Learning objectives / 学习目标
学完本课后，你应能：
- 说明 homogeneous 与 isotropic 是大尺度统计陈述，并指出它们不排斥局部结构；
- 区分 recession rate、peculiar velocity 与局域狭义相对论速度，正确使用低红移 Hubble–Lemaître law；
- 推导 \(1+z=a_0/a_{\rm em}\)，区分 proper distance、comoving distance 与 lookback time；
- 从 Friedmann、acceleration 和 continuity equations 判断不同组分如何改变 \(a(t)\)；
- 计算 critical density、density parameter、曲率符号与简化宇宙年龄，并检查单位和极限。
Prerequisites / 先修知识
- Light, Spectra, and Distance 中的光谱红移与距离测量；
- Principles of General Relativity 中等效原理和弯曲时空的定性图景；
- 导数、积分、幂律函数、数量级与 SI 单位；
- 压强、能量密度和 Newtonian 引力能的基本概念。
Scope and conventions / 范围与约定
- 本课采用 FLRW（Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker）背景：在足够大尺度上空间 homogeneous、isotropic；扰动与结构增长留到前课及现代宇宙学部分。
- 取 \(a(t_0)=a_0=1\)，因此 \(1+z=1/a(t_{\rm em})\)。点上方表示 cosmic time 导数。
- \(H_0\) 常以 \(\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}\) 报告；代入 SI 公式前必须换成 \(\mathrm{s^{-1}}\)。
- \(D\) 若不加限定指同一 cosmic time 切片上的 proper distance；\(\chi\) 指 comoving radial coordinate。
- \(v_{\rm rec}=HD\) 是几何膨胀率，不应在大距离上直接代入狭义相对论 Doppler 公式。
- 数值示例中的参数用于建模训练，不作为最新参数发布；参数推断与张力在 Lesson 12.6.3 讨论。
Notation and modeling contract / 符号与建模契约
| Symbol | Meaning | SI / convention |
|---|---|---|
| \(a(t)\) | scale factor | 1 |
| \(H=\dot a/a\) | Hubble parameter | \(\mathrm{s^{-1}}\) |
| \(H_0\) | present Hubble parameter | \(\mathrm{s^{-1}}\) or \(\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}\) |
| \(z\) | cosmological redshift | 1 |
| \(\chi\) | comoving radial coordinate | m |
| \(D=a\chi\) | proper distance on a chosen slice | m |
| \(\rho,p\) | mass-equivalent density and pressure | \(\mathrm{kg\,m^{-3}}\), Pa |
| \(k\) | normalized curvature sign | \(-1,0,+1\) |
| \(\Lambda\) | cosmological constant | \(\mathrm{m^{-2}}\) |
| \(\rho_c=3H^2/(8\pi G)\) | critical density | \(\mathrm{kg\,m^{-3}}\) |
| \(\Omega_i=\rho_i/\rho_c\) | density parameter | 1 |
1. Cosmological principle / 宇宙学原理
Knowledge ID: P12-U06-L01-K01
宇宙学原理（cosmological principle）断言：在足够大的空间尺度上，宇宙的物质分布对所有位置近似相同（homogeneous），且对所有方向近似相同（isotropic）。这是统计近似，不是说每个点附近都没有星系、空洞或团簇。一个观察者周围的各向同性单独不足以推出均匀性；“所有基本观察者都看到各向同性”才与均匀空间一致。
FLRW 线元可写成：
\[ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2d\Omega^2\right].\]
\(a(t)\) 把随时间变化的整体尺度与不随 Hubble flow 改变的 comoving coordinates 分开。星系的局域 peculiar motion 可以叠加在共动背景上。
图 1 把“坐标不动而度量尺度改变”画成共动网格；它是 schematic，不表示宇宙嵌入外部空间。
图 2 区分各向同性与均匀性。有限 survey、selection function 与 cosmic variance 会限制实际检验。
2. Hubble–Lemaître law / 哈勃—勒梅特定律
Knowledge ID: P12-U06-L01-K02
对固定共动坐标 \(\chi\) 的物体，\(D(t)=a(t)\chi\)，所以：
\[v_{\rm rec}\equiv\dot D=\dot a\chi=H(t)D.\]
在低红移、peculiar velocity 相对较小的区域，观测上常写 \(v\simeq H_0D\)，又因 \(v\simeq cz\)，有 \(cz\simeq H_0D\)。近邻星系的 peculiar velocity 可能与 \(H_0D\) 同量级，因此不能用单个近邻对象精确测 \(H_0\)。在宇宙学距离上，应使用 FLRW 中的 luminosity/angular-diameter distance，而非把 \(v=cz\) 外推到任意 \(z\)。
图 3 的斜率是 \(H_0\)；散点同时包含测距误差、速度场与样本选择效应。
3. Cosmological redshift and scale factor / 宇宙学红移与尺度因子
Knowledge ID: P12-U06-L01-K03
相邻两个波峰发射间隔 \(\delta t_{\rm em}\) 与接收间隔 \(\delta t_0\) 都沿同一 null geodesic 传播。在两段短间隔内比较 \(\int c\,dt/a(t)\)，得到：
\[\frac{\lambda_0}{\lambda_{\rm em}} =\frac{\delta t_0}{\delta t_{\rm em}} =\frac{a_0}{a_{\rm em}} =1+z.\]
因此红移记录的是光传播期间尺度因子的总变化。对小 \(z\) 才有 \(z\simeq v/c\)。共动距离满足：
\[\chi=c\int_{t_{\rm em}}^{t_0}\frac{dt}{a(t)} =c\int_0^z\frac{dz'}{H(z')}.\]
光行时距离、proper distance、comoving distance、luminosity distance 与 angular-diameter distance 是不同的量；必须在问题中点名。
图 4 以波峰间距示意 \(\lambda\propto a\)；它不是光子在局域惯性系中“持续受摩擦”。
图 5 显示早期 \(a\to0\) 时 \(z\) 非线性发散，不能把 \(z\) 当作时间本身。
4. Friedmann equations and expansion histories / 弗里德曼方程与膨胀历史
Knowledge ID: P12-U06-L01-K04
对 FLRW 时空，Einstein equations 化为：
\[H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{kc^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3},\]
\[\frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}.\]
能量守恒给出：
\[\dot\rho+3H\left(\rho+\frac{p}{c^2}\right)=0.\]
若 \(p=w\rho c^2\) 且 \(w\) 常数，则 \(\rho\propto a^{-3(1+w)}\)：nonrelativistic matter 为 \(a^{-3}\)，radiation 为 \(a^{-4}\)，cosmological constant 为常数。加速度方程中的 \(\rho+3p/c^2\) 说明在 GR 中压力也参与重力源；\(w<-1/3\) 的主导组分可驱动加速。
图 6 用对数坐标显示不同 dilution laws；直线斜率来自状态方程，而不是经验拟合。
图 7 比较单组分理想模型的 \(a(t)\)；真实宇宙在不同时代连续过渡。
图 8 是背景宇宙建模链；观测反演还需要 likelihood、selection 和 calibration。
5. Geometry, density, and age of the universe / 宇宙几何、密度与年龄
Knowledge ID: P12-U06-L01-K05
定义：
\[\rho_c(t)=\frac{3H^2(t)}{8\pi G},\qquad \Omega_i(t)=\frac{\rho_i(t)}{\rho_c(t)}.\]
把曲率写作 \(\Omega_k=-kc^2/(a^2H^2)\)，则：
\[1=\sum_i\Omega_i+\Omega_k.\]
\(k=0\) 表示 spatially flat；\(k=+1\) 与 \(k=-1\) 分别对应正、负常曲率。它们描述空间切片的内禀几何，不能仅凭二维“橡皮膜”类比判定。宇宙年龄是：
\[t_0=\int_0^1\frac{da}{aH(a)}.\]
因此 \(H_0^{-1}\) 是 Hubble time，不一般等于 \(t_0\)。例如平直、仅物质宇宙有 \(t_0=2/(3H_0)\)，而含 \(\Lambda\) 的膨胀史不同。
图 9 用三角形角和提示三种内禀几何；图形只是 schematic，曲率检验实际依赖标准尺与距离关系。
图 10 提醒我们：年龄、lookback time 与距离来自不同积分，名称不可互换。
Worked examples / 完整例题
Worked Example 1 — 低红移星系的膨胀率
已知： \(D=120\ \mathrm{Mpc}\)，采用 \(H_0=70.0\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}\)。
研究对象与参考系： Hubble flow 中的星系对共动观察者；忽略 peculiar velocity。正方向取远离我们。
模型理由： 预期 \(z\ll1\)，可用 \(v_{\rm rec}=H_0D\) 与 \(z\simeq v/c\)。
\[v_{\rm rec}=70.0\times120=8.40\times10^3\ \mathrm{km\,s^{-1}},\]
\[z\simeq\frac{8400}{2.998\times10^5}=2.80\times10^{-2}.\]
检查： \(H_0D\) 的 Mpc 消去，单位为 \(\mathrm{km\,s^{-1}}\)；\(v/c=0.0280\ll1\)，低红移近似自洽。三位有效数字。若 peculiar velocity 为 \(300\ \mathrm{km\,s^{-1}}\)，会引入约 \(3.6\%\) 的单体偏差。
Worked Example 2 — 由红移还原尺度因子与发射波长
已知： 星系红移 \(z=2.00\)，观测到一条谱线 \(\lambda_0=1.968\ \mathrm{\mu m}\)。
研究对象： 自由传播光子；采用 \(a_0=1\)。
模型： 红移全部视为 cosmological redshift。
\[a_{\rm em}=\frac{1}{1+z}=\frac13=0.333,\]
\[\lambda_{\rm em}=\frac{\lambda_0}{1+z}=0.6560\ \mathrm{\mu m}=656.0\ \mathrm{nm}.\]
检查： \(z>0\) 时 \(a_{\rm em}<1\) 且 \(\lambda_{\rm em}<\lambda_0\)，方向正确；结果对应常见 H\(\alpha\) 波长。尺度因子无量纲。
Worked Example 3 — 辐射—物质相等的尺度因子
已知： 今日 \(\Omega_{r0}=9.0\times10^{-5}\)，\(\Omega_{m0}=0.315\)。
系统： 只比较 background radiation 与 nonrelativistic matter；取同一 \(\rho_{c0}\) 归一化。
模型： \(\rho_r=\rho_{r0}a^{-4}\)、\(\rho_m=\rho_{m0}a^{-3}\)。
令两者相等：
\[\Omega_{r0}a_{\rm eq}^{-4}=\Omega_{m0}a_{\rm eq}^{-3} \quad\Rightarrow\quad a_{\rm eq}=\frac{\Omega_{r0}}{\Omega_{m0}}=2.86\times10^{-4}.\]
\[z_{\rm eq}=a_{\rm eq}^{-1}-1\simeq3.50\times10^3.\]
检查： 辐射随膨胀衰减更快，所以更早期 \(a<a_{\rm eq}\) 应由辐射主导；极限正确。输入仅两位有效数字，结论报两至三位数量级。
Worked Example 4 — Critical density 与 Hubble time
已知： \(H_0=70.0\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}\)。
系统与坐标： 今日 FLRW background。
模型： 用 SI 的 \(\rho_{c0}=3H_0^2/(8\pi G)\)；另计算 Hubble time，并比较平直 matter-only 年龄。
\[H_0=70.0\frac{10^3\ \mathrm m}{\mathrm s}\frac{1}{3.0857\times10^{22}\ \mathrm m} =2.269\times10^{-18}\ \mathrm{s^{-1}}.\]
\[\rho_{c0}=\frac{3(2.269\times10^{-18})^2}{8\pi(6.6743\times10^{-11})} =9.20\times10^{-27}\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.\]
\[H_0^{-1}=4.407\times10^{17}\ \mathrm s=13.97\ \mathrm{Gyr}, \qquad t_0^{\rm matter}=\frac{2}{3H_0}=9.31\ \mathrm{Gyr}.\]
检查： \(G^{-1}H^2\) 的量纲为 \(\mathrm{kg\,m^{-3}}\)；matter-only 年龄小于 Hubble time，与减速膨胀一致。真实年龄须积分实际 \(H(a)\)，不能把任一值当普适答案。
Lesson synthesis / 全课整合
建模顺序是：选择 FLRW background → 用 \(D=a\chi\) 定义 expansion → 用红移连接发射与观测 → 指定 \(\rho_i(a),p_i(a)\) → 解 Friedmann equations → 预测距离、几何与年龄。观测的 \(H_0\)、CMB、BAO、超新星等数据反过来约束这条链；每一步都带模型假设。
图 11 总结理论到观测的闭环；因此本课实际包含 11 幅图，而不是以装饰图凑数。
Formula-and-decision table / 公式与决策表
| Need | Relation | Use only when | Main caution |
|---|---|---|---|
| nearby recession | \(v_{\rm rec}=H_0D\) | low \(z\), distance defined | subtract/average peculiar velocities |
| scale factor from redshift | \(1+z=a_0/a_{\rm em}\) | cosmological propagation | not general SR Doppler speed |
| background expansion | \(H^2=8\pi G\rho/3-kc^2/a^2+\Lambda c^2/3\) | FLRW + GR | \(\rho\) includes all components |
| density scaling | \(\rho\propto a^{-3(1+w)}\) | separately conserved, constant \(w\) | interactions alter scaling |
| critical density | \(\rho_c=3H^2/(8\pi G)\) | same epoch for \(H\) and \(\rho\) | critical is not mean density by definition |
| age | \(t_0=\int_0^1 da/(aH)\) | specified \(H(a)\) | \(H_0^{-1}\) is only a timescale |
Model boundaries / 模型边界
- FLRW 是 background approximation；局域 bound systems 不随 \(a(t)\) 简单膨胀。
- Hubble law 的线性低红移形式不替代完整 luminosity-distance relation。
- Friedmann equations 依赖 GR、同质各向同性和指定 stress-energy；修改引力会改变推断。
- \(w\) 常数只是常用参数化；真实组分可相互作用或随时间变化。
- “几何平直”不等于拓扑无限，也不等于 spacetime 没有曲率。
- \(a=0\) 的经典奇点提示理论外推失效，不能当作已建立的量子起点描述。
Misconception clinic / 易错概念诊所
| Misconception | Why it fails | Correction |
|---|---|---|
| 我们位于膨胀中心 | 任何共动观察者都见到近似 Hubble flow | expansion is metric and has no selected center in FLRW |
| 星系在静止空间中爆炸飞散 | 会混淆 proper 与 comoving distance | write \(D=a\chi\) first |
| \(v_{\rm rec}>c\) 违反 SR | recession rate is not one local inertial-frame speed | local measurements remain causal |
| 红移总等于 Doppler 速度 | only low-\(z\) correspondence | use \(1+z=a_0/a_{\rm em}\) |
| \(H_0^{-1}\) 就是年龄 | age depends on full \(H(a)\) | integrate \(da/(aH)\) |
| \(\Omega=1\) 说明无引力 | flat spatial geometry can still have dynamical spacetime curvature | separate spatial curvature from spacetime curvature |
Practice and retrieval / 练习与检索
- [K01 概念] 一个有明显星系团和空洞的宇宙为何仍可能满足 cosmological principle？
Answer 1
该原理针对足够大尺度上的统计平均；局域扰动可很强，只要在大尺度上无优选位置或方向。
- [K02 定量] \(H_0=68\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}\) 时，\(D=50\ \mathrm{Mpc}\) 的 Hubble-flow recession rate 是多少？
Answer 2
\(v=H_0D=3.4\times10^3\ \mathrm{km\,s^{-1}}\)。若用两位有效数字，写 \(3.4\times10^3\ \mathrm{km\,s^{-1}}\)。
- [K03 概念] \(z=3\) 的光发射时尺度因子是多少？
Answer 3
\(a_{\rm em}=1/(1+z)=0.25\)，采用 \(a_0=1\) 的约定。
- [K03 定量] 发射波长 \(500\ \mathrm{nm}\) 的光在 \(z=1.4\) 时观测波长是多少？
Answer 4
\(\lambda_0=(1+z)\lambda_{\rm em}=2.4\times500=1200\ \mathrm{nm}=1.20\ \mathrm{\mu m}\)。
- [K04 推导] 从 continuity equation 推导 pressureless matter 的 \(\rho_m\propto a^{-3}\)。
Answer 5
令 \(p=0\)，有 \(\dot\rho_m+3(\dot a/a)\rho_m=0\)；即 \(d\ln\rho_m=-3d\ln a\)，积分得 \(\rho_m\propto a^{-3}\)。
- [K04 图像] 在图 6 中，为什么辐射直线比物质直线更陡？
Answer 6
物质只有数密度稀释 \(a^{-3}\)；辐射还因每个光子能量红移多一个 \(a^{-1}\)，故 \(\rho_r\propto a^{-4}\)。
- [K05 量纲] 证明 \(3H^2/(8\pi G)\) 的单位是密度。
Answer 7
\([H^2]=\mathrm{s^{-2}}\)，\([G]=\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\)，相除得 \(\mathrm{kg\,m^{-3}}\)。
- [K05 边界] 若 \(\sum_i\Omega_i=1.02\) 且定义包含所有非曲率组分，则 \(\Omega_k\) 是多少，\(k\) 符号为何？
Answer 8
\(\Omega_k=1-1.02=-0.02\)；由 \(\Omega_k=-kc^2/(a^2H^2)\)，故 \(k>0\)，对应正空间曲率。
- [综合] 为什么不能把 \(z=2\) 直接写成“速度 \(2c\)”？
Answer 9
\(z\) 是波长比减一；宇宙学红移由传播期间 \(a(t)\) 的变化产生。大红移下 \(z\simeq v/c\) 失效，而且 recession rate 不是单一局域 SR 速度。
- [模型判断] 星系内部恒星轨道是否应直接加入 \(\dot r=H_0r\)？
Answer 10
一般不应。引力束缚系统的局域动力学不随 FLRW 尺度因子简单伸展；需解局域引力与 background 的匹配，而非机械叠加 Hubble flow。
Exit ticket / 迁移检验
某模型给出 \(H(a)=H_0\sqrt{\Omega_ma^{-3}+\Omega_\Lambda}\)。请写出由红移到年龄、comoving distance 的两个不同积分，并解释为何它们不相等。
Exit-ticket benchmark
用 \(a=(1+z)^{-1}\)；年龄/回溯时间来自 \(dt=da/(aH)\)，而共动距离来自 \(d\chi=c\,dt/a=c\,da/(a^2H)\)。多出的 \(1/a\) 反映 null propagation，所以两者不是同一物理量。
References and source notes / 参考资料与使用说明
以下链接均在 2026-08-30 实际核对。正文重新组织，图示均由方程原创绘制。
- NASA LAMBDA, Hubble Constant — \(H(z)\)、\(H_0\) 与多探针测量语境。
- NASA Science, Hubble Cosmological Redshift — expansion 与 wavelength stretching 的观测图景。
- Particle Data Group, Big-Bang Cosmology, 2024 Review — FLRW、Friedmann equations、距离和背景演化。
- Particle Data Group, Cosmological Parameters, 2024 Review — density parameters、curvature、参数约定与模型依赖。
- ESA, Planck and the Cosmic Microwave Background — 标准宇宙学参数与多观测一致性的总体框架。
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| NASA LAMBDA Hubble Constant | \(H_0\), \(H(z)\) and observational probes | K02, Worked 1/4 | reported \(H_0\) is method/model dependent |
| NASA Hubble redshift | wavelength stretching intuition | K03 | not used as large-\(z\) Doppler formula |
| PDG Big-Bang Cosmology | FLRW and Friedmann framework | K01–K05 | GR homogeneous background |
| PDG Cosmological Parameters | \(\Omega_i\), curvature and age | K04–K05 | parameter values conditional on model/data |
| ESA Planck CMB | standard-parameter context | synthesis | precision does not remove model assumptions |
复习与拓展
- Lesson 12.6.2 将把 \(H(a)\) 与 \(T(a)\)、freeze-out、BBN、recombination 和 reionization 对接。
- Lesson 12.6.3 将把 \(\Omega_m,\Omega_\Lambda,H_0\) 变成需由多探针 likelihood 推断的参数。
- 可扩展：从 FLRW null geodesic 系统推导 \(D_L=(1+z)^2D_A\)；本课只标出距离类型，避免超出层级。