经典场与对称性

Learning objectives / 学习目标

• 区分 particle coordinate 与 field configuration，说明 initial data、local coupling 与 boundary conditions；
• 从 field action 的变分推导 Euler–Lagrange field equation，并检验 dimensions 与 boundary terms；
• 从连续 global symmetry 构造 Noether current，解释 local continuity 与 conserved charge 的边界条件；
• 根据 Lorentz/gauge transformation 区分 scalar、spinor 与 gauge field，避免把“场的分量数”误当粒子种类数。

Prerequisites / 先修知识

• Generalized Coordinates and Variational Principles：\(\delta S=0\)、Euler–Lagrange equation 与 endpoint conditions。
• Lagrangian Mechanics and Symmetry：continuous symmetry 与 conserved quantity。
• Potentials and Gauge Freedom：\(A_\mu\)、\(F_{\mu\nu}\) 与 gauge freedom。
• Spacetime Geometry：four-vectors、metric 与 Lorentz transformations。

Scope and conventions / 范围与约定

• 先用 SI continuum examples；action \(S=\int dt\,d^3x\,\mathcal L\) 中 \(S\) 的单位为 \(\mathrm{J\,s}\)，\(\mathcal L\) 是 Lagrangian density（\(\mathrm{J\,m^{-3}}\)）。
• Relativistic compact formulas 明确采用 natural units \(\hbar=c=1\) 与 metric signature \((+,-,-,-)\)；质量因此可写成 inverse length/energy。需要 SI 数值时恢复 \(\hbar,c\)。
• Fields 先视为 classical c-number functions；operator-valued fields、vacuum 与 particles 留到下一课。
• “Local” 指 Lagrangian density 在一点依赖 fields 与有限阶 derivatives；它不自动排除 constraints 或 gauge redundancy。
• Noether theorem 本课处理 differentiable continuous global symmetries；discrete symmetries 不直接给 continuous current，local gauge symmetry 的约束结构需更高阶讨论。
• Boundary terms 要么因 compact support/fixed boundary 消失，要么必须纳入 surface physics；不能无条件丢弃。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

下标 \(a\) 标记 field components/internal indices；\(\mu,\nu=0,1,2,3\) 是 spacetime indices。Repeated spacetime indices are summed only in explicitly covariant sections。

1. Fields as dynamical degrees of freedom / 场作为动力学自由度

Knowledge ID: P11-U05-L01-K01

Particle mechanics 由有限组 coordinates \(q_i(t)\) 描述；field theory 的 configuration 是每个 time slice 上的函数 \(\phi_a(t,\mathbf x)\)。离散 lattice 上有许多 coupled coordinates，continuum limit 使 label \(i\) 变为空间点 \(\mathbf x\)。因此 field 是 dynamical degree of freedom density：它有 initial configuration 与 conjugate-velocity data，并由 local differential equation evolution。

例：stretched string 的 transverse displacement \(u(x,t)\)。每个小段有 kinetic energy，邻段 slope 产生 elastic coupling。Local energy density 的改变通过 flux 传播；boundary conditions（fixed/free/periodic）决定 allowed modes。Field value 不是“物体位于该点”：\(u(x,t)\) 是 material point \(x\) 的 displacement。

Relativistic field 的基本原则包括 locality 与 Lorentz covariance。Locality 让 action 写成 spacetime integral；field equation 通常只联系一个点的 field 与 derivatives，而 Green function/initial-value solution 再把影响传播。Gauge description 还可能含 redundant variables：不同 \(A_\mu\) configurations 可表示同一 electromagnetic \(F_{\mu\nu}\)，所以“每点四个 components”不等于四个 physical modes。

图 1 — 从 coupled coordinates 到 continuum field：自由度 label 由离散 \(i\) 过渡为空间位置 \(x\)。

图 2 — String field 的一个 time slice；横轴是 material coordinate，曲线不是质点随时间的 worldline。

图 3 — Local field equation 与 relativistic causality 的示意（axes not to scale）；完整 propagation 由 equation、initial data 与 Green function 决定。

2. Lagrangian density and field equations / 拉格朗日密度与场方程

Knowledge ID: P11-U05-L01-K02

对 fields \(\phi_a\)，作用量

\[S[\phi]=\int_\Omega d^4x\,\mathcal L(\phi_a,\partial_\mu\phi_a,x)\]

是整个 history 的 functional。令 \(\phi_a\to\phi_a+\epsilon\eta_a\)，并令 \(\eta_a\) 在 boundary 消失。Integration by parts 给

\[\delta S=\int_\Omega d^4x\sum_a \left[ \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_a} -\partial_\mu\left( \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)} \right) \right]\eta_a,\]

任意 \(\eta_a\) 下 stationary action 导致 field Euler–Lagrange equations：

\[\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_a} -\partial_\mu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}=0.\]

对 natural-unit real scalar field

\[\mathcal L=\frac12\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2,\]

得到 Klein–Gordon equation \((\Box+m^2)\phi=0\)。这里 \(m\) 是 natural-unit mass parameter；恢复 SI 时 dispersion 是 \(\omega^2=c^2k^2+m^2c^4/\hbar^2\)。Sign convention 随 metric 改变但 physical dispersion 不变。

图 4 — Action 把每个 spacetime cell 的 local Lagrangian density 积分；离散网格只用于解释，不是基本 lattice 假设。

图 5 — 允许的 field variation 在边界消失，使 integration-by-parts surface term 为零；其他边界物理需另处理。

图 6 — Free scalar quadratic potential；gradient term couples neighboring points，potential curvature supplies local restoring scale。

3. Continuous symmetries and Noether currents / 连续对称性与诺特流

Knowledge ID: P11-U05-L01-K03

本节的协变 continuity formulas 明确采用 natural units \(c=1\)，故取 \(x^0=t\)，并把 \(j^0\) 作为 charge density、\(\mathbf j\) 作为对应 spatial flux density。若恢复 SI 且写 \(x^0=ct\)，应改用 \(J^\mu=(c\rho,\mathbf J)\)、\(Q=\int\rho\,d^3x\)；这样不会在有限体积方程中漏掉或多出因子 \(c\)。

设 infinitesimal continuous transformation \(\delta\phi_a=\epsilon\Delta_a\) 使 Lagrangian density 只改变 total derivative \(\delta\mathcal L=\epsilon\partial_\mu K^\mu\)。On shell（field equations 成立）时 Noether current

\[j^\mu=\sum_a \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\Delta_a-K^\mu\]

满足

\[\partial_\mu j^\mu=0.\]

它是 local continuity law。对固定 spatial volume，

\[\frac{dQ_V}{dt}=-\oint_{\partial V}\mathbf j\cdot d\mathbf A, \qquad Q_V=\int_Vj^0d^3x.\]

只有 boundary flux vanishes 或 integration over all space with adequate falloff 时，global \(Q\) conserved。Spacetime translations 给 energy–momentum current，rotations/Lorentz transformations 给 angular momentum currents；complex scalar 的 global phase rotation 给 internal charge current。

“Symmetry gives conservation” 的精确对象是 action（允许 total derivative），并且 conservation law 通常 on shell。Local gauge transformation 是 redundancy；它对应 constraints/identities，比直接套 global Noether charge 更微妙。Quantum anomalies 还可能破坏 classical symmetry，留到后续课程。

图 7 — Continuity equation 不保证任意有限区域内 charge constant；必须把 boundary flux 计入。

图 8 — Complex scalar 的 global \(U(1)\) phase symmetry；同一参数作用于所有点，Noether current 与 charge 随之出现。

4. Scalar, spinor, and gauge fields / 标量、旋量与规范场

Knowledge ID: P11-U05-L01-K04

Field 的类型由它在 Lorentz transformations 与 internal symmetries 下怎样变换定义，而非由“看起来有几个 numbers”定义。

• Scalar field：\(\phi'(x')=\phi(x)\)；在每点是 Lorentz scalar。Higgs amplitude 或 order parameter 是例子。
• Spinor field：\(\psi'(x')=S(\Lambda)\psi(x)\)，\(S\) 是 Lorentz group 的 spinor representation；\(2\pi\) rotation 可给 minus sign。Dirac equation 是 first order，components 含 particle/antiparticle 与 spin structure，但 gauge constraints/field equations 决定 independent modes。
• Gauge field：potential \(A_\mu\) 在 Lorentz 下像 vector，同时有 gauge redundancy \(A_\mu\to A_\mu+\partial_\mu\chi\)。Observable Abelian field strength

\[F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\]

在该变换下不变，因为 mixed derivatives commute。

Gauge field 不是“为了传力画出的箭头”，而是有 kinetic term 的 dynamical field；matter coupling 通过 covariant derivative 组织。Scalar、spinor、gauge 是 transformation classes，不自动指定 interaction、mass 或量子 statistics；spin–statistics connection 是 relativistic quantum theory 的结论，不应偷渡到纯 classical taxonomy。

图 9 — Scalar、spinor、gauge potential 由 transformation law 分类；图框数量不等于 physical polarization 数。

图 10 — Abelian gauge redundancy：相差 gradient 的 potentials 给同一 \(F_{\mu\nu}\)；redundant coordinates 需在 quantization 中处理。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — String Lagrangian density 导出波动方程

已知： uniform string linear density \(\mu_s\)、tension \(T\)、small transverse displacement \(u(x,t)\)。
系统/边界： string segment，端点 variation 固定；small slope \(|u_x|\ll1\)。
模型理由： 每长度 Lagrangian density

\[\mathcal L_{1D}=\frac12\mu_s u_t^2-\frac12T u_x^2\]

单位为 \(\mathrm{J\,m^{-1}}\)。Field Euler–Lagrange equation 给

\[-\partial_t(\mu_su_t)-\partial_x(-Tu_x)=0,\]

即

\[\mu_su_{tt}-Tu_{xx}=0, \qquad v=\sqrt{T/\mu_s}.\]

量纲检查： \(T/\mu_s\) units \(\mathrm{m^2\,s^{-2}}\)。若 \(T=100\,\mathrm N\)、\(\mu_s=0.0100\,\mathrm{kg\,m^{-1}}\)，\(v=100\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)。Large slope 时 quadratic model 失效。

Worked Example 2 — Klein–Gordon plane-wave dispersion

已知： natural units \(\hbar=c=1\)，free scalar mode \(\phi=Ae^{-i\omega t+ikx}\)，mass parameter \(m=2.00\)、\(k=3.00\)（同一 energy units）。
参考系/模型： inertial frame，metric \((+,-)\)，free linear KG equation \((\partial_t^2-\partial_x^2+m^2)\phi=0\)。

Substitution gives

\[-\omega^2+k^2+m^2=0, \qquad \omega=\sqrt{k^2+m^2}=\sqrt{13}=3.61.\]

检查： \(k\to0\) 时 \(\omega\to m\)；\(m\to0\) 时 \(\omega\to|k|\)。恢复 SI 是 \(E=\hbar\omega\) 与 \(p=\hbar k\)，满足 \(E^2=p^2c^2+m_{\rm SI}^2c^4\)。

Worked Example 3 — Global phase current 的局域守恒

已知： natural-unit complex scalar \(\phi=Ae^{-i\omega t+i\mathbf k\cdot\mathbf x}\)，current convention \(j^\mu=i(\phi^*\partial^\mu\phi-\phi\partial^\mu\phi^*)\)。
系统： free plane wave in periodic box；global \(U(1)\) phase symmetry；继续采用本节 \(c=1\) convention，因此 \(j^0\) 可直接对 \(d^3x\) 积分为 \(Q\)。

Time component:

\[j^0=i[A^*(-i\omega A)-A(i\omega A^*)]=2\omega|A|^2.\]

Spatial current is \(\mathbf j=2\mathbf k|A|^2\) under the stated metric/convention，so constants make \(\partial_\mu j^\mu=0\)。检查： Positive-frequency mode gives positive \(j^0\) with this convention；reversing current sign convention reverses both density and charge, not conservation。Infinite plane-wave charge diverges；periodic finite volume or wave packet is required。

Worked Example 4 — Abelian gauge invariance of field strength

已知： \(A'_\mu=A_\mu+\partial_\mu\chi\)，\(\chi\) twice differentiable。
研究对象： Abelian field strength；任意 inertial coordinates with commuting partial derivatives。

\[F'_{\mu\nu}=\partial_\mu A'_\nu-\partial_\nu A'_\mu =F_{\mu\nu}+\partial_\mu\partial_\nu\chi-\partial_\nu\partial_\mu\chi =F_{\mu\nu}.\]

检查： Added terms cancel by equality of mixed derivatives；dimensions match because \(\partial_\mu\chi\) has units of \(A_\mu\)。This does not mean \(A_\mu\) is meaningless：potentials organize local coupling and can have global/topological effects；it means gauge-related descriptions are redundant。

Lesson synthesis / 全课综合

Classical field theory 把“每点一个自由度”组织成一条严格链：field configuration 与 boundary/initial data 定义系统；local Lagrangian density 经 spacetime integration 得 action；stationary action 给 field equations；continuous global invariance 给 local Noether current；boundary flux 条件再给 global charge。Scalar、spinor 与 gauge potential 因 Lorentz/internal transformation law 不同而承担不同结构，而 gauge redundancy 提醒我们 components 不等于 physical degrees of freedom。下一课把这些 classical normal modes 与 canonical structures 量子化。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Continuum field assumes a scale above which coarse-grained variables are meaningful；a microscopic lattice or quantum gravity may change that description。
• Local Lagrangian formalism covers broad physics but not every dissipative/open system without extra degrees of freedom or effective terms。
• Euler–Lagrange derivation requires permitted variations and controlled boundary terms；topological/surface sectors can carry physical observables。
• Noether current is not unique under identically conserved improvement terms；global charge may still agree under boundary conditions。
• Global symmetry and gauge redundancy are conceptually different；local gauge invariance does not yield an independent observable charge by the naive global formula alone。
• Spinor transformation is introduced structurally；its quantum statistics and antiparticle interpretation require quantization。
• Classical field equations do not by themselves create particles or vacuum fluctuations。

Misconception clinic / 误区诊所

• “Field 是许多小粒子排成的连续曲线。” Field 是给每个 spacetime point 赋值的 dynamical object；microscopic realization 另说。
• “\(\delta S=0\) 表示 Lagrangian density 在每点最小。” Stationary action 允许 saddle；field equation 来自 integral variation，不是 pointwise minimization。
• “Noether conservation 表示任意盒子内 charge 不变。” Local continuity 允许 flux 穿过 boundary。
• “Gauge transformations 改变真实 electromagnetic field。” Abelian \(F_{\mu\nu}\) 不变；改变的是 redundant potential representation。
• “四分量 \(A_\mu\) 就有四个 photon modes。” Constraints 与 gauge redundancy reduce physical polarizations；quantization 后才完整计数。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01·概念] 为什么 string 曲线 \(u(x,t_0)\) 不是 particle trajectory？
2. [K01·边界] Field initial-value problem 通常需要哪两类信息？
3. [K02·推导] \(\mathcal L=\frac12u_t^2-\frac12c^2u_x^2\) 导出什么 equation？
4. [K02·量纲] SI 中 \(\int dt\,d^3x\,\mathcal L\) 要有 \(\mathrm{J\,s}\)，\(\mathcal L\) 单位是什么？
5. [K03·概念] \(\partial_\mu j^\mu=0\) 如何允许局部 density 改变？
6. [K03·条件] 从 local continuity 到 total charge conservation 还需什么？
7. [K04·分类] 写出 scalar、spinor、gauge potential 在 transformation 上的核心差异。
8. [K04·验证] 为什么 \(F_{\mu\nu}\) 对 \(A_\mu\to A_\mu+\partial_\mu\chi\) 不变？
9. [K02–K03·综合] 空间 translation symmetry 对应哪类守恒，phase symmetry 对应哪类守恒？
10. [K01–K04·模型] 为一个新 classical field 写出最小建模清单。

Exit ticket / 离堂检验

1. 从一个 finite-dimensional coupled-oscillator chain 出发，用三步说明 continuum field 与 normal modes 的出现。
2. 解释“global symmetry gives a conserved current”中 global、on shell、current、boundary 四个限定词。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下链接均于 2026-08-30 实际打开并核对；正文重新组织，所有图均依据方程原创绘制。

1. David Tong — Lectures on Quantum Field Theory — classical field theory, Lagrangian fields, Noether currents and transformation classes
2. MIT OCW 8.323 — Relativistic Quantum Field Theory I — local classical fields, symmetries, scalar/spinor/Maxwell structures
3. MIT OCW 8.701 — Noether's Theorem — continuous symmetry and conserved-current derivation
4. University of Hamburg — Quantum Field Theory I lecture notes — classical scalar action, Euler–Lagrange equations, Noether theorem and field taxonomy
5. University of Stuttgart — Quantum Field Theory course — Lagrangian/Hamiltonian formalism, Noether theorem and quantization sequence

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复习与拓展

• 下一课 Quantized Fields 将把 classical normal modes 变为 oscillators、promote canonical variables to operators，并解释 particles 与 vacuum。
• 回链 Lagrangian Mechanics and Symmetry：field theory 是 \(q_i(t)\to\phi_a(x)\) 的受控推广。
• 回链 Potentials and Gauge Freedom：electromagnetic gauge freedom 是 field redundancy 的具体范例。
• 未来扩展：stress–energy tensor improvements、constraints/Hamiltonian fields、non-Abelian curvature、topological sectors 与 spontaneous symmetry breaking。