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Lesson 10.1.2

结合能与稳定性

Binding Energy and Stability

HS→UG15 个知识点10 幅图示3 张表格

Learning objectives / 学习目标

  • 以统一的原子质量或核质量账本计算质量亏损与结合能。
  • 正确解释 \(B/A\) 曲线，而不把峰值位置简化成“铁一定最稳定”。
  • 用质量抛物线与中子—质子不对称理解稳定谷和 beta 衰变方向。
  • 计算一核子分离能、反应 \(Q\) 值与非相对论阈能。
  • 用短程饱和吸引与长程库仑排斥解释轻重核趋势，并明确 SEMF 是经验模型。

Prerequisites / 先修知识

Scope and conventions / 范围与约定

  • 质量表默认给中性原子质量 \(M_a\)；采用氢原子质量 \(m_H\) 计算结合能，使电子质量在同一账本中抵消。
  • \(B>0\) 表示相对于自由核子阈值为束缚态；这不保证对所有弱衰变、alpha 衰变或自发裂变都稳定。
  • 反应 \(Q=(M_i-M_f)c^2\)；\(Q>0\) 为放能，但速率还受势垒和选择定则限制。
  • SEMF、稳定线公式和液滴图像是核素系统学的经验近似；精确数值优先查 AME2020/NNDC，并保留不确定度与协方差限制。
  • “阈值等于 \(-Q\)”只在质心可忽略反冲或光致反应近似中成立；固定靶实验室系需满足动量守恒。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Symbol Meaning SI unit
\(M_a(A,Z)\) neutral atomic mass kg or u
\(B(A,Z)\) total nuclear binding energy J
\(B/A\) binding energy per nucleon J per nucleon
\(S_n,S_p\) one-neutron, one-proton separation energy J
\(Q\) reaction or decay energy release J
\(E_{\rm th}\) projectile threshold energy in stated frame J
\(a_v,a_s,a_c,a_a,a_p\) SEMF fit coefficients J

1. Mass defect and binding energy / 质量亏损与结合能

Knowledge ID: P10-U01-L02-K01

把一个核完全拆成 \(Z\) 个自由质子和 \(N\) 个自由中子需要输入结合能。若使用裸核质量，质量亏损为 \(Zm_p+Nm_n-m_{\rm nuc}\)。若使用中性原子质量，则最稳妥的电子抵消式是

\[B=\left[Zm_H+Nm_n-M_a(A,Z)\right]c^2.\]

两种公式在加入电子总结合能修正后等价；最常见错误是把 \(m_p\) 与中性原子质量 \(M_a\) 混用。\(1\ \mathrm u\,c^2=931.49410242\ \mathrm{MeV}\) 可把质量差换成能量。AME2020 的质量是由直接质量谱与反应能等相互关联数据评估而来，表中质量并非彼此完全独立；高精度差分需使用协方差，而 NNDC QCalc 明确提示其在线计算当前未使用 AME2020 协方差。

Binding Energy and Stability — 1. Mass defect and binding energy / 质量亏损与结合能（图 1）
图 11. Mass defect and binding energy / 质量亏损与结合能

图 1：结合能是自由组分阈值与束缚系统质量能之差。

Binding Energy and Stability — 1. Mass defect and binding energy / 质量亏损与结合能（图 2）
图 21. Mass defect and binding energy / 质量亏损与结合能

图 2：高精度结合能必须传播质量不确定度及可能的相关性。

2. Binding energy per nucleon / 平均每核子结合能

Knowledge ID: P10-U01-L02-K02

\(B/A\) 是把总结合能按核子数平均后的系统学指标。轻核随 \(A\) 增加，表面核子比例下降，\(B/A\) 快速上升；中等质量核在铁—镍区附近达到宽峰；重核因库仑排斥增长而缓慢下降。这解释了轻核聚变和很重核裂变为何都可能放能，但反应是否发生还取决于势垒、角动量与量子隧穿。

“每核子结合能最大”不是“任何意义上寿命最长”。AME2020 讨论的 Aston curve 在 iron peak 附近具有最大稳定性，但峰很平；常用数据中 \(^{62}\mathrm{Ni}\) 的 \(B/A\) 略高于 \(^{56}\mathrm{Fe}\)，而恒星核合成丰度与反应网络又是另一问题。总结合能 \(B\) 随 \(A\) 大致增大，不能与 \(B/A\) 混淆。

Binding Energy and Stability — 2. Binding energy per nucleon / 平均每核子结合能（图 3）
图 32. Binding energy per nucleon / 平均每核子结合能

图 3：\(B/A\) 的宽峰给出能量趋势，箭头不代表任意反应都自发快速发生。

Binding Energy and Stability — 2. Binding energy per nucleon / 平均每核子结合能（图 4）
图 42. Binding energy per nucleon / 平均每核子结合能

图 4：表面项随 \(A\) 相对减弱，库仑项对重核相对增强。

3. Valley of stability / 稳定谷

Knowledge ID: P10-U01-L02-K03

固定 \(A\) 时，质量对 \(Z\) 的主要依赖可近似为抛物线。库仑能偏好较小 \(Z\)，不对称能偏好 \(N\approx Z\)，二者竞争使中重核的最小质量点逐渐移向 \(N>Z\)。位于抛物线一侧的核可通过 beta minus 或电子俘获/beta plus 向较低质量方向移动；但是否允许还要比较精确原子质量、电子质量、激发态与选择定则。

稳定谷是二维核素图上的带，不是单一公式。偶偶与奇奇核的配对项会形成两条错开的质量抛物线，造成偶 \(A\) 同量异位素可能有两个稳定点；壳效应在幻数附近产生偏离。趋近中子或质子滴线时，对应分离能接近零，连续态耦合与壳演化使简单液滴模型更不可靠。

忽略配对与核子静质量差时，SEMF 给出的粗略最优质子数可写为

\[Z_\star\approx\frac{A}{2+\dfrac{a_c}{2a_a}A^{2/3}}.\]

它解释趋势，不应取代 AME2020 对具体核素的质量比较。

Binding Energy and Stability — 3. Valley of stability / 稳定谷（图 5）
图 53. Valley of stability / 稳定谷

图 5：beta 过程改变 \(Z\) 与 \(N\)、保持 \(A\)，趋向较低质量区。

Binding Energy and Stability — 3. Valley of stability / 稳定谷（图 6）
图 63. Valley of stability / 稳定谷

图 6：固定 \(A\) 的质量抛物线是连续近似，实际只在整数 \(Z\) 取点。

4. Separation energy and reaction thresholds / 分离能与反应阈值

Knowledge ID: P10-U01-L02-K04

中子与质子分离能是结合能曲面的离散差分：

\[S_n(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z),\]

\[S_p(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z-1).\]

\(S_n>0\) 表示基态对立即发射一个中子在能量上束缚；\(S_n\le0\) 表示该通道在能量上开放，但宽度仍受角动量势垒与共振结构影响。两核子分离能能平滑部分奇偶效应；分离能在幻数处的跃变是壳闭合证据之一。

对反应 \(a+A\rightarrow b+B\)，

\[Q=(m_a+M_A-m_b-M_B)c^2.\]

若 \(Q<0\)，质心能至少需补足 \(-Q\)。固定靶、靶初始静止且采用非相对论两体近似时，入射粒子实验室阈能为

\[E_{\rm th}\approx -Q\left(1+\frac{m_a}{M_A}\right).\]

额外因子来自末态整体动量不能为零。相对论精确阈值应使用不变量 \(s\)；多体末态或激发态要用相应总静质量。

Binding Energy and Stability — 4. Separation energy and reaction thresholds / 分离能与反应阈值（图 7）
图 74. Separation energy and reaction thresholds / 分离能与反应阈值

图 7：分离能是相邻核质量/结合能差，不是 \(B/A\)。

Binding Energy and Stability — 4. Separation energy and reaction thresholds / 分离能与反应阈值（图 8）
图 84. Separation energy and reaction thresholds / 分离能与反应阈值

图 8：末态必须携带入射总动量，因此固定靶阈能通常大于 \(-Q\)。

5. Competition of nuclear and Coulomb effects / 核力与库仑作用的竞争

Knowledge ID: P10-U01-L02-K05

强相互作用的有效核吸引具有短程与饱和性，使体积结合约随 \(A\)；表面核子近邻较少，产生约 \(A^{2/3}\) 的表面代价。质子库仑排斥是长程的，在均匀球估算中约随 \(Z(Z-1)A^{-1/3}\)。Pauli 原理与费米动量造成不对称能，配对则产生奇偶交错。这些系统学被半经验质量公式概括：

\[B_{\rm SEMF}=a_vA-a_sA^{2/3}-a_c\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} -a_a\frac{(A-2Z)^2}{A}+\delta(A,Z).\]

不同教材与拟合采用不同系数、\(Z^2\) 或 \(Z(Z-1)\)、以及不同配对指数，不能混合参数。MIT 22.101 明确把它称为经验公式，并指出中间质量区常可达到约百分之一的结合能精度，但壳闭合、轻核、滴线与形变残差要求更精细模型。它揭示“为何有趋势”，不提供精确多体波函数。

Binding Energy and Stability — 5. Competition of nuclear and Coulomb effects / 核力与库仑作用的竞争（图 9）
图 95. Competition of nuclear and Coulomb effects / 核力与库仑作用的竞争

图 9：核吸引主要连接近邻，质子库仑作用跨越整个核。

Binding Energy and Stability — 5. Competition of nuclear and Coulomb effects / 核力与库仑作用的竞争（图 10）
图 105. Competition of nuclear and Coulomb effects / 核力与库仑作用的竞争

图 10：液滴趋势的残差可暴露壳层、配对与形变结构。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — \(^4\)He binding energy / 氦-4 结合能

系统与参考系： 静止中性 \(^4\mathrm{He}\) 原子与静止自由中性氢原子、中子，质心系；这是标量静能账，坐标轴方向不参与结果。
模型与账本： 全程使用中性原子质量；忽略电子总结合能的 eV 级修正。
已知： \(m_H=1.00782503223\ \mathrm u\)，\(m_n=1.00866491595\ \mathrm u\)，\(M(^4\mathrm{He})=4.00260325413\ \mathrm u\)。

\[\Delta m=2m_H+2m_n-M(^4\mathrm{He})=0.0303766422\ \mathrm u.\]

\[B=\Delta m c^2=(0.0303766422)(931.494102)=28.296\ \mathrm{MeV}.\]

\[\frac BA=7.0740\ \mathrm{MeV\,nucleon^{-1}}.\]

换成 SI：\(B=28.296\times10^6(1.602176634\times10^{-19})=4.533\times10^{-12}\ \mathrm J\)。
检查： \(B>0\)；\(B/A\) 落在轻核的数 MeV 区；\(\Delta m\to0\) 时 \(B\to0\)；有效数字受输入质量控制。若把 \(m_p\) 与原子质量混用，结果会错误加入电子质量。

Worked Example 2 — Stable \(Z\) estimate / 稳定线估算

系统与参考系： 固定质量数 \(A=120\) 的同量异位素，静止核质量能比较。
模型： 连续 \(Z\) 的 SEMF，忽略配对、壳效应与核子静质量差；\(a_c=0.714\ \mathrm{MeV}\)，\(a_a=23.2\ \mathrm{MeV}\)。
坐标： 核素图的 \(Z\) 方向。

\[A^{2/3}=120^{2/3}=24.33.\]

\[Z_\star\approx\frac{120}{2+(0.714/(2\times23.2))(24.33)}=50.5.\]

整数候选在 \(Z=50\) 或 51 附近。
检查： \(Z<A/2=60\)，符合重核需要中子过量的趋势；若 \(a_c\to0\)，公式回到 \(Z=A/2\)。实际最稳定核素必须用 AME2020 逐个比较，并考虑配对使偶 \(Z\) 候选受益。

Worked Example 3 — Neutron separation from atomic masses / 中子分离能

系统与参考系： \(^{17}\mathrm O\rightarrow{}^{16}\mathrm O+n\)，初态 \(^{17}\mathrm O\) 静止；令末态中子相对动量沿 \(+x\)，但基态质量差与轴选择无关。
模型与账本： 使用中性原子质量；两侧均有 8 个电子，自动抵消。
已知： \(M(^{16}\mathrm O)=15.9949146196\ \mathrm u\)，\(M(^{17}\mathrm O)=16.9991317565\ \mathrm u\)，\(m_n=1.0086649160\ \mathrm u\)。

\[S_n=[M(^{16}\mathrm O)+m_n-M(^{17}\mathrm O)]c^2.\]

\[S_n=(0.0044477791\ \mathrm u)(931.494102\ \mathrm{MeV/u})=4.143\ \mathrm{MeV}.\]

\[S_n=6.637\times10^{-13}\ \mathrm J.\]

检查： 正值表示基态对自发一中子发射束缚；质量差的 \(\mathrm u\) 与换算因子相消；若母核质量恰等于产物质量和，则 \(S_n\to0\)。光致中子发射阈值接近该值但还需微小反冲修正；它也不等于 \(^{17}\mathrm O\) 的 \(B/A\)。

Worked Example 4 — Endothermic fixed-target threshold / 吸能固定靶阈值

系统与参考系： \(p+{}^7\mathrm{Li}\rightarrow n+{}^7\mathrm{Be}\)，\(^7\mathrm{Li}\) 靶在实验室静止，入射质子沿 \(+x\)。
模型： 非相对论两体阈值、末态粒子无相对动能；给定 \(Q=-1.644\ \mathrm{MeV}\)，取 \(m_p/M_{\rm Li}\approx1/7\)。

\[E_{\rm th}\approx -Q\left(1+\frac{m_p}{M_{\rm Li}}\right) =1.644\left(1+\frac17\right)=1.879\ \mathrm{MeV}.\]

\[E_{\rm th}=3.010\times10^{-13}\ \mathrm J.\]

检查： 阈值大于 \(-Q=1.644\ \mathrm{MeV}\)，差额给末态质心运动；若靶质量趋于无穷，比例项趋零并回到 \(-Q\)。精确值应用原子质量和相对论不变量计算。

Lesson synthesis / 全课综合

精确质量差定义 \(B\)、\(S_n\)、\(S_p\) 与 \(Q\)；\(B/A\) 给跨核素的平均能量趋势；质量抛物线和稳定谷给 beta 方向；阈值还要加入参考系中的动量守恒。液滴/SEMF 把短程饱和吸引、表面、不对称、配对与库仑排斥组织成可解释的经验骨架，而 AME2020 与 NNDC 数据决定具体数值。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Task Relation Use when Boundary
binding from atomic masses \(B=[Zm_H+Nm_n-M_a]c^2\) all entries are neutral atomic masses electron binding correction at high precision
average binding \(B/A\) compare broad energetic trend not lifetime or separation energy
neutron separation \(S_n=B(A,Z)-B(A-1,Z)\) one-neutron channel ground-state masses unless excitation specified
reaction energy \(Q=(M_i-M_f)c^2\) same mass convention both sides rate still needs dynamics
fixed-target threshold \(E_{\rm th}\approx-Q(1+m_a/M_A)\) nonrelativistic two-body endothermic reaction use invariant \(s\) when precision/relativity matters
stability estimate \(Z_\star\approx A/[2+a_cA^{2/3}/(2a_a)]\) coarse SEMF trend ignores pairing, shells and mass differences

Model boundaries / 模型边界

  • 结合能正只说明低于自由核子阈值，不等于对所有衰变绝对稳定。
  • \(B/A\) 峰很宽；“铁峰”是区域性说法，不能声称 \(^{56}\mathrm{Fe}\) 严格拥有最大 \(B/A\)。
  • SEMF 系数依拟合与项的定义而变；不可从不同来源拼接系数。
  • 稳定谷公式是连续近似，实际核素只有整数 \(Z,N\) 并受壳层、配对和形变影响。
  • 分离能与反应阈值必须用同一质量约定；固定靶阈值通常不等于 \(-Q\)。
  • QCalc 的在线值使用 AME2020，但页面声明未纳入协方差；高精度研究应回到原评估。

Misconception clinic / 误区诊所

  1. 质量亏损不是质量“消失”，而是系统静能降低。
  2. 总结合能大不代表 \(B/A\) 更大。
  3. \(B/A\) 最大不等于半衰期最长或宇宙丰度最大。
  4. \(Q>0\) 不保证反应快速；库仑势垒与选择定则仍可能抑制。
  5. \(S_n\) 是相邻质量差，不是把 \(B/A\) 乘除一次得到。
  6. 吸能固定靶阈值通常大于 \(-Q\)，因为末态要保留总动量。

Practice and retrieval / 练习与提取

  1. [K01] 写出使用中性原子质量的结合能公式，并解释为何出现 \(m_H\)。
答案 1

\(B=[Zm_H+Nm_n-M_a]c^2\)；\(m_H\) 把每个质子的电子与核素原子的 \(Z\) 个电子放在同一账本中抵消。

  1. [K01] 质量亏损 \(0.0100\ \mathrm u\) 对应多少 MeV？
答案 2

\(B=0.0100\times931.494=9.31\ \mathrm{MeV}\)，三位有效数字。

  1. [K02] 为什么 \(B/A\) 曲线从轻核区迅速上升？
答案 3

随 \(A\) 增大，表面核子的比例约按 \(A^{-1/3}\) 降低，更多核子处于充分近邻配位的内部。

  1. [K02] \(B=492.3\ \mathrm{MeV}\)、\(A=56\) 时求 \(B/A\)。
答案 4

\(B/A=492.3/56=8.79\ \mathrm{MeV\,nucleon^{-1}}\)。

  1. [K03] 重稳定核为何通常有 \(N>Z\)？
答案 5

中子增加强吸引而不增加质子间库仑排斥；不对称能阻止 \(N-Z\) 无限增大，二者给出折衷。

  1. [K03] 在固定 \(A\) 质量抛物线左侧与右侧分别沿何种 beta 方向趋近谷底？
答案 6

质子偏少一侧通常经 \(\beta^-\) 增加 \(Z\)；质子偏多一侧通常经电子俘获或 \(\beta^+\) 降低 \(Z\)，但须核对精确 \(Q\) 值。

  1. [K04] 若 \(B(A,Z)=100\ \mathrm{MeV}\)、\(B(A-1,Z)=92\ \mathrm{MeV}\)，求 \(S_n\) 并解释。
答案 7

\(S_n=8\ \mathrm{MeV}>0\)；从基态移走一个中子至少需约 8 MeV，忽略激发与反冲细节。

  1. [K04] 某两体固定靶反应 \(Q=-3.0\ \mathrm{MeV}\) 且 \(m_a/M_A=0.25\)，估算阈值。
答案 8

\(E_{\rm th}\approx3.0(1.25)=3.75\ \mathrm{MeV}\)。

  1. [K05] SEMF 中哪一项使重核 \(B/A\) 下降？
答案 9

质子库仑项 \(-a_cZ(Z-1)A^{-1/3}\) 的相对重要性随核变大而增强。

  1. [K05] 为什么 SEMF 不能精确再现幻数附近的分离能跃变？
答案 10

它主要描述平滑液滴趋势，没有显式离散单粒子壳能级与组态混合；需壳层或更微观模型。

Exit ticket / 离堂检验

  1. 对同一核素分别说明 \(B\)、\(B/A\) 与 \(S_n\) 回答什么问题。
  2. 画一个固定 \(A\) 质量抛物线并标出 beta 方向。
  3. 写出一个 \(Q>0\) 但反应仍可能很慢的原因，以及一个 \(Q<0\) 固定靶阈值大于 \(-Q\) 的原因。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下直接来源已于 2026-08-30 实际打开并核读：

  1. IAEA Atomic Mass Data Center, Atomic Mass Evaluation — AME 2020. https://www-nds.iaea.org/amdc/
  2. W. J. Huang et al., The AME 2020 atomic mass evaluation (I). Evaluation of input data, and adjustment procedures, Chinese Physics C 45, 030002 (2021), IAEA mirror. https://www-nds.iaea.org/amdc/ame2020/AME2020-a.pdf
  3. National Nuclear Data Center, Brookhaven National Laboratory, Q-Value Calculator (QCalc). https://www.nndc.bnl.gov/qcalc/
  4. MIT OpenCourseWare 22.02, Lecture notes, Chapter 1. Introduction to Nuclear Physics. https://ocw.mit.edu/courses/22-02-introduction-to-applied-nuclear-physics-spring-2012/d0d046f78c917f107d925f11ac862ae4_MIT22_02S12_lec_ch1.pdf
  5. MIT OpenCourseWare 22.101, Lecture 12: Empirical Binding Energy Formula and Mass Parabolas. https://ocw.mit.edu/courses/22-101-applied-nuclear-physics-fall-2006/7b6d57f16a4497216969bbaf609846ab_lec12.pdf
  6. National Nuclear Data Center, Brookhaven National Laboratory, NuDat 3 User Guide. https://www.nndc.bnl.gov/nudat3/guide/

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Source Used for Knowledge ID / Section Boundary or convention
IAEA AMDC AME2020 portal mass, binding-per-nucleon and reaction-energy files K01, K02, K04 electronic tables cite original evaluation
AME2020 paper mass evaluation, unit conversion, correlations, Aston curve K01, K02 evaluated network, not independent exact numbers
NNDC QCalc reaction \(Q\) workflow K04; Example 4 page states AME2020 covariance is not used
MIT 22.02 Chapter 1 binding, separation energies, SEMF terms K01–K05 introductory liquid-drop approximation
MIT 22.101 Lecture 12 mass parabolas and SEMF assumptions/accuracy K03, K05 empirical formula; coefficient set dependent
NNDC NuDat guide \(S_n,S_p\), \(B/A\) and pairing observables K02–K04 visual chart simplifies complete data

复习与拓展

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