非线性与集成光子学

Learning objectives / 学习目标

1. 把介质极化按 \(\chi^{(n)}\) 展开，解释 tensor、对称性、微扰条件和 superposition breakdown。
2. 从频率乘积推出 SHG、SFG、DFG 与 four-wave mixing 的频率关系，并用 phase matching 判断相干积累。
3. 由 \(n=n_0+n_2I\) 求 nonlinear phase，解释 self-phase modulation 与 GVD 的竞争。
4. 用 periodic eigenproblem、band gap、defect mode 与 coupled-mode theory 建立 photonic crystal 和 PIC 的统一图景。
5. 对转换效率、相位、耦合长度与尺度做量纲和极限检查。

Prerequisites / 先修知识

• Optical Fibers and Waveguides：guided mode、\(\beta(\omega)\)、effective area 与 dispersion。
• Laser Principles：peak power、pulse bandwidth、resonator enhancement。
• Coherence and Interferometry：相位积累与 coherence length。

Scope and conventions / 范围与约定

• 采用非磁、局域、瞬时或近瞬时介质的 macroscopic polarization expansion；延迟 Raman response 仅在边界中指出。
• 复场用 \(e^{i(kz-\omega t)}\)；实场由复表示取实部。频率 mixing 必须连同 complex conjugate 项判断。
• \(\chi^{(2)}\)、\(\chi^{(3)}\) 实际是 tensor；正文为突出物理先用 scalar effective coefficient，器件计算必须恢复偏振与晶轴投影。
• Undepleted-pump 与 slowly varying envelope approximation 只用于低转换效率的初级推导。
• Kerr coefficient \(n_2\) 的单位为 \(\mathrm{m^2\,W^{-1}}\)；不要与 cladding index \(n_2\) 混用，本课不使用后者。
• 所有 TikZ 均为原创 schematic, not to scale；band diagram 的曲线不代表特定材料数值。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Nonlinear polarization and susceptibility / 非线性极化与极化率

Knowledge ID: P05-U07-L03-K01

在线性光学中 \(\mathbf P=\varepsilon_0\boldsymbol\chi^{(1)}\mathbf E\)。强场下，bound charges 的恢复力非谐，局域响应可在工作点附近展开：

\[P_i=\varepsilon_0\left( \chi^{(1)}_{ij}E_j +\chi^{(2)}_{ijk}E_jE_k +\chi^{(3)}_{ijkl}E_jE_kE_l+\cdots\right).\]

重复指标表示求和。\(\chi^{(n)}\) 是 rank \(n+1\) tensor；允许哪些分量由晶体对称性、频率排列与偏振决定。若介质在 electric-dipole approximation 下有 inversion symmetry，\(\mathbf P(-\mathbf E)=-\mathbf P(\mathbf E)\)，所以 bulk \(\chi^{(2)}\) 必须为零；表面、界面、应变或高阶多极响应可打破此简单结论。

有效微扰参数可粗略写成 \(\lvert\chi^{(2)}E\rvert/\lvert\chi^{(1)}\rvert\)、\(\lvert\chi^{(3)}E^2\rvert/\lvert\chi^{(1)}\rvert\)。它们远小于 1 时级数截断才可信。共振附近 susceptibility 为 complex and dispersive，imaginary part 对应吸收或增益；超短脉冲中 response 还可有 memory，不能总把 \(P(t)\) 当瞬时 \(E(t)\) 的代数函数。

Knowledge 2 — Harmonic generation and frequency mixing / 谐波产生与频率混合

Knowledge ID: P05-U07-L03-K02

单频实场 \(E=E_0\cos\omega t\) 的平方为

\[E^2=\frac{E_0^2}{2}\left(1+\cos2\omega t\right).\]

因此 \(\chi^{(2)}\) 同时产生 optical rectification 的 DC polarization 和 second-harmonic polarization at \(2\omega\)。若输入含 \(\omega_1,\omega_2\)，交叉项产生

\[\omega_3=\omega_1+\omega_2\]

的 sum-frequency generation，以及

\[\omega_3=\lvert\omega_1-\omega_2\rvert\]

的 difference-frequency generation。\(\chi^{(3)}\) 可给 third harmonic 与 four-wave mixing，例如 \(\omega_4=\omega_1+\omega_2-\omega_3\)。

有正确频率还不够。沿长度 \(L\) 各位置生成的波必须相干同相叠加。SHG phase mismatch 为

\[\Delta k=k_{2\omega}-2k_\omega.\]

Undepleted plane-wave model 给转换强度的核心因子

\[I_{2\omega}\propto I_\omega^2L^2 \operatorname{sinc}^2\left(\frac{\Delta kL}{2}\right),\]

其中 \(\operatorname{sinc}x=\sin x/x\)，coherence length 为

\[\boxed{L_c=\frac{\pi}{\lvert\Delta k\rvert}}.\]

Birefringent phase matching、modal phase matching 或周期翻转 \(d_{eff}\) 的 quasi-phase matching 可补偿 mismatch。Momentum bookkeeping 由晶格 reciprocal vector 提供时，不能写成“动量不守恒”。

Knowledge 3 — Kerr effect and self-phase modulation / 克尔效应与自相位调制

Knowledge ID: P05-U07-L03-K03

在各向同性介质中，第三阶响应常表现为 intensity-dependent refractive index：

\[\boxed{n(I)=n_0+n_2I}.\]

长度 \(L\) 上积累 nonlinear phase

\[\phi_{NL}=k_0n_2\int_0^LI(z)\,dz.\]

若只有线性损耗且 \(I(z)=I_0e^{-\alpha z}\)，定义

\[L_{eff}=\frac{1-e^{-\alpha L}}{\alpha}, \qquad \phi_{NL}=k_0n_2I_0L_{eff}.\]

Waveguide 中常写 \(\phi_{NL}=\gamma P_0L_{eff}\)，近似 \(\gamma=n_2\omega_0/(cA_{eff})\)；高 confinement 小 \(A_{eff}\) 会增强非线性。

时间依赖相位使瞬时频率偏移。对 carrier convention \(e^{-i\omega_0t+i\phi_{NL}(t)}\)，

\[\delta\omega(t)=-\frac{d\phi_{NL}}{dt}.\]

Pulse 前沿和后沿获得相反 chirp，产生 self-phase modulation (SPM) 与谱展宽。SPM 本身在理想瞬时无损模型中主要改相位，不必直接改 intensity envelope；随后 GVD 把新谱相位转成时间波形变化。Sign of \(n_2\)、GVD 与输入 chirp 决定是压缩、展宽、soliton balance 还是 modulation instability。

Knowledge 4 — Photonic crystals and integrated optical circuits / 光子晶体与集成光路

Knowledge ID: P05-U07-L03-K04

Photonic crystal 是 dielectric function \(\varepsilon(\mathbf r)\) 在一、二或三维周期变化的结构。Maxwell eigenproblem 具有 Bloch solutions；某些频率区间没有相应传播 eigenmodes，形成 photonic band gap。Band gap 不是简单“所有方向都被 Bragg reflection”的口号：完整 gap 是否存在取决于维度、polarization、index contrast 与 crystal symmetry。

在周期结构中引入 point defect 可形成 localized cavity mode；line defect 可形成 waveguide band。它们允许在低折射率区导光、急弯、慢光或增强 light–matter interaction，但 disorder scattering、out-of-plane radiation 与 fabrication tolerance 会限制 \(Q\) 和 propagation loss。

Photonic integrated circuit (PIC) 把 waveguides、splitters、directional couplers、phase shifters、resonators、sources 与 detectors 集成在芯片上。两个相同、弱耦合 waveguides 的 coupled-mode equations 可写为

\[\frac{da_1}{dz}=-i\beta a_1-i\kappa a_2, \qquad \frac{da_2}{dz}=-i\kappa a_1-i\beta a_2.\]

若 \(a_1(0)=1,a_2(0)=0\) 且 phase matched，

\[P_1(z)=\cos^2(\kappa z), \qquad P_2(z)=\sin^2(\kappa z),\]

完整转移长度为 \(L_\pi=\pi/(2\kappa)\)。实际 PIC 的优势是尺寸、稳定性和可扩展制造；边界是 fiber-chip coupling loss、thermal crosstalk、sidewall roughness、dispersion 和材料平台不兼容。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Size of nonlinear polarization

Scalar effective model 中 \(\chi^{(1)}=2.00\)、\(\chi^{(2)}=2.00\,\mathrm{pm\,V^{-1}}\)，局域 peak field \(E=1.00\times10^7\,\mathrm{V\,m^{-1}}\)。比较线性与二阶 polarization expansion terms 的 peak magnitude。

研究对象： 均匀非磁 dielectric 的局域响应。
系统/参考系： 材料静止；取给定晶轴投影后的 scalar coefficient。
坐标： 电场沿有效非线性轴。
模型理由： 只比较 constitutive expansion 的 peak terms，不含 time-harmonic 的 \(1/2\) Fourier factor。

\[P^{(1)}=\varepsilon_0\chi^{(1)}E =(8.854\times10^{-12})(2.00)(1.00\times10^7) =1.77\times10^{-4}\,\mathrm{C\,m^{-2}}.\]

\[P^{(2)}=\varepsilon_0\chi^{(2)}E^2 =(8.854\times10^{-12})(2.00\times10^{-12})(1.00\times10^{14}) =1.77\times10^{-9}\,\mathrm{C\,m^{-2}}.\]

\[\frac{P^{(2)}}{P^{(1)}}=1.00\times10^{-5}.\]

检查： \(\chi^{(2)}E\) 无量纲；两项同为 \(\mathrm{C\,m^{-2}}\)。比值很小，支持微扰截断；若求实际 \(2\omega\) Fourier amplitude，还需计入 field representation 的系数。

Worked Example 2 — Phase mismatch and coherence length

SHG crystal 的 \(\Delta k=200\,\mathrm{m^{-1}}\)。求 coherence length，并在 \(L=10.0\,\mathrm{mm}\) 时求相对 perfect phase matching 的 \(\operatorname{sinc}^2\) 因子。

研究对象： Undepleted plane-wave SHG。
系统/参考系： crystal 静止，\(z\) 沿 propagation。
坐标： \(\Delta k=k_{2\omega}-2k_\omega>0\)。
模型理由： 忽略 absorption、walk-off、pump depletion 和 focusing。

\[L_c=\frac{\pi}{200}=1.57\times10^{-2}\,\mathrm m=15.7\,\mathrm{mm}.\]

\[x=\frac{\Delta kL}{2}=\frac{200(0.0100)}{2}=1.00.\]

\[\frac{I_{2\omega}(\Delta k)}{I_{2\omega}(0)} =\left(\frac{\sin1.00}{1.00}\right)^2=0.708.\]

检查： \(\Delta kL\) 无量纲；\(L\to0\) 时因子趋近 1；结果介于 0 和 1。三位有效数字。

Worked Example 3 — Kerr nonlinear phase

Silica-like medium 取 \(n_2=3.00\times10^{-20}\,\mathrm{m^2\,W^{-1}}\)，uniform intensity \(I=2.00\times10^{13}\,\mathrm{W\,m^{-2}}\)，\(L=10.0\,\mathrm{mm}\)，\(\lambda_0=1.55\,\mu\mathrm m\)。求 \(\Delta n\) 与 \(\phi_{NL}\)。

研究对象： 单色窄带 beam 的 instantaneous Kerr response。
系统/参考系： medium 静止；忽略 loss 和 diffraction。
坐标： \(+z\) 沿 beam。
模型理由： Uniform intensity，故 \(L_{eff}=L\)。

\[\Delta n=n_2I=(3.00\times10^{-20})(2.00\times10^{13}) =6.00\times10^{-7}.\]

\[\phi_{NL}=\frac{2\pi}{1.55\times10^{-6}} (6.00\times10^{-7})(0.0100)=2.43\times10^{-2}\,\mathrm{rad}.\]

检查： \(n_2I\) 无量纲，\(k_0\Delta nL\) 为 rad；\(I\to0\) 或 \(L\to0\) 时相位趋零。结果小，undepleted/weak-nonlinearity model 自洽。

Worked Example 4 — Directional-coupler length

两个 phase-matched identical waveguides 的 coupling coefficient \(\kappa=500\,\mathrm{m^{-1}}\)。光只从 guide 1 输入，求第一次 complete transfer 的长度，并求 \(L=1.00\,\mathrm{mm}\) 时 guide 2 的功率分数。

研究对象： 两个无损、互易、只支持单模的弱耦合 waveguides。
系统/参考系： 芯片静止；边界包含两条 guide。
坐标： \(z\) 沿共同 propagation direction。
模型理由： Constant real \(\kappa\)，无 phase mismatch。

\[L_\pi=\frac{\pi}{2\kappa}=\frac{\pi}{1000} =3.14\times10^{-3}\,\mathrm m=3.14\,\mathrm{mm}.\]

\[P_2(1.00\,\mathrm{mm})=\sin^2(500\times0.00100)=0.230.\]

检查： \(\kappa L\) 无量纲；\(L=0\) 时 \(P_2=0\)，\(L=L_\pi\) 时 \(P_2=1\)；无损模型满足 \(P_1+P_2=1\)。三位有效数字。

Lesson synthesis / 本课综合

统一建模链条为：先写 \(\mathbf P[\mathbf E]\) 并由 symmetry 选择允许的 \(\chi^{(n)}\)；展开输入频谱确定 nonlinear source 的频率；用 \(\Delta k\)、mode overlap 与 interaction length 判断能否相干积累；对于 \(\chi^{(3)}\) phase modulation，还要把 nonlinear phase 与 GVD 联立；进入集成平台后，用 periodic Maxwell bands 或 coupled-mode amplitudes 处理结构。高场、高 confinement、长 \(L_{eff}\) 和 resonant buildup 都能增强作用，但通常同时放大 absorption、dispersion、damage 或 fabrication sensitivity。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Susceptibility expansion may fail near damage, ionization, saturation or strongly nonperturbative coherent dynamics。
• Tensor symmetry statements assume electric-dipole bulk response; surfaces and magnetic/electric-quadrupole terms can allow otherwise forbidden signals。
• Undepleted-pump SHG ignores pump depletion and back-conversion; high conversion requires coupled nonlinear wave equations。
• \(\operatorname{sinc}^2\) formula assumes plane waves、uniform \(d_{eff}\) and no walk-off/absorption。
• Instantaneous Kerr model omits delayed Raman and thermal nonlinearities。
• Simple \(\gamma=n_2\omega/(cA_{eff})\) assumes a well-defined mode and weak vector corrections。
• Photonic band gap is geometry、direction and polarization dependent; a band gap along one symmetry line need not be complete。
• Two-mode coupler equations omit radiation modes、back-reflection、loss and wavelength-dependent mismatch。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “Nonlinear optics 不守能量。” Frequency mixing 满足能量 bookkeeping；介质和泵共同参与，phase matching 处理动量/相位积累。
2. “有 \(\chi^{(2)}\) 就必有高效 SHG。” 还需偏振投影、phase matching、mode overlap、足够 intensity 与合适长度。
3. “SPM 直接把脉冲在时间上压短。” SPM 主要加时间依赖相位；需 GVD 或外部 compressor 才把谱相位转成压缩。
4. “Photonic band gap 等同材料吸收。” Gap 是传播 eigenstates 的缺失；理想无损结构仍可反射而不耗散。
5. “集成化只把 bulk 元件缩小。” 几何 confinement、dispersion engineering 和 evanescent coupling 会产生新的设计自由度与边界。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01： Centrosymmetric bulk medium 在 electric-dipole approximation 下哪一最低阶非线性通常保留？

2. K01： 若 \(\chi^{(3)}E^2/\chi^{(1)}=0.2\)，把级数截到三阶是否显然可靠？

3. K02： \(\omega_1=200\,\mathrm{THz}\)、\(\omega_2=180\,\mathrm{THz}\)，SFG 与 DFG 频率是多少？

4. K02： \(\Delta k=0\) 时为何各薄片的 nonlinear field 可随 \(L\) 同相相加？

5. K02： \(\Delta k=50.0\,\mathrm{m^{-1}}\) 的 coherence length 是多少？

6. K03： \(n_2<0\) 表示 peak-intensity 区域的 index 如何变化？

7. K03： 有损 waveguide 中为何用 \(L_{eff}\) 而非几何 \(L\)？

8. K04： Point defect 与 line defect 在 photonic crystal 中分别常产生什么？

9. K04： Coupler 中 \(\kappa=250\,\mathrm{m^{-1}}\)，第一次 50:50 split 的最短长度是多少？

10. 综合： 为什么缩小 \(A_{eff}\) 能增强 Kerr phase，却也可能提高损耗与 damage risk？

Exit ticket / 离堂检核

1. 对一个 on-chip SHG device 写出效率设计必须同时检查的六项：material symmetry、polarization、intensity、phase matching、mode overlap、loss，并说明任一失败的后果。
2. 画出概念流程：input pulse → Kerr phase → broadened spectrum → dispersive compressor，并指出在哪一步能量谱幅与谱相位分别变化。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料和链接实际打开核对日期：2026-08-29。正文未复制来源图文；全部 TikZ 由本文模型原创；例题和练习独立复算。

复习与拓展

• Quantum optics：spontaneous parametric down-conversion、squeezing 与 integrated photon-pair sources。
• Frequency combs：Kerr microresonator、dispersion engineering 与 Lugiato–Lefever equation。
• Nanophotonics：topological bands、bound states in the continuum、metasurfaces 与 inverse design。
• 下一 Part：Classical Relativity and Its Limits 将从光速不变带来的经典时空冲突出发。