热能做多少功

前置知识： 功、重力势能、温度、比热容与气体膨胀。

一、先有机器，后来才有一套热机理论

在能够写出热力学定律之前，人们已经用蒸汽机抽水、推动机械，也已经清楚燃料要花钱。工程师首先面对的并不是一个抽象问题，而是同一批煤能让机器干多少活，哪些地方正在浪费燃料。

早期纽科门机在气缸内部使蒸汽冷凝，利用压力差推动活塞。气缸却因此反复冷却；下一轮蒸汽进入时，必须先把冷下来的缸壁重新加热。瓦特的关键改进，是把冷凝过程移到单独的容器，使气缸尽可能保持较热，冷凝器保持较冷。科学博物馆保存的一件 1765 年装置被确认为他的第二个独立冷凝器模型；相关专利取得于 1769 年。馆藏说明；馆方历史介绍

图 1　原创功能示意。左侧冷热箭头表示不同工作阶段，右侧突出独立冷凝器的作用；图中省略了活塞、阀门和连杆，并非蒸汽机结构复原图。

这里没有发生“瓦特看见水壶，便发明了蒸汽机”的单次跃迁。已有机器、测量经验、工匠技术与一连串改进，先把热的问题变成了可以反复比较的工程问题。改进冷凝安排能减少一种具体损耗，却仍留下另一个问题：假如所有能避免的损耗都消除了，机器还会有不能超越的上限吗？

二、卡诺把问题推到了任何机器都必须回答的地方

1824 年，萨迪·卡诺发表《论火的动力》。他关注的重点并不是给某一种蒸汽机添一个更好的零件，而是比较不同机器的共同条件：热从较热物体传向较冷物体，机器在这一过程中能够产生多少机械效果？1824 年原书

他的一个重要工具，是设想能够完全反向运行的理想机器。正向运行时产生机械效果，反向运行时消耗相应的机械效果，并撤销原来的热过程。如果有另一台机器能在相同条件下做得更多，把它与反向运行的理想机器联接，整体就会产生与理论前提矛盾的结果。通过这种比较，机器的极限性能可以从具体的材料和零件中抽离出来。

但这里需要暂停一下：卡诺 1824 年仍在热质理论的框架内思考。他把热质的传递类比为水从高处落到低处；在当时的论证中，热质的数量并不因取得机械效果而减少。今天我们则会把机器得到的热量与排出的热量之差记为输出功。两个账本不同，不能把现代公式直接塞回卡诺的原书。

图 2　原创历史概念对照。左侧表现 1824 年的理论前提，不表示它在今天成立；右侧才是现代能量关系。卡诺留下了有力的可逆性思路，但热量怎样记账后来必须重写。

这段历史的价值恰在于：一套理论中的基本解释可以被放弃，其中某种比较方法却可能保留下来，进入更成熟的理论。科学的发展有时需要拆开一个成功论证，查明究竟是哪一部分经受住了新的证据。

三、钻炮筒时冒出的热，究竟原来藏在哪里？

与热机研究交错发展的另一条线索来自摩擦。1798 年，朗福德报告了炮膛加工中的实验。钝钻头与金属摩擦产生大量热，周围的水能够被持续加热。他追问：如果热是金属原来储存的一种物质，为什么持续加工似乎没有很快把这种储藏耗尽？金属切屑与原金属的热学性质，又是否足以解释产生的热？1798 年论文转录；英国皇家学会介绍

这个实验并不是“无限制造能量”。驱动加工的马匹一直在做功，机械作用并没有停止。它挑战的是把摩擦生热解释成有限热质从金属中释放出来的某些说法，也使热与运动之间的联系更加突出。

然而，看见摩擦生热，还不等于建立了能量守恒。人们早就知道搓手会暖；真正困难的是把两种原来分开测量的量联系起来：一边是施力并移动物体所做的功，另一边是让一定质量的物质升高一定温度所需的加热效果。必须证明这种联系具有可重复的数量关系，且不只适用于某一种摩擦材料。

四、迈尔问的是不同变化能否用同一本账来计算

1842 年，德国医生尤利乌斯·罗伯特·迈尔发表《论无机自然界中的力》。他把物体下落、运动的消失、温度上升等现象放在相互转化的框架中，并尝试利用气体在定压与定容条件下的热容量差估计机械效果与热效应的关系。原论文出版记录；英译文本

迈尔的数值并不是今天教科书中精确定义的单位换算，他的论证也包含后来不再采用的类比。但他明确地把“转化时数量怎样对应”作为问题提出。这与仅仅说热和运动有关，已经有明显距离。

阅读早期文献还会遇到一个语言陷阱：标题中的德文 Kraft，或者英译中的 force，不能一律理解成今天写在牛顿第二定律里的力。那个时期，力、活力、机械效果与能量的术语边界仍在形成。把早期“力的守恒”直接解释为合外力保持不变，会把整篇文章读错。

五、焦耳把共同尺度变成一项精密测量

焦耳在 1840 年代用不同方法研究功与热效应的关系，包括电磁作用、气体变化以及流体摩擦。著名的搅水实验属于这串研究，而不是全部研究。1850 年正式发表的《论热的机械当量》，总结了一系列细致实验；皇家学会记录显示，这篇论文在 1849 年已经提交和宣读。原论文扫描；皇家学会稿件记录

图 3　真实史料：焦耳 1850 年论文的 Plate VII，来自 Princeton 提供的公开扫描，原作品已进入公有领域。图 1—3 对应水的搅拌装置与容器，图 4—6 对应汞的装置，图 7—8 对应铸铁摩擦，图 9 表现总体传动安排。整页不是同一只水桶的不同视图；这里只把扫描转正，没有改绘历史线条。

重物下降的高度和重量，可以用来计算输入的机械功；液体温度的微小变化，则提供另一端的读数。但温度计并不会自动把答案交出来。容器本身也要升温，实验期间还会与环境交换能量，传动装置也会引入额外影响。如果不处理这些因素，测到的温升就不能直接代表全部输入功。

焦耳工作的力量来自重复与交叉比较：换用不同材料和实验安排，仔细校正，观察能否得到相近的对应关系。一个漂亮的演示只能说明现象存在；多种独立安排趋向同一数值，才能支持一种比具体装置更普遍的关系。

现在用现代单位重述这件事。若全部下降重物的总质量为 \(M\)，总的下降高度为 \(h\)，在理想传动条件下，重力势能的减少约为 \(Mgh\)。把液体与容器选作系统，并近似忽略向环境的传热，则

\[W_{\mathrm{on}}\approx Mgh\approx\Delta U \approx C_{\mathrm{eff}}\Delta T.\]

这里 \(C_{\mathrm{eff}}\) 是液体、容器等参与升温部分的有效热容量，近似取为常数。轴输入的是功；由于温差而跨越系统边界传递的能量，才称为热量。近似绝热的搅拌过程完全可以使温度上升。

图 4　原创教学模型，数值不是焦耳的实测记录。总质量 10 kg 的重物下降 5 m，理想输入约 490 J；若系统有效热容量为 1000 J/K，温升约为 0.49 K。实际测量还要处理漏热、容器热容量和传动损耗。

“热的机械当量”也不意味着物体内部储存着一种叫作热量的东西。实验把原本采用不同单位的能量传递方式联系起来；后来统一用焦耳计量，单位之间的转换不再是两种不同实体之间的转换。

六、守恒从机械问题扩展到更广的自然过程

1847 年，赫尔姆霍兹发表《论力的守恒》，把机械、热、电磁和化学等现象联系起来，讨论它们怎样受共同的守恒要求约束。他的论文是这一综合过程的重要文献，标题中的 Kraft 同样需要按历史语境理解。1847 年原文扫描；维也纳技术大学馆藏记录

这并不是一位研究者用一行数学证明自然界永远守恒。迈尔、焦耳、赫尔姆霍兹以及热学、电学和工程领域的其他研究者，各自处理了不同部分：概念上的转化关系、可重复的实验数量、跨现象的理论组织。能量概念之所以能够站稳，是因为它可以把许多原先分散的过程放进一致的计算中，并持续接受新实验的检查。

这种改变也重新解释了摩擦。宏观物体的机械能减少，并不要求全部能量消失；能量可能进入物体内部，表现为温度等状态量的变化。要检查守恒，首先必须说清研究哪些物体、包括哪些能量形式，以及什么穿过了所选边界。

七、第一定律先要求我们选好系统

在现代热力学中，对没有质量穿过边界的封闭系统，忽略整体动能与重力势能变化时，可以写成

\[\Delta U=Q-W.\]

这里约定 \(Q>0\) 表示系统吸热，\(W>0\) 表示系统对外做功。封闭并不等于隔离：它仍可与外界交换热和功。内能 \(U\) 是状态量，热量与功则描述过程中的能量传递；到达同一个终态，可以经过不同过程，分别具有不同的 \(Q\) 与 \(W\)。

对完成一轮循环的热机，工作物质回到初态，所以 \(\Delta U=0\)。如果它只从高温热库吸收大小为 \(Q_h\) 的热量，向低温热库排出大小为 \(Q_c\) 的热量，则净输出功为

\[W_{\mathrm{net}}=Q_h-Q_c,\qquad \eta=\frac{W_{\mathrm{net}}}{Q_h}=1-\frac{Q_c}{Q_h}.\]

机器回到原状，不表示整个世界也回到原状。热库失去或得到能量，负载得到机械功；这些变化正是热机运行的结果。只盯着工作物质，会误以为一轮循环中“什么都没变”。

八、守恒账目正确，机器仍可能造不出来

设有一台循环热机，每次从 500 K 的热库吸收 100 J，并向 300 K 的冷库排热。如果它声称输出 70 J、排出 30 J，能量相加确实等于 100 J。但这还不足以说明它可能实现。

1850 年的克劳修斯与 1851 年的威廉·汤姆孙，将热功当量与热机理论重新协调。他们保留卡诺比较可逆机器的思路，同时不再坚持热质数量在做功时保持不变的旧账本。数量守恒和过程方向由此成为需要同时满足的约束。克劳修斯 1850 年论文；汤姆孙 1851 年论文节选

用今天的绝对温度表达，对于只与两个恒温热库交换热、没有其他能量交换方式的循环热机，其效率满足

\[\eta\leq1-\frac{T_c}{T_h}.\]

等号对应理想可逆极限。温度必须用开尔文；不能把摄氏温度直接代入。这是后来成熟理论的表达，不是卡诺 1824 年原书已经写出的现代公式。

图 5　原创比较。500 K 与 300 K 两热库给出的理想效率上限是 40%；声称达到 70% 的循环装置虽然没有算错能量总数，却违反了第二定律。图中热库总熵变的计算，在下一篇展开。

还要小心“热不能全部变成功”这句缩写。某些非循环过程，例如理想气体的等温膨胀，完全可以有 \(Q=W\)。限制针对的是：装置循环运行，唯一效果只是从一个热库吸热并将它全部变成功。补上循环条件和环境变化，才不会把第二定律说成一个错误的绝对禁令。

九、热的数量与热的可用性，成为两种不同的问题

到十九世纪中叶，热机不再只是经验上需要燃料的机器。它一方面服从能量守恒，另一方面受到温度和过程方向的限制。瓦特减少了一种工程损耗，卡诺提出普遍极限的比较方式，热功研究改写了能量的账本，后来的热力学再把这些成果放进同一框架。

这也解释了为什么摩擦把机械功转成内部能量，通常比把这些内部能量完整变回机械功容易。能量仍在那里，却分布在不同状态和环境中；“还剩多少”不能代替“还能够怎样使用”。下一篇的熵与统计物理，正是从这个尚未回答完的问题继续前进。

时间线：机器、实验与定律的交汇

与物理知识体系的连接

• 热容量与相变：容器也参与升温，温升并不单由液体质量决定。
• 热力学系统与过程：先规定边界，再谈热、功和能量变化。
• 能量、热与功：同一种能量可以经不同方式传递，热量不是状态量。
• 热力学循环：工作物质恢复初态，热库与负载仍发生变化。
• 热过程的方向：能量守恒只是过程可能性的一个必要条件。

读后思考

1. 瓦特的独立冷凝器解决了哪一种具体损耗？为什么它本身没有给出所有热机的效率上限？
2. 卡诺的热质前提后来被放弃，为什么其研究仍是热力学的重要起点？
3. 近似绝热的搅拌实验中，水温升高了，能否说“有热量通过轴流进水里”？
4. 图 4 若忽略容器热容量，只按水的温升计算能量，会漏掉什么？
5. 图 5 的 B 装置满足能量守恒，为什么仍不可能？把问题改成一次非循环膨胀，结论还可以原样照搬吗？