中心势 · Central Potentials

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

从三维定态薛定谔方程出发，说明为何中心势本征态可写成 $R_{E\ell}(r)Y_\ell^m(\theta,\phi)$ 。
通过 $$u(r)=rR(r)$$ 推导约化径向方程，并识别 centrifugal term 与 effective potential。
区分体积概率密度 $\lvert\psi\rvert^2$ 、径向概率密度 $\lvert u\rvert^2$ 与径向函数 $$R$$ 。
用 $$u(0)$$ 、无穷远可归一化性、节点与角动量量子数筛选物理解。
判断哪些简并由旋转对称性保证，哪些只属于 Coulomb 或各向同性谐振子等特殊势。

Prerequisites / 先修知识

Schrödinger Equation：定态方程、边界条件与概率流。
States, Bases, and Operators：共同本征态与厄米算符。
Orbital Angular Momentum： $\hat L^2$ 、 $\hat L_z$ 与 spherical harmonics。
Bound States in Wells：一维束缚态、节点与归一化。

Scope and conventions / 范围与约定

研究对象是质量为 $\mu$ 的非相对论、无自旋粒子；若来自两体问题， $\mu$ 是 relative coordinate 的 reduced mass。
势能 $$V(r)$$ 与时间无关且仅依赖 $r=\lvert\mathbf r\rvert$ ；因此 Hamiltonian 具有完整旋转对称性。
球坐标约定 $r\ge0$ 、 $0\le\theta\le\pi$ 、 $0\le\phi<2\pi$ ，体积元 $d^3r=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi=r^2dr\,d\Omega$ 。
采用 SI；角动量本征值保留 $\hbar$ 。Spherical harmonics 归一化为 $\int\lvert Y_\ell^m\rvert^2d\Omega=1$ 。
除非特别声明，讨论 bound states；scattering states 的 delta normalization 只作为边界提醒。
不在本课求解 Coulomb 特殊函数、精细结构或自旋；这些内容在下一课及后续单元处理。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Symbol	Meaning	SI unit
$r,\theta,\phi$	球坐标	m, rad, rad
$\mu$	粒子质量或两体约化质量	kg
$R_{E\ell}(r)$	径向函数， $\psi=RY$	$\mathrm{m^{-3/2}}$
$u_{E\ell}(r)=rR_{E\ell}(r)$	约化径向函数	$\mathrm{m^{-1/2}}$
$Y_\ell^m$	归一化 spherical harmonic	1
$\ell,m$	轨道角动量及其投影量子数	1
$$n_r$$	径向节点数	1
$V_{\mathrm{eff},\ell}$	对固定 $\ell$ 的有效势	J
$$P_r(r)$$	径向概率密度 $\lvert u(r)\rvert^2$	$\mathrm{m^{-1}}$

Knowledge 1 — Separation in spherical coordinates / 球坐标分离变量

Knowledge ID: P07-U06-L01-K01

中心势 Hamiltonian 为

$\hat H=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2+V(r).$

球坐标 Laplacian 可组织成 radial part 与 angular-momentum operator：

$\nabla^2 =\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) -\frac{\hat L^2}{\hbar^2r^2}.$

因为 $$V(r)$$ 在旋转下不变，

$[\hat H,\hat L^2]=0, \qquad [\hat H,\hat L_z]=0.$

于是可选取 $\hat H$ 、 $\hat L^2$ 、 $\hat L_z$ 的共同本征态：

$\psi_{E\ell m}(r,\theta,\phi) =R_{E\ell}(r)Y_\ell^m(\theta,\phi),$

$\hat L^2Y_\ell^m=\hbar^2\ell(\ell+1)Y_\ell^m, \qquad \hat L_zY_\ell^m=\hbar mY_\ell^m.$

这不是“把三维问题假装成一维”，而是利用 symmetry 把 Hilbert space 分解为不同 $\ell,m$ sector。每个 sector 仍有自己的径向微分方程。

Central Potentials — Knowledge 1 — Separation in spherical coordinates / 球坐标分离变量（图 1） — 图 1Knowledge 1 — Separation in spherical coordinates / 球坐标分离变量

上图强调： $$r$$ 是长度， $\theta,\phi$ 是方向。中心势只“看见” $$r$$ ；方向信息由 $Y_\ell^m$ 承担。

Central Potentials — Knowledge 1 — Separation in spherical coordinates / 球坐标分离变量（图 2） — 图 2Knowledge 1 — Separation in spherical coordinates / 球坐标分离变量

Knowledge 2 — Radial equation and effective potential / 径向方程与有效势

Knowledge ID: P07-U06-L01-K02

把 $\psi=RY$ 代入定态方程并使用 $\hat L^2$ 本征值，得到

$-\frac{\hbar^2}{2\mu} \left[ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left(r^2\frac{dR}{dr}\right) -\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}R \right] +V(r)R=ER.$

定义 $$u(r)=rR(r)$$ 。直接求导可得

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) =\frac{1}{r}\frac{d^2u}{dr^2}.$

因此

$-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2u}{dr^2} +V_{\mathrm{eff},\ell}(r)u=Eu,$

$V_{\mathrm{eff},\ell}(r) =V(r)+\frac{\hbar^2\ell(\ell+1)}{2\mu r^2}.$

第二项称 centrifugal term。它不是额外的真实相互作用，而是固定角动量 sector 中的 kinetic contribution。对 $\ell>0$ ，它在 $r\to0$ 时提供排斥屏障；对 $\ell=0$ 则消失。

Central Potentials — Knowledge 2 — Radial equation and effective potential / 径向方程与有效势（图 3） — 图 3Knowledge 2 — Radial equation and effective potential / 径向方程与有效势

若 $$E$$ 与 $V_{\mathrm{eff}}$ 相交，交点给出 semiclassical turning-point scale；但 exact quantum wave function 会穿入 classically forbidden region，不能把交点当硬墙。

Central Potentials — Knowledge 2 — Radial equation and effective potential / 径向方程与有效势（图 4） — 图 4Knowledge 2 — Radial equation and effective potential / 径向方程与有效势

Radial half-line is not an ordinary full-line problem

$$u$$ obeys一维形式，却只定义在 $r\ge0$ 。对 $$V(r)=o(1/r^2)$$ 、即原点处比 inverse-square 更弱的势，regular 物理解通常要求 $$u(0)=0$$ ；否则 $$R=u/r$$ 产生不可接受的原点奇异或 Hamiltonian domain 问题。若势含同阶 $$g/r^2$$ 项，indicial equation 与 admissible boundary condition 必须重新求解；吸引的奇异势还可能需要 self-adjoint extension，本课不展开。

Knowledge 3 — Radial probability and boundary behavior / 径向概率与边界行为

Knowledge ID: P07-U06-L01-K03

三维归一化为

$1=\int\lvert\psi\rvert^2d^3r =\int_0^\infty r^2\lvert R(r)\rvert^2dr \int\lvert Y_\ell^m\rvert^2d\Omega.$

角向已归一化后，

$\int_0^\infty\lvert u(r)\rvert^2dr=1.$

因此在 $$r$$ 到 $$r+dr$$ 的球壳中找到粒子的概率是

$dP_r=\lvert u(r)\rvert^2dr =r^2\lvert R(r)\rvert^2dr.$

这里 $\lvert\psi\rvert^2$ 是每单位体积的概率密度； $\lvert u\rvert^2$ 是每单位半径的概率密度。即使 $\lvert\psi\rvert^2$ 在原点最大，球壳体积趋零也可使 $$P_r(0)=0$$ 。

Central Potentials — Knowledge 3 — Radial probability and boundary behavior / 径向概率与边界行为（图 6） — 图 6Knowledge 3 — Radial probability and boundary behavior / 径向概率与边界行为

若原点附近 $$V(r)=o(1/r^2)$$ ，使它比 centrifugal term 更弱，代入 $u\sim r^s$ 得

$s(s-1)=\ell(\ell+1),$

所以 $s=\ell+1$ 或 $s=-\ell$ 。Regular branch 为

$u(r)\propto r^{\ell+1}, \qquad R(r)\propto r^\ell \quad(r\to0).$

若存在同阶 $$g/r^2$$ 势项，右端会改为 $\ell(\ell+1)+2\mu g/\hbar^2$ ；此时上述指数与原点边界条件均不能直接沿用。

Central Potentials — Knowledge 3 — Radial probability and boundary behavior / 径向概率与边界行为（图 7） — 图 7Knowledge 3 — Radial probability and boundary behavior / 径向概率与边界行为

对 bound state， $$u(r)$$ 还必须在 $r\to\infty$ 足够快衰减。对 scattering state，波函数不作普通平方归一化，而采用 delta/flux normalization；不能把两种规范混用。

Central Potentials — Knowledge 3 — Radial probability and boundary behavior / 径向概率与边界行为（图 8） — 图 8Knowledge 3 — Radial probability and boundary behavior / 径向概率与边界行为

Knowledge 4 — Quantum numbers in central potentials / 中心势中的量子数

Knowledge ID: P07-U06-L01-K04

对任意中心势，允许

$\ell=0,1,2,\ldots, \qquad m=-\ell,-\ell+1,\ldots,\ell.$

固定 $\ell$ 有 $2\ell+1$ 个 $$m$$ 值。因为 radial equation 不含 $$m$$ ，在没有外场且无自旋耦合时，同一径向态的这些 $$m$$ 态能量相同；这是旋转对称性保证的 degeneracy。

径向量子数 $n_r=0,1,2,\ldots$ 可取为 $$u(r)$$ 在 $0<r<\infty$ 的节点数。一般中心势能级写作 $E_{n_r\ell}$ ，会依赖 $$n_r$$ 与 $\ell$ ； $$m$$ 不进入。

Central Potentials — Knowledge 4 — Quantum numbers in central potentials / 中心势中的量子数（图 9） — 图 9Knowledge 4 — Quantum numbers in central potentials / 中心势中的量子数

特殊势具有额外 symmetry：

Coulomb potential 的非相对论能量只依赖 principal quantum number $n=n_r+\ell+1$ ，不同 $\ell$ 也简并。
三维各向同性谐振子能量只依赖 $N=2n_r+\ell$ 。
任意微小的非中心扰动、relativistic correction 或 spin coupling 都可能解除部分简并。

Central Potentials — Knowledge 4 — Quantum numbers in central potentials / 中心势中的量子数（图 10） — 图 10Knowledge 4 — Quantum numbers in central potentials / 中心势中的量子数

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Normalize a radial trial state and find its most probable radius

给定

$\psi(r,\theta,\phi)=Nre^{-r/a}Y_1^0(\theta,\phi), \qquad a>0,$

求 $$N$$ 与径向概率最大处。

已知与对象： 单粒子、中心势的某个 $\ell=1,m=0$ trial state； $$Y_1^0$$ 已角向归一化。
参考系与坐标： 势心静止的惯性系；球坐标， $r\ge0$ 。
模型理由： 只需概率归一化，不需要知道具体 $$V(r)$$ 。

归一化要求

$1=N^2\int_0^\infty r^4e^{-2r/a}dr.$

使用 $\int_0^\infty r^ne^{-\lambda r}dr=n!/\lambda^{n+1}$ ：

$\int_0^\infty r^4e^{-2r/a}dr =\frac{4!}{(2/a)^5}=\frac{3a^5}{4},$

$N=\frac{2}{\sqrt3\,a^{5/2}}.$

$$N$$ 单位为 $\mathrm{m^{-5/2}}$ ，与 $R=Nr e^{-r/a}$ 的 $\mathrm{m^{-3/2}}$ 一致。径向概率密度

$P_r(r)=r^2\lvert R\rvert^2=N^2r^4e^{-2r/a}.$

对 $$r>0$$ 求 logarithmic derivative：

$\frac{d}{dr}\ln P_r=\frac4r-\frac2a=0 \quad\Rightarrow\quad r_{\mathrm{mp}}=2a.$

检查与解释： $$P_r(0)=0$$ 、 $P_r(\infty)=0$ ，故内部驻点是最大值； $r_{\rm mp}$ 不是 $\lvert\psi\rvert^2$ 的峰值。

Worked Example 2 — Coulomb effective-potential minimum is not automatically an eigenenergy

取 $V(r)=-\alpha/r$ 、 $\ell=1$ ，求 $V_{\rm eff}$ 的 minimum scale，并以电子—质子 reduced mass 近似给出数值能标。

对象与系统： relative coordinate；系统边界含电子和质子，中心质心运动已分离。
模型： 非相对论 Coulomb 势，不含自旋、精细结构。
坐标： $$r$$ 从质心相对坐标原点向外。

$V_{\rm eff}(r)=-\frac\alpha r+\frac{\hbar^2\ell(\ell+1)}{2\mu r^2}.$

令导数为零：

$\frac{\alpha}{r_0^2}-\frac{\hbar^2\ell(\ell+1)}{\mu r_0^3}=0,$

$r_0=\ell(\ell+1)\frac{\hbar^2}{\mu\alpha} =\ell(\ell+1)a_\mu.$

对 $\ell=1$ ， $r_0=2a_\mu\approx1.06\times10^{-10}\,\mathrm m$ 。代回：

$V_{\rm eff,min} =-\frac{\mu\alpha^2}{2\hbar^2\ell(\ell+1)}.$

取 $\mu\approx m_e$ ， $\mu\alpha^2/(2\hbar^2)=13.6\,\mathrm{eV}$ ，故

$V_{\rm eff,min}\approx-6.80\,\mathrm{eV}.$

合理性与边界： 量纲分别为 m 与 J； $\ell$ 增大时 barrier 把 minimum 推远、变浅。这个 minimum 是有效势底，不是 exact energy eigenvalue； $\ell=1$ 的最低 Coulomb eigenstate 是 $$n=2$$ ，能量约 $-3.40\,\mathrm{eV}$ ，仍包含径向零点动能。

Worked Example 3 — Probability inside one length scale

给定归一化 $$s$$ -wave radial function

$R(r)=\frac{2}{a^{3/2}}e^{-r/a},$

求 $0\le r\le a$ 内的概率。

对象与坐标： 单粒子、 $\ell=0$ ；球壳概率积分。
模型： 已知归一化态；不把 $\lvert R\rvert^2$ 直接当每单位半径概率。

$P(r\le a)=\int_0^a r^2\lvert R(r)\rvert^2dr =\frac4{a^3}\int_0^a r^2e^{-2r/a}dr.$

令 $$x=2r/a$$ ：

$P=\frac12\int_0^2x^2e^{-x}dx =1-5e^{-2} =0.323.$

检查： 结果无量纲且在 $$0$$ 与 $$1$$ 之间；尽管 volume density 在原点最大，只有约 $32.3\%$ 的概率位于一个 $$a$$ 内，反映球壳因子 $$r^2$$ 。

Worked Example 4 — Separate symmetry-protected and accidental degeneracy

比较 generic central potential 与 nonrelativistic Coulomb potential 中 $$n=4$$ shell 的简并（忽略自旋）。

系统与模型： 单粒子、无外场、无自旋。Generic 情形仅假设旋转对称；Coulomb 另有特殊动力学对称性。

对固定 $\ell$ ，旋转对称保证

$g_m=2\ell+1.$

因此 generic central potential 中，若 $\ell=3$ 的某个径向能级已指定，它有 $$7$$ 个 $$m$$ 态；但不同 $\ell$ 通常不同能。

Coulomb 的 $$n=4$$ 允许 $\ell=0,1,2,3$ ，而能量只依赖 $$n$$ ：

$g_{n=4}=\sum_{\ell=0}^{3}(2\ell+1) =1+3+5+7=16.$

检查与解释： $$16=n^2$$ 。其中每个 fixed- $\ell$ 的 $$m$$ degeneracy 是 symmetry-protected；不同 $\ell$ 间的额外 degeneracy 可被非 Coulomb central correction 解除。若计入电子自旋且暂不计 spin coupling，总数再乘 $$2$$ 。

Lesson synthesis / 全课综合

中心势问题的可执行流程是：

确认对称性： 检查 $$V=V(r)$$ ，选择 $\hat H,\hat L^2,\hat L_z$ 共同本征态。
分离角向： 写 $\psi=R(r)Y_\ell^m$ ，先锁定 $\ell,m$ 。
约化径向： 定义 $$u=rR$$ ，构造 $V_{\rm eff}=V+\hbar^2\ell(\ell+1)/(2\mu r^2)$ 。
施加边界： regular potential 下 $$u(0)=0$$ ；bound state 在无穷远衰减并可归一化。
解释概率： 使用 $P_r=\lvert u\rvert^2$ ，不要漏掉球壳因子。
标记能级： generic 情形用 $(n_r,\ell,m)$ ；只在证明额外 symmetry 后引入特殊 principal number。

Central Potentials — Lesson synthesis / 全课综合（图 11） — 图 11Lesson synthesis / 全课综合

Formula-and-decision table / 公式—决策表

Decision	Formula	Use only when	Common trap
Separate variables	$\psi=R_{E\ell}Y_\ell^m$	$$V=V(r)$$ and no directional coupling	把非中心外场也强行分离
Build radial equation	$-\hbar^2u''/(2\mu)+V_{\rm eff}u=Eu$	$$u=rR$$	忘记 radial domain 是 $r\ge0$
Add centrifugal term	$V_{\rm eff}=V+\hbar^2\ell(\ell+1)/(2\mu r^2)$	fixed $\ell$ sector	把它叫作新外力
Normalize bound state	$\int_0^\infty\lvert u\rvert^2dr=1$	square-integrable state	对散射态使用普通归一化
Compute shell probability	$dP_r=\lvert u\rvert^2dr$	angular part normalized	用 $\lvert R\rvert^2dr$
Count projection states	$m=-\ell,\ldots,\ell$	exact rotational symmetry	误以为不同 $\ell$ 必然简并

Model boundaries / 模型边界

Nonrelativistic: 需要典型 kinetic energy $\ll\mu c^2$ ；强场、高 $$Z$$ 原子需 relativistic quantum theory。
Single-channel: 不含 spin、internal structure 或 coupled channels；这些自由度可改变 degeneracy 与 boundary matching。
Regular-origin assumption: $u\sim r^{\ell+1}$ 的推导要求 $$V(r)=o(1/r^2)$$ 。若含同阶 $$g/r^2$$ 项，indicial equation 与 admissible boundary condition 必须重新求解；更强奇异势还需单独讨论 Hamiltonian domain。
Bound-state normalization: 对 continuum state，应改用 delta normalization 与 flux，而不是把发散积分硬设为 $$1$$ 。
Central symmetry: 外电场、外磁场、晶格或非球形核会选择方向，通常解除 $$m$$ 简并。
Effective potential: turning points 与 minimum 提供图景，不等同于 exact eigenvalues；量子 kinetic energy 和 tunneling 仍在。

Misconception clinic / 误区诊所

“ $$R(r)$$ 就是径向概率密度。” 错。每单位半径概率是 $r^2\lvert R\rvert^2=\lvert u\rvert^2$ 。
“centrifugal term 是额外加入的经典力。” 错。它来自 angular kinetic operator 在 fixed- $\ell$ sector 的本征值。
“ $$u$$ 满足一维方程，所以 $$r$$ 可取负。” 错。Radial coordinate 的 domain 是半直线，并带原点边界条件。
“中心势的能量只依赖 $$n$$ 。” 只对具有额外对称性的特殊势成立；generic central energy 是 $E_{n_r\ell}$ 。
“ $$m$$ 简并永远存在。” 只有 Hamiltonian 保持完整旋转对称且无方向性耦合时才由 symmetry 保证。
“有效势 minimum 就是基态能量。” minimum 只是势能下界尺度；波函数 localization 还带来径向 kinetic energy。

Practice and retrieval / 练习与提取

K01｜推导题： 从球坐标 Laplacian 说明为什么 angular equation 的 separation constant 可写为 $\ell(\ell+1)$ 。
K01｜判断题： 势 $V(r,\theta)=kr^2+\lambda\cos\theta$ 是否仍允许能量本征态普遍写成单个 $R(r)Y_\ell^m$ ？说明理由。
K02｜建模题： 对 $V(r)=\frac12\mu\omega^2r^2$ 写出 $V_{\rm eff,\ell}$ ，并说明 $\ell>0$ 时 $r\to0$ 极限。
K02｜量纲题： 检查 $\hbar^2\ell(\ell+1)/(2\mu r^2)$ 的 SI 量纲。
K03｜归一化题： 若 $u(r)=Ar e^{-r/a}$ ，求 $$A$$ 。
K03｜概率题： 对上一题求 $r_{\rm mp}$ ，并说明它是否等于 $\lvert R\rvert^2$ 的峰位置。
K03｜边界题： regular potential 下， $\ell=2$ 时 $$u$$ 与 $$R$$ 在原点附近的 leading power 分别是什么？
K04｜计数题： 固定 $\ell=4$ 有多少个 $$m$$ 态？列出端点值。
K04｜概念题： 为什么 generic central potential 中相同 $$n_r$$ 、不同 $\ell$ 的态不必简并？
综合题： 某 bound state 的 $$u(r)$$ 在 $0<r<\infty$ 有两个节点且 $\ell=1$ 。给出可用的量子标签、 $$m$$ 值数目，并写出计算区间 $$[a,b]$$ 内概率的公式。

Answers / 答案

Angular part 是 $\hat L^2/\hbar^2$ ，要求单值、有限且在球面平方可积；其本征值谱为 $\ell(\ell+1)$ ， $\ell=0,1,2,\ldots$ 。
一般不可以。 $\lambda\cos\theta$ 破坏完整旋转对称并耦合不同 $\ell$ ；只能在特殊方法或展开后求解。
$V_{\rm eff,\ell}=\frac12\mu\omega^2r^2+\hbar^2\ell(\ell+1)/(2\mu r^2)$ ； $\ell>0$ 时第二项使 $V_{\rm eff}\to+\infty$ 。
$[\hbar^2/(\mu r^2)]=(\mathrm{J\,s})^2/(\mathrm{kg\,m^2})=\mathrm J$ 。
$1=A^2\int_0^\infty r^2e^{-2r/a}dr=A^2a^3/4$ ，故 $A=2/a^{3/2}$ ，单位 $\mathrm{m^{-3/2}}$ 。
$\lvert u\rvert^2\propto r^2e^{-2r/a}$ ，所以 $r_{\rm mp}=a$ 。而 $R=u/r=Ae^{-r/a}$ 的大小在 $$r=0$$ 最大，两者不同。
Regular branch： $u\sim r^{\ell+1}=r^3$ ， $R=u/r\sim r^2$ 。
$2\ell+1=9$ 个； $m=-4,-3,\ldots,3,4$ 。
旋转 symmetry 只消除 $$m$$ 对径向方程的影响；centrifugal term 仍依赖 $\ell$ ，所以不同 $\ell$ 通常有不同能量。
可标为 $(n_r=2,\ell=1,m)$ ； $$m=-1,0,1$$ 共 3 个。区间概率 $P(a\le r\le b)=\int_a^b\lvert u(r)\rvert^2dr$ 。

Exit ticket / 离堂检验

用三句话解释为什么 $$u=rR$$ 同时简化了微分方程和概率归一化，却没有把三维物理真的变成全实轴一维问题。
给出一个“由旋转对称保护的简并”和一个“只由特殊势额外对称产生的简并”，并说明扰动后谁更容易被解除。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下来源均于 2026-08-29 实际打开核验；正文为重新组织与独立推导，图示均由本课方程原创绘制。

Source-to-content map

Source	Used for	Knowledge ID / Section	Model boundary or convention
MIT 8.04 Lectures 20–21	spherical separation, reduced radial equation, $V_{\rm eff}$ , origin behavior	K01–K03	source notation translated to $\mu$ and SI
MIT 8.04 Lecture 17	central-potential physical picture and hydrogen bridge	K01–K04, synthesis	video-page claims checked against equations in the lesson
MIT 5.73 Lecture 28	radial boundary conditions, nodes, qualitative radial scaling	K02–K04	higher-order approximation material left for Unit 7.7
Rutgers Hydrogen II	radial versus volume probability and radial expectation examples	K03	normalization convention made explicit here
OpenStax 8.1	quantum numbers, spherical factorization, degeneracy bridge	K01, K04	introductory presentation extended to UG2 radial derivation

复习与拓展

下一课把 $V(r)=-e^2/(4\pi\epsilon_0r)$ 代入本课 radial equation，得到 hydrogen spectrum、orbitals 与 reduced-mass correction。
Unit 7.7 将用 perturbation theory 与 WKB 研究 generic central potential 无法精确求解时的能级与径向行为。
原子物理中外磁场、spin–orbit coupling 与多电子屏蔽会解除本课讨论的部分简并。

Decision	Formula	Use only when	Common trap
Separate variables	$\psi=R_{E\ell}Y_\ell^m$	$\(V=V(r)\)$ and no directional coupling	把非中心外场也强行分离
Build radial equation	$-\hbar^2u''/(2\mu)+V_{\rm eff}u=Eu$	$\(u=rR\)$	忘记 radial domain 是 $r\ge0$
Add centrifugal term	$V_{\rm eff}=V+\hbar^2\ell(\ell+1)/(2\mu r^2)$	fixed $\ell$ sector	把它叫作新外力
Normalize bound state	$\int_0^\infty\lvert u\rvert^2dr=1$	square-integrable state	对散射态使用普通归一化
Compute shell probability	$dP_r=\lvert u\rvert^2dr$	angular part normalized	用 $\lvert R\rvert^2dr$
Count projection states	$m=-\ell,\ldots,\ell$	exact rotational symmetry	误以为不同 $\ell$ 必然简并