Learning objectives / 学习目标
- 由 Snell law 推出 critical angle，并说明 ray picture 与 evanescent cladding field 的联系和边界。
- 推导 step-index fiber 的 numerical aperture 与 acceptance cone，判断外部介质改变的影响。
- 用 eigenmode、propagation constant、effective index 与 \(V\) number 判断 guided mode 和 single-mode cutoff。
- 区分 intermodal、material 与 waveguide dispersion，估算 pulse broadening 和 bandwidth。
- 在 dB 与线性功率之间转换，建立完整 link power budget 并识别 attenuation mechanism。
Prerequisites / 先修知识
- Reflection and Refraction：Snell law、critical angle、Fresnel boundary。
- Laser Principles：laser linewidth、pulse bandwidth 与 optical power。
- Helmholtz equation、边界条件、指数衰减和对数单位。
Scope and conventions / 范围与约定
- 主要模型为无源、各向同性、圆柱对称 step-index fiber：core radius \(a\)、\(n_1>n_2\)；外部入射介质折射率 \(n_0\)。
- Ray picture 只用于尺寸远大于波长且弱弯曲的直观推导；精确模式来自 Maxwell eigenproblem。
- 采用场因子 \(e^{i(\beta z-\omega t)}\)；guided mode 满足 \(n_2k_0<\beta<n_1k_0\)。
- \(V<2.405\) 的 single-mode criterion 只针对 weakly guiding circular step-index fiber；不能照搬到任意平板或高折射率对比波导。
- Attenuation 用 power law \(P(z)=P_0e^{-\alpha z}\)；若写 \(\alpha_{dB}\)，单位明确为 \(\mathrm{dB\,km^{-1}}\)。
- 所有图均为 schematic, not to scale；弯曲图不用于定量判据。
Notation and modeling contract / 符号与建模契约
| Symbol | Meaning | SI unit |
|---|---|---|
| \(n_0,n_1,n_2\) | launch medium, core and cladding indices | 1 |
| \(a\) | core radius | m |
| \(\theta_c\) | core-to-cladding critical angle from the normal | rad or degree |
| \(\theta_a\) | acceptance half-angle from fiber axis | rad or degree |
| \(\mathrm{NA}\) | numerical aperture \(n_0\sin\theta_a\) | 1 |
| \(k_0\) | vacuum wavenumber \(2\pi/\lambda_0\) | \(\mathrm{m^{-1}}\) |
| \(\beta,n_{eff}\) | propagation constant and effective index | \(\mathrm{m^{-1}}\), 1 |
| \(V\) | normalized frequency | 1 |
| \(v_g,\beta_2,D\) | group velocity and dispersion measures | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\), \(\mathrm{s^2\,m^{-1}}\), \(\mathrm{s\,m^{-2}}\) |
| \(\alpha,\alpha_{dB}\) | power attenuation coefficients | \(\mathrm{m^{-1}}\), \(\mathrm{dB\,km^{-1}}\) |
Knowledge 1 — Guiding by total internal reflection / 全反射导光
Knowledge ID: P05-U07-L02-K01
从 core 向 cladding 入射，\(n_1>n_2\)。Snell law 为
\[n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_t.\]
当 \(\theta_t=90^\circ\) 时定义 critical angle：
\[\boxed{\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}}.\]
若从法线量的 \(\theta_i>\theta_c\)，没有传播折射波，发生 total internal reflection (TIR)。Ray picture 于是把 core 看作 light pipe。
波动观点更精确：cladding 内不是“完全没有场”，而是存在沿法向指数衰减的 evanescent field。设模式因子 \(e^{i\beta z}\)，横向波数满足
\[k_{\perp,1}^2=n_1^2k_0^2-\beta^2>0,\]
\[\kappa_2^2=\beta^2-n_2^2k_0^2>0.\]
所以 core 内振荡、cladding 内衰减，要求
\[\boxed{n_2k_0<\beta<n_1k_0}.\]
场穿入 cladding 的事实解释了 bend loss、evanescent sensing 与相邻波导耦合，也说明“全反射等于场在界面处为零”是错误的。
Knowledge 2 — Numerical aperture and acceptance cone / 数值孔径与接收锥
Knowledge ID: P05-U07-L02-K02
光从外部介质 \(n_0\) 进入平端 fiber。将端面 Snell law 与 core–cladding TIR 临界条件联立，对 meridional ray 得
\[n_0\sin\theta_a=\sqrt{n_1^2-n_2^2}.\]
定义
\[\boxed{\mathrm{NA}=n_0\sin\theta_a=\sqrt{n_1^2-n_2^2}}.\]
在空气中 \(n_0\simeq1\)，acceptance cone 半角为 \(\theta_a=\sin^{-1}(\mathrm{NA})\)。NA 同时衡量收光能力与归一化频率，但不是“光纤内部光线相对轴的最大角度”；两个角处在不同界面、由不同法线定义。
弱导近似常定义 relative index difference
\[\Delta=\frac{n_1-n_2}{n_1}\ll1.\]
于是
\[\mathrm{NA}=n_1\sqrt{1-(n_2/n_1)^2}\simeq n_1\sqrt{2\Delta}.\]
实际 coupling efficiency 还依赖 source mode 与 fiber mode 的空间、角度、偏振和相位重叠。落在 acceptance cone 内只是 ray-optics 必要条件，不保证高耦合，也不保证只激发 fundamental mode。
Knowledge 3 — Guided modes and cutoff / 导模与截止
Knowledge ID: P05-U07-L02-K03
Guided mode 是满足 Maxwell equations 与全部边界条件、横向分布在传播中只积累相位的本征解：
\[\mathbf E_m(x,y,z,t)=\operatorname{Re}\left[\mathbf e_m(x,y)e^{i(\beta_mz-\omega t)}\right].\]
它不是一条单独 ray，而是许多平面波成分的相干叠加。每个模式有离散 \(\beta_m\)、transverse field pattern 与 effective index
\[n_{eff,m}=\frac{\beta_m}{k_0}, \qquad n_2<n_{eff,m}<n_1.\]
Circular step-index fiber 的 normalized frequency 为
\[\boxed{V=k_0a\sqrt{n_1^2-n_2^2}=\frac{2\pi a}{\lambda_0}\mathrm{NA}}.\]
在 weak-guidance approximation 中，fundamental \(HE_{11}\) mode 没有有限 cutoff；下一组 \(LP_{11}\) 在 \(V=2.405\) 出现，因此
\[\boxed{V<2.405\quad\Rightarrow\quad\text{single-mode step-index fiber}.}\]
高 \(V\) 时导模总数（计偏振简并的量级）约 \(M\simeq V^2/2\)。这是渐近估算，不适用于 \(V\) 接近截止或高折射率对比结构。
Knowledge 4 — Modal and material dispersion / 模式与材料色散
Knowledge ID: P05-U07-L02-K04
Pulse 由一段频谱与可能多个模式组成。若不同成分 group delay 不同，输出展宽：
- intermodal dispersion：不同 \(m\) 有不同 \(v_{g,m}=(d\beta_m/d\omega)^{-1}\)；multimode fiber 特别显著；
- material dispersion：\(n(\omega)\) 随频率变化；同一模式的不同频率传播速度不同；
- waveguide dispersion：mode confinement 随频率变化，使 \(n_{eff}(\omega)\) 有几何贡献。
对单模窄带 pulse，在二阶近似下
\[\beta(\omega)\simeq\beta_0+\beta_1(\omega-\omega_0) +\frac12\beta_2(\omega-\omega_0)^2.\]
\(\beta_1=1/v_g\) 给 group delay，\(\beta_2=d^2\beta/d\omega^2\) 给 group-velocity dispersion (GVD)。通信中也常用
\[D=-\frac{2\pi c}{\lambda_0^2}\beta_2.\]
Step-index multimode fiber 的极端 meridional rays 给一阶 intermodal delay 量级
\[\frac{\Delta\tau}{L}\simeq\frac{n_1}{c}\left(\frac{n_1}{n_2}-1\right) \simeq\frac{n_1\Delta}{c}.\]
Graded-index profile 可让走较长几何路径的高阶 ray 在低折射率区域传播更快，从而抵消部分 delay。Single-mode fiber 消除 intermodal dispersion，但 material 与 waveguide dispersion 仍存在；“单模等于无色散”是错误的。
Knowledge 5 — Attenuation and optical communication / 衰减与光通信
Knowledge ID: P05-U07-L02-K05
Distributed attenuation obeys
\[\frac{dP}{dz}=-\alpha P, \qquad P(L)=P(0)e^{-\alpha L}.\]
若用 dB：
\[A_{dB}=10\log_{10}\frac{P_{in}}{P_{out}}=\alpha_{dB}L,\]
\[\alpha=\frac{\ln10}{10}\alpha_{dB}\]
（两者长度单位必须一致）。Silica fiber 的主要损耗包括 intrinsic/extrinsic absorption、Rayleigh scattering、macro/micro-bending、splice 和 connector loss。TIR 并不保证零损耗；材料与实际边界才决定 transmission window。
通信 link 还必须满足两个账本：
- power budget：transmitter power 减 fiber、splice、connector 与 engineering margin 后必须高于 receiver sensitivity；
- rise-time/dispersion budget：源、fiber 与 detector 的展宽不能让相邻 symbols 严重重叠。
Wavelength-division multiplexing (WDM) 可在一条单模 fiber 上放置多个 wavelength channels，但 channel spacing、laser linewidth、filter response、chromatic dispersion 与 nonlinear crosstalk 都要共同设计。
Worked Examples / 完整例题
Worked Example 1 — Numerical aperture and acceptance angle
Step-index fiber 在空气中入射，\(n_1=1.480\)、\(n_2=1.460\)。求 NA、acceptance half-angle 与 core–cladding critical angle。
研究对象： 平端、直的 meridional ray。
系统/参考系： fiber 静止，外部 \(n_0=1.000\)。
坐标： \(\theta_a\) 从 fiber axis 量；\(\theta_c\) 从界面法线量。
模型理由： step-index ray optics，忽略端面 Fresnel reflection。
\[\mathrm{NA}=\sqrt{1.480^2-1.460^2}=0.2425.\]
\[\theta_a=\sin^{-1}(0.2425)=14.0^\circ.\]
\[\theta_c=\sin^{-1}\left(\frac{1.460}{1.480}\right)=80.6^\circ.\]
检查： NA 无量纲且小于 1；\(\theta_c\) 很接近 grazing incidence，与弱折射率差一致；两个角的定义不同，不能相加或互换。三位有效数字。
Worked Example 2 — Single-mode check
Core radius \(a=4.10\,\mu\mathrm m\)、NA \(=0.140\)，工作波长 \(\lambda_0=1.55\,\mu\mathrm m\)。判断是否满足 step-index single-mode criterion。
研究对象： weakly guiding circular step-index fiber。
系统/参考系： fiber 静止，真空波长给定。
坐标： \(z\) 沿 fiber axis。
模型理由： 使用 \(V=2\pi a\mathrm{NA}/\lambda_0\) 与 \(2.405\) cutoff。
\[V=\frac{2\pi(4.10)(0.140)}{1.55}=2.33.\]
因为 \(2.33<2.405\)，理想模型下只有 fundamental \(LP_{01}\) family 被导引。
检查： \(\mu\mathrm m\) 相消，\(V\) 无量纲；若波长减小，\(V\) 增大并可能进入 multimode。由于离截止很近，制造公差和 bending 仍需工程裕量。
Worked Example 3 — Intermodal delay
长 \(L=2.00\,\mathrm{km}\) 的 step-index multimode fiber 有 \(n_1=1.480\)、\(n_2=1.460\)。用极端 ray 估算 intermodal delay spread 和粗略 bandwidth \(B\sim1/(2\Delta\tau)\)。
研究对象： 最快轴向 ray 与最慢临界 meridional ray。
系统/参考系： fiber 静止；忽略 material dispersion 与 loss。
坐标： \(+z\) 沿 fiber。
模型理由： ray-optics first-order estimate。
\[\Delta\tau\simeq\frac{Ln_1}{c}\left(\frac{n_1}{n_2}-1\right).\]
\[\Delta\tau=\frac{2000(1.480)}{2.998\times10^8} \left(\frac{1.480}{1.460}-1\right) =1.35\times10^{-7}\,\mathrm s.\]
\[B\sim\frac{1}{2\Delta\tau}=3.70\,\mathrm{MHz}.\]
检查： \(L/c\) 给时间；长度加倍则 delay 加倍、bandwidth 减半。\(135\,\mathrm{ns}\) 是极端-ray 估算，不是精确 impulse-response FWHM。
Worked Example 4 — Optical link power budget
Transmitter 输出 \(0.00\,\mathrm{dBm}\)；fiber 长 \(80.0\,\mathrm{km}\)，损耗 \(0.200\,\mathrm{dB\,km^{-1}}\)；connectors/splices 总损耗 \(2.00\,\mathrm{dB}\)。Receiver sensitivity 为 \(-22.0\,\mathrm{dBm}\)。求接收功率与 margin。
研究对象： 单 wavelength channel 的平均 optical power。
系统/参考系： 固定 link；忽略 amplifier 与 nonlinear penalty。
坐标： \(z\) 从 transmitter 到 receiver。
模型理由： 独立 dB losses 相加。
\[A_{fiber}=0.200\times80.0=16.0\,\mathrm{dB}.\]
\[P_{rx}=0.00-16.0-2.00=-18.0\,\mathrm{dBm}.\]
线性功率为
\[P_{rx}=1\,\mathrm{mW}\times10^{-18.0/10}=15.8\,\mu\mathrm W.\]
\[\text{margin}=(-18.0)-(-22.0)=4.00\,\mathrm{dB}.\]
检查： 损耗使 dBm 下降；\(-18\,\mathrm{dBm}\) 对应几十 \(\mu\mathrm W\) 合理；正 margin 仅说明 power budget 通过，不保证 dispersion/BER budget 通过。三位有效数字。
Lesson synthesis / 本课综合
从 ray 到 wave 的可靠路线是：先用 \(n_1>n_2\) 与 critical angle 建立 confinement 直觉；用端面几何得到 NA；随后放弃“每条 ray 独立”的假设，求满足边界条件的离散 modes 与 \(\beta\)；用 \(V\) 判断 mode count；再对 \(\beta_m(\omega)\) 求导得到 group delay 与 dispersion；最后把 attenuation、coupling、receiver sensitivity 和 symbol broadening放进 link budgets。NA、single-mode 与 low loss 是不同指标，任何一个都不能替代另外两个。
Formula-and-decision table / 公式与决策表
| Need | Formula | Conditions | Main caution |
|---|---|---|---|
| TIR threshold | \(\sin\theta_c=n_2/n_1\) | ray from \(n_1\) to lower \(n_2\) | angle measured from normal |
| numerical aperture | \(\mathrm{NA}=n_0\sin\theta_a=\sqrt{n_1^2-n_2^2}\) | meridional ray, flat face | acceptance is not coupling efficiency |
| guided propagation | \(n_2k_0<\beta<n_1k_0\) | lossless dielectric guide | exact modes require vector boundaries |
| normalized frequency | \(V=2\pi a\mathrm{NA}/\lambda_0\) | circular step-index fiber | \(a\) is radius, not diameter |
| single-mode test | \(V<2.405\) | weakly guiding circular step-index | geometry-specific criterion |
| group velocity | \(v_g=(d\beta/d\omega)^{-1}\) | differentiable dispersion branch | phase and group velocity differ |
| dB attenuation | \(A_{dB}=\alpha_{dB}L\) | same length unit | use 10 log for power |
Model boundaries / 模型边界
- Ray TIR omits finite core size, interference and vector boundary conditions; it cannot predict mode cutoff or polarization splitting。
- NA formula shown is for an ideal step-index flat face and meridional rays; skew rays and real launch optics require overlap integrals。
- \(LP\) labels and \(V=2.405\) criterion assume weak guidance; high-index-contrast integrated waveguides need full-vector solutions。
- Intermodal delay estimate uses two extreme rays; actual bandwidth depends on mode excitation、coupling and detector response。
- Single-mode operation removes intermodal but not material or waveguide dispersion。
- Exponential attenuation assumes linear, stationary loss; strong fields can add nonlinear absorption、Raman/Brillouin scattering。
- Power margin alone does not predict bit-error rate; noise、OSNR、dispersion and receiver electronics matter。
Misconception clinic / 误区诊所
- “全反射时 cladding 中完全没有场。” 仍有 evanescent tail，只是无向外传播的净法向功率。
- “NA 是 fiber 内 ray 的最大轴角。” NA 由外部 acceptance half-angle 定义；界面内外角不同。
- “落入 acceptance cone 就一定高效耦合。” 还要匹配 mode 的空间、相位和偏振。
- “Single-mode fiber 没有 dispersion。” 它仍有 material 与 waveguide dispersion。
- “TIR 意味光纤零损耗。” 材料吸收、Rayleigh scattering、弯曲和接头都会耗散或泄漏功率。
Practice and retrieval / 练习与提取
- K01： \(n_1=1.50\)、\(n_2=1.40\)，求 \(\theta_c\)。
Answer
\[\theta_c=\sin^{-1}(1.40/1.50)=69.0^\circ.\]
- K01： 为什么 TIR 下仍可用外置棱镜耦合到波导？
Answer
因为界面外有 evanescent field；当外置结构足够近并满足 propagation-constant matching 时，可通过 frustrated TIR 转移功率。
- K02： 空气中 NA \(=0.220\)，求 acceptance half-angle。
Answer
\[\theta_a=\sin^{-1}(0.220)=12.7^\circ.\]
- K02： 同一 fiber 浸入 \(n_0=1.33\) 的液体，NA 定义值是否改变？外部 \(\theta_a\) 呢？
Answer
Core/cladding 决定的 \(\mathrm{NA}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}\) 不变，但 \(\sin\theta_a=\mathrm{NA}/n_0\)，所以外部 acceptance angle 变小。
- K03： \(a=3.00\,\mu\mathrm m\)、NA \(=0.12\)、\(\lambda_0=1.30\,\mu\mathrm m\)，求 \(V\) 并判断模式。
Answer
\[V=\frac{2\pi(3.00)(0.12)}{1.30}=1.74<2.405,\] 因此理想 weak-guidance step-index 模型下为 single-mode。
- K03： Guided mode 的 \(n_{eff}\) 为什么必须介于 \(n_2\) 和 \(n_1\)？
Answer
\(n_{eff}<n_1\) 使 core 中有振荡横向波数，\(n_{eff}>n_2\) 使 cladding 中横向波数为虚数并指数衰减。
- K04： \(\beta_2>0\) 表示什么？它是否单独决定 pulse 变宽还是压缩？
Answer
它表示 normal GVD convention 下二阶谱相位曲率为正；对未预啁啾 pulse 通常展宽，但对已有相反 chirp 的 pulse 可能先压缩，故需连同输入谱相位判断。
- K04： 为什么 graded-index multimode fiber 可降低 intermodal dispersion？
Answer
高阶路径更长但更多经过低折射率、高速度区域，部分补偿几何路程差。
- K05： \(0.25\,\mathrm{dB\,km^{-1}}\) 的 fiber 经过 \(40\,\mathrm{km}\)，仅 fiber loss 后功率比是多少？
Answer
总损耗 \(10.0\,\mathrm{dB}\)，故 \[P_{out}/P_{in}=10^{-10/10}=0.100.\]
- K05： 一个 link 有 \(3\,\mathrm{dB}\) power margin，能否断言 BER 合格？
Answer
不能。还需检查 OSNR、receiver noise、chromatic/polarization-mode dispersion、filter penalty 和 nonlinear distortion。
Exit ticket / 离堂检核
- 对“增大 core radius”依次判断 NA、\(V\)、mode count 与 intermodal dispersion 的趋势，并说明哪些结论需要其他量不变。
- 为一条 100 km link 列出最少四项 power loss 和三项 pulse-broadening/noise 来源，明确哪些用 dB 相加、哪些不能。
References and source notes / 参考资料与来源说明
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| OpenStax University Physics Vol. 3, 1.4 Total Internal Reflection | TIR, critical angle, core/cladding and fiber applications | K01 | introductory ray model; this lesson adds evanescent fields |
| MIT OCW 3.46, Lecture 5: Waveguides | step-index fibers, \(V\) parameter, mode count and group velocity | K02–K04 | weak-guidance approximations identified explicitly |
| MIT OCW 6.974, Optical Fibres | guided waves, fiber modes, attenuation and communication context | K03–K05 | class-note field convention translated to \(e^{i(\beta z-\omega t)}\) |
| MIT OCW 6.974, Fundamentals of Photonics full class notes | integrated waveguides, modal dispersion, couplers and low-loss fibers | K03–K05 | numerical loss values treated as historical examples, not standards |
资料和链接实际打开核对日期：2026-08-29。正文重新组织；图示按本文方程与角度 convention 原创；所有例题与练习独立复算。
复习与拓展
- Nonlinear and Integrated Photonics：高 confinement 使 Kerr、frequency mixing 与 on-chip devices 增强。
- Optical communications：EDFA、coherent detection、WDM、dispersion compensation 与 nonlinear Shannon limits。
- Electromagnetic numerics：finite-difference eigenmode、FEM 与 beam-propagation method。
- Quantum photonics：single-photon wave packets、coupling loss 与 fiber decoherence。