洛伦兹变换 · Lorentz Transformation

Learning objectives / 学习目标

从线性、原点 worldline 与 light-cone invariance 推导 standard Lorentz boost。
使用矩阵与逆变换核对符号、单位和 $v\to0$ 极限。
由微分 Lorentz transform 推导纵向与横向 velocity transformation。
应用 relativistic Doppler 和 aberration 公式，并说明角度/速度正号约定。
用 invariant checks 验证数值结果不超光速、不破坏因果性。

Prerequisites / 先修知识

Time, Length, and Simultaneity 中 $\gamma$ 、simultaneity offset。
线性代数、全微分、链式法则、三角函数。
光频率、波长和 Doppler shift 的基础概念。

Scope and conventions / 范围与约定

Standard configuration： $$S'$$ 相对 $$S$$ 沿 $$+x$$ 以 $$v$$ 运动；原点在 $$t=t'=0$$ 重合。
从 $$S$$ 坐标变到 $$S'$$ ： $x'=\gamma(x-vt)$ 、 $t'=\gamma(t-vx/c^2)$ 。逆变换令 $v\to-v$ 。
$\beta=v/c$ 可带符号， $\gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}$ 只依赖 $\beta^2$ 。
Doppler/aberration 采用 photon 在 $$S$$ 中与 $$+x$$ 的夹角 $\theta$ ，在 $$S'$$ 中为 $\theta'$ ；频率变换 $f'=\gamma f(1-\beta\cos\theta)$ 。
度规使用 $$(+,-,-,-)$$ ，但本课主要从 light cone 和变换矩阵工作。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Symbol	Meaning	SI unit
$X=(ct,x,y,z)^{\mathsf T}$	event coordinate column	m
$v,\beta,\gamma$	frame speed, $$v/c$$ , Lorentz factor	$\mathrm{m\,s^{-1}}$ , 1, 1
$$u_i,u_i'$$	particle velocity components in $$S,S'$$	$\mathrm{m\,s^{-1}}$
$$f,f'$$	photon frequency in $$S,S'$$	Hz
$\theta,\theta'$	photon direction from $$+x,+x'$$	rad or degree

Knowledge 1 — Derivation and structure of Lorentz transformations / 洛伦兹变换的推导与结构

Knowledge ID: P06-U02-L02-K01

由均匀性到线性

Inertial worldlines 应映成 inertial worldlines；时空均匀性排除依赖绝对位置/时刻的系数。因此一维变换取线性形式。 $$S'$$ 原点满足 $$x=vt$$ 且必须映到 $$x'=0$$ ，故

$\[x'=A(v)(x-vt).\]$

Lorentz Transformation — 由均匀性到线性（图 1） — 图 1由均匀性到线性

同一发光事件在两系都满足 $x=\pm ct$ 与 $x'=\pm ct'$ 。代入上述形式，要求两条光线均映到同斜率光线，可得

$ct'=A(v)(ct-\beta x).$

相对性要求逆变换与正变换同形、只需 $v\to-v$ 。组合正逆得到

$A(v)^2(1-\beta^2)=1,$

且连续低速极限选正根 $A=\gamma$ 。所以

$\boxed{x'=\gamma(x-vt)},$

$\boxed{t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right)}, \qquad y'=y,\qquad z'=z.$

Lorentz Transformation — 由均匀性到线性（图 2） — 图 2由均匀性到线性

矩阵形式（坐标顺序 $$ct,x$$ ）：

$\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma&-\gamma\beta\\ -\gamma\beta&\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}.$

逆变换：

$x=\gamma(x'+vt'), \qquad t=\gamma\left(t'+\frac{vx'}{c^2}\right).$

Lorentz Transformation — 由均匀性到线性（图 3） — 图 3由均匀性到线性

自检：光锥与间隔

直接展开可验证

$\[c^2t'^2-x'^2=c^2t^2-x^2.\]$

因此 $x=\pm ct$ 映成 $x'=\pm ct'$ ；变换不会把 timelike 方向跨过 light cone。

Knowledge 2 — Lorentz factor and low-speed limit / 洛伦兹因子与低速极限

Knowledge ID: P06-U02-L02-K02

Lorentz factor

$\gamma(\beta)=\frac1{\sqrt{1-\beta^2}}$

是偶函数， $\gamma(-\beta)=\gamma(\beta)$ ；方向信息由 $\beta$ 的显式线性项携带。典型值： $\beta=0.6\Rightarrow\gamma=1.25$ ， $0.8\Rightarrow5/3$ ， $0.99\Rightarrow7.09$ 。

Lorentz Transformation — Knowledge 2 — Lorentz factor and low-speed limit / 洛伦兹因子与低速极限（图 4） — 图 4Knowledge 2 — Lorentz factor and low-speed limit / 洛伦兹因子与低速极限

Binomial expansion：

$\gamma=1+\frac12\beta^2+\frac38\beta^4+O(\beta^6).$

代入 Lorentz transform，在 $\beta\ll1$ 且精度只保留 leading classical terms 时

$x'\approx x-vt, \qquad t'\approx t-\frac{vx}{c^2}\approx t.$

第二个“ $\approx$ ”还需 $\lvert vx/c^2\rvert$ 小于计时精度；仅说速度小而空间基线极大并不自动保证同步修正可忽略。

Lorentz Transformation — Knowledge 2 — Lorentz factor and low-speed limit / 洛伦兹因子与低速极限（图 5） — 图 5Knowledge 2 — Lorentz factor and low-speed limit / 洛伦兹因子与低速极限

Knowledge 3 — Relativistic velocity addition / 相对论速度合成

Knowledge ID: P06-U02-L02-K03

从 differential transform

$dx'=\gamma(dx-vdt),$

$dt'=\gamma\left(dt-\frac{v\,dx}{c^2}\right)$

相除得从 $$S$$ 到 $$S'$$ 的纵向速度变换：

$\boxed{u_x'=\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2}}.$

横向分量因 $$dy'=dy$$ 但 $dt'\ne dt$ ：

$\boxed{u_y'=\frac{u_y}{\gamma(1-u_xv/c^2)}}, \qquad u_z'=\frac{u_z}{\gamma(1-u_xv/c^2)}.$

逆向纵向合成：

$\boxed{u_x=\frac{u_x'+v}{1+u_x'v/c^2}}.$

Lorentz Transformation — Knowledge 3 — Relativistic velocity addition / 相对论速度合成（图 6） — 图 6Knowledge 3 — Relativistic velocity addition / 相对论速度合成

若 $$u_x'=c$$ ，则 $$u_x=(c+v)/(1+v/c)=c$$ 。若 $\lvert u_x'\rvert<c$ 且 $\lvert v\rvert<c$ ，合成仍小于 $$c$$ 。低速极限 $u_x'v/c^2\ll1$ 恢复 $u_x\approx u_x'+v$ 。

Lorentz Transformation — Knowledge 3 — Relativistic velocity addition / 相对论速度合成（图 7） — 图 7Knowledge 3 — Relativistic velocity addition / 相对论速度合成

Knowledge 4 — Relativistic Doppler effect and aberration / 相对论多普勒效应与光行差

Knowledge ID: P06-U02-L02-K04

Photon phase 是 Lorentz scalar，或等价地 photon four-wavevector 变换给

$\boxed{f'=\gamma f(1-\beta\cos\theta)}.$

这里 photon 在 $$S$$ 中沿方向 $\theta$ ， $$S'$$ 向 $$+x$$ 。若 photon 沿 $$+x$$ 、 $$S'$$ 同向远离（ $\theta=0$ ），

$f'=f\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}$

为 redshift；若 photon 沿 $$-x$$ （ $\theta=\pi$ ），则 blueshift。

Lorentz Transformation — Knowledge 4 — Relativistic Doppler effect and aberration / 相对论多普勒效应与光行差（图 8） — 图 8Knowledge 4 — Relativistic Doppler effect and aberration / 相对论多普勒效应与光行差

对于 source 与 observer 以 approach speed $$v_a>0$$ 沿视线接近，常用形式是

$\frac{f_{obs}}{f_{src}} =\sqrt{\frac{1+v_a/c}{1-v_a/c}}.$

必须先说明“ $$v>0$$ 表示接近还是 $$S'$$ 向 $$+x$$ ”，否则红蓝移符号很容易反。

Aberration 由 photon velocity transformation 得

$\boxed{\cos\theta'=\frac{\cos\theta-\beta}{1-\beta\cos\theta}},$

$\boxed{\sin\theta'=\frac{\sin\theta}{\gamma(1-\beta\cos\theta)}}.$

Lorentz Transformation — Knowledge 4 — Relativistic Doppler effect and aberration / 相对论多普勒效应与光行差（图 9） — 图 9Knowledge 4 — Relativistic Doppler effect and aberration / 相对论多普勒效应与光行差

横向 photon（ $\theta=90^\circ$ ）在 $$S'$$ 中有 $\cos\theta'=-\beta$ ；即运动观察者把光源方向向运动前方集中（注意 photon propagation direction 与“看向光源”的方向相反）。天文 aberration 与 relativistic beaming 正是方向变换的几何后果。

Lorentz Transformation — Knowledge 4 — Relativistic Doppler effect and aberration / 相对论多普勒效应与光行差（图 10） — 图 10Knowledge 4 — Relativistic Doppler effect and aberration / 相对论多普勒效应与光行差

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Transforming an event

事件在 $$S$$ 中为 $ct=10.0\,\mathrm m$ 、 $x=6.00\,\mathrm m$ 。 $$S'$$ 以 $$v=0.600c$$ 沿 $$+x$$ 。求 $$(ct',x')$$ 并检查间隔。

研究对象： 同一事件相对共同原点。
参考系/坐标： standard boost； $\beta=0.600$ 、 $\gamma=1.25$ 。
模型： Lorentz transformation。
计算：

$ct'=\gamma(ct-\beta x)=1.25(10.0-0.600\times6.00)=8.00\,\mathrm m,$

$x'=\gamma(x-\beta ct)=1.25(6.00-0.600\times10.0)=0.$

间隔：

$(ct)^2-x^2=100-36=64\,\mathrm{m^2} =(ct')^2-x'^2.$

单位/有效数字： 三位有效数字。
解释： $$x'=0$$ ，所以该事件在 $$S'$$ 原点 worldline 上；其 proper time 为 $$8.00/c$$ 。

Worked Example 2 — Low-speed timing correction

两同步平台钟相距 $\Delta x=1000\,\mathrm{km}$ 。 $$S'$$ 以 $v=30.0\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ 沿 $$+x$$ 。平台中同时事件在 $$S'$$ 的时间差近似多少？

研究对象： 两个 spacelike events。
参考系： $$S$$ 中 $\Delta t=0$ 。
模型： $\gamma\approx1$ 但保留 relativity-of-simultaneity 一阶项。
计算：

$\Delta t'\approx-\frac{v\Delta x}{c^2} =-\frac{(3.00\times10^4)(1.00\times10^6)}{(2.998\times10^8)^2} =-0.334\,\mu\mathrm s.$

检查： 虽 $\beta=10^{-4}$ 很小，长基线使偏移达 sub-microsecond。
解释： $t'\approx t$ 的可用性取决于速度、基线和计时精度三者。

Worked Example 3 — Relativistic velocity composition

飞船相对地球以 $$0.700c$$ 向右，探测器相对飞船以 $$0.800c$$ 向右发射。求地球速度。

研究对象： 探测器。
参考系： $$u_x'=0.800c$$ 、 $$v=0.700c$$ 。
模型： 一维 relativistic addition。
计算：

$\frac{u_x}{c} =\frac{0.800+0.700}{1+(0.800)(0.700)} =\frac{1.500}{1.560}=0.962.$

$u_x=2.88\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}.$

检查： 小于 $$c$$ ；Galilean $$1.50c$$ 不可用。若任一速度为零，恢复另一速度。
有效数字： 三位。
解释： 分母编码时钟/空间变换并保护 invariant speed。

Worked Example 4 — Doppler shift and aberration

一束光在 $$S$$ 中频率 $f=5.00\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ，方向 $\theta=60.0^\circ$ 。 $$S'$$ 以 $$0.600c$$ 沿 $$+x$$ 。求 $$f'$$ 与 $\theta'$ 。

研究对象： photon wave four-vector。
参考系/角度： $\theta$ 从 photon propagation 的 $$+x$$ 方向量； $\gamma=1.25$ 。
模型： vacuum Doppler and aberration。
频率：

$f'=\gamma f(1-\beta\cos\theta) =(1.25)(5.00\times10^{14})(1-0.600\times0.500) =4.38\times10^{14}\,\mathrm{Hz}.$

方向：

$\cos\theta'=\frac{0.500-0.600}{1-0.600(0.500)}=-0.1429,$

$\theta'=98.2^\circ.$

检查： 同一变换给 $\sin\theta'=0.9897$ ，与 $\cos^2+\sin^2=1$ 一致。
解释： $$S'$$ 追赶 photon 的 $$+x$$ 分量而测得 redshift；传播方向跨到 $$x'<0$$ 分量。

Lesson synthesis / 本课综合

Lorentz transformation 由线性、frame-origin worldline、light-cone invariance 与 reciprocity 固定。它不是时间膨胀等现象的事后修补，而是一条同时作用于所有事件差分的坐标映射。速度由 $$dx/dt$$ 的比值变换；photon four-wavevector 的同一 boost 又给 Doppler 与 aberration。每一次应用都应先声明变换方向和 $\beta$ 符号，再用光速、间隔或低速极限自检。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Need	Formula	Conditions	Main caution
$S\to S'$ event boost	$x'=\gamma(x-vt)$ , $t'=\gamma(t-vx/c^2)$	$$S'$$ moves $$+v$$	inverse uses $v\to-v$
low-speed expansion	$\gamma\approx1+\beta^2/2$	$\beta\ll1$	long baselines can retain $$vx/c^2$$
longitudinal velocity	$$u_x'=(u_x-v)/(1-u_xv/c^2)$$	standard boost	do not use Galilean sum near $$c$$
transverse velocity	$u_y'=u_y/[\gamma(1-u_xv/c^2)]$	same event differentials	time denominator matters
photon frequency	$f'=\gamma f(1-\beta\cos\theta)$	$\theta$ is propagation direction in $$S$$	state sign convention
aberration	$\cos\theta'=(\cos\theta-\beta)/(1-\beta\cos\theta)$	vacuum photon	source-view direction is opposite photon direction

Model boundaries / 模型边界

Standard boost assumes parallel axes, common origin event and inertial relative motion.
General Lorentz transformations may include rotations, parity/time reversal;本课只用 proper orthochronous boost。
Coordinate transformation alone does not model acceleration or forces。
Doppler formulas assume monochromatic phase and inertial source/observer over the measurement interval。
Aberration formula maps propagation direction, not directly telescope image brightness；intensity beaming adds solid-angle and energy factors。
$$v=c$$ makes $\gamma$ divergent；不存在以光为静止原点的惯性 Lorentz frame。

Misconception clinic / 误区诊所

“逆变换把所有负号都删掉。” 正确做法是交换 primed/unprimed 并令 $v\to-v$ ；混用会错。
“ $\gamma$ 有方向。” $\gamma$ 是速度大小的偶函数；方向在 $\beta$ 线性项。
“横向速度不变，因为 $$y'=y$$ 。” $dt'\ne dt$ ，所以 $$u_y'$$ 一般改变。
“两个亚光速相加可超过 $$c$$ 。” relativistic denominator 保证合成仍亚光速。
“Doppler 红蓝移只看距离正在增减。” 斜向情况还含角度；必须用 $1-\beta\cos\theta$ 并声明 photon direction。

Practice and retrieval / 练习与提取

K01： $$v=0.600c$$ ，事件 $(ct,x)=(5.0,0)\,\mathrm m$ ；求 $$(ct',x')$$ 。

Answer

$ct'=1.25(5.0)=6.25\,\mathrm m$ ， $x'=1.25(0-0.6\times5.0)=-3.75\,\mathrm m$ 。

K01： 验证上题 interval。

Answer

原系 $s^2=25.0\,\mathrm{m^2}$ ；新系 $6.25^2-(-3.75)^2=25.0\,\mathrm{m^2}$ 。

K02： $\beta=0.10$ 时用精确式与 $1+\beta^2/2$ 算 $\gamma$ 。

Answer

精确 $$1.00504$$ ；近似 $$1.00500$$ ，相差约 $3.8\times10^{-5}$ 。

K02： 为什么 $t'\approx t$ 还需考虑空间基线？

Answer

因 $t'=\gamma(t-vx/c^2)$ ，即使 $\gamma\approx1$ ，若 $$x$$ 很大， $$vx/c^2$$ 仍可被高精度钟测出。

K03： $$u_x=0.90c$$ 、 $$v=0.50c$$ ；求 $$u_x'$$ 。

Answer

$$u_x'/c=(0.90-0.50)/(1-0.45)=0.727$$ 。

K03： 证明 $$u_x=c$$ 时任意 $\lvert v\rvert<c$ 都有 $$u_x'=c$$ 。

Answer

$$(c-v)/(1-v/c)=c$$ 。

K03： $$u_x=0$$ 、 $$u_y=0.60c$$ ， $$v=0.80c$$ ；求 $$u_y'$$ 。

Answer

$\gamma=5/3$ ，分母为 $\gamma$ ，故 $$u_y'=0.36c$$ ；同时 $$u_x'=-0.8c$$ ，合速度仍小于 $$c$$ 。

K04： Photon 沿 $$+x$$ ， $$S'$$ 以 $$0.60c$$ 同向；求 $$f'/f$$ 。

Answer

$\sqrt{(1-0.6)/(1+0.6)}=0.500$ ，redshift。

K04： Photon 在 $$S$$ 中横向 $\theta=90^\circ$ ， $$v=0.60c$$ ；求 $\cos\theta'$ 。

Answer

$\cos\theta'=(0-0.6)/(1-0)=-0.6$ ，故 $\theta'=126.9^\circ$ 。

综合： 写出从 $$S'$$ 回 $$S$$ 的矩阵，并说明为何其 determinant 为 1。

Answer

$\Lambda(-\beta)=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}$ ；determinant $\gamma^2(1-\beta^2)=1$ ，与可逆、保持间隔一致。

Exit ticket / 离堂检核

从 $$dx',dt'$$ 两式推导 $$u_x'$$ ；将 $$u_x=c$$ 代入并解释结果。
给定一个斜入射 photon，先画清 $$+x$$ 、 $\theta$ 、 $$v$$ ，再判断 frequency shift 的红蓝方向。

References and source notes / 参考资料与来源说明

Source-to-content map

Source	Used for	Knowledge ID / section	Model boundary or convention
OpenStax University Physics Vol. 3, 5.5 The Lorentz Transformation	standard boost, inverse, spacetime diagrams	K01–K02	formulas translated to stated $S\to S'$ convention
OpenStax University Physics Vol. 3, 5.6 Relativistic Velocity Transformation	longitudinal/transverse velocity formulas	K03	differentiable inertial coordinate map
OpenStax University Physics Vol. 3, 5.7 Doppler Effect for Light	longitudinal optical Doppler shift	K04	vacuum source/observer kinematics
MIT OCW 8.033, Full Lecture Notes	Lorentz matrix, light-cone invariance, photon frequency/direction transforms	K01–K04	MIT metric-sign convention translated to $$(+,-,-,-)$$
Harvard Physics, Morin, Chapter 11: Relativity (Kinematics)	boost derivation, velocity addition, rapidity preparation and problem checks	K01–K04	this note fixes $$ct,x$$ matrix order explicitly

资料与链接实际打开核对日期：2026-08-29。全部公式按本课 transformation direction 独立核对；10 幅图原创且 light rays 以等 $$x,ct$$ 尺度绘制。

复习与拓展

Spacetime Geometry：把矩阵不变量解释为几何。
Four-Vectors：Lorentz matrix 对一般 four-vector 的作用。
Energy, Momentum, and Reactions：photon Doppler 作为 four-momentum 的能量变换。
Electric and Magnetic Fields Across Frames：同一 boost 对 $\mathbf E,\mathbf B$ 的混合。

Need	Formula	Conditions	Main caution
$S\to S'$ event boost	$x'=\gamma(x-vt)$ , $t'=\gamma(t-vx/c^2)$	$\(S'\)$ moves $\(+v\)$	inverse uses $v\to-v$
low-speed expansion	$\gamma\approx1+\beta^2/2$	$\beta\ll1$	long baselines can retain $\(vx/c^2\)$
longitudinal velocity	$\(u_x'=(u_x-v)/(1-u_xv/c^2)\)$	standard boost	do not use Galilean sum near $\(c\)$
transverse velocity	$u_y'=u_y/[\gamma(1-u_xv/c^2)]$	same event differentials	time denominator matters
photon frequency	$f'=\gamma f(1-\beta\cos\theta)$	$\theta$ is propagation direction in $\(S\)$	state sign convention
aberration	$\cos\theta'=(\cos\theta-\beta)/(1-\beta\cos\theta)$	vacuum photon	source-view direction is opposite photon direction