定态近似方法

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 从 \(\hat H=\hat H_0+\lambda\hat V\) 推导非简并能量至二阶、态至一阶，并识别小分母。
2. 在简并子空间内构造并对角化 \(W_{ab}=\langle a\rvert\hat V\lvert b\rangle\)，解释 good basis 与能级劈裂。
3. 用 Rayleigh quotient 证明基态变分上界，选择含物理尺度的 trial state 并优化参数。
4. 由局域动量 \(p(x)\) 写出 WKB 允许区、禁阻区解，使用 turning-point connection formula 与量子化条件。
5. 对每种近似检查量纲、极限、小参数及边界条件，而不是只套公式。

Prerequisites / 先修知识

• States, Bases, and Operators：本征基、矩阵元与完备性。
• Quantum Harmonic Oscillator：梯算符与奇偶性。
• Hydrogen Atom：简并谱、径向尺度与可解基准。
• 数学：Hermitian matrix diagonalization、Taylor series、Gaussian integral 与常微分方程渐近思想。

Scope and conventions / 范围与约定

• 研究孤立、非相对论系统的定态 Schrödinger 问题；\(\lambda\) 是 bookkeeping parameter，最后通常取 \(1\)。
• \(\hat H_0\lvert n^{(0)}\rangle=E_n^{(0)}\lvert n^{(0)}\rangle\)，基矢正交归一；采用 intermediate normalization \(\langle n^{(0)}\vert n\rangle=1\)。
• WKB 只在一维 smooth potential 和 simple turning point 附近讨论；允许区用 \(p(x)=\sqrt{2m[E-V(x)]}\) 与 \(k(x)=p(x)/\hbar\)，禁阻区用 \(\kappa(x)=\sqrt{2m[V(x)-E]}/\hbar\)。
• SI 为默认单位；能量也可用 eV。trial state 必须属于 Hamiltonian 的定义域并满足必要边界条件。
• 本课不覆盖多参数 resummation、path-integral semiclassics、instanton 或数值微扰自动化。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Nondegenerate perturbation theory / 非简并微扰论

Knowledge ID: P07-U07-L01-K01

设目标未扰能级 \(E_n^{(0)}\) 非简并，展开

\[E_n=E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}+\lambda^2E_n^{(2)}+\cdots,\]

\[\lvert n\rangle=\lvert n^{(0)}\rangle+\lambda\lvert n^{(1)}\rangle+\cdots.\]

逐阶代入 eigenvalue equation，左乘 \(\langle n^{(0)}\rvert\) 得

\[E_n^{(1)}=V_{nn}, \qquad E_n^{(2)}=\sum_{m\ne n}\frac{\lvert V_{mn}\rvert^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}.\]

态修正为

\[\lvert n^{(1)}\rangle=\sum_{m\ne n}\frac{V_{mn}}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}\lvert m^{(0)}\rangle.\]

对基态，所有分母为负，因此 \(E_0^{(2)}\le0\)。这与 exact ground state energy 允许通过 mixing 降低相符。若某个 \(\Delta_{nm}\) 太小，展开参数不再小，应把近简并态共同纳入有效子空间。

图 1 强调 nondegenerate expansion 所追踪的是一条与 \(\lambda=0\) 连续相连、且与其他能级保持间隔的 branch。

图 2 把二阶和式画成经由所有其他未扰态的 virtual mixing；箭头不是真实含时跃迁。

2. Degenerate perturbation theory / 简并微扰论

Knowledge ID: P07-U07-L01-K02

若 \(d\) 个态共享 \(E_D^{(0)}\)，先定义 projector \(P\) 到该子空间，并求

\[W_{ab}=\langle a\rvert\hat V\lvert b\rangle, \qquad a,b=1,\ldots,d.\]

\(W\) 的 eigenvectors 是 zeroth-order good states，eigenvalues \(w_\alpha\) 是一阶能量修正。若 \(W\) 仍有简并，需利用 symmetry 或更高阶 effective Hamiltonian。直接把任意旧 basis 代入 \(V_{aa}\) 会产生 basis-dependent “答案”，因而不物理。

图 3 显示一阶劈裂；其重心和间距由 \(\operatorname{tr}W\) 与 eigenvalue difference 决定。

图 4 将 good basis 表示为简并平面内的旋转；完整 Hilbert space 并未缩成二维，只是先处理最危险的小分母。

3. Variational principle / 变分原理

Knowledge ID: P07-U07-L01-K03

对归一化 trial state \(\lvert\phi\rangle=\sum_nc_n\lvert n\rangle\)，

\[\mathcal E[\phi]=\frac{\langle\phi\rvert\hat H\lvert\phi\rangle}{\langle\phi\vert\phi\rangle} =\frac{\sum_n\lvert c_n\rvert^2E_n}{\sum_n\lvert c_n\rvert^2}\ge E_0.\]

因此优化得到的是 ground-state energy 的上界，不是任意 excited-state 的自动上界。trial family 应编码 boundary condition、symmetry、node 和 characteristic length。参数越多，上界不会变差，但 over-parameterization 会使数值优化病态。

图 5 表示 trial family 的 energy landscape：minimum 仍在 exact \(E_0\) 之上；若算出更低值，通常是积分或 domain 错误。

图 6 说明 localization 会增大 kinetic energy，而过宽会提高 confining potential energy，最佳宽度由竞争决定。

4. WKB approximation and connection formulas / WKB 近似与连接公式

Knowledge ID: P07-U07-L01-K04

在允许区 \(E>V\)，统一用 local wave number \(k(x)=p(x)/\hbar\)，leading WKB form 是

\[\psi(x)\approx\frac{1}{\sqrt{k(x)}} \left[Ae^{i\int^xk(x')dx'}+Be^{-i\int^xk(x')dx'}\right].\]

在禁阻区 \(V>E\)，取一个 simple turning point \(x_t\)，并先约定允许区在 \(x<x_t\)、禁阻区在 \(x>x_t\)：

\[\psi(x)\approx\frac{1}{\sqrt{\kappa(x)}} \left[C_{\mathrm{g}}e^{\int_{x_t}^x\kappa(x')dx'}+C_{\mathrm{d}}e^{-\int_{x_t}^x\kappa(x')dx'}\right].\]

局域条件可写为 \(\lvert k'/k^2\rvert\ll1\)（等价于 \(\lvert\hbar p'/p^2\rvert\ll1\)）。它在 turning point 必然失败，必须用 Airy local solution 匹配。对上述朝向，禁阻区的 decaying branch 与允许区的完整 coefficient/phase connection pair 是

\[\frac{C}{\sqrt{\kappa(x)}} e^{-\int_{x_t}^{x}\kappa(x')dx'} \longleftrightarrow \frac{2C}{\sqrt{k(x)}} \cos\left(\int_x^{x_t}k(x')dx'-\frac{\pi}{4}\right).\]

若允许区和禁阻区朝向互换，积分上下限也要随之互换；不能只搬用相位而忽略 coefficient 2。把两个 simple turning points \(x_1,x_2\) 的 decaying 外侧解分别连接到中间允许区，可得 bound-state quantization：

\[\int_{x_1}^{x_2}p(x)dx=\left(n+\frac12\right)\pi\hbar.\]

隧穿 leading exponent 为

\[T\sim\exp\left[-2\int_{x_1}^{x_2}\kappa(x)dx\right],\]

但 pre-exponential factor 依赖 barrier shape 与 matching，不能由指数近似精确给出。

图 7 把 two turning points 与三类区域对齐；实线势能与虚线能量的交点才是 turning points。

图 8 画的是与 Airy-\(\mathrm{Ai}\) 对应的 decaying branch：离开 \(x_t\) 进入禁阻区后振幅下降；它与左侧振荡解的 coefficient 2 和 phase \(-\pi/4\) 必须作为同一 connection pair 使用。

图 9 显示 rectangular barrier 的 incident、evanescent 与 transmitted amplitudes；实际 reflection wave 未单独绘出，故标为 schematic。

图 10 是方法选择树：先识别控制参数与谱结构，再计算，而不是按题目关键词机械选公式。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — 两能级的二阶能移

已知。 \(H_0=\operatorname{diag}(0,\Delta)\)，\(\Delta=2.00\,\mathrm{eV}\)，\(V_{12}=V_{21}=0.100\,\mathrm{eV}\)，对角元为零，\(\lambda=1\)。
系统、参考系与模型。 孤立两态系统；能量零点取低态。因 \(\lvert V_{12}/\Delta\rvert=0.0500\ll1\)，用 nondegenerate PT。
方程与计算。 \(E_1^{(1)}=0\)，\(E_1^{(2)}=-\lvert V_{21}\rvert^2/\Delta=-0.00500\,\mathrm{eV}\)。exact lower eigenvalue 是 \([\Delta-\sqrt{\Delta^2+4V^2}]/2=-0.00499\,\mathrm{eV}\)。
检查与解释。 单位为 eV；基态二阶修正应为负。误差约 \(10^{-5}\,\mathrm{eV}\)，与下一非零阶约 \((V/\Delta)^4\Delta\) 的量级一致。

Worked Example 2 — 二重简并的 good basis

已知。 在 \(\{\lvert a\rangle,\lvert b\rangle\}\) 中 \(W=\begin{pmatrix}0.30&0.20\\0.20&0.30\end{pmatrix}\,\mathrm{eV}\)。
系统与模型。 只先处理能量 \(E_D\) 的二重简并空间；与外部态的 gap 足够大。
方程与计算。 eigenvectors 是 \(\lvert\pm\rangle=(\lvert a\rangle\pm\lvert b\rangle)/\sqrt2\)，eigenvalues \(w_+=0.50\,\mathrm{eV}\)、\(w_-=0.10\,\mathrm{eV}\)。故一阶能量为 \(E_D+0.50\lambda\,\mathrm{eV}\) 与 \(E_D+0.10\lambda\,\mathrm{eV}\)。
检查与解释。 trace \(0.60\,\mathrm{eV}\)、determinant \(0.05\,\mathrm{eV^2}\) 与 eigenvalues 一致；在旧 basis 中只读 \(0.30\,\mathrm{eV}\) 会错过 \(0.40\,\mathrm{eV}\) 的劈裂。

Worked Example 3 — Gaussian 变分宽度

已知。 一维 harmonic oscillator，trial \(\phi_a=(\pi a^2)^{-1/4}e^{-x^2/(2a^2)}\)。
系统、坐标与模型。 孤立粒子，\(x=0\) 为势阱中心，\(H=p^2/(2m)+m\omega^2x^2/2\)；trial 满足归一化与无穷远边界。
方程。 \(\langle p^2\rangle=\hbar^2/(2a^2)\)、\(\langle x^2\rangle=a^2/2\)，所以 \(\mathcal E(a)=\hbar^2/(4ma^2)+m\omega^2a^2/4\)。令导数为零得 \(a_*=\sqrt{\hbar/(m\omega)}\)，\(\mathcal E(a_*)=\hbar\omega/2\)。
检查与解释。 两项单位均为 J；\(a\to0\) 时 kinetic divergence，\(a\to\infty\) 时 potential divergence，故驻点是全局 minimum。trial family 恰含 exact ground state，所以上界取等号。

Worked Example 4 — 电子穿越矩形势垒

已知。 电子遇到宽 \(a=0.500\,\mathrm{nm}\) 的势垒，\(V_0-E=4.00\,\mathrm{eV}\)。
系统、坐标与模型。 势垒沿 \(x\)，入射从左向右；使用 leading WKB，忽略 prefactor。
计算。 \(\kappa=\sqrt{2m_e(V_0-E)}/\hbar=10.25\,\mathrm{nm^{-1}}\)，故 \(2\kappa a=10.25\)，\(T\sim e^{-10.25}=3.54\times10^{-5}\)。
检查与解释。 指数无量纲；增大 \(a\) 或 \(V_0-E\) 会单调减小 \(T\)。矩形势垒边缘不是 smooth turning point，因此这个数只给 exponential scale，精确 prefactor 应由分段 matching 得到。

Lesson synthesis / 全课综合

一条可靠流程是：先选可解 \(H_0\) 与控制参数；再检查目标能级是否隔离；简并则先对角化 \(PVP\)；没有自然小参数时尝试 variational upper bound；空间相位缓变且目标是高量子数或 tunneling exponent 时用 WKB；最后以 exact limit、量纲、symmetry 与误差尺度交叉检查。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

1. Perturbation series 常是 asymptotic，不保证对任意 \(\lambda\) 收敛。
2. Near-degeneracy 要扩大 model space；把小分母“保留更多小数”不能修复物理。
3. Variational principle 的简单上界只针对最低态；excited states 需施加 orthogonality 或使用更一般 min–max theorem。
4. Trial state 违反 cusp、parity 或 boundary condition 时，即使积分有限也可能不在 operator domain。
5. WKB 需要 action scale \(S\gg\hbar\)，在低量子数、尖锐势阶或 turning point 邻域误差可能大。
6. Connection phase 取决于 boundary type；hard wall 与 smooth turning point 不可混用同一个 \(1/2\) 修正。
7. 隧穿指数忽略 environmental dissipation、many-body channels 与 multidimensional path。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “微扰势能的数值小即可。” 必须与相关 gap 比较；单位不同或 gap 极小时，绝对值没有判断力。
2. “简并态各自取 diagonal expectation。” diagonal element 随 basis 改变；只有 \(PVP\) eigenvalues 是 basis-independent。
3. “二阶修正总为负。” 只对 ground state 必为非正；excited state 有上下方中间态，符号可混合。
4. “变分能就是 exact energy 的近似，方向未知。” 对合法 trial state，它严格不低于 exact ground energy。
5. “参数越多必然更可信。” 上界可下降，但参数相关性与不适当 domain 会掩盖数值病态。
6. “WKB 在 turning point 令 \(p=0\) 后仍可代入。” 振幅 \(1/\sqrt p\) 发散，必须用 connection formula。
7. “隧穿概率等于衰减振幅。” 概率近似含 exponent 的两倍，并可能有 flux prefactor。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01｜概念： 为什么 ground-state \(E_0^{(2)}\) 不会为正？
2. K01｜计算： 若唯一耦合态高出 \(3.0\,\mathrm{eV}\)，矩阵元 \(0.15\,\mathrm{eV}\)，求二阶基态修正。
3. K01｜边界： \(V_{mn}=0.02\,\mathrm{eV}\)、gap \(0.01\,\mathrm{eV}\)，能否称为弱微扰？
4. K02｜矩阵： 求 \(W=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}\) 的 good states 与 shifts。
5. K02｜symmetry： 若 \([PVP,\hat Q]=0\)，\(\hat Q\) 如何帮助选 good basis？
6. K03｜证明： 用 spectral expansion 说明 \(\mathcal E[\phi]\ge E_0\)。
7. K03｜判断： 一个不满足 hard-wall boundary 的 trial function 能否给合法上界？
8. K04｜量子化： 谐振子 WKB action \(\oint p\,dx=2\pi E/\omega\)，求 \(E_n\)。
9. K04｜趋势： barrier width 加倍，leading \(T\) 如何变化？
10. 综合： 某两态 gap 随参数趋零，同时势能空间缓变；说明应先解决什么谱问题，再决定能否用 WKB。

Exit ticket / 离堂检验

1. 用“gap ratio、operator domain、turning point”三个词各写一句近似合法性检查。
2. 解释为什么 exact diagonalization of \(PVP\) 与 perturbative coupling to \(Q\) 可以同时存在而不矛盾。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下来源均于 2026-08-30 实际打开核验；正文统一采用 SI 与本课符号，所有图依据方程原创绘制。

1. MIT OCW 8.06 (2018), Chapter 1: Non-degenerate and Degenerate Perturbation Theory
2. MIT OCW 8.06 (2018), Chapter 3: Semiclassical Approximation
3. MIT OCW 8.06, Time-Independent Perturbation Theory and WKB video/notes map
4. University of Texas at Austin, Upper-Division Quantum Mechanics Notes
5. MIT OCW 8.06 (2016), Chapter 1 lecture notes

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复习与拓展

• 下一课把 expansion parameter 放入 time-evolution operator，得到 transition amplitudes 与 golden rule。
• Scattering 课会把 Born series 视为对 interaction strength 的 perturbation expansion。
• Atomic Physics 将用 degenerate PT 解释 fine、Zeeman 与 Stark splitting。
• 数值扩展可比较 variational upper bound、WKB eigenvalue 与 shooting-method exact value。