偏振器件与形式化

Learning objectives / 学习目标

1. 从电场投影推出 Malus 定律，并区分已线偏振光与非偏振光的第一片偏振片。
2. 用介电各向异性解释 ordinary/extraordinary eigenpolarizations、optic axis 与 double refraction。
3. 由 \(\delta=2\pi\Delta n d/\lambda_0\) 设计 quarter-wave 与 half-wave plate，并判断输出偏振态。
4. 在明确的 phasor、basis 与 rotation convention 下连乘 Jones matrices。
5. 从强度测量重建 Stokes vector、degree of polarization 与 Poincaré sphere 位置，并说明 Jones 与 Stokes–Mueller 的互补边界。

Prerequisites / 先修知识

• Polarization States 中的线、圆、椭圆偏振与 Brewster angle。
• 复振幅、相对相位、时间平均强度。
• 二维旋转矩阵、矩阵乘法顺序与 ensemble/time average。

Scope and conventions / 范围与约定

• 光沿 \(+z\) 传播，横向 basis 为 \((\hat{\mathbf x},\hat{\mathbf y})\)；复场采用 \(\operatorname{Re}[\tilde{\mathbf E}e^{i(kz-\omega t)}]\)。
• Jones vector 写 \((E_x,E_y)^{\mathsf T}\)；共同非零复因子不改变归一化偏振态，共同 phase 不可观测。
• 定义 \(\mathbf e_+=(1,i)^{\mathsf T}/\sqrt2\) 的 \(S_3>0\)，\(\mathbf e_-=(1,-i)^{\mathsf T}/\sqrt2\) 的 \(S_3<0\)。左右旋名称会随观察方向与时间约定改变，本课优先用 \(\pm S_3\) 避免歧义。
• 器件方位角 \(\alpha\) 从 \(+x\) 朝 \(+y\) 逆时针量；旋转矩阵定义为 \(R(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\)。
• 波片本征 basis 取 fast axis 为第一分量、slow axis 为第二分量；去掉共同相位后 \(J_\delta=\operatorname{diag}(1,e^{i\delta})\)。
• Stokes 定义采用 \(S_3=-2\operatorname{Im}\langle E_xE_y^*\rangle\)，与上述 phasor convention 配套。
• 理想元件忽略有限 extinction ratio、吸收、反射、空间不均匀、色散与 depolarization，除非另行说明。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Ideal polarizers and Malus's law / 理想偏振片与马吕斯定律

Knowledge ID: P05-U06-L02-K01

理想线偏振片的 transmission axis 为单位向量

\[\mathbf u_\alpha= \begin{pmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{pmatrix}.\]

它保留输入电场在该轴上的投影：

\[\tilde{\mathbf E}_{out} =\mathbf u_\alpha (\mathbf u_\alpha^{\mathsf T}\tilde{\mathbf E}_{in}).\]

若输入为沿 \(\beta\) 的线偏振光，振幅投影因子为 \(\cos(\beta-\alpha)\)；强度正比于振幅模平方，因此

\[\boxed{I=I_0\cos^2(\beta-\alpha)}.\]

这就是 Malus's law。

非偏振光不是某个未知但固定的 Jones vector；它的横向方向在平均时间内随机变化。第一片理想偏振片平均透过一半：

\[I_1=\frac{I_{unpol}}2.\]

从这片之后，光已沿其轴线偏振，第二片 analyzer 才用 Malus 定律。若输入部分偏振，应使用 Stokes/Mueller 或 coherency matrix，而不是把“平均角度”塞进 \(\cos^2\)。

Knowledge 2 — Birefringence and optical axes / 双折射与光轴

Knowledge ID: P05-U06-L02-K02

各向异性晶体的极化响应不能用单一标量 \(\epsilon\) 表示，而需 dielectric tensor：

\[\mathbf D=\boldsymbol\epsilon\mathbf E.\]

在 uniaxial crystal 的主轴系中，可写

\[\boldsymbol\epsilon= \operatorname{diag}(\epsilon_o,\epsilon_o,\epsilon_e), \qquad n_o^2=\frac{\epsilon_o}{\epsilon_0}, \quad n_e^2=\frac{\epsilon_e}{\epsilon_0}\]

（假定非磁）。给定传播方向通常有两个正交 eigenpolarizations：ordinary wave 的主折射率为 \(n_o\)；extraordinary wave 的有效折射率随波矢与 crystallographic optic axis 的夹角变化。沿 optic axis 传播时两个相速度简并，不发生双折射分裂。

必须区分三个概念：

• crystallographic optic axis：沿该传播方向本征折射率简并。
• wave plate 的 fast/slow axes：给定切割与传播方向下，横向两个本征偏振的器件轴。
• extraordinary wave 的 \(\mathbf k\) 与能流 \(\mathbf S\)：一般不平行，可出现 spatial walk-off。

因此“光轴就是慢轴”不是普适句子；器件数据表必须说明切割、传播方向和波长。

Knowledge 3 — Quarter- and half-wave plates / 四分之一与半波片

Knowledge ID: P05-U06-L02-K03

波片不理想地“旋转所有偏振”；它让 fast/slow eigencomponents 积累不同相位。真空波长 \(\lambda_0\)、厚度 \(d\) 下，若 \(n_s>n_f\)，slow-minus-fast retardance 为

\[\boxed{\delta=(k_s-k_f)d =\frac{2\pi}{\lambda_0}(n_s-n_f)d}.\]

去掉共同相位，在 fast/slow basis 中

\[J_\delta= \begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\delta}\end{pmatrix}.\]

Quarter-wave plate (QWP) 满足 \(\delta=\pi/2\) modulo \(2\pi\)；half-wave plate (HWP) 满足 \(\delta=\pi\) modulo \(2\pi\)。所谓 zero-order thickness 分别为

\[d_{Q}=\frac{\lambda_0}{4\lvert n_s-n_f\rvert}, \qquad d_{H}=\frac{\lambda_0}{2\lvert n_s-n_f\rvert}.\]

若线偏振与 QWP 两轴成 \(45^\circ\)，两分量等幅；QWP 加上 \(\pm\pi/2\) 相位差，输出为 circular polarization。若分量不等幅，输出一般为 elliptical。HWP 则把相对相位反转 \(\pi\)；其 fast axis 在 \(\alpha\)、输入线偏振角为 \(\beta\) 时，输出线偏振角为

\[\boxed{\beta_{out}=2\alpha-\beta}\]

（直线方向按 modulo \(\pi\) 理解）。

真实 retardance 随 \(\lambda_0\)、温度和入射角变化；multiple-order plate 虽较厚易制造，却通常更 chromatic。宽带系统使用 achromatic compound retarders 或 Fresnel rhomb。

Knowledge 4 — Jones vectors and matrices / 琼斯矢量与矩阵

Knowledge ID: P05-U06-L02-K04

状态、器件与 basis rotation

完全偏振、准单色的确定性场写成

\[\mathbf E_J= \begin{pmatrix}E_x\\E_y\end{pmatrix}.\]

常见归一化状态包括

\[\mathbf e_x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \quad \mathbf e_{45}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \quad \mathbf e_+=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}.\]

整体相位 \(e^{i\phi}\) 不改变单束偏振，但相对相位 \(\arg E_y-\arg E_x\) 决定 polarization ellipse。

理想线偏振片的 Jones matrix 是投影算符

\[P(\alpha)=\mathbf u_\alpha\mathbf u_\alpha^{\mathsf T} =\begin{pmatrix} \cos^2\alpha&\cos\alpha\sin\alpha\\ \cos\alpha\sin\alpha&\sin^2\alpha \end{pmatrix}.\]

若元件在自身轴系中的矩阵为 \(J_0\)，把其轴转到实验室角 \(\alpha\)：

\[\boxed{J(\alpha)=R(\alpha)J_0R(-\alpha)}.\]

光依次遇到 \(J_1,J_2,J_3\) 时

\[\boxed{\mathbf E_{out}=J_3J_2J_1\mathbf E_{in}}.\]

最先遇到的矩阵在最右；旋转矩阵的正负号必须与 basis 定义一起使用。

Jones 的适用边界

Jones calculus 追踪相干复场，适合 fully polarized、deterministic、nondepolarizing optical train。它不能用单个二维矢量表示 unpolarized 或 partially polarized light，也不能描述把同一输入随机变成多种输出的 depolarizer。此时用 coherency matrix、Stokes vector 与 Mueller matrix。Jones 仍可描述有损但不退偏的 diattenuator；“有吸收”不等于“必退偏”。

Knowledge 5 — Stokes parameters and Poincaré sphere / 斯托克斯参数与庞加莱球

Knowledge ID: P05-U06-L02-K05

从可测强度定义 Stokes vector

对可能随时间随机变化的横向场，定义

\[S_0=\langle\lvert E_x\rvert^2+\lvert E_y\rvert^2\rangle,\]

\[S_1=\langle\lvert E_x\rvert^2-\lvert E_y\rvert^2\rangle,\]

\[S_2=2\operatorname{Re}\langle E_xE_y^*\rangle, \qquad S_3=-2\operatorname{Im}\langle E_xE_y^*\rangle.\]

实验上可用互补 analyzer intensities：

\[S_0=I_H+I_V, \quad S_1=I_H-I_V,\]

\[S_2=I_{+45}-I_{-45}, \quad S_3=I_+-I_-.\]

这里 \(I_\pm\) 分别是投影到 \(\mathbf e_\pm\) 的强度。

物理可实现状态满足

\[S_1^2+S_2^2+S_3^2\le S_0^2.\]

degree of polarization 为

\[\boxed{P=\frac{\sqrt{S_1^2+S_2^2+S_3^2}}{S_0}}, \qquad 0\le P\le1.\]

归一化坐标 \((s_1,s_2,s_3)=(S_1,S_2,S_3)/S_0\) 构成 Poincaré ball：fully polarized states 在单位球面，partially polarized states 在内部，理想 unpolarized state 在原点。赤道是 linear states，南北极是本课定义的 \(\mathbf e_-\) 与 \(\mathbf e_+\)。

Stokes parameters保留两正交分量的二阶相干统计，能描述偏振椭圆与部分偏振；但不保留相对某个独立 reference beam 的 absolute optical phase，不能替代 Jones field 去预测任意相干干涉。Mueller matrix 以 \(4\times4\) 实矩阵作用于 Stokes vector，并能描述 depolarization；nondepolarizing Jones system 可转换为相应 Mueller system，反向并非总成立。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Unpolarized light through two polarizers

非偏振光强 \(I_0=12.0\,\mathrm{W\,m^{-2}}\) 依次通过理想 polarizer 与相对第一片转过 \(35.0^\circ\) 的 analyzer。求输出强度。

研究对象： 非偏振入射光与两片理想偏振片。
参考系/系统： 器件静止，忽略反射吸收。
坐标： 第一片轴定义 \(0^\circ\)，第二片轴 \(35.0^\circ\)。
模型： 第一片对非偏振光取统计平均，第二片用 Malus law。

\[I_1=\frac{I_0}{2}=6.00\,\mathrm{W\,m^{-2}}.\]

\[I_2=I_1\cos^235.0^\circ =(6.00)(0.6710)=4.03\,\mathrm{W\,m^{-2}}.\]

检查： \(0<I_2<I_1<I_0\)；\(\mathrm{W\,m^{-2}}\) 单位正确；若两轴平行则应得 \(I_0/2\)。三位有效数字。

Worked Example 2 — Zero-order quarter-wave plate thickness

在 \(\lambda_0=632.8\,\mathrm{nm}\)，某晶体给有效 birefringence \(\lvert n_s-n_f\rvert=0.00900\)。求 zero-order QWP 与 HWP 厚度。

研究对象： 正入射均匀双折射薄片。
参考系/系统： 晶体静止，波长是真空波长。
坐标： 两横向本征轴为 fast/slow。
模型： 单色、无吸收、忽略界面相位。

\[d_Q=\frac{632.8\times10^{-9}}{4(0.00900)} =1.758\times10^{-5}\,\mathrm m =17.6\,\mu\mathrm m.\]

\[d_H=2d_Q=35.2\,\mu\mathrm m.\]

检查： 厚度已由 m 转写为 \(\mu\mathrm m\)，量纲为长度；\(\Delta n\to0\) 时所需厚度发散。HWP retardance 是 QWP 的两倍，厚度亦两倍；结果按三位有效数字报告。

Worked Example 3 — HWP rotation followed by an analyzer

水平线偏振单位强度光先通过 fast axis 位于 \(\alpha=22.5^\circ\) 的 ideal HWP，再通过水平 analyzer。求 HWP 后偏振方向与最终强度。

研究对象： fully polarized coherent field。
参考系/系统： 光沿 \(+z\)；实验室 \(x\) 水平。
坐标： 输入 \(\beta=0^\circ\)，HWP axis \(\alpha=22.5^\circ\)。
模型： 理想无损 HWP 与理想线偏振片。

HWP 把线偏振方向变为

\[\beta_{out}=2\alpha-\beta =45.0^\circ.\]

水平 analyzer 对 \(45.0^\circ\) 输入给

\[\frac{I_{final}}{I_{in}}=\cos^245.0^\circ=0.500.\]

检查： 强度比无量纲并按三位有效数字报告；HWP 本身无损，不改总强度，损失来自 analyzer 投影。把 \(\alpha\to0\) 时输出仍水平且 analyzer 全透。

Worked Example 4 — Reconstructing a partial Stokes state

同一束光的互补 analyzer measurements 为 \(I_H=7.00\)、\(I_V=3.00\)、\(I_{+45}=8.00\)、\(I_{-45}=2.00\)、\(I_+=5.00\)、\(I_-=5.00\,\mathrm{W\,m^{-2}}\)。求 Stokes vector 与 degree of polarization。

研究对象： 可能部分偏振的稳定光束。
参考系/系统： 所有 analyzer 使用同一实验室 basis。
坐标： \(S_3\) 依本课 \(\mathbf e_\pm\) 定义。
模型： 理想 analyzer，测量对同一统计状态取平均。

各互补对的和均为 \(10.0\,\mathrm{W\,m^{-2}}\)，相互一致。于是

\[\mathbf S= \begin{pmatrix}S_0\\S_1\\S_2\\S_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}10.0\\4.00\\6.00\\0\end{pmatrix} \mathrm{W\,m^{-2}}.\]

\[P=\frac{\sqrt{4.00^2+6.00^2}}{10.0} =0.721.\]

偏振部分为线偏振，其方位角

\[\psi=\frac12\operatorname{atan2}(S_2,S_1) =28.2^\circ.\]

检查： \(P<1\)，状态位于 Poincaré ball 内部；\(S_3=0\) 与无净 circular component 一致；强度单位一致。三位有效数字。

Lesson synthesis / 本课综合

偏振器件先按物理作用分类：polarizer 做 field projection，birefringent plate 做 eigencomponent phase retardation，depolarizer 改变统计混合。对已知线偏振强度可用 Malus；对完全偏振的相干复场与确定性非退偏器件用 Jones；对非偏振、部分偏振和强度型 polarimetry 用 Stokes–Mueller。无论哪套形式，都必须先固定 phasor、basis、旋向和元件角度约定，再按实际遇到顺序连乘。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Ideal polarizer 忽略 finite extinction ratio、插入损耗与 Fresnel reflection。
• Malus law 的简单形式不直接处理部分偏振；一般 analyzer intensity 应从 Stokes/Mueller 求。
• Uniaxial \(n_o,n_e\) 只是主值；extraordinary effective index 随传播方向变化，且 \(\mathbf k\) 与 \(\mathbf S\) 可不平行。
• Wave-plate retardance 随波长、温度和入射角变化；标称 QWP 只在设计条件精确为 \(\pi/2\)。
• Jones calculus 不表示 unpolarized、partial polarization 或 depolarization，但可表示非退偏吸收元件。
• Stokes vector 不保留相对独立 reference 的绝对光学相位；Mueller calculus 不能替代完整 coherent-field interference calculation。
• Poincaré sphere 上的南北极标签依赖 phasor、观察方向与 handedness convention；必须随文声明。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “非偏振光就是每一时刻都沿 \(45^\circ\)。” 非偏振是统计相关消失，不是某个固定 Jones vector；第一片理想偏振片透过平均一半。
2. “QWP 总把线偏振变成圆偏振。” 只有输入在两本征轴上的幅度相等且 retardance 为奇数个 \(\pi/2\) 时才是圆偏振。
3. “optic axis、fast axis、slow axis 是三个同义词。” 它们分别描述晶体简并传播方向与器件横向本征轴，必须看切割和传播方向。
4. “Jones matrices 按光前进顺序从左向右写。” 对列向量，最先作用的矩阵在最右。
5. “Stokes 只适用于非相干光。” Stokes 可描述 fully 或 partially polarized light；它描述二阶偏振统计，但不保存与独立 reference 的全部 coherent phase。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01 计算： 强度 \(I_0\) 的非偏振光通过两片夹角 \(45^\circ\) 的理想偏振片，输出是多少？

2. K01 反求角度： 已线偏振光经 analyzer 后强度为原来的 \(25.0\%\)。最小轴夹角是多少？

3. K02 概念： 为什么沿 uniaxial crystal 的 optic axis 传播不出现两个不同相速度？

4. K02 边界： extraordinary wave 的波矢方向能否总当作能量流方向？

5. K03 计算： \(\lambda_0=500\,\mathrm{nm}\)、\(\Delta n=0.0100\) 的 zero-order HWP 厚度是多少？

6. K03 方向： HWP fast axis 在 \(30^\circ\)，输入线偏振在 \(10^\circ\)。输出方向是多少？

7. K04 顺序： 光依次通过 \(0^\circ\) polarizer、\(45^\circ\) QWP、\(90^\circ\) analyzer，写 Jones chain。

8. K04 适用性： 能否用归一化 Jones vector \((1,0)^{\mathsf T}\) 表示“强度未知的完全非偏振光”？

9. K05 状态： 强度 \(I\) 的水平线偏振与本课 \(\mathbf e_+\) 状态分别有什么 Stokes vector？

10. K05 计算： 某状态 \(\mathbf S=(20,6,8,0)\,\mathrm{W\,m^{-2}}\)。求 \(P\) 并判断 Poincaré ball 位置。

Exit ticket / 离堂检核

1. 对一个“非偏振光 → polarizer → rotated QWP → analyzer”的系统，分别指出哪一步能用 Malus、哪一步需 Jones、若器件退偏又应切换到什么形式。
2. 写出本课 \(S_3\) 定义，证明 \((1,i)^{\mathsf T}/\sqrt2\) 位于 Poincaré sphere 的 \(+s_3\) 极，并解释为何不直接称它为“右旋”更安全。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料和链接实际打开核对日期：2026-08-28。所有图均按本文 convention 与方程原创绘制；例题与练习独立复算。

复习与拓展

• Polarization States：由横向场分量、反射、散射与 Brewster angle 产生偏振。
• Coherence and Interferometry：Jones field 与 mutual coherence 的连接。
• Laser Principles：laser cavity、gain anisotropy 与偏振选择。
• Polarimetry / ellipsometry：由 Mueller matrix 反演材料 diattenuation、retardance 与 depolarization。
• Quantum optics：Jones basis 对应单光子 polarization qubit，但 classical Stokes statistics 不等同完整量子态层析。