α、β 与 γ 衰变

Learning objectives / 学习目标

用 Q 值与 WKB 隧穿解释 α 衰变；正确书写 β⁻、β⁺、电子俘获并使用原子质量口径；由三体末态解释连续 β 谱与端点；区分 γ 发射和内转换；按电荷、核子数、能量动量、角动量、宇称与轻子数逐层检查衰变。

Prerequisites / 先修知识

• Decay Law and Statistics。
• 质量亏损与 \(E=mc^2\)、Coulomb 势、有限势垒隧穿。
• 角动量耦合、宇称与光子的基本性质。

Scope and conventions / 范围与约定

• Q 值由初态静质量减末态静质量；若使用中性原子质量，β⁻、β⁺、EC 的电子数账目必须采用相匹配公式。
• α 两体能量分配在母核静止系讨论；β 谱也在母核近似静止系，保留核反冲概念但在入门计算中常忽略其小能量。
• 选择定则给强弱抑制与多极性，不保证给出绝对寿命；核矩阵元、相空间与穿透率仍决定速率。
• 仅讨论标准核结构、能谱与守恒分析，不涉及放射源制备或任何危险材料操作。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Alpha decay and quantum tunneling / α 衰变与量子隧穿

Knowledge ID: P10-U03-L02-K01

α 衰变写作 \(^A_ZX\to{}^{A-4}_{Z-2}Y+{}^4_2\mathrm{He}\)。在母核静止系，若 \(Q>0\)，能量允许；但 α 团簇在短程核势阱内，外侧面对 Coulomb 势垒，经典粒子能量低于势垒顶便不能逃逸。量子波函数在禁阻区指数衰减，给非零穿透率。WKB 结构为

\[P\sim e^{-2G},\qquad G=\int_{r_1}^{r_2}\frac{\sqrt{2\mu c^2[V(r)-Q]}}{\hbar c}\,dr,\]

其中 \(\mu c^2\)、\(V\) 与 \(Q\) 用 MeV，\(\hbar c\) 用 \(\mathrm{MeV\,fm}\)，\(r\) 用 fm，故 \(G\) 无量纲。等价地也可把 \(\mu,V,Q,r,\hbar\) 全部换成 SI 后计算，但不能混用两套单位。\(Q\) 略增会显著缩窄禁阻区并指数提高穿透率，这构成 Geiger–Nuttall 趋势的物理核心。绝对寿命还含 α 团簇预形成概率与“撞击势垒”频率，简单球形 WKB 对形变核、非零轨道角动量与精密寿命只能作半定量模型。

两体末态动量大小相等，非相对论近似下动能与质量成反比：

\[T_\alpha\simeq Q\frac{M_D}{M_D+m_\alpha},\qquad T_D\simeq Q\frac{m_\alpha}{M_D+m_\alpha}.\]

图 1 显示核势阱、Coulomb 势垒和经典禁阻区。

图 2 表示 Geiger–Nuttall 型指数敏感性，而非用一条线替代核结构。

2. Beta-minus, beta-plus, and electron capture / β⁻、β⁺ 与电子俘获

Knowledge ID: P10-U03-L02-K02

β 衰变由弱相互作用改变核内质子—中子身份，质量数 \(A\) 不变。三个基本式为

\[\beta^-:\ n\to p+e^-+\bar\nu_e,\]

\[\beta^+:\ p\to n+e^++\nu_e,\]

\[\mathrm{EC}:\ p+e^-_{atomic}\to n+\nu_e.\]

用中性原子质量 \(M_a\) 时，\(Q_{\beta^-}=[M_a(P)-M_a(D)]c^2\)，\(Q_{EC}=[M_a(P)-M_a(D)]c^2\)，而 \(Q_{\beta^+}=[M_a(P)-M_a(D)-2m_e]c^2\)；因此 β⁺ 至少需要 \(2m_ec^2=1.022\ \mathrm{MeV}\) 的原子质量差，EC 则没有该成对质量门槛。β⁺ 与 EC 常竞争，但具体分支还受相空间、电子壳层密度和核矩阵元控制。EC 留下的原子空穴会通过特征 X 射线或 Auger 电子退激，这些属于原子壳层响应而非额外核衰变通道。

图 3 是 β⁻ 的粒子账目，不表示核内预先存有电子。

图 4 并列 β⁺ 与电子俘获，强调原子质量口径。

3. Neutrinos and beta spectra / 中微子与 β 能谱

Knowledge ID: P10-U03-L02-K03

若 β 衰变只有子核与电子两个末态，母核静止系的电子能量应近似单值；实验却得到从低能到端点的连续谱。中微子/反中微子与电子、核反冲三者共享 Q 值，使每次电子能量不同而总能量动量仍守恒。忽略小反冲时

\[T_e+E_\nu\simeq Q,\]

端点附近 \(E_\nu\) 最小，电子获得几乎全部可用能量；精密端点形状能约束中微子质量，但需 Coulomb Fermi 函数、分子末态、辐射修正、能量损失与仪器响应。本课横轴采用电子动能 \(T_e\)，并定义动能端点 \(E_0\simeq Q\)；于是允许 β 谱的示意相空间因子为 \(p_e c\,(T_e+m_ec^2)(E_0-T_e)^2\)（再乘 Fermi 函数与共同常数），不是简单均匀分配。若改用总能量 \(W=T_e+m_ec^2\)，则必须同时用 \(W_0=E_0+m_ec^2\)，写成 \(p_e c\,W(W_0-W)^2\)。中微子在普通探测器中极少相互作用，不能因此从守恒账目中省略。

图 5 展示连续 β 谱和端点，而非单能电子线。

图 6 把连续谱解释成末态能量共享。

4. Gamma transitions and internal conversion / γ 跃迁与内转换

Knowledge ID: P10-U03-L02-K04

γ 衰变是同一核素的激发态 \(X^*\) 向较低核态跃迁：\(^A_ZX^*\to{}^A_ZX+\gamma\)。光子能量略小于能级差，因为子核承担反冲：

\[E_\gamma\simeq\Delta E-\frac{E_\gamma^2}{2Mc^2}.\]

核电磁场也可把跃迁能直接传给束缚电子，使电子逸出，称内转换；它不是 β 衰变，因为核的 \(Z,A\) 均不变且电子来自原子壳层。转换电子动能约 \(T_e=\Delta E-B_i\)，随后壳层空穴产生 X 射线/Auger 电子。定义 \(\alpha_{IC}=\lambda_{IC}/\lambda_\gamma\)，总跃迁率 \(\lambda_{tot}=\lambda_\gamma(1+\alpha_{IC})\)。低能、高 \(Z\) 和较高多极性通常增强内转换竞争，但定量系数应查 BrIcc/ENSDF 评估，而不是靠趋势猜值。

图 7 显示 γ 光子连接离散核能级。

图 8 表示内转换；逸出电子不是核内产生的 β 粒子。

5. Conservation laws and selection rules / 守恒律与选择定则

Knowledge ID: P10-U03-L02-K05

分析任何衰变应先做硬守恒：电荷、核子数、总能量、三动量、总角动量；标准模型允许过程还要满足相应轻子数账目。然后检查宇称和角动量选择定则。守恒失败意味着过程不可能；选择定则所谓“禁戒”通常表示最低阶矩阵元为零、需更高阶多极或轨道角动量，因而速率受抑而非逻辑上绝对不存在。

允许 β 跃迁中，Fermi 型通常 \(\Delta J=0\) 且无宇称改变；Gamow–Teller 型通常 \(\Delta J=0,\pm1\)、无宇称改变，但 \(0\to0\) 不属纯 GT。单光子 γ 多极辐射必须有 \(L\ge1\)，并满足 \(\max(1,\lvert J_i-J_f\rvert)\le L\le J_i+J_f\)，所以单光子 \(0\to0\) 不允许。\(L=0\) 表示 E0 跃迁：它不发射单个 γ 光子，可经内转换，或在能量超过 \(2m_ec^2\) 时经内电子对产生（internal pair creation）。电多极 \(EL\) 的宇称因子为 \((-1)^L\)，磁多极 \(ML\) 为 \((-1)^{L+1}\)。α 粒子的本征自旋宇称 \(0^+\)，所带轨道角动量 \(\ell\) 必须补足 \(J\) 与宇称差，较大 \(\ell\) 还增加离心势垒并压低速率。

图 9 给出从硬守恒到跃迁强度的检查顺序。

图 10 是 γ 多极宇称的决策图，不单独决定强度。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Alpha energy sharing

已知： 母核静止，\(Q=5.00\ \mathrm{MeV}\)，子核质量数近似 206，α 质量数 4。参考系： 母核静止系。模型： 两体非相对论、以质量数近似质量。

\[T_\alpha=Q\frac{206}{206+4}=4.905\ \mathrm{MeV},\]

\[T_D=Q\frac4{210}=0.0952\ \mathrm{MeV}.\]

检查： 两者和为 \(5.00\ \mathrm{MeV}\)，轻 α 获得更多动能。边界： 精密值应使用评估原子质量并含电子/反冲口径。

Worked Example 2 — Atomic-mass thresholds for β⁺ and EC

已知： 中性母、子原子质量差满足 \([M_a(P)-M_a(D)]c^2=2.50\ \mathrm{MeV}\)。

\[Q_{EC}=2.50\ \mathrm{MeV},\]

\[Q_{\beta^+}=2.50-2(0.511)=1.478\ \mathrm{MeV}.\]

检查： β⁺ 仍为正，故能量允许；EC 也允许。边界： 分支强弱不能由 Q 值单独决定，且 EC 可用能量还在中微子、反冲与原子壳层退激间分配。

Worked Example 3 — Beta energy sharing

已知： 某 β⁻ 衰变 \(Q=1.20\ \mathrm{MeV}\)，一次事件中电子动能 \(0.70\ \mathrm{MeV}\)。参考系： 母核静止系。近似： 忽略小核反冲能。

\[E_{\bar\nu}\simeq Q-T_e=1.20-0.70=0.50\ \mathrm{MeV}.\]

检查： 能量非负且两者和为 Q。边界： 精确动量守恒要求加入子核反冲，不能仅凭能量给出中微子方向。

Worked Example 4 — Gamma recoil scale

已知： 能级差约 \(1.000\ \mathrm{MeV}\)，子核静能 \(Mc^2=1.00\times10^5\ \mathrm{MeV}\)。参考系： 初始激发核静止系。

\[T_R\simeq\frac{E_\gamma^2}{2Mc^2}=\frac{(1.000\ \mathrm{MeV})^2}{2.00\times10^5\ \mathrm{MeV}}=5.00\times10^{-6}\ \mathrm{MeV}=5.00\ \mathrm{eV}.\]

所以 \(E_\gamma\) 比能级差约小 \(5\ \mathrm{eV}\)。检查： 重核反冲远小于 MeV 光子能。边界： 低能高分辨实验、Mössbauer 无反冲分数与晶格环境需更完整模型。

Lesson synthesis / 全课综合

α 衰变由两体 Q 值决定能量分配、由隧穿决定巨大寿命跨度；β 衰变由弱相互作用改变 \(Z\)，三体末态与中微子造就连续谱；γ/内转换只改变核能级不改核素。所有通道先服从硬守恒，再由角动量、宇称、多极性、相空间与核矩阵元决定是否强烈或受抑。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• \(Q>0\) 是必要的能量条件，不给寿命或分支比。
• WKB α 模型忽略形变、预形成与详细核结构时只能半定量。
• β 端点与允许谱公式需区分电子总能量/动能，并含反冲和实验响应。
• γ 选择定则规定最低多极性；混合多极跃迁与内转换需数据评估。
• 本课只含安全的理论和公开核数据解释，不涉及源制备、材料获取或规避控制。

Misconception clinic / 误区诊所

1. α 能量小于 Coulomb 势垒并不妨碍量子隧穿。
2. β 电子不是原先“藏在核里”的电子。
3. 连续 β 谱不是能量不守恒，而是中微子与反冲共享能量动量。
4. 内转换电子不是 β 粒子；内转换不改变 \(Z\) 或 \(A\)。
5. “禁戒跃迁”常是受抑的高阶过程，不等于所有情形下绝对零概率。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01] 写出 α 衰变后 \(A,Z\) 的变化。

2. [K01] 为什么 \(Q\) 略增可使 α 半衰期大幅缩短？

3. [K02] β⁻ 衰变中 \(A,Z\) 如何变化？

4. [K02] 用原子质量时 β⁺ 为什么要减去 \(2m_e\)？

5. [K03] β 谱端点附近中微子带走的能量怎样？

6. [K03] 连续 β 谱证明二体末态模型为何失败？

7. [K04] γ 衰变是否改变核素的 \(A,Z\)？

8. [K04] 内转换电子动能近似如何写？

9. [K05] 单光子 \(0\to0\) γ 跃迁允许吗？

10. [K05] E1 跃迁是否改变宇称？

Exit ticket / 离堂检验

1. 解释为什么 α 与 γ 常呈离散能线而 β 呈连续谱，并写出各自参考系。
2. 对一个候选跃迁依次列出 Q 值、硬守恒、角动量与宇称四道检查门。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下直接来源均于 2026-08-30 打开并阅读正文或 PDF 相关页：

1. MIT OpenCourseWare 22.02, Chapter 3: Scattering, Tunneling and Alpha Decay. https://ocw.mit.edu/courses/22-02-introduction-to-applied-nuclear-physics-spring-2012/8cd6e1d623eef63986356cb30c2a0387_MIT22_02S12_lec_ch3.pdf
2. MIT OpenCourseWare 22.02, Chapter 1: Introduction to Nuclear Physics. https://ocw.mit.edu/courses/22-02-introduction-to-applied-nuclear-physics-spring-2012/d0d046f78c917f107d925f11ac862ae4_MIT22_02S12_lec_ch1.pdf
3. MIT OpenCourseWare 8.701, Lecture 9.6: Gamma Decay. https://www.ocw.mit.edu/courses/8-701-introduction-to-nuclear-and-particle-physics-fall-2020/6b9388f680865219fc38cf1fa0475d92_MIT8_701f20_lec9.6.pdf
4. IAEA, Module I: Nuclear Physics and Reactor Theory. https://gnssn.iaea.org/main/bptc/BPTC Module Documents/Module01 Nuclear physics and reactor theory.pdf
5. NNDC/BNL, NuDat 3 User Guide. https://www.nndc.bnl.gov/nudat3/guide/
6. NNDC/IAEA, Co-ordination of the International Network of Nuclear Structure and Decay Data Evaluators: Summary Report of an IAEA Technical Meeting, INDC(NDS)-0476（section 2.3.7, Internal conversion processes — BrIcc）. https://www.nndc.bnl.gov/nsdd/reports/indc-nds-0476.pdf

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复习与拓展

• 回看 Decay Law and Statistics：通道部分常数之和给总衰变常数。
• 下一课 Nuclear Reaction Kinematics 系统处理 Q 值、动量守恒与阈能。
• 前向连接 Radiation Detection：离散线、连续谱、效率与能量分辨率。