偏振态

Learning objectives / 学习目标

1. 由两个正交 electric-field components 的 amplitude ratio 与 phase difference 分类 linear、circular、elliptical polarization。
2. 推导 polarization ellipse 方程，并说明 common phase 不改变偏振态。
3. 用 anisotropic absorption、Fresnel reflection 与 dipole scattering 解释偏振的产生。
4. 从 \(r_p=0\)、Snell law 与正交几何推导 Brewster law。
5. 区分 fully polarized rotating field 与 unpolarized statistical ensemble，并明确 handedness 的观察约定。

Prerequisites / 先修知识

• Electromagnetic Waves：\(\mathbf E\perp\mathbf B\perp\mathbf k\)。
• Reflection and Refraction：Snell law、s/p polarization 与 Fresnel coefficients。
• 正弦相位、复振幅、time-averaged irradiance。

Scope and conventions / 范围与约定

• 波沿 \(+z\) 传播，phase 写作 \(\psi=kz-\omega t\)。
• 横向坐标固定为右手系 \((x,y,z)\)，实场写成 \(E_x=A\cos\psi\)、\(E_y=B\cos(\psi+\delta)\)，其中 \(A,B\ge0\)。
• 图中的 polarization curve 是固定 \(z\) 处电场矢量端点随时间的轨迹，不是光线在空间的螺旋轨迹。
• 旋向若必须描述，一律声明“observer looking along \(+z\) from source toward receiver”；从 receiver 回看 source 会看到相反旋向。不同学科的 right/left 命名可能相反，本课以方程和视向为准。
• K03 讨论产生机制；ideal polarizer、Malus law、wave plates、Jones/Stokes formalism 留到 Lesson 5.6.2。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Linear, circular, and elliptical polarization / 线、圆与椭圆偏振

Knowledge ID: P05-U06-L01-K01

Polarization 描述 transverse electric field 在垂直于传播方向的平面中怎样随时间变化。固定 \(z\) 后，矢量端点可能：

• 沿固定直线往返：linear polarization；
• 以恒定大小绕圆转动：circular polarization；
• 沿一般椭圆转动：elliptical polarization。

Linear polarization 的电场方向固定，大小和符号随时间正弦变化。负号只表示矢量反向，并不产生第二条偏振轴。

Circular polarization 要求两个正交分量 equal amplitude 且 phase difference 为 \(\pm\pi/2\)。此时 \(\lvert\mathbf E\rvert\) 不随时间改变，但方向持续转动。

一般情况是 ellipse；linear 与 circular 是其退化/高对称特殊情形。椭圆的长短轴不一定与 \(x,y\) axes 对齐，轴方向由 \(A,B,\delta\) 共同决定。

Unpolarized light 不是一根确定矢量“转得太快”。它是有限测量时间内，component amplitudes 与 relative phase 随机变化的 statistical ensemble；没有稳定的 ellipse。Partially polarized light 可视为稳定 polarized contribution 与随机 contribution 的统计组合。

Knowledge 2 — Polarization from electric-field components / 由电场分量表示偏振

Knowledge ID: P05-U06-L01-K02

取

\[E_x=A\cos\psi, \qquad E_y=B\cos(\psi+\delta).\]

令 \(X=E_x/A\)、\(Y=E_y/B\)。由

\[Y=X\cos\delta-\sin\psi\sin\delta\]

消去 \(\sin\psi\)，得到 polarization ellipse：

\[\boxed{ \left(\frac{E_x}{A}\right)^2 +\left(\frac{E_y}{B}\right)^2 -2\frac{E_xE_y}{AB}\cos\delta =\sin^2\delta}.\]

分类条件为：

\[\begin{aligned} \delta&=0\ \text{or}\ \pi &&\Rightarrow \text{linear},\\ A&=B,\quad\delta=\pm\frac{\pi}{2} &&\Rightarrow \text{circular},\\ \text{otherwise} &&&\Rightarrow \text{elliptical}, \end{aligned}\]

其中 \(A=0\) 或 \(B=0\) 也退化为沿单轴的 linear state。

若两分量同相，

\[\frac{E_y}{E_x}=\frac{B}{A},\]

矢量始终沿 fixed line，linear polarization angle 为 \(\alpha=\tan^{-1}(B/A)\)（符号由 \(\delta=0\) 或 \(\pi\) 决定）。若 quadrature \(\delta=\pm\pi/2\)，ellipse axes 与 \(x,y\) 对齐：

\[\frac{E_x^2}{A^2}+\frac{E_y^2}{B^2}=1.\]

复 amplitude 记法更紧凑：

\[\tilde{\mathbf E}_0=A\hat{\mathbf x}+Be^{i\delta}\hat{\mathbf y}.\]

给两分量同时乘 \(e^{i\phi_0}\) 只把 time origin 或 longitudinal phase 平移，不改变 \(A/B\) 和 \(\delta\)，所以不改变 polarization state。

对 vacuum plane wave，给定 peak component amplitudes \(A,B\)，time-averaged irradiance 为

\[\langle I\rangle=\frac12c\epsilon_0(A^2+B^2),\]

与 \(\delta\) 无关；phase 改变能量在两个正交方向之间的瞬时分配与端点轨迹，但不改变两分量平方平均之和。

Knowledge 3 — Polarization by absorption, reflection, and scattering / 吸收、反射与散射产生偏振

Knowledge ID: P05-U06-L01-K03

Selective absorption / 选择吸收

各向异性分子链或导电结构只允许某方向的 charges 易于运动。与该方向平行的 electric-field component 做功并被强烈吸收，正交 component 较易透过。实际 polarizing sheet 的“transmission axis”指透过电场方向，往往垂直于吸收链方向。

Reflection / 反射

在 dielectric interface，s component（\(\mathbf E\) 垂直 incidence plane）与 p component（\(\mathbf E\) 平行 incidence plane）具有不同 Fresnel coefficients。一般角度下 unpolarized light 反射后成为 partially polarized；在 Brewster angle，ideal nonmagnetic dielectric 的 \(r_p=0\)，反射光只剩 s polarization。

Scattering / 散射

Rayleigh limit 中，incident electric field 驱动 molecule 的 induced dipole 沿 \(\mathbf E\) oscillate。理想 electric dipole 不沿自身轴辐射；因此从与 incident direction 成 \(90^\circ\) 的方向观察，某一 component 被几何消除，single-scattered light 可强烈线偏振。多重散射、分子各向异性和 aerosols 会降低 polarization degree。

三种机制的共同点是：原先两个 transverse components 不再受到相同 transfer。absorption 改变 amplitude，reflection 使 \(r_s\ne r_p\)，scattering 以方向相关 dipole pattern 筛选分量。

Knowledge 4 — Brewster angle / 布儒斯特角

Knowledge ID: P05-U06-L01-K04

光从 nonmagnetic dielectric \(n_1\) 入射到 \(n_2\)。p-polarized electric-field reflection coefficient 可写为

\[r_p=\frac{n_2\cos\theta_i-n_1\cos\theta_t} {n_2\cos\theta_i+n_1\cos\theta_t}.\]

Brewster angle 定义为 \(r_p=0\) 的 incidence angle：

\[n_2\cos\theta_B=n_1\cos\theta_t.\]

再与 Snell law

\[n_1\sin\theta_B=n_2\sin\theta_t\]

联立，得到

\[\theta_B+\theta_t=90^\circ, \qquad \boxed{\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}}.\]

微观图像是：p-polarized incident field 驱动介质内 dipoles，而在 Brewster geometry 中 reflected direction 正好沿 dipole axis；dipole 不沿轴辐射，所以 p reflection vanishes。s-driven dipoles 垂直 incidence plane，reflected direction 不沿其轴，故 \(r_s\) 一般不为零。

Brewster law 的简单 \(\tan\theta_B=n_2/n_1\) 依赖 nonmagnetic、isotropic、lossless dielectric approximation。absorbing medium 的 \(n\) 为复数，\(R_p\) 通常只有非零 minimum；magnetic or anisotropic media 需使用相应 impedance 与 eigenpolarizations。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — 同相分量的线偏振方向

一平面波沿 \(+z\) 传播，在某固定位置有

\[E_x=(3.00\,\mathrm{V\,m^{-1}})\cos\psi, \qquad E_y=(4.00\,\mathrm{V\,m^{-1}})\cos\psi.\]

求 polarization state、方向角与 peak field magnitude。

研究对象： 固定 \(z\) 处的 transverse electric field。
参考系/系统： 右手 \((x,y,z)\)；方向角从 \(+x\) 朝 \(+y\) 测量。
模型： monochromatic fully polarized plane wave，两个分量同相。
方程与计算： \(\delta=0\)，故为 linear polarization，且

\[\alpha=\tan^{-1}\left(\frac{B}{A}\right) =\tan^{-1}\left(\frac{4.00}{3.00}\right) =53.1^\circ.\]

\[E_{\mathrm{peak}}=\sqrt{A^2+B^2} =5.00\ \mathrm{V\,m^{-1}}.\]

检查： \(3\)–\(4\)–\(5\) triangle 给方向在第一象限；共同 \(\cos\psi\) 使比值恒为 \(4/3\)；field unit 与三位有效数字正确。

Worked Example 2 — 圆偏振的旋向与 irradiance

真空中

\[E_x=(120\,\mathrm{V\,m^{-1}})\cos\psi, \qquad E_y=(120\,\mathrm{V\,m^{-1}})\sin\psi.\]

分类偏振态，说明在 \(z=0\)、observer looking along \(+z\) 时的初始旋向，并求 time-averaged irradiance。

研究对象： 真空平面波的 transverse field 与能流。
参考系/系统： 波沿 \(+z\)；observer 从 source 朝 receiver 看，即 looking along \(+z\)。
模型： monochromatic plane wave，\(\psi=kz-\omega t\)。
方程与计算： \(E_y=120\cos(\psi-\pi/2)\)，故 \(A=B\)、\(\delta=-\pi/2\)，为 circular polarization。在 \(z=0,t=0\)，\(\mathbf E\) 指 \(+x\)；小的 \(t>0\) 使 \(\psi<0\)、\(E_y<0\)，所以在指定视向中从 \(+x\) 朝 \(-y\) 转，即 clockwise。

\[\langle I\rangle =\frac12c\epsilon_0(A^2+B^2) =\frac12(2.99792458\times10^8)(8.8541878128\times10^{-12})(2)(120)^2 =38.2\ \mathrm{W\,m^{-2}}.\]

检查： \(\lvert\mathbf E\rvert=120\,\mathrm{V\,m^{-1}}\) 恒定；从 receiver 回看 source 会看到 opposite rotation；\(c\epsilon_0E^2\) 单位为 \(\mathrm{W\,m^{-2}}\)，三位有效数字。

Worked Example 3 — 选择吸收产生部分偏振

Unpolarized beam 入射一片各向异性吸收膜。对两正交 axes 的 intensity transmittance 为 \(T_x=0.850\)、\(T_y=0.0500\)。求总 transmitted fraction 与输出的 linear polarization contrast

\[P_L=\frac{I_x-I_y}{I_x+I_y}.\]

研究对象： 两个不相关正交 polarization components 的平均强度。
参考系/系统： 吸收膜静止，\(x,y\) 为其 principal axes。
模型： incident unpolarized light 在两 axes 上各占 \(I_0/2\)；忽略 cross-coupling。
方程与计算：

\[I_{\mathrm{out}}=\frac{I_0}{2}(T_x+T_y) =0.450I_0.\]

\[P_L=\frac{T_x-T_y}{T_x+T_y} =\frac{0.850-0.0500}{0.850+0.0500} =0.889.\]

检查： transmitted fraction 在 0 与 1 之间；\(0<P_L<1\) 表示高度但非完全线偏振；若 \(T_x=T_y\)，极限给 \(P_L=0\)。

Worked Example 4 — 空气—玻璃界面的 Brewster 反射

光从空气 \(n_1=1.00\) 入射 crown glass \(n_2=1.52\)。求 Brewster angle、transmission angle，并求 ideal Brewster incidence 下 unpolarized incident light 的总 reflected fraction（使用 \(R_p=0\) 与 \(R_s\)）。

研究对象： 平面无损 dielectric interface 上的 s/p components。
参考系/系统： 界面静止；角度对法线测量。
模型： nonmagnetic isotropic media，Fresnel amplitudes，incident s/p powers 各占一半。
方程与计算：

\[\theta_B=\tan^{-1}\left(\frac{1.52}{1.00}\right)=56.7^\circ, \qquad \theta_t=90.0^\circ-\theta_B=33.3^\circ.\]

在该角度

\[r_s=\frac{n_1\cos\theta_B-n_2\cos\theta_t} {n_1\cos\theta_B+n_2\cos\theta_t} =-0.396,\]

\[R_s=\lvert r_s\rvert^2=0.157, \qquad R_{\mathrm{unpol}}=\frac12(R_s+R_p)=0.0783.\]

检查： \(\theta_B+\theta_t=90.0^\circ\)；\(R_p=0\) 后 reflected light 为 pure s；反射率非负且小于 1，三位有效数字。

Lesson synthesis / 本课综合

偏振态由 transverse field 的两个正交 components 完全决定：amplitude ratio 决定 ellipse 尺度，relative phase 决定退化为直线、圆或一般椭圆以及旋转方向；common phase 不改变状态。材料通过对两 components 施加不同 transfer 产生偏振：选择吸收给不同 attenuation，界面给不同 \(r_s,r_p\)，Rayleigh scattering 以 dipole radiation pattern 选择方向。在 nonmagnetic dielectric 的特殊角度，\(r_p=0\) 与 Snell law 合起来给 \(\tan\theta_B=n_2/n_1\)，解释反射 glare 的强 s polarization。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• A single deterministic ellipse describes fully polarized monochromatic light; broadband or fluctuating fields require statistical coherence/Stokes descriptions.
• Right/left labels are convention-dependent; always state propagation direction, time convention and viewing direction.
• Selective absorption models omit depolarization, scattering and wavelength dependence of real films.
• Rayleigh dipole picture requires scatterers much smaller than wavelength and is modified by multiple scattering and aerosols.
• Simple Brewster law assumes real scalar refractive indices and \(\mu_r\approx1\); anisotropic, magnetic or absorbing media require generalized Fresnel analysis.
• At rough surfaces, many local incidence planes mix s/p components and reduce simple Brewster polarization.

Misconception clinic / 误区诊所

1. “偏振方向是光线摆动的路径。” 偏振 curve 是固定空间点处 \(\mathbf E\) 端点的时间轨迹，传播 ray 仍沿 \(\mathbf k\)。
2. “两个正交分量振幅相等就一定圆偏振。” 还必须相差 \(\pm\pi/2\)；同相时是 \(45^\circ\) linear polarization。
3. “椭圆偏振只是强度随时间椭圆变化。” 它描述 vector endpoint in the transverse plane；总平均强度可恒定。
4. “Unpolarized light 是 circular polarization 的快速平均。” circular state 有确定相位关系和稳定旋向；unpolarized field 的相位关系随机。
5. “Brewster angle 时没有反射光。” 只有 p component ideal reflection 为零；s component 仍反射。
6. “天空偏振只来自颜色选择。” 关键是 induced dipole 的方向性辐射；\(\lambda^{-4}\) 控制强度色散，但 polarization 还依赖 scattering geometry。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01 分类： \(A=B\)、\(\delta=0\) 是什么偏振？方向如何？

2. K01 分类： \(A=2B\)、\(\delta=\pi/2\) 是圆还是椭圆偏振？

3. K02 方程： \(\delta=\pi/2\) 时 polarization ellipse 怎样简化？

4. K02 相位： 给 \(\tilde{\mathbf E}_0\) 整体乘 \(e^{i\phi_0}\) 会改变偏振态吗？

5. K03 吸收： 为什么 transmission axis 常垂直于吸收分子链？

6. K03 散射： 单次 Rayleigh scattering 在 \(90^\circ\) 方向为何可强线偏振？

7. K04 计算： 光从水 \(n_1=1.333\) 入射玻璃 \(n_2=1.520\)，求 Brewster angle。

8. K04 反推： 测得 \(\theta_B=60.0^\circ\)，若 \(n_1=1.00\)，求 \(n_2\)。

9. K04 判断： Brewster incidence 下 reflected light 的 electric field 相对 incidence plane 是什么方向？

10. 综合鉴别： 只旋转一个 ideal linear analyzer，发现 transmitted intensity 不随角度变化；能否据此区分 circular polarized 与 unpolarized light？

Exit ticket / 离堂检核

1. 从 \(E_x=A\cos\psi\) 与 \(E_y=B\cos(\psi+\delta)\) 消去 \(\psi\)，写出 ellipse equation，并列出 linear/circular 的充要条件。
2. 从 Fresnel \(r_p=0\) 和 Snell law 推导 \(\theta_B+\theta_t=90^\circ\) 与 \(\tan\theta_B=n_2/n_1\)，再解释 dipole picture。

References and source notes / 参考资料与来源说明

Source-to-content map

资料和链接实际核对日期：2026-08-28。所有例题与练习独立复算；TikZ 图为原创，旋向和未按比例的示意均已明确标注。

复习与拓展

• Polarization Devices and Formalisms：Malus law、birefringence、wave plates、Jones vectors 与 Stokes parameters。
• Reflection and Refraction：完整 s/p Fresnel amplitudes、power coefficients 与 total internal reflection。
• Coherence and Interferometry：相位稳定性与 polarization distinguishability 对 fringe visibility 的影响。
• Atmospheric optics：Rayleigh/Mie scattering、multiple scattering 与 polarimetric remote sensing。
• Quantum optics：single-photon polarization qubit 与 measurement basis。