当方程不能轻易求解

前置知识： 速度、力与运动的关系；会代入简单函数。微分方程部分可只读文字。

在一道熟悉的运动学题中，我们往往按这样的顺序工作：写出定律，代入初始条件，算出未来的位置。做题多了，很容易产生一种印象：困难主要在于找到正确方程；方程一旦找到，预测就只是计算问题。

试着把题目换成三颗相互吸引的天体、一长串彼此连接的振子，或者整个大气。方程可能仍然清楚，计算却未必容易。即使计算能力大幅提高，初始测量中的微小差异，也可能在演化中被放大。

20 世纪的计算研究使这一点变得具体：理解规律、求出解，以及作出可靠预测，是三个需要分别完成的任务。

一、庞加莱提出的困难：确定，并不自动意味着可预测

在理想化的两体引力问题中，合适的数学方法能给出清楚的轨道结构。增加相互作用的物体以后，每个物体改变位置，又会改变其他物体受到的力。不能简单地把几条独立的两体轨道相加。

这类天体力学问题构成了庞加莱（Henri Poincaré）研究的重要背景。不过，“三个物体一出现，所有运动就一定混沌”同样不正确：初始条件、质量关系和所研究的运动类型都会影响结果。

在《科学与方法》讨论偶然性的段落里，庞加莱明确指出：初始条件的小差异，可能造成最终现象的大差异；他还用气象中的不稳定状态解释观测精度为何会限制预测。这里转述的是其原文论证，不把现代“混沌理论”的全部内容归给这一段话。《科学与方法》相关原文页

这使两个经常混用的词分开了：

一个系统可以按确定的方程演化，而它的长期细节仍超出实际预测能力。问题不一定是自然“临时改变了规则”，也可能是我们无法把起点测得足够准确。

二、计算机怎样成为研究自然的工具？

把连续变化分成可以计算的步骤

研究者常常面对的是描述变化率的方程。数值方法把时间切成小段，用当前状态估计下一小段时间后的状态，再重复计算。对于空间延展的系统，还需要把空间划分成网格，或选取一组能够代表系统的变量。

这不是随便把一个连续问题“切碎”。切多细、边界怎样处理、算法是否稳定，都会影响结果。算得很快的程序，也可能很快地产生错误答案。

1950 年，查尼（Jule Charney）、菲约托夫（Ragnar Fjørtoft）和冯·诺依曼（John von Neumann）发表了对正压涡度方程的数值积分研究。论文报告了依据实际气象资料计算的 24 小时预报，并讨论网格尺度、方程近似和误差来源。这是一个重要的历史细节：早期数值预报的成果已经包括对误差的分析，而不只是展示计算机算出了某张天气图。Charney、Fjørtoft 与 von Neumann，1950

从这里看，计算机的作用有两面：它扩大了能研究的问题范围，也要求人们明确模型与算法分别带来了什么近似。

一场没有按预期结束的“计算实验”

1950 年代，费米（Enrico Fermi）、帕斯塔（John Pasta）、乌拉姆（Stanisław Ulam）与玛丽·钦古（Mary Tsingou）在洛斯阿拉莫斯研究相互耦合的非线性振子。这类模型可以想象成一串由弹簧连接的质点，但弹簧的响应含有偏离简单线性关系的部分。

研究者关心的是：起初集中在少数振动模式中的能量，会不会随着耦合逐渐分散到许多模式？在他们所计算的参数与时间范围内，结果出现了出人意料的回归现象，能量重新接近原先的分布。相关工作形成了 1955 年的报告，也成为后来常说的 FPUT 问题。1955 年 LA-1940 原始报告；Los Alamos：非线性研究的历史

这里的“实验”，指的是对选定数学模型进行数值演化；计算中的每个质点并不是一颗被实际追踪的原子。它能暴露我们对模型行为的错误预期，但模型是否描述真实材料，还需要另外的验证。

钦古的贡献也值得写清。她在 IEEE 历史中心的口述史中回忆了与帕斯塔、乌拉姆的合作；访谈整理还引录了原始报告对她完成编码并运行 MANIAC 计算的致谢。研究史不能只按照后来流行的三个姓氏来分配贡献。Mary Tsingou Menzel 口述史，2002

三、洛伦兹：少量变量也能带来长期预测困难

一篇标题里同时出现“确定”和“非周期”的论文

1963 年，气象学家爱德华·洛伦兹（Edward Lorenz）发表《确定性非周期流》。他研究了由对流问题简化而来的低维非线性方程，并展示了非周期演化与对初始条件的敏感性。Lorenz，1963 原论文；MIT Lorenz Center：研究背景

这项工作的力量在于，产生复杂行为不一定需要给模型塞进无数变量。少数变量经过非线性耦合，也可能使相邻轨迹在一段时间后显著分离。

人们后来熟悉的双叶形轨迹，画在由模型变量构成的状态空间中。它不是一只蝴蝶的飞行路线，也不是空气团沿着同样形状在房间里运动的照片。状态空间图的每一点表示一组变量值。

“蝴蝶效应”究竟保留了什么，省略了什么？

这个比喻突出了小扰动可能被放大的一面。但如果把它理解为“每一只蝴蝶都会制造一场龙卷风”，就丢掉了系统状态、演化机制和预测范围等条件。它也不表示任何时候的小变化都只会越来越大。

在适当的阶段，附近状态的分离可以用下面的现代近似表达来理解：

\[\delta(t)\approx\delta_0 e^{\lambda t},\qquad \lambda>0.\]

这里，\(\delta_0\) 是初始状态的微小差别，\(\delta(t)\) 是采用合适尺度衡量的状态差别，\(\lambda\) 表示放大速率。这个式子帮助理解局部的误差增长；它不是所有系统都适用的普遍预报公式。轨迹分离也不会在一个有界系统中永远按指数增长。

若允许的误差上限为 \(\Delta\)，在这个近似下，可用的预测时间大致为：

\[t_{\mathrm{p}}\approx\frac{1}{\lambda}\ln\frac{\Delta}{\delta_0}.\]

因此，把起点测得精确十倍，通常只是把预测窗口延长一段时间；并不会自动让可预测的时间变成十倍。

四、用一个短计算，亲自看见初值差异

下面是教学用的离散迭代，不是洛伦兹对流方程，也不是某个真实种群的精确模型：

\[x_{n+1}=4x_n(1-x_n),\qquad 0\le x_n\le1.\]

从两个非常接近的起点 \(x_0=0.200000\) 和 \(y_0=0.200001\) 出发，每次都采用相同规则。

表内数据由同一递推规则计算，展示时保留六位小数；计算过程中没有每步先舍入到六位，因此用显示值相减，末位可能与差值栏不同。

你可以用计算器重复前几步，或者比较第三个初态。值得观察的是：规则始终相同，早期结果很接近，后来差异却显著增大。有限次计算本身不是关于混沌的数学证明，但它使“起点差一点，未来可能差很多”变成可以检查的具体结果。

如果改成每一步都只保留三位小数，你改变的就不仅是初态，还包括数值计算本身。初始条件误差与舍入误差是两种需要分别记录的误差来源。

五、从一条轨迹，到许多系统共享的结构

计算研究没有停在“未来很难预测”的结论上。研究者还发现，不同系统在从规则运动走向复杂运动时，可能共享某些结构。

一个例子是周期倍增：随着参数变化，系统可能从每一步重复的状态，变为两步重复、四步重复，再继续分岔。20 世纪 70 年代，费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）研究了某些倍周期通向混沌过程中的普适标度。这里的“普适”有适用类别，并不是说一切自然系统都按相同路径进入混沌。Los Alamos：非线性研究的历史

另一个方向关心的是集体行为。组成系统的每个部分可能规则简单，许多部分相互作用后，却会形成单个部分不具有的整体状态。例如，研究同步不只需要知道一个振子怎样振动，还需要知道振子之间如何耦合、耦合有多强。

“复杂系统”因此不是“特别难算”的另一种叫法。它提醒我们选择适合整体问题的变量和尺度：什么时候应追踪每个对象，什么时候应研究密度、关联、网络或统计分布。

这种研究也没有让基本定律失去作用。真正的困难常常是：即使基本相互作用已知，从它们组织出合适的整体描述，仍然是一项新的工作。

六、天气、气候与等离子体：预测的对象可以改变

明天的一场雨，与几十年的统计变化

“不能准确知道很久以后某天下午是否下雨”，不等于“不能研究气候条件变化后的统计结果”。两种问题所要求的信息不同。

天气预报关心具体状态如何演化；气候研究还会问，在一定外部条件下，平均温度、季节分布或极端事件概率怎样改变。初态的不确定性仍然重要，尤其在较短时间和区域尺度上，但外部作用对能量收支的改变也是独立的物理信息。

NASA GISS 的研究提供了一个具体方法例子：采用多组模拟，逐项加入不同外部作用，比较受迫变化与系统内部变动的影响。这里引用的是 1997 年论文的方法与问题设置，不把当年的数值估计当作今日气候状态。Hansen 等，Forcings and chaos in interannual to decadal climate change

由此产生的方法是集合计算：使用一组与观测误差相容的初态，观察结果如何分散，同时检查不同模型和条件带来的差异。一组成员非常接近，未必说明预测正确；如果它们共享同一种模型偏差，也可能一起偏离现实。

等离子体里，细小运动与整体装置相连

等离子体包含大量带电粒子，也受自洽电磁场影响。研究者有时追踪粒子，有时采用分布函数，有时把它近似为流体；不同方法保留的信息并不一样。

例如，若要研究某种不稳定性如何影响输运，就需要说明哪些空间与时间尺度得到解析，哪些碰撞或波动过程被近似处理。不能因为程序中已经写入了洛伦兹力，就默认整个装置的行为已经算准。

这段是对现代建模问题的教学连接。具体概念可参看 等离子体流体与磁流体模型、等离子体不稳定性。

怎样使一次模拟成为可检查的证据？

对于混沌系统，长时间后两条计算轨迹逐点不同，不一定意味着算法失效；但也不能把任何差别都归咎于“混沌”。需要先明确研究目标是短期轨迹、长期统计量，还是某个事件的发生概率，再选相应的验证标准。

进一步阅读：非线性动力学与混沌；涌现与集体动力学；网络与信息流。

七、把本篇放回时间线

八、读后思考

1. “方程完全确定”与“十年后的状态能精确计算”之间，还缺少哪些条件？
2. FPUT 中出现能量回归，为什么不能直接写成“热力学第二定律被推翻”？
3. 上面的迭代表如果改成每步保留三位小数，你是在改变哪一类条件？
4. 为什么不能用某天的天气预报失败，直接判断一个长期气候统计预测无效？
5. 两个程序给出几乎相同的结果，是否就足以证明它们描述了真实世界？