Learning objectives
- 区分 intrinsic spin 与 orbital angular momentum，并写出共同角动量代数。
- 用 Stern–Gerlach 场梯度解释离散分束及连续分析器概率。
- 计算 Pauli 矩阵、本征态、投影算符和任意轴测量。
- 推导均匀磁场中的 Larmor precession 并校核符号。
- 把任意纯 qubit 态与 Bloch 球单位向量互相转换。
Prerequisites
需掌握 Orbital Angular Momentum 的角动量对易关系和旋转生成元，以及 Measurement and Uncertainty 的 Born rule。
Scope and conventions
以 spin-\(1/2\) 为核心，实验室轴为右手系。\(\mathbf S=\hbar\boldsymbol\sigma/2\)，磁矩写 \(\boldsymbol\mu=\gamma\mathbf S\)，Hamiltonian \(H=-\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B=-\gamma\mathbf S\cdot\mathbf B\)；\(\gamma\) 可带符号，因此进动方向必须从方程推导。SG 图均为 schematic，不按实际磁极几何比例。
Notation / modeling contract
| 符号 | 含义 | 约定 |
|---|---|---|
| \(\mathbf S\) | intrinsic angular momentum | 单位 \(\mathrm{J\,s}\) |
| \(\sigma_i\) | Pauli matrices | 无量纲 |
| \(\lvert\pm n\rangle\) | \(\mathbf S\cdot\hat n\) 本征态 | 本征值 \(\pm\hbar/2\) |
| \(\gamma\) | gyromagnetic ratio | 可正可负，单位 \(\mathrm{s^{-1}T^{-1}}\) |
| \(\mathbf r\) | Bloch vector | 纯态 \(\lvert\mathbf r\rvert=1\) |
P07-U05-L02-K01 — Intrinsic angular momentum / 内禀角动量
Knowledge ID: P07-U05-L02-K01
spin 是粒子的内禀量子自由度，不等于经典带电小球自转。它遵循 \([S_i,S_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}S_k\)，且 \(S^2\lvert s,m\rangle=\hbar^2s(s+1)\lvert s,m\rangle\)。电子有 \(s=1/2\)，任一轴投影只有 \(\pm\hbar/2\)。
图 1：spin 箭头是状态/测量几何，不是表面自转轴。
P07-U05-L02-K02 — Stern–Gerlach experiment / 斯特恩—盖拉赫实验
Knowledge ID: P07-U05-L02-K02
非均匀磁场给磁偶极近似力 \(F_z\approx\partial_z(\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B)\)。若入射束未极化，沿 \(z\) 分析得到两束而非连续带，显示 \(S_z\) 离散。SG 同时是制备与测量：选择 \(+z\) 出口即制备 \(\lvert+z\rangle\)。随后沿与 \(z\) 夹角 \(\theta\) 的轴测量，\(P(+n)=\cos^2(\theta/2)\)。
图 2：离散两束是投影量子化的直接表现。
图 3：屏上两峰而非连续分布。
图 4：改变分析轴会恢复概率分束。
P07-U05-L02-K03 — Spin one-half and Pauli matrices / 二分之一自旋与泡利矩阵
Knowledge ID: P07-U05-L02-K03
\[\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.\]
它们满足 \(\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}I+i\epsilon_{ijk}\sigma_k\)。任意轴投影 \(S_n=(\hbar/2)\hat n\cdot\boldsymbol\sigma\)，投影算符 \(P_{\pm n}=(I\pm\hat n\cdot\boldsymbol\sigma)/2\)。旋转为 \(R_n(\theta)=e^{-i\theta\hat n\cdot\boldsymbol\sigma/2}\)，体现 spinor 在 \(2\pi\) 旋转后变号、\(4\pi\) 后回到原 ket；全局负号对孤立态概率无影响，但干涉中相对号可见。
图 5：Pauli 乘法同时编码正交性与右手方向。
图 6：任意轴自旋态由 \(2\times2\) Hermitian 矩阵本征问题得到。
P07-U05-L02-K04 — Spin precession in magnetic fields / 磁场中的自旋进动
Knowledge ID: P07-U05-L02-K04
均匀静磁场中 \(H=-\gamma\mathbf S\cdot\mathbf B\)。Heisenberg 方程给
\[\frac{d\mathbf S}{dt}=\gamma\,\mathbf S\times\mathbf B.\]
若 \(\mathbf B=B\hat z\)，\(S_z\) 守恒，横向分量以角频率 \(\lvert\gamma B\rvert\) 进动。方向由 \(\gamma\) 符号和叉乘确定；不能只记“顺时针”。
图 7：进动保持与磁场夹角，但方向取决于 \(\gamma\)。
图 8：能级差的大小满足 \(\lvert\Delta E\rvert=\hbar\lvert\gamma\rvert B\)；能级次序随 signed \(\gamma\) 反转。
P07-U05-L02-K05 — Two-level systems on the Bloch sphere / 布洛赫球上的二能级系统
Knowledge ID: P07-U05-L02-K05
除总体相位外，纯态可写
\[\lvert\psi\rangle=\cos\frac\theta2\lvert+z\rangle+e^{i\phi}\sin\frac\theta2\lvert-z\rangle,\]
对应 \(\mathbf r=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)\)，且 \(\rho=(I+\mathbf r\cdot\boldsymbol\sigma)/2\)。任意轴测量概率 \(P(+n)=(1+\mathbf r\cdot\hat n)/2\)。混态在球内，本课只作边界提示。
图 9：半角在 spinor 中，几何角在 Bloch vector 上。
图 10：任意二能级 Hamiltonian（去掉单位阵项）使 Bloch vector 绕有效场旋转。
Worked Examples
Example 1 — 斜轴 SG 概率
已知：制备 \(\lvert+z\rangle\)，分析轴与 \(z\) 夹角 \(60.0^\circ\)；对象 spin-\(1/2\)；边界 单粒子一次测量；参考系 实验室轴；模型 理想 SG。\(P(+n)=\cos^2 30.0^\circ=0.750\)，\(P(-n)=0.250\)。概率无单位、三位有效数字、和为 1。\(\theta\to0\) 时 \(P(+)=1\)，\(\theta\to\pi\) 时为 0。物理上振幅依半角变化。
Example 2 — Pauli 期望值
已知 \(\lvert\psi\rangle=(\lvert+z\rangle+i\lvert-z\rangle)/\sqrt2\)；对象/边界 qubit；坐标 \(z\) 基；模型 Pauli 表示。直接矩阵乘得 \(\langle\sigma_x\rangle=0\)，\(\langle\sigma_y\rangle=1\)，\(\langle\sigma_z\rangle=0\)，故 Bloch vector 为 \(+y\)。无量纲、精确，长度为 1 检查纯态。相位 \(i\) 决定 \(y\) 方向而不改变 \(z\) 概率。
Example 3 — Larmor 数值
已知 \(\lvert\gamma\rvert=1.76\times10^{11}\,\mathrm{s^{-1}T^{-1}}\)，\(B=0.250\,\mathrm T\)；对象 自旋；边界 均匀静场；轴 \(+z\)；模型 Zeeman Hamiltonian。\(\omega_L=\lvert\gamma\rvert B=4.40\times10^{10}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\)，\(f=\omega/(2\pi)=7.00\times10^9\,\mathrm{Hz}\)。三位有效数字；量纲正确。\(B\to0\) 时频率归零；方向还需 \(\gamma\) 符号。结果是期望自旋的进动速率。
Example 4 — 从 Bloch vector 重建态
已知 \(\mathbf r=(0,\sqrt3/2,1/2)\)；对象/边界 纯 qubit；坐标 Bloch 球；模型 标准参数化。由 \(\cos\theta=1/2\) 得 \(\theta=\pi/3\)，且 \(x=0,y>0\) 得 \(\phi=\pi/2\)，故 \(\lvert\psi\rangle=(\sqrt3/2)\lvert+z\rangle+(i/2)\lvert-z\rangle\)。系数无量纲、精确；归一化与 \(\lvert r\rvert=1\) 均通过。总体相位仍任意。
Lesson synthesis
spin 用角动量代数定义 → SG 把投影变成空间分束 → Pauli 矩阵完成二能级计算 → Zeeman Hamiltonian 生成进动 → Bloch 球把态、测量轴和幺正旋转统一。每题先固定 \(\gamma\)、主动旋转和坐标符号。
Formula-and-decision table
| 任务 | 公式 | 条件与限制 |
|---|---|---|
| spin-\(1/2\) | \(S_i=\hbar\sigma_i/2\) | 二维 Hilbert 空间 |
| 任意轴测量 | \(P_{\pm n}=(I\pm\hat n\cdot\sigma)/2\) | 理想投影 |
| SG 力 | \(F_z\approx\partial_z(\mu\cdot B)\) | 缓变场、偶极近似 |
| Zeeman 演化 | \(H=-\gamma S\cdot B\) | 均匀场，忽略其他耦合 |
| Bloch 概率 | \(P(+n)=(1+r\cdot n)/2\) | qubit density matrix |
Model boundaries
- 经典“自转球”不能解释电子 spin，且会引出不合理表面速度。
- SG 对自由电子的直接实现受 Lorentz force 等限制；历史实验用中性原子束。
- \(H=-\gamma\mathbf S\cdot\mathbf B\) 忽略超精细、轨道与时间依赖场。
- Bloch 球只完整表示二能级密度算符；更高 spin 需要更高维状态空间。
Misconception clinic
- “spin 箭头是粒子的实际小轴”：它编码测量统计和旋转变换。
- “未极化束包含一半预存向上、一半向下”：不同轴的 SG 序列排除简单共同预存投影图景。
- “\(2\pi\) 旋转后物理态不同”：孤立 ket 只差全局负号；相对相位实验可探测 spinor 特征。
- “进动方向只由 \(B\) 决定”：还取决于 gyromagnetic ratio 的符号。
Practice and retrieval
- 写出 spin-\(1/2\) 的 \(S^2\) 本征值。
- 未极化束通过理想 SG \(z\) 后两束比例是多少？
- \(\lvert+z\rangle\) 经 SG \(x\)，求两结果概率。
- 验证 \(\sigma_x^2=I\)。
- 计算 \([S_x,S_y]\)。
- 写出 \(\lvert+x\rangle\) 在 \(z\) 基的列向量。
- 若 \(\gamma>0\)、\(B=B\hat z\)，写出 \(d\mathbf S/dt\)。
- \(B\) 加倍时 Larmor 频率如何变？
- Bloch vector \(\mathbf r=(0,0,-1)\) 对应什么态？
- 纯态与最大混态在 Bloch 球上分别位于哪里？
Answers
- \(s(s+1)\hbar^2=3\hbar^2/4\)。
- 各 \(1/2\)。
- 各 \(1/2\)。
- 直接相乘得单位阵。
- \([S_x,S_y]=i\hbar S_z\)。
- \((1,1)^T/\sqrt2\)。
- \(d\mathbf S/dt=\gamma\mathbf S\times B\hat z\)。
- 加倍。
- \(\lvert-z\rangle\)。
- 纯态在球面；最大混态 \(I/2\) 在球心。
Exit ticket
设计 \(z\to n\to z\) 三级 SG 序列，给出各出口概率，并用 Bloch 球解释为何中间测量改变最后一级统计。
References and source notes
均于 2026-08-29 实际打开核验。
- MIT OCW, 8.05 Quantum Physics II — Lecture Notes 2.
- MIT OCW, 8.321 Quantum Theory I — Lecture 3 Notes.
- MIT OCW, 8.321 Quantum Theory I — Lecture 7 Notes.
- MIT OCW, 8.05 Quantum Physics II — Assignment 3.
- MIT OCW, 8.321 Quantum Theory I — Lecture 1 Notes.
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| MIT 8.05 Ch2 | spin, SG, Pauli matrices | K01–K03 | spin-\(1/2\) convention |
| MIT 8.321 L3 | Bloch sphere and arbitrary axis | K03, K05 | pure-state parameterization |
| MIT 8.321 L7 | Zeeman splitting and precession | K04 | signed \(\gamma\) retained |
| MIT 8.05 PS3 | SG sequences and rotations | K02–K05 | probability checks |
| MIT 8.321 L1 | sequential filters | K02 | ideal SG measurement |
复习与拓展
- 可扩展 mixed-state channels、Rabi oscillations、spin resonance 与 tomography。
- 与 Addition of Angular Momentum 的接口：多个 spin 或 \(L+S\) 需用 coupled basis。