Learning objectives
- 区分 product basis 与 coupled basis 的共同可观测量组。
- 用 Clebsch–Gordan coefficients 在两组正交基间变换并计算概率。
- 推导 triangle rule、\(M=m_1+m_2\) 与维数恒等式。
- 用 \(\mathbf L\cdot\mathbf S=[J^2-L^2-S^2]/2\) 计算 spin–orbit splitting。
Prerequisites
需掌握 Orbital Angular Momentum 的 ladder algebra 与 Spin 的 spin-\(1/2\) states、tensor-product 直觉和 Born rule。
Scope and conventions
令 \(\mathbf J=\mathbf J_1+\mathbf J_2\)，两子系统算符彼此对易。采用 Condon–Shortley phase convention；不同资料可能整体改变某些 coupled ket 的相位，但概率不变。重点为两个角动量和 \(LS\) coupling；不展开 Wigner \(6j/9j\) 与 relativistic fine-structure 完整推导。
Notation / modeling contract
| 符号 | 含义 | 约定 |
|---|---|---|
| \(\lvert j_1m_1;j_2m_2\rangle\) | product basis | 对角化 \(J_1^2,J_{1z},J_2^2,J_{2z}\) |
| \(\lvert(j_1j_2)JM\rangle\) | coupled basis | 对角化 \(J_1^2,J_2^2,J^2,J_z\) |
| \(C^{JM}_{j_1m_1j_2m_2}\) | CG coefficient | 采用 Condon–Shortley 相位 |
| \(M\) | 总投影量子数 | \(M=m_1+m_2\) |
P07-U05-L03-K01 — Product and coupled bases / 直积基与耦合基
Knowledge ID: P07-U05-L03-K01
直积空间维数为 \((2j_1+1)(2j_2+1)\)。product basis 适合分别测量两个投影；coupled basis 适合总旋转对称 Hamiltonian。两组都是同一空间的完备正交基：
\[\lvert JM\rangle=\sum_{m_1,m_2}C^{JM}_{j_1m_1j_2m_2}\lvert j_1m_1;j_2m_2\rangle.\]
图 1：直积基枚举所有投影组合。
图 2：CG 变换是酉基变换，不创造或删除状态。
P07-U05-L03-K02 — Clebsch–Gordan coefficients / 克莱布什—戈尔丹系数
Knowledge ID: P07-U05-L03-K02
CG 系数是两基重叠 \(C^{JM}_{j_1m_1j_2m_2}=\langle j_1m_1;j_2m_2\rvert JM\rangle\)，仅当 \(M=m_1+m_2\) 时非零。系数满足正交归一。对两个 spin-\(1/2\)：
\[\lvert1,0\rangle=\frac{\lvert+-\rangle+\lvert-+\rangle}{\sqrt2}, \qquad \lvert0,0\rangle=\frac{\lvert+-\rangle-\lvert-+\rangle}{\sqrt2}.\]
相对正负号区分对称 triplet 与反对称 singlet。
图 3：四个 product states 重组为三维 \(J=1\) 与一维 \(J=0\) multiplet。
图 4：两个 spin-\(1/2\) 的完整 CG 变换；singlet 的相对负号来自所选相位约定。
图 5：CG 表可由最高权态、总 lowering operator 与正交化构造。
P07-U05-L03-K03 — Addition rules and allowed total angular momentum / 合成规则
Knowledge ID: P07-U05-L03-K03
允许总角动量为
\[J=\lvert j_1-j_2\rvert,\lvert j_1-j_2\rvert+1,\ldots,j_1+j_2, \qquad M=-J,\ldots,J.\]
维数检查：\(\sum_J(2J+1)=(2j_1+1)(2j_2+1)\)。triangle rule 是表示论结果，不意味着两根确定经典矢量仅取离散夹角。
图 6：triangle rule 的几何助记。
图 7：multiplet 维数按 \(2J+1\) 计数。
图 8：每个允许 \(J\) 包含完整的 \(M\) ladder。
P07-U05-L03-K04 — Spin–orbit coupling / 自旋—轨道耦合
Knowledge ID: P07-U05-L03-K04
若 \(H_{SO}=\lambda\mathbf L\cdot\mathbf S\) 且 \(\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S\)，则
\[\mathbf L\cdot\mathbf S=\frac12(J^2-L^2-S^2),\]
故 \(\lvert l,s;j,m\rangle\) 中
\[E_{SO}=\frac{\lambda\hbar^2}{2}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right].\]
\(\lambda\) 的单位为能量除以 \(\hbar^2\)，符号与径向物理有关。此模型给 \(j\) multiplet splitting，但真实原子精细结构还含 relativistic kinetic correction 与 Darwin term。
对 \(s=1/2\)，两个允许支分别为
\[E_{j=l+1/2}=\frac{\lambda\hbar^2l}{2}, \qquad E_{j=l-1/2}=-\frac{\lambda\hbar^2(l+1)}{2}.\]
它们通常不关于未耦合参考能量等幅分裂；\(l=0\) 时只有 \(j=1/2\) 一支。
图 9：\(l=1\) 示例按解析式给出不对称 spin–orbit splitting；简并加权中心保持在参考能量。
图 10：角动量耦合的可执行工作流。
Worked Examples
Example 1 — 两个 spin-\(1/2\) 的 coupled states
已知 \(j_1=j_2=1/2\)；对象 两个可区分 spin；边界 合成系统；量子化轴 \(z\)；模型 CG coupling。最高态 \(\lvert1,1\rangle=\lvert++\rangle\)；用 \(J_-=S_{1-}+S_{2-}\) 得 \(\lvert1,0\rangle=(\lvert+-\rangle+\lvert-+\rangle)/\sqrt2\)；正交归一的剩余 \(M=0\) 态是 \(\lvert0,0\rangle=(\lvert+-\rangle-\lvert-+\rangle)/\sqrt2\)。系数无量纲且精确；四态计数 \(3+1=4\)。交换对称性分别为正、负。
Example 2 — 从 product 态测总 \(J\)
已知 \(\lvert+-\rangle\)；对象/边界 两 spin-\(1/2\)；轴 \(z\)；模型 上述相位约定。反演得 \(\lvert+-\rangle=(\lvert1,0\rangle+\lvert0,0\rangle)/\sqrt2\)，故测 \(J^2\) 得 \(J=1\) 与 \(J=0\) 各概率 \(1/2\)。概率无单位、和为 1、精确。\(M=0\) 在两分支都成立，说明固定总投影不固定总大小。
Example 3 — \(1\oplus1/2\) 的允许值
已知 \(j_1=1,j_2=1/2\)；对象 两角动量；边界 直积空间；轴 \(z\)；模型 triangle rule。允许 \(J=3/2,1/2\)。维数检查 \((3)(2)=6\)，而 \((2J+1)\) 之和 \(4+2=6\)。所有量子数精确、无单位。若较小角动量趋于 0，只剩 \(J=j_1\)，符合极限。物理上空间分解为一个 quartet 与一个 doublet。
Example 4 — \(l=1,s=1/2\) 的 spin–orbit splitting
已知 \(H_{SO}=\lambda L\cdot S\)；对象 单电子角自由度；边界 固定 \(l=1,s=1/2\)；轴 任意，能量与 \(m\) 无关；模型 纯 \(LS\) coupling。对 \(j=3/2\)，括号为 \(15/4-2-3/4=1\)，故 \(E_{3/2}=\lambda\hbar^2/2\)；对 \(j=1/2\)，括号为 \(3/4-2-3/4=-2\)，故 \(E_{1/2}=-\lambda\hbar^2\)。分裂 \(E_{3/2}-E_{1/2}=3\lambda\hbar^2/2\)。单位为 J，结果精确；按简并度加权重心 \(4(1/2)+2(-1)=0\)，是独立校核。能级顺序随 \(\lambda\) 符号变化。
Lesson synthesis
先选空间与基 → 用 \(M=m_1+m_2\) 筛零项 → 用最高权态和 lowering 构造 CG 系数 → 以 triangle rule 与维数恒等式全局检查 → 对只依赖 \(J^2\) 的耦合转到 coupled basis。相位约定改变 ket 表达式，不改变概率和能谱。
Formula-and-decision table
| 任务 | 公式 | 条件与限制 |
|---|---|---|
| 总角动量 | \(\hat{\mathbf J}=\hat{\mathbf J}_1+\hat{\mathbf J}_2\) | 两子空间算符彼此对易 |
| 允许 \(J\) | \(\lvert j_1-j_2\rvert\le J\le j_1+j_2\) | 以整数步进 |
| 投影规则 | \(M=m_1+m_2\) | 非零 CG 的必要条件 |
| 基变换 | \(\lvert JM\rangle=\sum C\lvert m_1m_2\rangle\) | 固定相位约定 |
| spin–orbit | \(\hat{\mathbf L}\cdot\hat{\mathbf S}=(\hat J^2-\hat L^2-\hat S^2)/2\) | \(\hat{\mathbf J}=\hat{\mathbf L}+\hat{\mathbf S}\) |
Model boundaries
- CG 系数的个别符号依相位约定；跨资料比较前先统一 convention。
- triangle 图不是经典矢量隐变量模型。
- identical particles 还须结合 boson/fermion exchange symmetry。
- 简单 \(\lambda L\cdot S\) 不等于完整 relativistic fine structure；强场下 \(LS\) coupling 也可能失效。
Misconception clinic
- “product basis 与 coupled basis 是不同系统”：它们只是同一空间的不同完备基。
- “\(J\) 只能等于 \(j_1+j_2\)”：还包括至 \(\lvert j_1-j_2\rvert\) 的全部整数步值。
- “CG 系数就是概率”：系数是振幅，概率为模平方。
- “spin–orbit 分裂顺序固定”：顺序依 \(\lambda\) 符号及具体原子物理。
Practice and retrieval
- 写出 product basis 与 coupled basis 各自共同对角化的算符组。
- 两个 spin-\(1/2\) 的直积空间维数是多少？
- 为什么 CG 系数在 \(M\ne m_1+m_2\) 时为零？
- 将 \(\lvert-+\rangle\) 写成 singlet/triplet 叠加。
- \(j_1=2,j_2=1\) 时允许哪些 \(J\)？
- 检查上一题的维数恒等式。
- \(j_1=3/2,j_2=1/2\) 时总空间分成哪些 multiplets？
- 求 singlet 中 \(\langle S_{1z}+S_{2z}\rangle\)。
- 推导 \(L\cdot S=(J^2-L^2-S^2)/2\)。
- 对 \(l=0,s=1/2\)，spin–orbit 能量是多少？
Answers
- product：\(J_1^2,J_{1z},J_2^2,J_{2z}\)；coupled：\(J_1^2,J_2^2,J^2,J_z\)。
- \(2\times2=4\)。
- 因 \(J_z=J_{1z}+J_{2z}\)，不同本征值子空间正交。
- \(\lvert-+\rangle=(\lvert1,0\rangle-\lvert0,0\rangle)/\sqrt2\)。
- \(J=1,2,3\)。
- \(3+5+7=15=(5)(3)\)。
- \(J=2,1\)，维数 \(5+3=8\)。
- \(0\)；事实上该态 \(M=0\)。
- 展开 \(J^2=(L+S)^2=L^2+S^2+2L\cdot S\)。
- \(L=0\)，故 \(L\cdot S=0\)，能量修正为 0。
Exit ticket
从两个 spin-\(1/2\) 的四个 product states 出发，不查表构造 coupled basis，并说明如何用同一思路预测 \(L\cdot S\) 的能级分裂与简并度。
References and source notes
均于 2026-08-29 实际打开核验。
- MIT OCW, 8.05 Lecture 25 — Addition of Angular Momentum.
- MIT OCW, 8.321 Quantum Theory I — Lecture 21 Notes.
- NIST DLMF, §34.1 Clebsch–Gordan and 3j Notation.
- NIST DLMF, §34.14 Tables and Computation.
- MIT OCW, 8.05 Exam 2011 — Angular-Momentum Formula Reference.
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| MIT 8.05 L25 | addition and spin–orbit overview | K01–K04 | \(LS\) coupling focus |
| MIT 8.321 L21 | product/coupled bases, singlet/triplet, rules | K01–K03 | \(\hbar\) factors restored |
| NIST DLMF 34.1 | CG/3j notation and phase awareness | K02 | convention sensitivity |
| NIST DLMF 34.14 | tabulation/computation context | K02 | tables are aids, not derivation |
| MIT 8.05 exam | angular-momentum algebra cross-check | K03–K04 | standard operator convention |
复习与拓展
- 可扩展 exchange symmetry、\(jj\) coupling、Wigner symbols、selection rules 与 hyperfine coupling。
- 与 Central Potentials 的接口：中心势用 \(l,m\) 分离，氢样体系再引入 spin 与精细结构。