医学成像

Learning objectives / 学习目标

学完本课后，你应能：

• 从 Beer–Lambert attenuation 建立 projection data，并解释 CT 如何由多角度 line integrals 重建 cross-section；
• 由 time-of-flight、acoustic impedance 与 Doppler shift 计算 ultrasound depth、reflection 和 flow velocity；
• 用 Larmor precession、RF excitation、\(T_1/T_2\) relaxation 与 magnetic-field gradients 解释 MRI signal 和 spatial encoding；
• 区分 SPECT 的 single-gamma collimation 与 PET 的 coincidence line of response，并处理 activity decay/counting noise；
• 用 point-spread function、sampling、contrast-to-noise ratio、dose/activity 和 regularization 分析成像 tradeoffs；
• 在每一 modality 中分清 measured data、forward model、reconstruction、display 与 clinical interpretation。

Prerequisites / 先修知识

• exponential law、logarithm、line integral、Fourier/sampling 的基本直觉；
• wave speed、reflection、frequency、Doppler effect 与 acoustic impedance；
• magnetic moment、torque、angular frequency 与 electromagnetic induction；
• radioactive decay、photon detection、Poisson statistics；
• Physical Principles in Living Systems 中的 relaxation、transport、thermal noise 与 model boundary。

Scope and conventions / 范围与约定

• patient/object 固定在 laboratory frame；CT slice 采用 \((x,y)\)，ray 用 source angle \(\theta\) 与 detector coordinate \(s\) 表示。
• X-ray linear attenuation coefficient \(\mu\ge0\)，单位 \(\mathrm{m^{-1}}\)；projection \(p=-\ln(I/I_0)\) 为 dimensionless line integral。
• ultrasound 轴向深度 \(z>0\) 指向体内；pulse-echo round trip 给 \(z=ct/2\)。Doppler angle \(\theta\) 是 beam 与 flow velocity 的夹角。
• MRI 主静磁场写作 \(\mathbf B_0=B_0\hat{\mathbf z}\)；本课用 proton gyromagnetic ratio 的 magnitude，\(f_0=(\gamma/2\pi)B_0\)。
• nuclear medicine activity \(A\) 单位 Bq；PET/SPECT detected counts 不等于注射的 decay 总数，efficiency、attenuation、scatter、dead time 与 acquisition window 均影响数据。
• “dose”必须区分 absorbed dose、effective dose、CTDI/DLP 或 administered activity 等不同量；本课不把它们互相等同。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Projection imaging and computed tomography / 投影成像与计算机断层

Knowledge ID: P14-U04-L02-K01

monoenergetic, narrow-beam idealization 下，一束 X ray 沿 path \(L\) 穿过 heterogeneous object：

\[I=I_0\exp\left[-\int_L\mu(\mathbf r)\,d\ell\right], \qquad p=-\ln\left(\frac{I}{I_0}\right)=\int_L\mu\,d\ell.\]

plain radiograph 把不同 depth 的 attenuation 叠成一个 projection，overlap 是结构信息损失，不是 detector blur 的同义词。real X-ray source 是 polychromatic spectrum；scatter、beam hardening、detector response、motion 与 finite focal spot 会使 simple exponential model 有偏差。

图 1 把 forward model 画成已知 ray path 上的 attenuation ledger；箭长与颜色不代表 photon energy 或精确强度，not to scale。

CT 采集许多 \(p(\theta,s)\)；这些是 attenuation map 的 line integrals（Radon transform）。ideal continuous complete data 可由 inverse Radon transform / filtered backprojection 重建；迭代方法则显式比较 forward projection 与 measured data，并加入 noise model、constraints 或 regularization。少角度、metal、motion 与 truncation 会产生结构化 artifacts，而不只是“图像稍微模糊”。

图 2 说明 tomography 的多角度 constraint。右图不是由四个角度就能高质量重建的承诺；rays 仅为 schematic。

2. Ultrasound imaging and Doppler flow measurement / 超声成像与多普勒血流测量

Knowledge ID: P14-U04-L02-K02

piezoelectric transducer 发出 MHz pulse，也把 return echo 转成 voltage。若 tissue sound speed 近 constant \(c\)，echo delay \(t\) 对应 reflector depth

\[z=\frac{ct}{2},\]

因 pulse 往返一次。normal-incidence pressure-amplitude reflection coefficient 为 \((Z_2-Z_1)/(Z_2+Z_1)\)；intensity fraction 为

\[R_I=\left(\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}\right)^2, \qquad Z=\rho c.\]

实际 image brightness 还受 beam pattern、frequency-dependent attenuation、gain、speckle、refraction 与 scattering 影响。higher frequency 通常改善 wavelength-limited resolution，却更快 attenuate，降低 penetration。

图 3 明确 \(1/2\) 因子来自 round trip；real beam 有 finite width/focus，图中 single ray not to scale。

moving red cells scatter ultrasound with Doppler shift。transmit and receive on same probe gives approximately

\[\Delta f=\frac{2f_0v\cos\theta}{c}, \qquad v=\frac{c\Delta f}{2f_0\cos\theta}.\]

factor 2 来自 incident 与 backscattered Doppler shifts。\(\theta\to90^\circ\) 时 \(\cos\theta\to0\)，axial Doppler 对 transverse flow insensitive；small angle error 在大 \(\theta\) 会导致大 velocity error。pulsed Doppler 还受 pulse-repetition frequency 和 aliasing 限制。

图 4 定义 Doppler angle；beam/flow arrows 是 vector directions，不代表 vessel wall stress。

3. Magnetic resonance imaging / 磁共振成像

Knowledge ID: P14-U04-L02-K03

在 \(\mathbf B_0\) 中，proton magnetic moments 的 thermal ensemble 产生小净 longitudinal magnetization \(M_0\)，并以 Larmor frequency

\[\omega_0=\gamma B_0, \qquad f_0=\frac{\gamma}{2\pi}B_0\]

precess。near-resonant RF field 把 magnetization tip away from \(+z\)；receiver coil 检测 transverse magnetization 变化产生的 voltage。MRI 不是“把单个 proton 拍成照片”，而是测许多 spins 的 coherent ensemble signal。

图 5 是 rotating magnetization vector，dashed ellipse 是 vector tip locus，不是 proton orbit；not to scale。

RF preparation 后，若 equilibrium longitudinal magnetization 为 \(M_0\)，single-compartment Bloch recovery 的一般式为

\[M_z(t)=M_0+\bigl[M_z(0)-M_0\bigr]e^{-t/T_1}, \qquad M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-t/T_2}.\]

\(T_1\) 描述 longitudinal recovery，\(T_2\) 描述 irreversible transverse dephasing。saturation 或 ideal \(90^\circ\) preparation 令 \(M_z(0)=0\)，于是 \(M_z=M_0(1-e^{-t/T_1})\)；ideal inversion 令 \(M_z(0)=-M_0\)，于是 \(M_z=M_0(1-2e^{-t/T_1})\)。field inhomogeneity 另产生更快 \(T_2^*\) decay。sequence 的 repetition time、echo time、flip angle 与 k-space trajectory 决定 tissue weighting，不可把“亮”直接等同某种 material quantity。

spatial encoding 依 gradients：\(B_z(\mathbf r)=B_0+\mathbf G\cdot\mathbf r\) 使 frequency/phase 随 position 变化；measured signal 是 spin density/contrast-weighted distribution 的 Fourier-like samples。undersampling、motion 与 field inhomogeneity 会造成 aliasing/ghosting/distortion。

图 6 对比 \(M_z(0)=0\) 的 normalized saturation/ideal-\(90^\circ\) recovery 与 transverse decay；共用横轴仅展示形状，不表示 \(T_1=T_2\)。真实 tissue 常含多 compartments/exchange。

4. PET and SPECT / PET 与 SPECT

Knowledge ID: P14-U04-L02-K04

SPECT 使用 gamma-emitting radiotracer。mechanical collimator 只允许有限 directions 的 photons 到达 gamma camera，以 rotating projections 重建 activity distribution；collimator improves localization at a severe sensitivity cost。

PET tracer emits positron；positron slows and annihilates with electron，产生近 opposite directions 的 two \(511\ \mathrm{keV}\) photons。detector coincidence 定义 line of response（LOR），不需 SPECT-style absorbing collimator。non-collinearity、positron range、scatter、random coincidences、attenuation、dead time 与 detector timing 限制 resolution/quantification。

图 7 采用 leading-order opposite-photon idealization 展示 PET coincidence geometry；physical non-collinearity 是 resolution limit。LOR 不是已知的 exact annihilation point，tomographic reconstruction 仍需很多 events。

图 8 显示只有 aligned photon 穿过 collimator septa；斜 photons 被吸收的具体路径为 schematic。

activity follows

\[A(t)=A_0e^{-\lambda t}=A_0\,2^{-t/T_{1/2}}.\]

biological clearance 与 physical decay 同时存在时 effective half-life 更短。detected counts 常近 Poisson：\(\sigma_N\approx\sqrt N\)，relative noise \(\sigma_N/N\approx1/\sqrt N\)；增加 counts 可降 relative noise，却需要 time、activity、sensitivity 或更宽 acceptance，并伴随 motion/dose/resolution tradeoffs。

5. Resolution, contrast, dose, and reconstruction tradeoffs / 分辨率、对比度、剂量与重建权衡

Knowledge ID: P14-U04-L02-K05

spatial resolution 可用 point-spread function（PSF）或 modulation transfer 描述，而不能只用 pixel width。linear shift-invariant idealization 中

\[g(\mathbf r)=\int h(\mathbf r-\mathbf r')f(\mathbf r')\,d\mathbf r'+n(\mathbf r).\]

measured image \(g\) 是 object \(f\) 与 PSF \(h\) 的 blur，再加 noise/artifacts。sampling 太粗会 alias；即使 pixels 很小，finite focal spot、detector aperture、acoustic pulse length、gradient encoding、positron range 或 collimator 仍可限制真实 resolution。

图 9 用 PSF 的 full width at half maximum（FWHM）示意 resolution；真实 PSF 可 anisotropic、space variant 或有 sidelobes。

contrast 是 two tissues/signals 的 difference；detectability 还取决于 noise、background texture、task 与 observer。简单 CNR 可写

\[\mathrm{CNR}=\frac{\lvert S_1-S_2\rvert}{\sigma},\]

但 \(\sigma\) 如何定义必须说明。Poisson-limited acquisition 中 CNR 常随 \(\sqrt N\) 增长：counts 加四倍只使 noise-limited CNR 约加倍。regularization/denoising 可减 variance，却引入 bias、blur 或 hallucinated-looking texture；任何 reconstruction 都应以 task-based validation、phantom、ground truth surrogate 与 uncertainty 检验。

ionizing modalities（X ray/CT/PET/SPECT）需 justification 与 optimization：临床问题能否由 exam 回答？在足以完成 diagnostic task 的前提下，如何减少不必要 exposure？MRI/diagnostic ultrasound 不用 ionizing radiation，但仍有 strong-field/RF/heating、implant、acoustic-output 等 modality-specific safety constraints。

图 10 是 Poisson-limited trend，不是 patient-specific dose–risk or guaranteed diagnostic-performance curve。vertical decision line 需由 validated clinical task/QA 决定。

Worked examples / 完整例题

Worked Example 1 — heterogeneous path 的 X-ray projection

已知： ray 依次穿过 \(L_1=0.100\ \mathrm m\)、\(\mu_1=20.0\ \mathrm{m^{-1}}\) 的 tissue 与 \(L_2=0.0500\ \mathrm m\)、\(\mu_2=10.0\ \mathrm{m^{-1}}\) 的 tissue；忽略 scatter。
研究对象与边界： monoenergetic narrow X-ray beam from source to one detector bin。
参考系/坐标： path coordinate \(\ell\) 从 source 指向 detector。
模型理由： piecewise-constant Beer–Lambert forward model。

\[p=\mu_1L_1+\mu_2L_2=(20.0)(0.100)+(10.0)(0.0500)=2.50,\]

\[\frac{I}{I_0}=e^{-2.50}=0.0821.\]

单位/有效数字： \(\mu L\) dimensionless；transmission 三位有效数字。
sign/reasonableness： \(0<I/I_0<1\)，增加任一 path length 会降低 transmission。
模型边界/解释： detector 期望只收到 incident 的 \(8.21\%\)；polychromatic beam/scatter 会使测得 ratio 偏离此 ideal value。

Worked Example 2 — ultrasound depth 与 Doppler velocity

已知： echo delay \(t=130\ \mathrm{\mu s}\)，sound speed \(c=1540\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)；同一系统发射 \(f_0=5.00\ \mathrm{MHz}\)，测得 \(\Delta f=1.62\ \mathrm{kHz}\)，beam–flow angle \(\theta=60.0^\circ\)。
研究对象与边界： straight pulse-echo path and single-scattering Doppler from blood；constant \(c\)。
参考系/坐标： \(+z\) into body；\(v>0\) toward sign convention associated with positive measured shift。
模型理由： round-trip timing 与 backscatter Doppler approximation。

\[z=\frac{ct}{2}=\frac{(1540)(130\times10^{-6})}{2}=0.100\ \mathrm m,\]

\[v=\frac{c\Delta f}{2f_0\cos\theta} =\frac{(1540)(1.62\times10^3)}{2(5.00\times10^6)(0.500)} =0.499\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]

单位/有效数字： depth 三位有效数字；frequency ratio dimensionless，velocity 为 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)。
方向/limit check： \(\cos60^\circ=0.5\)；若误把 round trip 或 Doppler factor 2 漏掉，都会差两倍。
解释： \(\theta\) 接近 \(90^\circ\) 时 velocity estimate ill-conditioned；real scanner 需 angle correction 与 aliasing check。

Worked Example 3 — 3 T MRI 的 Larmor frequency 与 relaxation fractions

已知： proton \(\gamma/2\pi=42.58\ \mathrm{MHz\,T^{-1}}\)，\(B_0=3.00\ \mathrm T\)；ideal recovery \(T_1=1.20\ \mathrm s\)、read time \(t=0.800\ \mathrm s\)；transverse \(T_2=0.100\ \mathrm s\)、echo time \(0.0800\ \mathrm s\)。
研究对象与边界： homogeneous single-compartment spin ensemble after ideal excitation；no \(T_2^*\) in echo model。
参考系/坐标： \(\mathbf B_0\) along \(+z\)；report frequency magnitude。
模型理由： Larmor and single-exponential Bloch relaxation limits。

\[f_0=(42.58)(3.00)=128\ \mathrm{MHz},\]

\[\frac{M_z}{M_0}=1-e^{-0.800/1.20}=0.487, \qquad \frac{M_{xy}}{M_{xy}(0)}=e^{-0.0800/0.100}=0.449.\]

单位/有效数字： MHz/T times T gives MHz；fractions dimensionless，三位有效数字。
limit check： \(t=0\) gives zero recovered longitudinal and full transverse; long time gives \(M_z/M_0\to1\), \(M_{xy}\to0\)。
解释： tissue brightness 还由 spin density、sequence timing、flip angle、gradients、coil sensitivity 与 reconstruction 决定。

Worked Example 4 — PET tracer activity after decay

已知： \(^{18}\mathrm F\) physical half-life \(T_{1/2}=109.8\ \mathrm{min}\)，initial activity \(A_0=370\ \mathrm{MBq}\)；等待 \(t=120\ \mathrm{min}\)，忽略 biological clearance。
研究对象与边界： sealed tracer population with physical radioactive decay only。
参考系/符号： \(t=0\) at stated calibration time；activity magnitude positive。
模型理由： independent decay exponential。

\[\frac{A}{A_0}=2^{-120/109.8}=0.469, \qquad A=(370)(0.469)=174\ \mathrm{MBq}.\]

单位/有效数字： exponent dimensionless；三位有效数字。
sign/reasonableness： 经过稍多于一 half-life，fraction 应略小于 \(0.5\)，符合 \(0.469\)。
模型边界/解释： detected coincidence rate 还乘 geometry/efficiency 并受 attenuation/dead time；人体内 biological clearance 使 effective activity evolution 不同。

Worked Example 5 — Poisson counts 与 CNR tradeoff

已知： lesion ROI 期望 counts \(N_1=40000\)，matched background ROI \(N_2=36000\)，independent Poisson；定义 difference CNR 为 \((N_1-N_2)/\sqrt{N_1+N_2}\)。低-count protocol 把两者都降为四分之一。
研究对象与边界： equal-size independent ROIs，no reconstruction correlation/systematic bias。
参考系/符号： lesion minus background positive。
模型理由： independent Poisson variances add。

\[\mathrm{CNR}_{high}=\frac{4000}{\sqrt{76000}}=14.5.\]

低-count 时 \(N_1'=10000,N_2'=9000\)：

\[\mathrm{CNR}_{low}=\frac{1000}{\sqrt{19000}}=7.25.\]

单位/有效数字： counts treated dimensionless；三位有效数字。
scaling check： counts 降四倍使 CNR 降为一半，符合 \(\sqrt N\) scaling。
模型边界/解释： dose/activity/time reduction 不能仅凭此公式决定；real reconstruction introduces correlated, nonstationary noise and task-specific thresholds。

Lesson synthesis / 全课综合

任何 modality 都可用同一条 measurement-to-decision pipeline：

1. 明确 clinical/scientific task 与 system boundary：要定位 anatomy、velocity、relaxation 还是 tracer function？
2. 写 forward model：X-ray attenuation、acoustic propagation、spin evolution 或 radioactive emission/detection；
3. 列 detector measurement 与 calibration，区分 raw counts/voltages 和 displayed pixel values；
4. 检查 sampling、noise、motion、scatter/inhomogeneity 与 incomplete-data mechanisms；
5. 选择 reconstruction/regularization，并声明先验与可能 bias；
6. 用 phantom、resolution/contrast/noise/task metrics 和 uncertainty 做 validation；
7. 对 ionizing exam 做 justification/optimization，对所有 modalities 检查其特有 safety constraints；
8. 最终 image 是 evidence，不自动等于 diagnosis；interpretation 需 clinical context 与 qualified professionals。

不同 modality 的 contrast source 不同：CT 主要从 X-ray attenuation，ultrasound 从 acoustic impedance/scattering/motion，MRI 从 proton density 与 sequence-weighted relaxation，PET/SPECT 从 radiotracer distribution。把一种 modality 的“亮”直接映射成另一种 modality 的“dense”会导致类别错误。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Beer–Lambert/CT: monoenergetic, narrow beam and accurate calibration are idealizations; polychromatic scatter-corrected systems need detailed forward models.
• Tomographic inversion: complete angle/data assumptions fail with limited view, truncation, metal and motion; regularization cannot create guaranteed truth from missing data.
• Ultrasound ray model: ignores diffraction and finite beam; speckle is coherent interference, not merely electronic noise.
• Doppler equation: returns beam-parallel component; \(\theta\approx90^\circ\) is ill-conditioned and pulsed systems can alias.
• MRI single compartment: \(T_1/T_2\) and signal depend on field, sequence, exchange and tissue microenvironment; MR uses no ionizing radiation but is not risk-free.
• PET/SPECT ideal events: attenuation, scatter, randoms, collimator response, positron range and dead time alter quantification.
• Poisson rule: raw counts may be Poisson, but corrections and iterative reconstruction create correlated spatially varying noise.
• Dose comparison: administered activity, absorbed/effective dose, CTDI and DLP are not interchangeable patient-specific quantities.
• Image quality: resolution, contrast and noise are task-dependent; a sharper-looking image may be biased or artifact-rich。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “radiograph 是身体内部的一张透视照片。” 它是沿 depth 的 attenuation projection，结构 overlap 不可由肉眼自动分离。
2. “CT 只要增加角度就一定完全真实。” calibration、noise、scatter、motion、metal 和 model mismatch 仍会造成 artifacts/bias。
3. “ultrasound echo time 乘 \(c\) 就是 depth。” pulse 往返，必须除以 2；且 \(c\) variation 会产生 range error。
4. “Doppler 测到血流速度的完整 vector。” 单 beam 主要测 line-of-sight component，依赖 angle correction。
5. “MRI 用核辐射，所以有 X-ray dose。” MRI 测 nuclear magnetic resonance，不用 ionizing X ray；但 strong field、RF、gradients 和 implants 有其他风险。
6. “\(T_1\) 和 \(T_2\) 是组织永恒不变的标签。” 它们依 field、temperature、microenvironment、sequence/model 与 pathology。
7. “PET detector 直接知道 annihilation 点。” coincidence 只给 LOR；positron range 和 non-collinearity 也模糊位置。
8. “SPECT 与 PET 只是 tracer 名称不同。” SPECT 用 single-gamma collimation，PET 用 paired coincidence，physics/sensitivity/resolution 不同。
9. “pixel 更小就必然分辨率更高。” PSF、SNR、sampling 和 reconstruction 共同限制 resolution。
10. “dose 越高图像一定越好，或越低一定越安全合理。” optimization 以 clinical task 为约束；不必要 exposure 应避免，过低导致 nondiagnostic exam 也可能造成 harm。

Practice and retrieval / 练习与检索

1. [K01] uniform object \(\mu=15.0\ \mathrm{m^{-1}}\)、thickness \(0.0800\ \mathrm m\)，求 projection \(p\) 与 transmission。

2. [K01] 为什么把所有 CT projections 直接“向后涂抹”会 blur，而 filtered backprojection 需要 filtering？

3. [K02] echo 在 \(65.0\ \mathrm{\mu s}\) 返回，取 \(c=1540\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，求 depth。

4. [K02] Doppler beam 与 flow 成 \(80^\circ\)；若 angle 被误设为 \(70^\circ\)，速度估计会如何偏？

5. [K03] proton 在 \(1.50\ \mathrm T\) 的 Larmor frequency 是多少？取 \(\gamma/2\pi=42.58\ \mathrm{MHz\,T^{-1}}\)。

6. [K03] tissue A、B 的 \(T_2\) 分别 \(60\ \mathrm{ms}\)、\(100\ \mathrm{ms}\)，若同初始 transverse signal 且 \(TE=80\ \mathrm{ms}\)，哪一个保留更多 signal？

7. [K04] tracer 经过三个 half-lives 后 activity fraction 与 Poisson relative noise（若 counts 同比例下降）如何变化？

8. [K04] 分别说出 PET 与 SPECT 定位 photon origin 的主要 geometric mechanism。

9. [K05] detector pixel width 减半，为何 spatial resolution 不一定加倍？

10. [综合] pediatric abdominal question 可由 CT、MRI 或 ultrasound 候选回答。物理层面的 modality decision 至少要比较哪些量？

Exit ticket / 迁移检验

一套新 reconstruction 宣称：CT dose 减半后图像“与原图一样锐利”。请设计最小验证，判断这是保留了 diagnostic information，还是只生成锐利外观。

References and source notes / 参考资料与使用说明

以下权威直接来源均在 2026-08-31 实际打开并核对。正文重新组织；全部 TikZ 依据 forward models 原创绘制，未复制来源插图或临床图像。

1. MIT OpenCourseWare, 22.56J Noninvasive Imaging in Biology and Medicine — X-ray CT、PET/SPECT、MRI 与 molecular imaging 的大学课程范围及 inverse-problem 框架。
2. NIH/NIBIB, Computed Tomography (CT) — rotating X-ray source/detector、slice reconstruction、contrast 与 ionizing-radiation context。
3. NIH/NIBIB, Ultrasound — piezoelectric transduction、echo imaging、functional flow information 与 safety context。
4. NIH/NIBIB, Magnetic Resonance Imaging (MRI) — proton alignment/excitation/relaxation、soft-tissue contrast 与 strong-field constraints。
5. NIH/NIBIB, Nuclear Medicine — radiotracer、SPECT camera、PET annihilation coincidence 与 diagnostic exposure context。
6. U.S. FDA, Medical X-ray Imaging — X-ray/CT benefit–risk、justification、ALARA optimization、patient-size and QA considerations。

Source-to-content map

复习与拓展

• Radiation Therapy and Health Physics 将从 diagnostic exposure 转向 deliberate dose deposition、treatment planning 与 protection/QA。
• 可扩展：Fourier slice theorem、filtered backprojection derivation、ultrasound beamforming、Nyquist/Doppler aliasing、Bloch equations、k-space trajectories、time-of-flight PET、attenuation/scatter correction 与 task-based image-quality metrics。
• 与 Quantitative Decisions in Applied Physics 的接口：modality choice 是 benefit、hazard、exposure、uncertainty、resource 与 communication 的定量决策。