核聚变

Learning objectives / 学习目标

由质量差和结合能曲线计算聚变 Q 值；估算接触 Coulomb 势垒并解释隧穿；写出热平均 \(\langle\sigma v\rangle\) 与 Gamow window；描述 pp 链和 CNO 循环的核素/能量/中微子账目；比较磁约束与惯性约束的密度—时间路线并辨析科学增益、工程增益和净电力。

Prerequisites / 先修知识

• Reaction Kinematics 的 Q 值、截面与热反应率。
• 量子隧穿与 β 衰变。
• Maxwell–Boltzmann 分布、等离子体和能量守恒。

Scope and conventions / 范围与约定

• Q 值在初态质心能趋近零时由静质量差定义；实际反应物有分布，实验室束流能与等离子体温度不可混用。
• “温度”表示粒子分布尺度；非热尾、不同离子/电子温度、漂移或强耦合等离子体需更一般分布函数。
• Gamow window 公式假设非共振、弱屏蔽、Maxwell 分布和缓变 \(S(E)\)；窄共振、电子屏蔽或退化物质会改变峰位/宽度。
• Lawson/三乘积是零维功率平衡指标，不等于完整装置净电力。本文不涉及任何武器相关设计、靶参数或可操作高能密度实验步骤。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Fusion energetics and binding-energy curve / 聚变能量学与结合能曲线

Knowledge ID: P10-U04-L03-K01

轻核结合成较重核，若产物的总结合能更大，则静质量减少并释放

\[Q=(m_1+m_2-\sum m_f)c^2.\]

结合能曲线在铁峰附近达到高值，故轻核向中等质量核聚变通常放能；越过铁峰继续聚变一般需要外界供能。该曲线只给热力学方向，不给反应速率。对 \(D+T\to{}^4\mathrm{He}+n\)，\(Q\simeq17.6\ \mathrm{MeV}\)；在低入射质心能的两体末态中两产物动量相反且等大，动能按质量反比分配，约 \(3.5\ \mathrm{MeV}\) 给 α、\(14.1\ \mathrm{MeV}\) 给中子。

不同聚变道的 Q 值、截面、产物电荷和中子产额不同，不能仅按“每反应能量最大”评价能源系统；还需燃料循环、等离子体加热、辐射损失、材料中子损伤、氚核算、余热和转电效率。反应能量与装置净电力之间隔着完整能量链。

图 1 将轻核聚变的放能方向和速率问题分开。

图 2 表示 D–T 两体末态的动量与能量分配。

2. Coulomb barrier and tunneling / 库仑势垒与隧穿

Knowledge ID: P10-U04-L03-K02

两个正核靠近时先感受

\[V_C(r)=\frac{Z_1Z_2e^2}{4\pi\epsilon_0r}.\]

以接触尺度 \(R\simeq r_0(A_1^{1/3}+A_2^{1/3})\) 估算的势垒常为数百 keV 或更高，而聚变等离子体的典型 \(kT\) 可远低于此。聚变并非依靠大多数粒子经典越顶，而是 Maxwell 高能尾与量子隧穿共同贡献。低能非共振带电反应常写

\[\sigma(E)=\frac{S(E)}{E}\exp[-2\pi\eta(E)],\]

其中 \(\eta=Z_1Z_2\alpha c/v\)。指数项表征 Coulomb 穿透，\(S(E)\) 把较缓变的核矩阵元因子分离。该分解在窄共振附近不应把 \(S(E)\) 当缓变常数；等离子体屏蔽也会有效修改势垒，但需与实验/天体环境一致建模。

图 3 显示带电核到达强相互作用区前的势垒。

图 4 用波函数衰减表示隧穿概率，而非经典轨迹穿墙。

3. Reaction rate and Gamow window / 反应率与伽莫夫窗口

Knowledge ID: P10-U04-L03-K03

两种不同粒子群的单位体积反应率

\[r=n_1n_2\langle\sigma v\rangle,\]

同种粒子反应需乘 \(1/2\) 避免重复计对。对非相对论 Maxwell 相对能分布，

\[\langle\sigma v\rangle=\left(\frac{8}{\pi\mu}\right)^{1/2}\frac{1}{(kT)^{3/2}} \int_0^\infty \sigma(E)E e^{-E/(kT)}\,dE.\]

Maxwell 因子随 \(E\) 增大而下降，隧穿因子随 \(E\) 增大而上升，其乘积形成 Gamow window。定义 Gamow 能 \(E_G=2\mu c^2(\pi\alpha Z_1Z_2)^2\)，在非共振、缓变 \(S(E)\) 近似下

\[E_0=\left[\frac{E_G(kT)^2}{4}\right]^{1/3},\qquad \Delta\simeq4\sqrt{\frac{E_0kT}{3}}.\]

\(E_0\) 通常高于 \(kT\)，体现反应来自热尾，但仍可远低于经典接触势垒。不同教材对“宽度”定义略有差别；数值必须注明采用的高斯近似。若有窄共振，反应率可由共振能与强度主导，不应强行使用平滑 Gamow 峰。

图 5 展示 Boltzmann 因子与穿透因子的相反趋势；紫线是缓变 \(S(E)\) 近似下的反应率被积函数，不是完整 Maxwell 能量概率密度。

图 6 定义本课使用的 Gamow 峰与近似宽度。

4. Stellar fusion chains / 恒星聚变链

Knowledge ID: P10-U04-L03-K04

太阳型恒星主要经 pp 链把四个质子净变为一个 \(^4\mathrm{He}\)，同时产生正电子、中微子和光子；第一步弱相互作用 \(p+p\to d+e^++\nu_e\) 很慢，因而调节主序星能量释放时间尺度。后续可经 pp-I、pp-II、pp-III 分支，分支比随核心温度与组成变化。太阳中微子直接携带核心反应信息，但不同分支给不同能谱。

CNO 循环也净实现 \(4p\to{}^4\mathrm{He}+2e^++2\nu_e\)，并释放能量；C、N、O 核在理想循环中作为催化种子再生。其速率对温度更敏感，在更高质量主序星更重要；“催化”不表示中间核不发生转变，而是一个完整循环后催化核素总体返回。真实恒星还含支链、泄漏反应、电子屏蔽、对流/扩散与非平衡丰度。

恒星稳定不是“聚变爆炸与重力恰好相消”的静态口号，而是静水平衡、能量产生、辐射/对流输运与组成演化的耦合。核心温度变化会强烈改变反应率，从而形成恒星结构反馈。

图 7 把 pp 链的弱起始步和后续分支区分。

图 8 示意 CNO 催化循环；字母节点不代表完整同位素标注。

5. Magnetic and inertial confinement / 磁约束与惯性约束

Knowledge ID: P10-U04-L03-K05

磁约束利用带电粒子绕磁力线回旋，把低密度高温等离子体限制较长时间；tokamak 结合环向与极向磁场形成嵌套磁面。实际约束受湍流输运、MHD 不稳定性、边界热流、杂质辐射和快粒子损失限制。能量约束时间 \(\tau_E\) 是等离子体热能除以维持它所需净损失功率，不是单个粒子必然停留时间。

惯性约束在极短时间内把小量燃料压缩到很高密度，依靠物质自身惯性在解体前完成部分燃烧。LLNL/NIF 已展示实验室惯性约束点火物理；但靶增益、激光入射能、墙插电能、重复频率、靶制造和电厂净电力是不同系统边界，不能把其中一个 \(Q>1\) 自动称为商业净发电。

Lawson 思想用温度、密度和约束时间表达功率产生与损失竞争；常用三乘积 \(nT\tau_E\) 比较性能，但阈值依反应道、温度、辐射损失和增益定义。磁约束走“较低密度—较长时间”，惯性约束走“极高密度—极短时间”，两者并非只比较温度。工程还必须处理氚核算、强中子材料损伤、活化、远程维护、热转换和监管安全。

图 9 示意磁约束中的环形拓扑，不是工程磁场图。

图 10 比较两种约束路线的密度—时间权衡。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — D–T Q value and energy split

已知： 采用中性原子质量 \(m_D=2.014102\ \mathrm u\)、\(m_T=3.016049\ \mathrm u\)、\(m_{He}=4.002603\ \mathrm u\)、\(m_n=1.008665\ \mathrm u\)。电子数前后相消，\(1\ \mathrm uc^2=931.494\ \mathrm{MeV}\)。

\[Q=(2.014102+3.016049-4.002603-1.008665)931.494=17.59\ \mathrm{MeV}.\]

在质心初动能可忽略、并以质量数给出 \(m_n:m_\alpha\simeq1:4\) 的两体近似下，

\[T_\alpha\simeq\frac{Q}{5}=3.52\ \mathrm{MeV},\qquad T_n\simeq\frac{4Q}{5}=14.07\ \mathrm{MeV}.\]

检查： 动能和为 \(17.59\ \mathrm{MeV}\)，较轻中子获更多动能。边界： 等离子体热运动会展宽能量与角分布。

Worked Example 2 — Coulomb contact estimate

已知： D–T 的 \(Z_1=Z_2=1\)，取 \(r_0=1.20\ \mathrm{fm}\)，\(R=r_0(2^{1/3}+3^{1/3})\)，且 \(e^2/(4\pi\epsilon_0)=1.44\ \mathrm{MeV\,fm}\)。

\[R=1.20(2^{1/3}+3^{1/3})=3.24\ \mathrm{fm},\]

\[V_C(R)\simeq\frac{1.44}{3.24}=0.444\ \mathrm{MeV}.\]

检查： 这是数百 keV，远高于许多聚变等离子体的 \(kT\)。解释： 反应依赖高能尾与隧穿。边界： 接触半径和球形点电荷只是尺度估算。

Worked Example 3 — Solar pp Gamow peak estimate

已知： \(T=1.50\times10^7\ \mathrm K\)，即 \(T_6=15\)；p–p 有 \(Z_1Z_2=1\)、\(\mu=0.50\ \mathrm u\)。使用等价近似

\[E_0(\mathrm{keV})\simeq1.22[Z_1^2Z_2^2\mu(\mathrm u)T_6^2]^{1/3}.\]

\[E_0=1.22(0.50\times15^2)^{1/3}=5.89\ \mathrm{keV}.\]

又 \(kT=1.293\ \mathrm{keV}\)，

\[\Delta\simeq4\sqrt{\frac{E_0kT}{3}}=4\sqrt{\frac{(5.89)(1.293)}3}=6.37\ \mathrm{keV}.\]

检查： \(E_0>kT\)，反应取样热尾。边界： 宽度是本课高斯近似；太阳屏蔽和精密 S 因子另行处理。

Worked Example 4 — Triple-product bookkeeping

已知： 一均匀零维等离子体模型给 \(n=1.0\times10^{20}\ \mathrm{m^{-3}}\)、\(T=12\ \mathrm{keV}\)、\(\tau_E=0.80\ \mathrm s\)。

\[nT\tau_E=(1.0\times10^{20})(12)(0.80)=9.6\times10^{20}\ \mathrm{keV\,s\,m^{-3}}.\]

若某明确指定模型的目标值为 \(3.0\times10^{21}\ \mathrm{keV\,s\,m^{-3}}\)，则本状态达目标的 \(0.32\)。检查： 单位和比值正确。边界： 目标值依温度、反应道、杂质、辐射和增益定义；不能据此宣称装置净电力。

Lesson synthesis / 全课综合

结合能差说明聚变“值得发生”，Coulomb 势垒说明经典上“难以靠近”，隧穿与 Maxwell 尾共同选出 Gamow window，\(\langle\sigma v\rangle\) 把微观截面转成宏观反应率。恒星以引力约束和漫长时间工作；磁约束与惯性约束分别走低密长时和高密短时路线。任何“成功”都必须标明等离子体、靶、驱动、装置或电网的能量边界。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• 结合能曲线只判能量趋势，不能代替截面与反应率。
• 接触 Coulomb 势垒是尺度估算；低能反应由隧穿且可能受共振/屏蔽支配。
• Gamow window 公式假设 Maxwell 分布、缓变 S 因子和非共振过程。
• 三乘积和 \(Q\) 必须注明系统边界；科学增益不自动等于工程或电网增益。
• 本课不含武器相关设计、可操作 ICF 靶参数或高能密度装置步骤。

Misconception clinic / 误区诊所

1. 聚变放能不意味着室温下反应率可观。
2. 等离子体温度不是“每个粒子都具有 \(kT\) 动能”。
3. Gamow window 峰值通常高于 \(kT\)，但远低于经典接触势垒。
4. CNO 中的 C、N、O 会在循环中转化，只是在净反应后再生。
5. 靶增益、等离子体 \(Q\)、墙插增益和净电力是不同分母的指标。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01] 轻核聚变为何常放能？

2. [K01] D–T 两体末态中为何中子能量更高？

3. [K02] 接触势垒高于 \(kT\) 时聚变为何仍可能？

4. [K02] \(S(E)\) 分解的目的是什么？

5. [K03] 不同反应物的体反应率如何写？

6. [K03] Gamow window 是哪两个趋势的乘积？

7. [K04] pp 链最慢的起始步涉及什么相互作用？

8. [K04] CNO 循环的净核反应是什么？

9. [K05] \(\tau_E\) 是单粒子停留时间吗？

10. [K05] 磁约束与惯性约束的主要密度—时间差别是什么？

Exit ticket / 离堂检验

1. 从 \(\sigma(E)\) 与 Maxwell 权重画出 Gamow window，并列出两个使平滑近似失效的因素。
2. 为一句“实现能量增益”的新闻陈述列出至少四个必须追问的系统边界。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下直接来源均于 2026-08-30 打开并阅读正文或 PDF 相关页：

1. ITER Organization, Fusion Glossary（fusion, Lawson criteria, triple product, confinement, Q）. https://www.iter.org/fusion-glossary
2. U.S. DOE Office of Science, DOE Explains: Plasma Confinement. https://www.energy.gov/science/doe-explainsplasma-confinement
3. Lawrence Livermore National Laboratory, About | National Ignition Facility & Photon Science. https://lasers.llnl.gov/about
4. University of Rochester, Temperature and Pressure in Stars（section “The Energy Window for Nuclear Reactions”）. https://www.pas.rochester.edu/~blackman/ast104/temp-press.html
5. IAEA Nuclear Data Section, LEXFOR: EXFOR Compiler's Manual（astrophysical S factor and thermonuclear data conventions）. https://www-nds.iaea.org/exfor/x4guide/manuals/iaea-nds-0208-202206.pdf
6. U.S. DOE Office of Science, Fusion Energy Sciences. https://www.energy.gov/science/fes/fusion-energy-sciences

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复习与拓展

• 回看 Nuclear Reaction Kinematics：CM 能、截面与 \(\langle\sigma v\rangle\)。
• 对照 Nuclear Fission：两者都由结合能差放能，但链反应与势垒/约束逻辑不同。
• 下一课 Radiation Interaction with Matter 处理中子、α 与 γ 在材料中的能量沉积。