Learning objectives / 学习目标
从恒定 hazard 推导指数衰变律；在 \(A\)、\(\lambda\)、\(T_{1/2}\) 与平均寿命间转换；区分单核随机事件与总体期望；用 Poisson 模型计算计数不确定度并处理独立本底；写出二级 Bateman 方程并判断长期平衡成立的时间尺度。
Prerequisites / 先修知识
- 核素记号与可观测量。
- 一阶线性微分方程、指数函数与自然对数。
- 概率分布的期望、方差及独立随机量的方差相加。
Scope and conventions / 范围与约定
- 默认封闭样品中同一种母核，每个核的单位时间衰变概率 \(\lambda\) 恒定；若存在移入、移出、活化或化学分离，必须另加源汇项。
- \(N(t)\) 是未衰变母核数，\(A(t)=-dN/dt=\lambda N\) 是真实活度，单位 Bq；探测到的计数率还乘效率、几何接受度与分支比。
- Poisson 近似要求事件独立、平均率在计数窗内近似不变且死时间/堆积可忽略或已校正；低计数时不把 \(\sqrt n\) 区间误当严格对称置信区间。
- 衰变数据采用 NNDC/ENSDF 或其他评估库并保留版本与不确定度；本课不讨论放射源制备或任何不安全操作。
Notation and modeling contract / 符号与建模契约
| Symbol | Meaning | SI unit |
|---|---|---|
| \(N\) | 未衰变母核数 | 1 |
| \(\lambda\) | 单核衰变常数（hazard） | \(\mathrm{s^{-1}}\) |
| \(A\) | 活度 \(\lambda N\) | Bq |
| \(T_{1/2}\) | 放射性半衰期 | s |
| \(\tau\) | 平均寿命 \(1/\lambda\) | s |
| \(n,\mu\) | 观测计数与期望计数 | 1 |
| \(\sigma_n\) | Poisson 标准差 | 1 |
1. Activity, decay constant, and half-life / 活度、衰变常数与半衰期
Knowledge ID: P10-U03-L01-K01
\(\lambda\) 是给定核态的瞬时 hazard，不是“每秒必有固定比例精确消失”的机械时钟。对足够短的 \(dt\)，单核在 \(dt\) 中衰变的概率约为 \(\lambda dt\)；总体期望损失为 \(dN=-\lambda Ndt\)。活度因此是源在某时刻每秒发生多少次核转变，而探测器计数率 \(R=\epsilon I_\gamma A+B\) 还含总效率 \(\epsilon\)、某辐射分支发射概率 \(I_\gamma\) 与本底 \(B\)。
\[A=\lambda N,\qquad T_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda},\qquad \tau=\frac1\lambda=\frac{T_{1/2}}{\ln2}.\]
半衰期与平均寿命回答不同问题：\(T_{1/2}\) 是生存概率降至 \(1/2\) 的分位数；\(\tau\) 是指数等待时间的均值。环境通常不会显著改变核衰变常数，但电子俘获等涉及原子电子波函数的过程可有很小的化学/电离修正，因此“绝不受外界影响”应视为常规条件下的高精度近似。
图 1 区分真实活度和仪器计数率，避免把“少计到”误判为“少衰变”。
图 2 把半衰期的中位生存时间与平均寿命区分。
2. Exponential decay law / 指数衰变定律
Knowledge ID: P10-U03-L01-K02
恒定 hazard 给出自治方程 \(dN/dt=-\lambda N\)。分离变量并用 \(N(0)=N_0\) 得
\[N(t)=N_0e^{-\lambda t}=N_0\,2^{-t/T_{1/2}},\qquad A(t)=A_0e^{-\lambda t}.\]
半对数图中 \(\ln A=\ln A_0-\lambda t\) 是斜率 \(-\lambda\) 的直线，可用于估计半衰期；但真实拟合应保留计数的 Poisson likelihood、本底、死时间以及半衰期相对计数窗不够长时的窗内衰变。NIST 的活度校准程序明确要求短寿命核素在测量期间做衰变修正。指数律的 memoryless 性质表示：已存活到 \(t\) 的核，再等 \(s\) 仍存活的条件概率是 \(e^{-\lambda s}\)，与年龄 \(t\) 无关。
图 3 显示半衰期是乘法尺度而非每段减去相同数量。
图 4 是理想半对数线性化；减本底后出现负计数时不能直接取对数。
3. Randomness of individual decay / 单次衰变的随机性
Knowledge ID: P10-U03-L01-K03
量子态只给衰变振幅与概率率，不能为某个事先标记的同类核指定“预约时刻”。单核等待时间密度为
\[f(t)=\lambda e^{-\lambda t},\qquad P(T>t)=e^{-\lambda t}.\]
随机不等于无规律：重复准备大量相同核，样本均值会收敛到确定的指数期望。若每个核有多个互斥通道，部分常数为 \(\lambda_i\)，总常数 \(\lambda=\sum_i\lambda_i\)，分支比 \(b_i=\lambda_i/\lambda\)。测得某一次较晚衰变并不说明该核“变得更稳定”；memoryless 模型下剩余寿命分布不因已经等待而改变。若核态混合、外部产生或探测效率漂移，观测时间序列可以偏离单指数，但这不是单次事件变成可预测。
图 5 说明同类核的个别寿命分散而总体分布相同。
图 6 将总寿命和通道分支率联系起来。
4. Poisson counting statistics / 泊松计数统计
Knowledge ID: P10-U03-L01-K04
在恒定平均率、独立事件且计数窗足够短的理想条件下，窗内计数 \(n\) 服从
\[P(n\mid\mu)=e^{-\mu}\frac{\mu^n}{n!},\qquad E[n]=\mu,\qquad \operatorname{Var}(n)=\mu.\]
因此大计数近似下 \(\sigma_n\approx\sqrt n\)，相对统计不确定度约 \(1/\sqrt n\)；要把相对不确定度减半，需约四倍计数。若样品窗得 \(n_s\)、独立同长度本底窗得 \(n_b\)，净计数估计 \(n_s-n_b\)，方差却是 \(n_s+n_b\)，不能写成 \(\sqrt{n_s-n_b}\)。不同计时长度需先按曝光时间缩放，并把缩放系数平方带入方差。死时间、脉冲堆积、增益漂移与放射源在窗内明显衰变都会破坏最简单模型；NIST 低水平计数说明也强调 Poisson/Poisson-normal 口径依赖计数区间。
图 7 突出计数分布是离散的，低计数时也不对称。
图 8 区分信号相减与噪声方差相加。
5. Decay chains and secular equilibrium / 衰变链与长期平衡
Knowledge ID: P10-U03-L01-K05
对母核 \(1\to2\to\) 稳定核，且初始 \(N_2(0)=0\)，耦合方程与 Bateman 解为
\[\frac{dN_1}{dt}=-\lambda_1N_1,\qquad \frac{dN_2}{dt}=\lambda_1N_1-\lambda_2N_2,\]
\[N_2(t)=\frac{\lambda_1N_{10}}{\lambda_2-\lambda_1} \left(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}\right).\]
若 \(\lambda_1\ll\lambda_2\) 且观察时间满足若干个子核半衰期但远小于母核半衰期，母活度近似常量，子活度趋向母活度：\(A_2\approx A_1\)，称长期（secular）平衡。这里相等的是转变率而非核数；\(N_2/N_1\approx\lambda_1/\lambda_2\ll1\)。若子核半衰期不够短则是瞬时平衡或无平衡。分支、初始子核、化学分离和外部补给会改变方程，不能只凭两条曲线接近便宣称平衡。
图 9 将 Bateman 方程画成通量收支。
图 10 只示意 \(\lambda_1\ll\lambda_2\) 的时间尺度分离，不代表任意衰变链。
Worked Examples / 完整例题
Worked Example 1 — Half-life decay factor
已知： 某核素 \(T_{1/2}=8.00\ \mathrm h\)，初始活度 \(A_0=640\ \mathrm{kBq}\)，求 \(20.0\ \mathrm h\) 后活度。系统： 封闭单核素样品。时间坐标： \(t=0\) 为给定活度的参考时刻。
\[\lambda=\frac{\ln2}{8.00\ \mathrm h}=0.08664\ \mathrm{h^{-1}},\]
\[A=A_0\,2^{-20.0/8.00}=640\times2^{-2.5}\ \mathrm{kBq}=113\ \mathrm{kBq}.\]
检查： 经过 \(2.5\) 个半衰期，剩余比例 \(0.1768\)，介于 \(1/4\) 与 \(1/8\) 之间。边界： 未包含样品损失、子核活度或测量窗内修正。
Worked Example 2 — From nuclei to activity
已知： \(N=3.00\times10^{12}\) 个母核，\(T_{1/2}=6.00\ \mathrm h\)。系统： 单一核态。
\[\lambda=\frac{0.693147}{21600\ \mathrm s}=3.209\times10^{-5}\ \mathrm{s^{-1}},\]
\[A=\lambda N=(3.209\times10^{-5})(3.00\times10^{12})=9.63\times10^7\ \mathrm{Bq}.\]
检查： \(\mathrm{s^{-1}}\) 即 Bq。解释： 这是核转变率，不等于某条谱线的记录率。
Worked Example 3 — Independent background subtraction
已知： 等长计数窗中样品位置记录 \(n_s=120\)，本底位置记录 \(n_b=40\)。模型： 两窗独立 Poisson，效率与率在两窗间稳定。
\[n_{net}=120-40=80,\]
\[\sigma_{net}=\sqrt{120+40}=12.65\approx13.\]
故写为 \(80\pm13\) counts（约一标准差的大计数近似），而不是 \(80\pm\sqrt{80}\)。边界： 低计数的区间估计应使用 Poisson likelihood 或精确方法。
Worked Example 4 — Daughter build-up in the secular limit
已知： 母核半衰期远长于子核，观察窗内 \(A_1\) 可视为常量；初始无子核，等待 \(10\) 个子核半衰期。模型： 单分支、无分离、无外源。
\[\frac{A_2(t)}{A_1}=1-e^{-\lambda_2t}=1-2^{-10}=0.999023.\]
检查： 子活度从零单调接近母活度且不超越。解释： 达到的是活度平衡；子核数仍约为 \((\lambda_1/\lambda_2)N_1\)。
Lesson synthesis / 全课综合
指数律是“恒定单核 hazard”的总体结果；半衰期与平均寿命是同一指数分布的不同摘要；单次时间随机而总体期望稳定；探测计数在理想窗内呈 Poisson 起伏；衰变链则把多个一阶随机过程用生产—损失方程耦合。每次解释数据都应先分清：讨论的是核转变率、探测器计数率，还是有限样本的随机实现。
Formula-and-decision table / 公式与决策表
| Task | Relation | Use when | Boundary |
|---|---|---|---|
| 半衰期转换 | \(\lambda=\ln2/T_{1/2}\) | 单一恒定核态 | 数据需注明评估版本 |
| 时间外推 | \(A=A_0e^{-\lambda t}\) | 封闭单指数源 | 混合源需多指数/链模型 |
| Poisson 统计 | \(\sigma_n=\sqrt\mu\approx\sqrt n\) | 独立恒率计数 | 低计数区间不对称 |
| 独立本底 | \(n_{net}=n_s-n_b\)，\(\sigma^2=n_s+n_b\) | 等曝光窗 | 不等窗需缩放方差 |
| 二级链 | \(N_2=\lambda_1N_{10}(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t})/(\lambda_2-\lambda_1)\) | 单分支且 \(N_2(0)=0\) | 分支/源汇需扩展 |
| 长期平衡 | \(A_2\approx A_1\) | \(\lambda_1\ll\lambda_2\) 且等待数个 \(T_{1/2,2}\) | 相等的不是核数 |
Model boundaries / 模型边界
- 指数律不自动适用于核态混合、外部持续产生、样品迁移或时间变效率。
- 活度是源的转变率；计数率还依赖分支比、效率、几何、本底与死时间。
- Poisson 模型不包含相关噪声、堆积、仪器漂移或非恒率过程。
- 长期平衡需要明确时间尺度与边界条件；短寿命母核不能维持长期平衡。
- 本课只处理安全的理论与数据解释，不涉及放射源获取、制备或操作。
Misconception clinic / 误区诊所
- 半衰期后不是“所有核都衰变一半次”，而是总体生存期望减半。
- 活度为 \(100\ \mathrm{Bq}\) 不保证探测器每秒记录 100 个脉冲。
- 单核已存活很久不意味着它“马上更可能衰变”。
- 净计数相减时，独立噪声不会相减。
- 长期平衡中母、子活度近似相等，但母、子核数通常差很多。
Practice and retrieval / 练习与提取
- [K01] \(T_{1/2}=12.0\ \mathrm h\)，求 \(\lambda\)（\(\mathrm{h^{-1}}\)）。
第 1 题答案
\(\lambda=\ln2/12.0=0.05776\ \mathrm{h^{-1}}\)。
- [K01] 为什么 \(\tau\) 大于 \(T_{1/2}\)？
第 2 题答案
\(\tau=T_{1/2}/\ln2=1.4427T_{1/2}\)；均值受指数分布长尾影响，而半衰期是中位数。
- [K02] 三个半衰期后 \(N/N_0\) 为多少？
第 3 题答案
\(2^{-3}=1/8=0.125\)。
- [K02] 半对数图 \(\ln A\) 对 \(t\) 的斜率是什么？
第 4 题答案
\(-\lambda\)；截距是 \(\ln A_0\)。
- [K03] 写出单核在 \(t\) 后仍未衰变的概率。
第 5 题答案
\(P(T>t)=e^{-\lambda t}\)。
- [K03] 两通道 \(\lambda_1=2\lambda_2\)，通道 1 分支比是多少？
第 6 题答案
\(b_1=\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)=2/3\)。
- [K04] 期望计数 \(\mu=100\) 时相对 Poisson 标准差是多少？
第 7 题答案
\(\sqrt{100}/100=0.10\)，即 \(10\%\)。
- [K04] 等长窗 \(n_s=75,n_b=25\)，求净计数及标准差。
第 8 题答案
\(n_{net}=50\)，\(\sigma=\sqrt{75+25}=10\)。
- [K05] 长期平衡中为何 \(A_2\approx A_1\)？
第 9 题答案
子核的产生率 \(\lambda_1N_1\) 与移除率 \(\lambda_2N_2\) 近似相等，故两者活度相等。
- [K05] 若子核半衰期比母核更长，会建立长期平衡吗？
第 10 题答案
不会；母核先明显耗尽，无法近似提供恒定子核产生率。
Exit ticket / 离堂检验
- 用一句话同时解释“单次不可预测”与“总体指数律不矛盾”。
- 给定样品/本底两组计数，写出净计数与统计方差，并列出一个会破坏 Poisson 模型的仪器效应。
References and source notes / 参考资料与来源说明
以下直接来源均于 2026-08-30 打开并阅读正文或 PDF 相关页：
- IAEA, Module I: Nuclear Physics and Reactor Theory. https://gnssn.iaea.org/main/bptc/BPTC Module Documents/Module01 Nuclear physics and reactor theory.pdf
- NNDC/BNL, NuDat 3 User Guide. https://www.nndc.bnl.gov/nudat3/guide/
- NIST Radiation Physics Division, Procedure for gamma-ray spectrometry measurements for activity calibration and impurity measurements using HPGe detectors. https://www.nist.gov/document/procedure23v100pdf
- NIST, Limits for Qualitative Detection and Quantitative Determination（Poisson-normal counting discussion）. https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/sp958-lide/html/164-166.html
- MIT OpenCourseWare 22.02, Introduction to Nuclear Physics, Chapter 1. https://ocw.mit.edu/courses/22-02-introduction-to-applied-nuclear-physics-spring-2012/d0d046f78c917f107d925f11ac862ae4_MIT22_02S12_lec_ch1.pdf
- University of Michigan, NERS 312 — Lecture Notes for Chapter 13: Radioactive decay（Chapter 13.4: Growth of Daughter Activities — Bateman equations）. https://websites.umich.edu/~ners312/CourseLibrary/Lecture13.pdf
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Boundary checked |
|---|---|---|---|
| IAEA Module I | \(A,\lambda,T_{1/2}\)、随机性 | K01–K03 | 常规条件下恒定核态 |
| NNDC NuDat guide | 半衰期、能级、分支的评估数据口径 | K01, K05 | 数据会随 ENSDF 评估更新 |
| NIST HPGe procedure | 窗内衰变与参考时刻修正 | K02, K04 | 仪器校正不等于源活度 |
| NIST detection limits | Poisson/Poisson-normal 低水平计数 | K04 | 低计数区间需谨慎 |
| MIT 22.02 | 随机衰变、指数律、链方程 | K01–K03, K05 | 总体期望不预测单核时刻 |
| Michigan NERS 312 | Bateman 方程、分支与长期平衡 | K03, K05 | 初值与分支条件必须声明 |
复习与拓展
- 回看 Nuclear Scales and Observables 中核素与评估数据。
- 下一课 Alpha, Beta, and Gamma Decay 把总衰变率拆到具体通道与守恒律。
- 前向连接 Radiation Detection：效率、死时间、本底与峰面积统计。