Learning objectives / 学习目标
- 判定一个参考系是否可在指定精度与范围内视为 inertial frame。
- 写出并应用一维、三维 Galilean transformation，区分事件、轨迹和坐标。
- 从变换微分推导 classical velocity addition 与 acceleration invariance。
- 证明只依赖相对位置与速度的 Newtonian mechanics 具有 Galilean invariance。
- 用 Maxwell 波动方程与光速变换展示经典时空结构的矛盾，并说明经典理论的适用边界。
Prerequisites / 先修知识
- 牛顿运动定律、相互作用力和惯性概念。
- 向量分量、时间导数、链式法则。
- 波速、波动方程以及真空中 \(c=1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\) 的含义。
- Waves in Media and Waveguides 中“波速相对于介质”的经典图景。
Scope and conventions / 范围与约定
- \(S\) 与 \(S'\) 均为直角惯性系；\(S'\) 相对 \(S\) 沿 \(+x\) 以恒速 \(v\) 运动，且两原点在 \(t=t'=0\) 重合。
- 本课先采用经典假设 \(t'=t\)；随后检验这一假设与电磁学是否相容。
- 物体相对 \(S,S'\) 的速度分别记为 \(\mathbf u,\mathbf u'\)；\(v\) 只表示参考系速度。
- 所有速度都相对某一明确参考系；“绝对速度”不是可直接测量的经典力学量。
- 地表实验室仅在尺度不大、时间不长且忽略地球自转/公转效应时近似为惯性系。
- SI 制；光速取 \(c=2.998\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)。
Notation and modeling contract / 符号与建模契约
| Symbol | Meaning | SI unit |
|---|---|---|
| \(S,S'\) | unprimed and primed reference frames | — |
| \((t,\mathbf r)\) | event coordinates in \(S\) | s, m |
| \((t',\mathbf r')\) | same event coordinates in \(S'\) | s, m |
| \(\mathbf v=v\hat{\mathbf x}\) | velocity of \(S'\) relative to \(S\) | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(\mathbf u,\mathbf u'\) | object velocity measured in \(S,S'\) | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(\mathbf a,\mathbf a'\) | object acceleration measured in \(S,S'\) | \(\mathrm{m\,s^{-2}}\) |
| \(c\) | vacuum electromagnetic-wave speed | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(\beta=v/c\) | dimensionless frame speed | 1 |
Knowledge 1 — Inertial frames and Galilean transformations / 惯性系与伽利略变换
Knowledge ID: P06-U01-L01-K01
惯性系是动力学定义，不是“看起来静止”
在 inertial frame 中，不受合外力的质点保持静止或匀速直线运动。若一个参考系相对已知惯性系只做匀速平移，则它也是惯性系；若它加速或转动，直接使用 \(\sum\mathbf F=m\mathbf a\) 就需加入惯性力。
对同一事件 \(P\)，图中两套坐标不是两个事件；它们是不同观察者赋予同一时空发生点的数值标签。
Galilean transformation
约定原点在 \(t=0\) 重合，则
\[\boxed{x'=x-vt,\qquad y'=y,\qquad z'=z,\qquad t'=t.}\]
逆变换由 \(v\to -v\) 得
\[x=x'+vt',\qquad y=y',\qquad z=z',\qquad t=t'.\]
向量形式是 \(\mathbf r'=\mathbf r-\mathbf v t\)。核心假设是 absolute time：所有惯性系共享同一个 \(t\)，且同一时刻的空间距离不变。
Galilean transformation 是空间随时间的 shear，不是普通空间旋转。它保留任意同时两点的距离差，因为 \(\Delta t=0\) 时 \(\Delta\mathbf r'=\Delta\mathbf r\)。
成立条件与边界： 该变换适合 \(\lvert v\rvert\ll c\) 的非相对论运动学；对声波还必须说明介质静止系。它不是“近似 Lorentz transformation 的唯一写法”而是包含绝对同时性的独立时空模型。
Knowledge 2 — Classical velocity addition / 经典速度合成
Knowledge ID: P06-U01-L01-K02
对 \(\mathbf r'=\mathbf r-\mathbf vt\) 求时间导数，且 \(dt'=dt\)：
\[\boxed{\mathbf u'=\mathbf u-\mathbf v}, \qquad \boxed{\mathbf u=\mathbf u'+\mathbf v}.\]
沿 \(x\) 方向即 \(u_x'=u_x-v\)；横向分量不变。此处是同一物体速度在两个参考系的关系，不能把两个相向物体在第三系中的 closing rate 自动当作其中一个物体测得的相对速度。
例如船相对水速 \(\mathbf u'\)，水相对岸速 \(\mathbf v\)，则船相对岸速 \(\mathbf u\)。这一模型适用于有物质介质且速度远小于 \(c\) 的经典输运。
限制： 如果把 \(u'=c\) 代入经典式，就得到 \(u=c+v\)，与真空光速的实验事实和 Maxwell 理论不相容。对一维速度变换，Galilean 结果相对 relativistic 结果的分数修正通常含 \(O(uv/c^2)\)；绝对速度修正还要乘相应速度尺度。
Knowledge 3 — Galilean invariance of Newtonian mechanics / 牛顿力学的伽利略不变性
Knowledge ID: P06-U01-L01-K03
再对速度求导：
\[\mathbf a'=\frac{d\mathbf u'}{dt'} =\frac{d(\mathbf u-\mathbf v)}{dt} =\mathbf a\]
因为惯性系之间 \(\mathbf v\) 为常量。因此若质量不随参考系改变、相互作用定律只依赖同时相对位置与相对速度，则
\[\sum\mathbf F'=m\mathbf a'=m\mathbf a=\sum\mathbf F.\]
这就是 Newtonian mechanics 的 Galilean covariance：方程形式相同，并非各观察者给粒子相同的位置或速度。
对两粒子 \(i,j\)，\(\mathbf r'_{ij}=\mathbf r'_i-\mathbf r'_j=\mathbf r_{ij}\)；因此像 Newton gravitation
\[\mathbf F_{ij}=-\frac{Gm_im_j}{r_{ij}^3}\mathbf r_{ij}\]
在变换下不变。总动量会改变：\(\mathbf P'=\mathbf P-M\mathbf v\)，但孤立系统的 \(d\mathbf P/dt=0\) 在两系中都成立。
边界： 若力依赖绝对速度或具有有限传播速度，简单的瞬时 Galilean force law 未必不变；电磁力正是关键反例。对加速或旋转参考系，\(\mathbf v\) 不再常量，出现额外惯性项。
Knowledge 4 — Conflict between Galilean transformations and electromagnetism / 伽利略变换与电磁学的冲突
Knowledge ID: P06-U01-L01-K04
真空 Maxwell equations 导出电磁波方程
\[\nabla^2\mathbf E-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}=0, \qquad c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}.\]
Galilean velocity addition 却要求沿 \(+x\) 的光在 \(S'\) 中速度为 \(c'=c-v\)。若 Maxwell equations 在两惯性系形式相同，它们各自又必须预言 \(c'=c\)。两者不能同时成立。
历史上的 luminiferous aether 假设给光指定介质静止系。Michelson–Morley interferometer 比较互相垂直两臂的往返传播时间；简单静止以太模型预言转动装置会改变相位，但观测没有给出所期待的“以太风”信号。
该实验不是“单独证明全部狭义相对论”，也不是爱因斯坦论证的唯一来源；它排除了重要类别的简单以太漂移模型。更深层的理论要求是：所有 inertial frames 中全部物理定律同形，同时真空光速不因源或观察者匀速运动而改变。实现它需要修改时间与空间的变换，而非修改每一次光学实验的装置细节。
Worked Examples / 完整例题
Worked Example 1 — Transforming one event
在 \(S\) 中事件 \(P\) 发生于 \(t=4.00\,\mathrm s\)、\(x=120\,\mathrm m\)。\(S'\) 以 \(v=20.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}\) 沿 \(+x\) 运动，原点在 \(t=0\) 重合。求 Galilean coordinates。
已知： \(t,x,v\)。
研究对象： 同一事件 \(P\)，不是运动粒子。
参考系与边界： 两惯性系，经典低速近似。
坐标： \(S'\) 沿 \(+x\)。
模型理由： \(v/c\approx6.7\times10^{-8}\)，相对论修正远小于给定精度。
方程与计算：
\[x'=x-vt=120-(20.0)(4.00)=40.0\,\mathrm m,\]
\[t'=t=4.00\,\mathrm s.\]
单位/有效数字： \(vt\) 为 m，结果三位有效数字。
方向与符号检查： \(S'\) 原点已前进 \(80.0\,\mathrm m\)，故事件相对它只在 \(+40.0\,\mathrm m\)。
极限检查： \(v\to0\) 时 \(x'\to x\)。
物理解释： 两观察者对事件位置不同，但经典理论规定发生时刻相同。
Worked Example 2 — Ball thrown on a moving train
列车相对地面以 \(18.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}\) 向东运动；乘客相对列车以 \(12.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)、向东偏北 \(60.0^\circ\) 投球。求地面系速度。
研究对象： 球。
系统/参考系： \(S\) 地面、\(S'\) 列车；空气阻力忽略。
坐标： 东为 \(+x\)，北为 \(+y\)。
模型理由： 速度远小于 \(c\)。
分量：
\[u_x'=12.0\cos60.0^\circ=6.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad u_y'=12.0\sin60.0^\circ=10.4\,\mathrm{m\,s^{-1}}.\]
\[u_x=u_x'+v=24.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad u_y=u_y'=10.4\,\mathrm{m\,s^{-1}}.\]
\[u=\sqrt{24.0^2+10.4^2}=26.2\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad \theta=\tan^{-1}\frac{10.4}{24.0}=23.4^\circ.\]
单位/有效数字： 三位有效数字。
检查： 横向速度保持，向东分量增加；若 \(v=0\) 恢复 \(12.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(60^\circ\)。
解释： 地面观察到“东偏北 \(23.4^\circ\)”，因为列车平移只增加东向分量。
Worked Example 3 — Why acceleration is invariant
在 \(S\) 中粒子轨迹 \(x(t)=2.00t^2+5.00t\,\mathrm m\)，\(S'\) 以 \(v=12.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}\) 沿 \(+x\)。分别求两系的速度和加速度。
研究对象： 质点。
参考系： 两个匀速惯性系。
模型： Galilean transformation。
计算：
\[x'=x-vt=2.00t^2-7.00t,\]
\[u=\frac{dx}{dt}=4.00t+5.00, \qquad u'=\frac{dx'}{dt}=4.00t-7.00=u-v,\]
\[a=\frac{du}{dt}=4.00\,\mathrm{m\,s^{-2}}, \qquad a'=\frac{du'}{dt}=4.00\,\mathrm{m\,s^{-2}}.\]
单位与符号： \(u'\) 可在早期为负，但曲率与加速度仍为正。
合理性： \(v\) 只改变一次导数的常数项，二次导数不变。
物理解释： 这正是 \(F=ma\) 在惯性系间保持形式的数学原因。
Worked Example 4 — Classical light-speed contradiction
一艘飞船以 \(v=0.100c\) 沿 \(+x\) 相对地球运动，并沿 \(+x'\) 发出真空光。比较 Galilean addition 与光速不变原则给出的地球测量值。
研究对象： 真空光脉冲。
参考系： \(S\) 地球、\(S'\) 飞船。
模型 A： 经典速度合成。
模型 B： Maxwell–Einstein 光速不变。
计算：
\[u_{\mathrm{Gal}}=c+0.100c=1.100c =3.30\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}.\]
\[u_{\mathrm{physical}}=c =2.998\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}.\]
检查： 两结果相差 \(0.100c\)；并非舍入误差。
极限： \(v/c\to0\) 时数值差变小，但原则性冲突仍存在。
解释： 若坚持 \(t'=t\)，光速就随观察者改变；若坚持所有惯性系测得 \(c\)，必须改变时空变换。
Lesson synthesis / 本课综合
经典相对性以 absolute time 为底座：\(\mathbf r'=\mathbf r-\mathbf vt\) 导出 \(\mathbf u'=\mathbf u-\mathbf v\) 与 \(\mathbf a'=\mathbf a\)，从而解释 Newtonian mechanics 的 Galilean invariance。Maxwell equations 却把真空波速固定为 \(c\)；经典速度合成会把它改成 \(c-v\)。因此问题不在牛顿力学“完全错误”，而在它是 \(\beta\ll1\) 的极限理论。下一课将用两条公设替换绝对时间结构。
Formula-and-decision table / 公式与决策表
| Need | Formula | Conditions | Main caution |
|---|---|---|---|
| transform an event classically | \(\mathbf r'=\mathbf r-\mathbf vt\), \(t'=t\) | inertial translation, \(\beta\ll1\) | same event, different coordinates |
| transform velocity | \(\mathbf u'=\mathbf u-\mathbf v\) | Galilean time | not valid for light |
| transform acceleration | \(\mathbf a'=\mathbf a\) | \(\mathbf v\) constant | fails for accelerating frames |
| test force-law covariance | \(\sum\mathbf F'=m\mathbf a'\) | masses and relative-position law invariant | velocity-dependent forces need separate check |
| Maxwell wave speed | \(c=1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\) | vacuum Maxwell equations | not a material-medium speed |
| estimate classical validity | \(\beta=\lvert v\rvert/c\ll1\) | desired accuracy specified | \(\gamma\)-based clock/length effects begin at \(O(\beta^2)\)；simultaneity and Doppler can contain \(O(\beta)\) terms |
Model boundaries / 模型边界
- “惯性系”是局域模型；地球表面并非严格惯性系。
- Galilean transformation 假定 absolute simultaneity；它不是高速度下的精确变换。
- \(\mathbf a'=\mathbf a\) 要求参考系相对速度为常量，且坐标轴不旋转。
- Newtonian gravity 的瞬时作用形式在 Galilean theory 内自洽，但不是 relativistic gravity。
- Closing speed 可以大于 \(c\) 而不代表任一物体在另一物体惯性系中的测量速度大于 \(c\)。
- Michelson–Morley null result 排除特定以太漂移预测，不应被描述为单项实验“证明全部相对论”。
Misconception clinic / 误区诊所
- “运动的参考系一定非惯性。” 匀速平移的参考系仍可惯性；关键是加速度与旋转。
- “相对性原理说所有观察者测得相同坐标。” 它要求物理定律同形，不要求 \(x,t,\mathbf u\) 数值相同。
- “Galilean transformation 只差一个速度加减，因此任何波都适用。” 介质波速相对介质，真空 Maxwell 波速不提供经典介质静止系。
- “\(\mathbf a'=\mathbf a\) 表示速度也相同。” 速度相差常量 \(\mathbf v\)，只有再求导才消失。
- “Michelson–Morley 是爱因斯坦理论的全部逻辑起点。” 它是重要历史证据；理论矛盾还直接来自 Maxwell covariance 与 Galilean time 的不相容。
Practice and retrieval / 练习与提取
- K01： \(S'\) 以 \(15\,\mathrm{m\,s^{-1}}\) 沿 \(+x\) 运动。事件 \((t,x)=(3.0\,\mathrm s,70\,\mathrm m)\) 的 \((t',x')\) 是多少？
Answer
\(t'=3.0\,\mathrm s\)，\(x'=70-(15)(3.0)=25\,\mathrm m\)。
- K01： 一辆汽车沿圆弯道匀速率行驶，其随车坐标系是否惯性？
Answer
不是。速度方向持续改变，存在向心加速度；直接使用 Newton 定律需引入惯性力。
- K02： 列车向东 \(25\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)，人相对列车向西跑 \(6\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)。相对地面速度？
Answer
取东为正，\(u=25+(-6)=19\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)，方向向东。
- K02： 河流向东 \(3.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)，船相对水正北 \(4.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)。求岸上速度大小与方向。
Answer
\(u=\sqrt{3^2+4^2}=5.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)，方向北偏东 \(\tan^{-1}(3/4)=36.9^\circ\)。
- K03： 由 \(x'=x-vt\) 证明 \(a_x'=a_x\)。
Answer
一次求导得 \(u_x'=u_x-v\)；\(v\) 为常量，再求导得 \(a_x'=a_x\)。
- K03： 总动量在两系是否数值相同？孤立系统动量守恒是否都成立？
Answer
数值不相同：\(\mathbf P'=\mathbf P-M\mathbf v\)。但 \(M,\mathbf v\) 常量，所以 \(d\mathbf P'/dt=d\mathbf P/dt=0\)，守恒形式相同。
- K03： 为什么旋转系中不能直接使用 \(\mathbf a'=\mathbf a\)？
Answer
轴方向随时间变化，求导还作用在基矢上，产生 Coriolis、centrifugal 等额外项。
- K04： 若 \(S'\) 以 \(0.20c\) 追赶沿 \(+x\) 的光，Galilean theory 预言什么光速？
Answer
\(c'=c-0.20c=0.80c\)，与真空光速不变冲突。
- K04： 写出 Maxwell 真空波速的量纲检查。
Answer
由波动方程系数 \(\mu_0\epsilon_0\) 必具有 \(\mathrm{s^2m^{-2}}\)，所以 \(1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\) 的单位为 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)。
- 综合： 一项实验只涉及 \(v=30\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)。估计 \(\beta^2\) 并判断通常是否需 SR 修正。
Answer
\(\beta=30/(2.998\times10^8)\approx1.0\times10^{-7}\)，故 \(\beta^2\approx1.0\times10^{-14}\)；普通精度下可忽略，但高精度计时仍需按误差预算判断。
Exit ticket / 离堂检核
- 从 \(t'=t\) 出发，用不超过三行推导说明为什么 \(F=ma\) 在匀速平移参考系间保持形式。
- 写出“Galilean light speed”与“Maxwell light speed”两条互相矛盾的预测，并指出下一课必须修改的经典假设。
References and source notes / 参考资料与来源说明
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| OpenStax University Physics Vol. 3, 5.1 Invariance of Physical Laws | inertial frames, post-Galilean conflict, Maxwell light speed | K01, K03–K04 | introductory treatment; this note makes frame sign convention explicit |
| MIT OCW 8.033, Full Lecture Notes: Introduction to Relativity and Spacetime Physics | Galilean transformation, covariance, transition to Lorentz structure | K01–K04 | MIT notes use a different metric signature later; not yet needed here |
| MIT OCW 8.20, Introduction to Special Relativity resources | course sequence: events, Galilean transform, light, Michelson–Morley | K01–K04 | undergraduate course map and lecture resources |
| Harvard Physics, Morin, Chapter 11: Relativity (Kinematics) | Newtonian limit, transformation reasoning and worked-physics checks | K01–K04 | draft chapter; equations re-expressed in this note's SI notation |
| AIP Center for History of Physics, Einstein's Discovery of Relativity | historical relation among Lorentz theory, ether tests and Einstein's reasoning | K04 | historical analysis; not used as a formula source |
资料与链接实际打开核对日期：2026-08-29。正文为重新组织的教学表达；11 幅图均依据本课方程原创绘制，例题与练习均独立复算。
复习与拓展
- Einstein's Postulates：用两个公设替换绝对时间假设。
- Lorentz Transformation：Galilean shear 的低速极限与精确 Lorentz boost。
- Electric and Magnetic Fields Across Frames：电、磁场如何共同组成协变量。
- Equivalence and Curved Spacetime：局域惯性系与引力的关系。