Learning objectives / 学习目标
把 \(A(a,b)B\) 与完整反应式互译；统一质量口径计算 Q 值；在实验室系和质心系使用能量动量守恒；推导吸热反应阈能；把截面与薄靶反应率联系；用时间尺度、角分布与能谱区分直接和复合机制并说明其模型边界。
Prerequisites / 先修知识
Scope and conventions / 范围与约定
- 标准反应 \(a+A\to b+B\)；\(A\) 为靶、\(a\) 为入射粒子，实验室系默认靶静止。\(A(a,b)B\) 的括号内依次是入射、出射轻粒子。
- Q 值是静质量差，与参考系无关；动能分配和“入射能”则必须标实验室系或质心系。
- 阈能公式讨论末态可在质心系相对静止的理想运动学下限；Coulomb 势垒、角动量、共振与小矩阵元可使可观反应起点更高。
- 截面是概率性有效面积，不是核的几何截面；数据必须附能量、反应道、参考系、积分/微分类型与不确定度。
- 内容限于公开基础物理与数据素养，不给出危险材料、装置优化或规避安全控制的操作信息。
Notation and modeling contract / 符号与建模契约
| Symbol | Meaning | SI / common unit |
|---|---|---|
| \(Q\) | 初末静质量差乘 \(c^2\) | MeV |
| \(s\) | 能量形式的总四动量平方不变量 | \(\mathrm{MeV^2}\) |
| \(T_a^{lab}\) | 入射粒子实验室系动能 | MeV |
| \(E_{cm}\) | 质心系可用相对动能 | MeV |
| \(\sigma\) | 截面 | barn, \(10^{-28}\ \mathrm{m^2}\) |
| \(\Phi\) | 入射通量 | \(\mathrm{m^{-2}s^{-1}}\) |
| \(R\) | 反应事件率 | \(\mathrm{s^{-1}}\) |
1. Reaction notation and Q value / 反应记号与 Q 值
Knowledge ID: P10-U04-L01-K01
\(A(a,b)B\) 等价于 \(a+A\to b+B\)。例如括号外左边是靶，括号外右边是剩余核；若产物处于激发态，应写 \(B^*\) 并把激发能计入末态静能。守恒 \(A\) 与 \(Z\) 是第一道完整性检查，但并不足以确定反应强度。
\[Q=(m_a+m_A-m_b-m_B)c^2.\]
\(Q>0\) 为放能，\(Q<0\) 为吸能。使用中性原子质量仅在反应前后总电子数能正确抵消时最方便；否则需显式补电子/正电子质量和电子束缚能。数据库 Q 值与阈能应来自同一质量评估版本并保留不确定度。把“较大正 Q”直接解释为“截面较大”是错误的：截面还由波函数重叠、角动量、势垒、共振和反应机制决定。
图 1 解码反应简写并提醒记号本身不指定机制。
图 2 是放能反应的静质量能账本。
2. Energy and momentum conservation / 能量与动量守恒
Knowledge ID: P10-U04-L01-K02
最稳健写法是四动量守恒
\[p_a^\mu+p_A^\mu=p_b^\mu+p_B^\mu,\]
并定义能量形式的不变量 \(s=E_{tot}^2-(p_{tot}c)^2\)。在靶静止实验室系（显式保留 \(c\)）有
\[s=(m_ac^2+m_Ac^2)^2+2m_Ac^2T_a^{lab}.\]
非相对论下，质心系入射相对动能为 \(E_{cm}=T_a^{lab}m_A/(m_a+m_A)\)，其余实验室动能是质心整体平移。两体末态中，给定 \(s\) 后质心系出射动量大小固定、方向仍可分布；多体末态则有连续相空间。不能只守恒能量而忽略动量：吸热反应的阈能大于 \(\lvert Q\rvert\)，正是因为实验室系末态必须保留质心平动动能。
图 3 显示实验室系的矢量动量闭合。
图 4 区分实验室入射能与质心相对能。
3. Threshold energy / 阈能
Knowledge ID: P10-U04-L01-K03
对吸热二体反应，阈值时末态在质心系没有相对动能，即 \(s_{thr}=(m_b+m_B)^2c^4\)。靶静止系的精确阈能为
\[T_{thr}^{lab}=\frac{(m_b+m_B)^2-(m_a+m_A)^2}{2m_A}c^2.\]
当 \(\lvert Q\rvert\ll m_ic^2\) 时化为
\[T_{thr}^{lab}\simeq -Q\left(1+\frac{m_a}{m_A}\right),\qquad Q<0.\]
额外因子是动量守恒代价。若 \(Q>0\)，纯运动学阈值可为零，但带电粒子仍受 Coulomb 势垒，角动量/宇称、共振位置和探测灵敏度也会产生“实验起点”；这些不能与运动学阈值混称。末态含三个或更多粒子时，阈值不变量仍取所有末态静质量之和，但相空间在阈上附近的开启规律不同。
图 5 用可用质心能说明阈能而非只看 \(\lvert Q\rvert\)。
图 6 区分运动学阈值与动力学/实验起点。
4. Cross section and reaction rate / 截面与反应率
Knowledge ID: P10-U04-L01-K04
截面把入射通量与反应数相连。对薄靶、单次相互作用、均匀束流，靶区内有 \(N_T\) 个目标核：
\[R=\Phi N_T\sigma.\]
微分截面 \(d\sigma/d\Omega\) 描述角分布，积分后才是指定道的总截面。厚靶中束流会衰减并连续损能，必须积分 \(\sigma[E(x)]\)、靶密度和能损；不能用一个入口能量的截面直接乘全厚度。热化粒子群的体反应率为 \(r=n_an_A\langle\sigma v_{rel}\rangle\)，若两反应物相同还需除以 2 避免重复计对。截面随能量可跨越许多数量级并有阈值、共振和角分布结构；IAEA EXFOR 存实验数据，ENDF 等给评估数据，二者角色不同。
图 7 表示薄靶反应率模型。
图 8 强调截面不是常数；计算必须指定能量与数据集。
5. Direct and compound reactions / 直接与复合核反应
Knowledge ID: P10-U04-L01-K05
直接反应中入射粒子主要与少数核子或团簇在短时间内作用，常保留入射方向记忆并产生较强前向角分布、选择性占据单粒子态。复合核机制先吸收入射粒子形成热化的长寿命中间态，能量在许多自由度间分享，随后“蒸发”粒子或 γ；理想 Bohr 独立性表明衰变分支对形成路径的详细记忆较弱。
机制不是从反应式唯一读出，也不是严格互斥标签：同一反应道可有直接、预平衡、复合及其量子干涉贡献。角分布、出射能谱、共振宽度、偏振与时间尺度共同约束机制。IAEA LEXFOR 特别指出直接/复合部分截面通常是借助理论分解，不能当作直接独立测得的无模型量。机制判定应附所用光学势、能级密度与不确定度。
图 9 是直接反应的教学示意，不表示经典弹丸轨迹。
图 10 示意复合核失去大部分形成方向记忆。
Worked Examples / 完整例题
Worked Example 1 — Q value from atomic masses
反应： \(^2\mathrm H+{}^3\mathrm H\to{}^4\mathrm{He}+n\)。给定中性原子质量： \(2.014102\ \mathrm u\)、\(3.016049\ \mathrm u\)、\(4.002603\ \mathrm u\)、\(1.008665\ \mathrm u\)；电子数前后相消。取 \(1\ \mathrm u c^2=931.494\ \mathrm{MeV}\)。
\[\Delta m=(2.014102+3.016049-4.002603-1.008665)\ \mathrm u=0.018883\ \mathrm u,\]
\[Q=0.018883\times931.494=17.59\ \mathrm{MeV}.\]
检查： \(Q>0\)，反应放能。边界： Q 值不说明低能截面大小；带电入射仍受 Coulomb 势垒。
Worked Example 2 — Endothermic threshold in the lab
已知： \(Q=-2.00\ \mathrm{MeV}\)，入射粒子质量 \(m_a\simeq1\ \mathrm u\)，静止靶 \(m_A\simeq12\ \mathrm u\)，且 \(\lvert Q\rvert\ll m_ic^2\)。参考系： 靶静止实验室系。
\[T_{thr}^{lab}\simeq2.00\left(1+\frac1{12}\right)=2.167\ \mathrm{MeV}.\]
检查： 阈能大于 \(\lvert Q\rvert\)，多出的 \(0.167\ \mathrm{MeV}\) 支付质心平动。边界： 精密计算用不变量精确式与真实质量。
Worked Example 3 — Thin-target event rate
已知： \(\Phi=1.00\times10^{10}\ \mathrm{cm^{-2}s^{-1}}\)，靶区 \(N_T=5.00\times10^{18}\)，\(\sigma=0.200\ \mathrm{barn}=2.00\times10^{-25}\ \mathrm{cm^2}\)。
\[R=\Phi N_T\sigma=(1.00\times10^{10})(5.00\times10^{18})(2.00\times10^{-25})=1.00\times10^4\ \mathrm{s^{-1}}.\]
检查： \(\mathrm{cm^{-2}s^{-1}}\times\mathrm{cm^2}=\mathrm{s^{-1}}\)。边界： 未含束流衰减、能损、效率与死时间。
Worked Example 4 — Lab-to-CM energy conversion
已知： 非相对论入射能 \(T_a^{lab}=3.00\ \mathrm{MeV}\)，\(m_a=2\ \mathrm u\)，静止靶 \(m_A=3\ \mathrm u\)。
\[E_{cm}=T_a^{lab}\frac{m_A}{m_a+m_A}=3.00\frac3{5}=1.80\ \mathrm{MeV}.\]
其余 \(1.20\ \mathrm{MeV}\) 是整体质心平动能。检查： 重靶极限 \(m_A\gg m_a\) 时 \(E_{cm}\to T_a^{lab}\)。边界： 相对论能量需直接使用 \(s\)。
Lesson synthesis / 全课综合
反应记号负责核素账目，Q 值负责静质量能账目，四动量负责所有参考系下的运动学一致性，阈能把不变量条件转回靶静止实验室能量；截面才把“允许”变成概率与率；直接/复合模型则解释截面的角度、能量和时间结构。五层不能互相替代。
Formula-and-decision table / 公式与决策表
| Task | Relation | Use when | Boundary |
|---|---|---|---|
| Q 值 | \(Q=(m_a+m_A-m_b-m_B)c^2\) | 质量口径一致 | 不给截面 |
| 不变量 | \(s=(p_a+p_A)^2\) | 跨参考系运动学 | 注意 \(c\) 的单位约定 |
| 非相对论质心能 | \(E_{cm}=T_a^{lab}m_A/(m_a+m_A)\) | 靶静止、低速 | 高能用 \(s\) |
| 二体阈能 | \(T_{thr}^{lab}\simeq-Q(1+m_a/m_A)\) | \(Q<0\) 且质量差小 | 势垒/选择定则另算 |
| 薄靶率 | \(R=\Phi N_T\sigma\) | 单次作用、束流不衰减 | 厚靶积分 \(\sigma[E(x)]\) |
| 热反应率 | \(r=n_an_A\langle\sigma v\rangle\) | 速度分布已知 | 同种粒子除以 2 |
Model boundaries / 模型边界
- 所有动能、角度与阈值必须注明 lab 或 CM；Q 值本身是参考系不变量。
- \(Q>0\) 不保证无势垒，也不保证大截面。
- 薄靶率公式不适用于显著束流衰减、厚靶能损或多次散射。
- 直接/复合分解依赖模型，部分截面并非总能直接独立测量。
- 反应数据使用须引用 EXFOR/ENDF 版本、能量和不确定度；本课不含敏感工程优化。
Misconception clinic / 误区诊所
- \(A(a,b)B\) 中括号内第二项是出射轻粒子，不是剩余核。
- 吸热反应的实验室阈能通常大于 \(\lvert Q\rvert\)。
- 放能反应可以有动力学势垒，不能说“零能必发生”。
- barn 是截面单位，不是核的真实圆盘面积。
- 相同反应道可同时含直接与复合贡献，记号不能判机制。
Practice and retrieval / 练习与提取
- [K01] 将 \(A(a,b)B\) 写成完整反应式。
第 1 题答案
\(a+A\to b+B\)。
- [K01] \(Q<0\) 表示什么？
第 2 题答案
末态静质量更大，反应吸能；必须由初始动能等提供至少所需不变量能量。
- [K02] 为什么只写动能守恒不够？
第 3 题答案
反应还必须满足矢量动量守恒；它决定反冲、角度与阈能代价。
- [K02] 重靶极限下 \(E_{cm}/T_a^{lab}\) 趋近多少？
第 4 题答案
趋近 1，因为 \(m_A/(m_a+m_A)\to1\)。
- [K03] \(Q=-3.0\ \mathrm{MeV}\)、\(m_a/m_A=1/9\)，求近似阈能。
第 5 题答案
\(T_{thr}\simeq3.0(1+1/9)=3.33\ \mathrm{MeV}\)。
- [K03] \(Q>0\) 是否保证低能带电反应有大截面？
第 6 题答案
不保证；Coulomb 势垒、角动量、矩阵元和共振仍可强烈抑制。
- [K04] \(1\ \mathrm{barn}\) 等于多少 \(\mathrm{m^2}\)？
第 7 题答案
\(10^{-28}\ \mathrm{m^2}\)。
- [K04] 通量加倍而其他不变，薄靶率如何变？
第 8 题答案
加倍，因为 \(R=\Phi N_T\sigma\)。
- [K05] 直接反应通常保留哪类“记忆”？
第 9 题答案
较多保留入射方向和少数自由度耦合信息，常出现前向角分布与选择性态占据。
- [K05] 为何复合核部分截面是模型相关量？
第 10 题答案
实验常测总道截面；把它分成直接、预平衡、复合贡献需借助理论拟合并可能含干涉。
Exit ticket / 离堂检验
- 从 \(s\) 不变量解释为什么吸热反应的 lab 阈能大于 \(\lvert Q\rvert\)。
- 给一条截面曲线，列出将其转成实验计数率还需要的四个信息。
References and source notes / 参考资料与来源说明
以下直接来源均于 2026-08-30 打开并阅读正文或 PDF 相关页：
- NNDC/BNL, Nuclear Reaction Data. https://www.nndc.bnl.gov/nndc/nndcnrd.html
- NNDC/BNL, NNDC Databases — EXFOR and ENDF descriptions. https://www.nndc.bnl.gov/databases/
- IAEA, Experimental Nuclear Reaction Data (EXFOR). https://nucleus.iaea.org/Pages/experimental-nuclear-reaction-data.aspx
- IAEA Nuclear Data Section, LEXFOR: EXFOR Compiler's Manual（reaction mechanisms and data conventions）. https://www-nds.iaea.org/exfor/x4guide/manuals/iaea-nds-0208-202206.pdf
- MIT OpenCourseWare 22.02, Chapter 1: Introduction to Nuclear Physics. https://ocw.mit.edu/courses/22-02-introduction-to-applied-nuclear-physics-spring-2012/d0d046f78c917f107d925f11ac862ae4_MIT22_02S12_lec_ch1.pdf
- IAEA, Module I: Nuclear Physics and Reactor Theory. https://gnssn.iaea.org/main/bptc/BPTC Module Documents/Module01 Nuclear physics and reactor theory.pdf
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Boundary checked |
|---|---|---|---|
| NNDC reaction data | Q/阈能工具与反应数据库角色 | K01, K03, K04 | 评估版本与不确定度 |
| NNDC databases | EXFOR 实验数据和 ENDF 评估数据区别 | K04 | 数据类型不可混称 |
| IAEA EXFOR | 截面、角分布、能谱数据范围 | K04 | 数据需附实验描述 |
| IAEA LEXFOR | 直接/复合机制定义与模型分解 | K05 | 部分机制截面常非直接测量 |
| MIT 22.02 | Q 值、两体运动学与反冲 | K01–K03 | 母核/靶静止系约定 |
| IAEA Module I | 入门反应与能量尺度 | K01–K03 | 教学近似与数据库精度分层 |
复习与拓展
- 回看 Energy, Momentum, and Reactions 的四动量不变量。
- 下一课 Nuclear Fission 用 Q 值、截面与中子倍增描述裂变。
- 再下一课 Nuclear Fusion 将 \(\langle\sigma v\rangle\) 用于 Maxwell 等离子体与 Gamow window。