Learning objectives / 学习目标
- 用 \(A=Z+N\) 与 \({}^{A}_{Z}X\) 区分元素、核素、同位素、同中子素和同量异位素。
- 区分核质量、原子质量、质量数、尖锐半径、rms 电荷半径与物质半径。
- 从 \(R=r_0A^{1/3}\) 推出近似恒定的平均核子数密度，并说明该规律的适用边界。
- 读取 \(J^\pi\)、磁偶极矩与电四极矩，说明它们如何约束核结构模型而非唯一决定内部结构。
Prerequisites / 先修知识
Scope and conventions / 范围与约定
- 除非特别说明，讨论静止核的基态；实验室系与核质心系在静止样品上重合。
- \(m_a\) 表示中性原子质量，\(m_{\rm nuc}\) 表示裸核质量；两者相差 \(Zm_e\) 及电子结合能修正。
- \(R=r_0A^{1/3}\) 中 \(R\) 是均匀球或 Woods–Saxon 分布的尺度参数，常取 \(r_0\approx1.2\ \mathrm{fm}\)；它不是所有核素的精确 rms 电荷半径。
- IAEA 半径表给出实验评估的 rms 电荷半径；中子分布、物质半径和形变核的方向相关半径可能不同。
- \(J^\pi\) 是整核态的总角动量与宇称；单粒子壳层赋值是解释工具，不是所有核的精确波函数。
Notation and modeling contract / 符号与建模契约
| Symbol | Meaning | SI unit |
|---|---|---|
| \(Z\) | proton number and nuclear charge number | 1 |
| \(N\) | neutron number | 1 |
| \(A=Z+N\) | mass number | 1 |
| \(e\) | elementary positive charge | C |
| \(u\) | unified atomic mass unit | kg |
| \(R\) | model nuclear-radius parameter | m |
| \(r_{\rm ch}\) | rms charge radius | m |
| \(J^\pi\) | dimensionless total-spin and parity labels | 1 (\(J\) and \(\pi\) are labels; physical angular momentum has unit \(\mathrm{J\,s}\) and magnitude \(\hbar\sqrt{J(J+1)}\)) |
| \(\mu\) | magnetic dipole moment | \(\mathrm{J\,T^{-1}}\) |
| \(Q\) | electric quadrupole moment | \(\mathrm{C\,m^2}\) |
1. Protons, neutrons, nuclides, and isotopes / 质子、中子、核素与同位素
Knowledge ID: P10-U01-L01-K01
质子与中子统称核子。质子电荷为 \(+e\)，中子净电荷为零，但中子并非“没有电磁结构”：它具有非零磁矩，且内部夸克电荷分布可由散射测量。元素由 \(Z\) 唯一确定；核素则由 \((Z,N)\) 或 \((Z,A)\) 唯一确定。同位素有相同 \(Z\)、不同 \(N\)；同中子素有相同 \(N\)；同量异位素有相同 \(A\)。核异能态还需附加激发态标签 \(m\)，因为相同 \((Z,N)\) 可对应寿命显著的不同核态。
核素图以 \(N\) 为横轴、\(Z\) 为纵轴。稳定或长寿命核素形成一条带而非直线：轻核附近常有 \(N\approx Z\)，重核因质子库仑排斥增强而需要更多中子。NuDat 的图形颜色只是某项属性的可视化；完整判断必须打开能级、半衰期、衰变支路与不确定度数据。
图 1：核素图是二维 \((N,Z)\) 地图；色带宽度和形状仅示意，不能替代评估数据。
图 2：三种“同—”关系分别固定 \(Z\)、\(N\) 或 \(A\)。
2. Nuclear notation, charge, mass, and radius / 核符号、电荷、质量与半径
Knowledge ID: P10-U01-L01-K02
标准核符号写成 \({}^{A}_{Z}X\)；因为元素符号 \(X\) 已决定 \(Z\)，实际数据表常简写为 \(^{A}X\)。裸核电荷是 \(q=Ze\)，中性原子总电荷为零。质量数 \(A\) 是整数计数，不是以 \(u\) 为单位的质量数值。核质量小于自由核子质量之和；中性原子质量还包含电子质量与电子结合能，因此核反应质量账必须从头到尾统一采用“核质量”或“原子质量”。
NIST 2022 CODATA 给出 \(m_p=1.67262192595\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)、\(m_n=1.67492750056\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)。质量的高精度值带不确定度；课堂中保留 4–6 位通常已远高于模型误差。长度方面，电子散射、缪子原子谱与同位素位移探测的是不同组合的电荷分布。IAEA 的实验核电荷半径表给出自洽的 rms 值，例如 \(^{12}\mathrm C\) 为约 \(2.4702\ \mathrm{fm}\)，而 \(^{208}\mathrm{Pb}\) 约为 \(5.50\ \mathrm{fm}\)。
若用均匀球近似，尖锐边界半径 \(R\) 与 rms 半径满足
\[r_{\rm rms}=\sqrt{\frac35}\,R.\]
真实核没有硬边界；常用 Woods–Saxon 密度具有弥散表面。经验尺度律
\[R=r_0A^{1/3},\qquad r_0\approx1.2\ \mathrm{fm}\]
描述总体趋势，但 halo 核、形变核、轻核与壳闭合附近可显著偏离；若题目给的是实验 \(r_{\rm ch}\)，不得再把它当成 \(R\)。
图 3：核符号的每个位置编码不同物理量，右上角电荷态不是核的 \(Z\)。
图 4：\(A^{1/3}\) 线性标度是总体拟合，不强迫每个数据点落在线上。
图 5：硬球与弥散表面可共享相近整体尺度，却给出不同散射形状因子。
3. Nuclear density and short length scale / 核密度与短程尺度
Knowledge ID: P10-U01-L01-K03
把 \(R=r_0A^{1/3}\) 代入球体体积可得
\[V=\frac43\pi r_0^3A, \qquad n_0=\frac{A}{V}=\frac{3}{4\pi r_0^3}\approx0.14\ \mathrm{fm^{-3}}.\]
取 \(r_0=1.2\ \mathrm{fm}\) 时对应质量密度约 \(2.3\times10^{17}\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)。该结果表达的是中重核内部平均密度近似饱和：核子主要与近邻强烈作用，而不是每个核子与其余 \(A-1\) 个核子同等耦合。经验 \(r_0\) 的选取、表面弥散与质子/中子分布会改变数值；核物质常引用的饱和密度约 \(0.16\ \mathrm{fm^{-3}}\)，两者不应假装完全相同。
\(1\ \mathrm{fm}=10^{-15}\ \mathrm m\)。要分辨长度 \(\Delta x\)，探针所需动量转移量级满足 \(q\sim\hbar/\Delta x\)；若探针近似超相对论，则能量尺度 \(E\sim\hbar c/\Delta x\)。分辨 \(1\ \mathrm{fm}\) 需要约 \(197\ \mathrm{MeV}\) 的动量—能量尺度，但这只是分辨率估算，不等于“核内每个粒子的能量都是 197 MeV”。
图 6：平均密度趋于饱和是趋势；轻核与 halo 核不应由水平线精确描述。
图 7：原子尺度到 \(\mathrm{fm}\) 核尺度约跨越五个数量级；典型较大原子核半径可达约 \(10^{-14}\,\mathrm m\)。
图 8：散射衍射极小可约束核尺度；真实电荷密度会改变曲线细节。
4. Nuclear spin, parity, and electromagnetic moments / 核自旋、宇称与电磁矩
Knowledge ID: P10-U01-L01-K04
整核总角动量写成 \(J\)（有些核谱文献用 \(I\)），其投影为 \(M=-J,-J+1,\ldots,J\)。宇称 \(\pi=+1\) 或 \(-1\) 描述空间反演下核态波函数的本征值。偶偶核的基态通常为 \(0^+\)，但这是强配对与经验系统学的结果；对激发态或奇奇核不能机械套用。
独立粒子壳层近似中，闭壳层外单个未配对核子的轨道角动量 \(\ell\) 与自旋 \(s=1/2\) 耦合为 \(j=\ell\pm1/2\)，单粒子宇称为
\[\pi=(-1)^\ell.\]
它能解释许多邻近闭壳层的奇 \(A\) 核 \(J^\pi\)，但组态混合、核芯极化、形变与集体运动会改变简单预测。实验 \(J^\pi\) 来自能级、选择定则、角分布和反应等综合证据；若数据库标注括号或范围，说明赋值并非同等确定。
磁偶极矩通常写为 \(\boldsymbol\mu=g\mu_N\mathbf J/\hbar\)，其中
\[\mu_N=\frac{e\hbar}{2m_p}.\]
磁矩在外磁场中产生 Zeeman 能级和进动；电四极矩 \(Q\) 则检测电荷分布相对球对称的二阶偏离。\(J=0\) 态没有永久磁偶极矩，且实验室系静态四极矩为零，但这不必意味着内禀形状完全无形变：转动平均可恢复实验室球对称。
图 9：角动量矢量图只提供耦合直觉，不能替代 Clebsch–Gordan 量子态。
图 10：磁矩绕外场进动；方向与频率取决于 \(g\) 因子及量子态。
Worked Examples / 完整例题
Worked Example 1 — Decode a nuclide / 解码核素
系统与参考系： 静止的裸 \(^{235}_{92}\mathrm U\) 核，实验室直角坐标系，\(+z\) 仅用于定义量子化轴。
模型： 只做核子计数与 \(Au\) 量级质量估算，不含结合能精修。
已知： \(A=235\)、\(Z=92\)、\(e=1.602176634\times10^{-19}\ \mathrm C\)、\(u=1.66053906660\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)。
第一步，计算中子数：
\[N=A-Z=235-92=143.\]
第二步，裸核电荷：
\[q=Ze=92(1.602176634\times10^{-19})=1.4740\times10^{-17}\ \mathrm C.\]
第三步，质量量级：
\[m\sim Au=235(1.66054\times10^{-27})=3.902\times10^{-25}\ \mathrm{kg}.\]
检查： \(N+Z=235\)；电荷为正；\(\mathrm{kg}\) 与 \(\mathrm C\) 单位独立。若改为中性铀原子，总电荷变为零且质量包含 92 个电子。实际核质量因结合能低于自由核子总质量，\(Au\) 只是量级估算。
Worked Example 2 — Radius convention / 半径约定
系统与参考系： 静止球形 \(^{208}\mathrm{Pb}\) 核，原点在质心。
模型： 均匀硬球，\(r_0=1.20\ \mathrm{fm}\)；仅用于把尖锐半径换算为 rms 半径。
坐标： 径向坐标 \(r\ge0\)。
\[R=r_0A^{1/3}=1.20(208)^{1/3}=7.11\ \mathrm{fm}.\]
\[r_{\rm rms}=\sqrt{\frac35}R=5.51\ \mathrm{fm}=5.51\times10^{-15}\ \mathrm m.\]
检查： rms 半径小于边界半径且符号为正；IAEA 评估的 \(^{208}\mathrm{Pb}\) rms 电荷半径约 \(5.50\ \mathrm{fm}\)，数量级一致。\(A\to0\) 不属于连续液滴极限，不能外推；该吻合也不证明电荷分布严格均匀，表面弥散与中子皮仍被模型忽略。
Worked Example 3 — Nuclear density and resolution / 核密度与分辨率
系统与参考系： 中重核内部的均匀球近似，核质心系。
模型： \(R=r_0A^{1/3}\)，\(r_0=1.20\times10^{-15}\ \mathrm m\)，每核子质量近似 \(u\)。
坐标： 球坐标，密度取体平均。
\[n_0=\frac{3}{4\pi r_0^3}=1.38\times10^{44}\ \mathrm{m^{-3}}=0.138\ \mathrm{fm^{-3}}.\]
\[\rho\approx un_0=(1.66054\times10^{-27})(1.38\times10^{44}) =2.29\times10^{17}\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.\]
分辨 \(\Delta x=1.00\ \mathrm{fm}\) 的能量尺度为
\[E\sim\frac{\hbar c}{\Delta x}=197\ \mathrm{MeV}=3.16\times10^{-11}\ \mathrm J.\]
检查： \(n_0\) 的 \(\mathrm{m^{-3}}\) 与 \(\rho\) 的 \(\mathrm{kg\,m^{-3}}\) 正确；\(\Delta x\to\infty\) 时所需 \(E\to0\)。数值与常引核物质饱和密度 \(0.16\ \mathrm{fm^{-3}}\) 接近但不相等，差异主要来自经验 \(r_0\) 与表面定义。
Worked Example 4 — Proton Zeeman splitting / 质子 Zeeman 分裂
系统与参考系： 静止自由质子置于均匀 \(\mathbf B=B\hat z\) 中，实验室系。
模型： 弱场、忽略反冲与场不均匀；两态磁矩投影取 \(\pm\mu_p\)。
已知： \(B=1.50\ \mathrm T\)，NIST 给出 \(\mu_p=1.41060679545\times10^{-26}\ \mathrm{J\,T^{-1}}\)。
\[\Delta E=2\mu_pB=2(1.4106068\times10^{-26})(1.50) =4.23\times10^{-26}\ \mathrm J.\]
\[f=\frac{\Delta E}{h}=6.39\times10^7\ \mathrm{Hz}=63.9\ \mathrm{MHz}.\]
检查： \(\mathrm{J\,T^{-1}}\times\mathrm T=\mathrm J\)；\(B\to0\) 时分裂与频率均趋零。这里是自由质子；核内质子的有效 \(g\) 因子、屏蔽与组态混合会改变观测值。
Lesson synthesis / 全课综合
\((Z,N)\) 确定核素身份，质量与半径给出能量和空间尺度，密度标度揭示饱和性，而 \(J^\pi\)、\(\mu\) 与 \(Q\) 提供量子结构指纹。实验量与模型参数必须分层：数据告诉我们“测到什么”，硬球、Woods–Saxon 与壳层图像解释“为何大致如此”。下一课将用精确原子质量差建立结合能与稳定性。
Formula-and-decision table / 公式与决策表
| Task | Relation | Use when | Boundary |
|---|---|---|---|
| count neutrons | \(N=A-Z\) | nuclide identity known | not a mass equation |
| nuclear charge | \(q=Ze\) | bare nucleus | neutral atom has zero net charge |
| radius trend | \(R=r_0A^{1/3}\) | order-of-magnitude or liquid-drop scale | not exact charge radius |
| uniform-sphere rms | \(r_{\rm rms}=\sqrt{3/5}R\) | explicitly uniform sphere | diffuse/deformed profiles differ |
| mean number density | \(n_0=3/(4\pi r_0^3)\) | same radius model | surface and halo corrections |
| single-particle parity | \(\pi=(-1)^\ell\) | one dominant valence orbital | configuration mixing can matter |
| magnetic moment scale | \(\mu_N=e\hbar/(2m_p)\) | nuclear magnetism | actual \(g\) is state dependent |
Model boundaries / 模型边界
- \(R=r_0A^{1/3}\) 是经验总体趋势；不得替代 IAEA 的核素特定 rms 电荷半径。
- 电荷半径、物质半径与中子半径是不同可观测量；halo 与 neutron skin 尤其不能合并处理。
- 均匀密度球忽略表面弥散、形变、团簇与量子壳层振荡。
- 壳层单粒子 \(J^\pi\) 赋值在闭壳层附近最有用；形变核和强组态混合需更完整模型。
- \(J=0\) 的实验室四极矩为零不必意味着内禀形状严格球形。
- 数据库给出评估值和不确定度；图表颜色或课堂四舍五入不能取代原始条目。
Misconception clinic / 误区诊所
- \(A\) 是核子数，不是“核质量等于 \(A\ \mathrm u\)”。
- 中子净电荷为零，不等于中子没有磁矩或内部电荷结构。
- 同位素固定的是 \(Z\)，不是 \(A\)。
- \(1.2A^{1/3}\ \mathrm{fm}\) 通常是尺度半径，不是实验 rms 电荷半径。
- 核密度近似恒定不意味着核不可压缩或每处密度完全相同。
- 奇 \(A\) 核的 \(J^\pi\) 不总由最后一个核子精确决定。
Practice and retrieval / 练习与提取
- [K01] 对 \(^{27}_{13}\mathrm{Al}\) 求 \(N\)，并说出与 \(^{26}\mathrm{Al}\) 的关系。
答案 1
\(N=27-13=14\)；两者 \(Z=13\) 相同，是同位素。
- [K01] \(^{40}_{18}\mathrm{Ar}\) 与 \(^{40}_{20}\mathrm{Ca}\) 是哪一类“同—”核素？
答案 2
两者 \(A=40\) 相同，是同量异位素；\(N\) 分别为 22 与 20。
- [K02] 为什么用中性原子质量计算质量亏损时常使用氢原子质量而非裸质子质量？
答案 3
因为母、子项都按中性原子记账时电子数可系统抵消；若混用裸质子质量就会重复或漏算电子。
- [K02] \(A=64\) 时用 \(r_0=1.20\ \mathrm{fm}\) 求模型半径。
答案 4
\(64^{1/3}=4\)，故 \(R=4.80\ \mathrm{fm}\)；这是模型尺度而非核素特定实验 rms 半径。
- [K02] 均匀球 \(R=6.00\ \mathrm{fm}\) 的 rms 半径是多少？
答案 5
\(r_{\rm rms}=\sqrt{3/5}R=4.65\ \mathrm{fm}\)，保留三位有效数字。
- [K03] 若 \(A\) 增为原来的 8 倍，\(R\) 与体积各怎样变化？
答案 6
\(R\propto A^{1/3}\)，故半径加倍；体积 \(V\propto R^3\propto A\)，故增为 8 倍。
- [K03] 为什么 \(R\propto A^{1/3}\) 暗示平均密度近似与 \(A\) 无关？
答案 7
因 \(V\propto R^3\propto A\)，所以 \(A/V\) 近似为常数；轻核表面项会造成偏离。
- [K04] 单粒子位于 \(f_{7/2}\) 轨道时其宇称为何？
答案 8
\(f\) 轨道有 \(\ell=3\)，所以 \(\pi=(-1)^3=-\)；若核芯为 \(0^+\) 且组态纯，则候选 \(J^\pi=7/2^-\)。
- [K04] 为什么偶偶核基态常为 \(0^+\)？
答案 9
同类核子倾向成对耦合为零角动量且正宇称；这是配对系统学，不是对任意激发态的定理。
- [K04] 一个 \(J=0\) 核的实验室静态四极矩为零，能否断言内禀形状一定是球？
答案 10
不能。实验室态的转动平均可使静态四极矩为零；需结合转动谱和 \(B(E2)\) 判断内禀形变。
Exit ticket / 离堂检验
- 用一句话分别定义质量数、原子质量与 rms 电荷半径。
- 给出一个必须放弃 \(R=r_0A^{1/3}\) 精确解释的情境，并指出应查哪类数据。
- 解释 \(J^\pi\) 与 \(\mu\) 为什么是“模型约束”而非完整核波函数。
References and source notes / 参考资料与来源说明
以下直接来源已于 2026-08-30 实际打开并核读标题、机构与相关条目：
- NIST, 2022 CODATA adjustment — Fundamental Physical Constants: Extensive Listing. https://physics.nist.gov/cuu/pdf/all.pdf
- IAEA Nuclear Data Services, Nuclear Charge Radii. https://www-nds.iaea.org/radii/
- National Nuclear Data Center, Brookhaven National Laboratory, NuDat 3 User Guide. https://www.nndc.bnl.gov/nudat3/guide/
- National Nuclear Data Center, Brookhaven National Laboratory, NuDat 3.0. https://www.nndc.bnl.gov/nudat3/
- MIT OpenCourseWare 22.02, Lecture notes, Chapter 5. Nuclear Structure. https://ocw.mit.edu/courses/22-02-introduction-to-applied-nuclear-physics-spring-2012/5ac279a77468f9041a4d213442c3cb6a_MIT22_02S12_lec_ch5.pdf
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Boundary or convention |
|---|---|---|---|
| NIST CODATA 2022 | proton, neutron and magnetic-moment constants | K01, K02, K04; Examples 1 and 4 | constants are measured values with uncertainties |
| IAEA Nuclear Charge Radii | rms charge-radius definition and isotope-specific data | K02; Example 2 | charge radius is not matter or sharp radius |
| NNDC NuDat 3 User Guide | evaluated \(J^\pi\), level and chart conventions | K01, K04 | chart colors simplify full datasets |
| NNDC NuDat 3 | nuclide-chart observable workflow | K01, K04 | use current evaluated entries, not screenshots as immutable data |
| MIT 22.02 Chapter 5 | shell-model spin, parity and moments | K04 | extreme single-particle model is approximate |
复习与拓展
- 回看 角动量耦合，把单核子 \(\ell\) 与 \(s\) 合成为 \(j\)。
- 下一课 Binding Energy and Stability 用原子质量差建立结合能、分离能与稳定谷。
- Nuclear Models 将比较液滴、壳层与集体描述为何各自只解释部分可观测量。