小角是多少？

5. K03： 上题若 \(L=2.00\,\mathrm m\)，中央峰宽是多少？

6. K03： \(\beta=\pi\) 与 \(\beta=3\pi/2\) 哪一个是极小？

7. K04： 矩形孔 \(a<b\)。哪个方向的衍射更宽？

8. K04： \(D=2.00\,\mathrm{mm}\) 圆孔、\(\lambda=500\,\mathrm{nm}\)，求第一零点角。

9. 边界： 将单缝宽减半而总入射 irradiance 不变，中央峰角宽怎样变？

10. 综合： 为什么在透镜后焦面可以观察 Fraunhofer pattern，而不必把屏放到极远？

Exit ticket / 离堂检核

1. 对一个 Gaussian illumination 的矩形孔，说明哪些推导步骤仍成立、哪些强度结论会改变，并预测旁瓣相对均匀照明怎样变化。
2. 给一组 \(a,\lambda,L\)，先用 \(N_F\) 选择模型，再设计由第一极小反求孔径宽度的实验和不确定度表达式。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料与 URL 实际打开核对日期：2026-08-28。正文重新组织；所有图依据方程原创绘制；数值例题与练习独立复算。

复习与拓展

• Multiple Slits and Gratings：有限单缝 envelope 乘上周期阵列 interference factor。
• Resolution and Fourier Optics：pupil transform、PSF、OTF 与 convolution。
• Imaging Quality：衍射极限和像差极限的竞争。
• 实验接口：暗场扣除、相机线性响应、像素尺寸校准、有限屏宽和非均匀照明拟合。