推手离开以后

前置知识： 路程、时间、速度与简单几何面积；不要求预先掌握微积分。

一、一个普通的抛掷，可以暴露整套解释的困难

手推着物体时，我们容易指出运动的来源：手正在与它接触。但石头飞离手掌，箭离开弓弦以后，原来的接触已经结束，运动却继续存在。倘若我们要求每一段运动都有正在发挥作用的推动原因，那么原因现在在哪里？

这个问题看起来简单，是因为今天的读者已经学过惯性。若暂时放下现成答案，就会发现，日常经验并不直接把牛顿第一定律送到眼前。推过的箱子会停，滚动的球会慢下来；把这些现象归于阻碍，而不是归于“运动自己用完了”，需要进一步区分条件。

图 1　原创概念图。绿色箭头表示速度，橙色箭头只标接触阶段的推动作用。三个位置不是定量轨迹；近地抛体离手后仍受重力，不能从“手不再接触”推出“所有外力消失”。

这一篇追踪的，是晚期古代和中世纪对运动问题的反复拆解。它跨越不同语言和学术环境，并不是一个时代所有人共同持有的一套观点。持续运动的原因、下落加快的机制，以及变化的数学描述，也不是同一道题。

二、空气究竟在推动物体，还是阻碍物体？

亚里士多德在《物理学》第四卷讨论虚空时，已经明确处理抛出物不再接触原推动者却仍在运动的问题。他谈到受推动的空气继续推动物体，也提及一些人提出的介质相互替代解释。介质因而承担了使运动延续的角色。《物理学》IV.8，公开英译

但同一讨论也承认介质会妨碍运动。把他的观点写成“空气只有推动作用”，会删去理论内部真正需要处理的张力。空气一方面被用来维持抛体，另一方面又被用于解释不同介质中的速度差；这两种作用怎样兼容，便成为后来批评者可以追问的地方。

这里还有一个语言上的距离：古代自然哲学中的运动，往往包括比位置改变更广的变化；“推动原因”也不能逐字换成现代受力图中的箭头。本篇主要讨论位置变化，但仍要保留这一概念差异。

现代力学要求给出物体、相互作用和参考系。历史上的论证则可能同时涉及自然位置、元素性质、介质以及变化如何发生。读懂一种解释，需要先知道它试图回答哪些问题。

三、把运动的原因移到物体内部

六世纪的斐洛波诺斯批评用周围空气维持抛体的解释。他认为推动者可以赋予物体某种运动能力，原推动者离开以后，物体仍凭借这种能力运动；但这种能力会逐渐耗尽。他也援引不同重量物体下落的比较，质疑速度严格按重量比例变化的说法。SEP：斐洛波诺斯，§2.2

这改变了问题的落点。我们不必再要求身后的空气不断接替推手，却需要解释物体获得了什么、这种东西怎样减弱，以及为什么最终会停止。一次批评解决一个难点，也可能留下新的说明任务。

它还没有成为牛顿意义上的惯性。认为物体带着一种会消耗的运动能力，与认为匀速直线运动本身不需要持续的合外力，是不同的主张。把前者直接写成后者，就会失去这次概念调整的实际内容。

十一世纪，伊本·西那用 mayl，即“倾向”，讨论有关问题。其中要区分自然倾向与推动者赋予的强迫运动倾向。在对抛体的解释中，后者不必因为运动正在发生就自行耗尽；阻碍的作用变得重要。无外部阻碍时运动可以无限延续的设想，属于他的反事实论证，不能据此说他接受现实中的虚空。Şahin：伊本·西那的强迫倾向研究；SEP：其自然哲学背景

我们可以比较这些解释怎样处理“持续”，却不宜把 mayl 直接译成现代动量，再把一套尚未建立的守恒定律附加上去。相近的现象，可以被放进不同的概念系统。

四、持续运动之外，还有下落加快

如果石头在落下时越来越快，只说它“具有下落的倾向”仍不够。还要说明：为什么后来的运动比先前更快？

十二世纪的阿布·巴拉卡特讨论过不止一种机制。对于原先被向上抛出的物体，可以考虑与下落相反的强迫倾向逐渐衰减；另一种解释则让自然下落的原因持续产生新的自然倾向，使其积累。他同时认为强迫倾向会在运动中耗尽，与伊本·西那的处理存在分歧。Shlomo Pines：阿布·巴拉卡特，PDF第2页

两种机制的适用情境不同。用残留的向上倾向说明下落变化，不能自动解释从静止释放的石头；后一种情形并没有先前的向上抛掷。只有分清初始条件，才能判断一个说法究竟解释了哪些现象。

“持续产生”也不等于已经得到 \(F=ma\)。要形成现代动力学，还需要清楚定义力、质量、加速度及其测量关系。我们在这里看到的是对加快过程的机制设想，不能替作者补上一条已经测得的恒定重力加速度。

图 2　原创概念比较。表格突出运动能力是否自行耗尽等分歧，不给历史概念编造数值，也不把人物的年代顺序画成已经证实的直接传承。

五、布里丹的冲力，为什么还不是教科书里的动量？

十四世纪的布里丹把推动者赋予物体的内在运动能力称为 impetus，中文常译作“冲力”。他认为其强弱与速度和物质多少有关，可以在没有相反阻碍时持续；他也用类似的积累思路讨论下落加快，并把这一概念用于旋转、天体等问题。SEP：布里丹，§6

“与速度和物质多少有关”很容易让现代读者想到 \(\mathbf p=m\mathbf v\)。这样的比较可以帮助提出问题，却不足以证明两个概念相同。现代动量是有明确运算规则的向量；它与合外力的关系、系统边界和守恒条件，都在一套数学理论中有特定位置。历史上的冲力承担的解释任务与此并不完全一致。

尤其不能在箭离弦后的现代受力图里，再添一根向前的“冲力”箭头。若忽略空气阻力，近地抛体受到的外力是重力；它仍有向前的速度，不需要额外安排一种向前的外力来维持这个速度分量。

用现代语言说，速度告诉我们物体正在怎样运动，合外力告诉我们速度怎样改变。它们可以方向不同，合外力也可以在速度不为零时为零。区分这两种问题，是后续力学的重要工作；布里丹的讨论提供了一种历史上的回答，但不能因此被改写成已经完成的牛顿体系。

这些人物也不是各自用一个新词替换全部旧知识。他们可能在抛体问题上提出批评，在其他地方仍保留传统的自然哲学结构。思想改变常常发生在具体问题上，速度并不整齐一致。

六、文本、大学与问题的组织方式

这些讨论能够反复展开，还依赖文本的抄写、翻译、讲授与辩论。十二、十三世纪，阿拉伯语到拉丁语的翻译与希腊语到拉丁语的翻译并存；进入新的读者环境的，包含原著，也包含解释、批评和新增的问题。SEP：阿拉伯语与伊斯兰哲学对拉丁西方的影响

因而，“保存知识”不足以概括全部工作。一个译者要选择术语，一个注释者要处理文字和经验之间的疑难，大学中的问题讨论还需要区分反对意见、适用条件和结论。这些形式并不保证答案正确，却使某些问题可以被持续识别和争论。

不过，跨文化叙述也需要证据。两位作者都把运动解释放进物体内部，不等于后者一定读过前者的某本书。证明直接影响，通常需要译本、引文、阅读记录或可追踪的文本关系，不能只靠现代读者觉得“很像”。

把本篇四种观点排在一起，目的是比较同一难题的不同回答。它不是一张从亚历山大里亚一路通向牛顿的必然路线图。

七、“越来越快”可以先成为一个数学条件

十四世纪，牛津默顿学院的一批学者运用逻辑、比例和数学分析运动。他们常被称为牛津计算者，海特斯伯里是其中的重要人物。“计算者”不是现代计算机，也不表示这些人共同经营了一座现代落体实验室。Merton College：学院的数学研究传统

在这里，可以暂时把“为什么加快”放在一旁，先问“怎样算作均匀地加快”。海特斯伯里讨论的关键条件是：在任意相等时间段里，速度获得或失去相同的程度。SEP：海特斯伯里，§3.3.1及所引原典段落

这与在相等时间内走过相等路程不同。后者描述匀速运动，前者描述速度的变化率恒定。用现代数值举例，若速度每秒增加 \(1\,\mathrm{m/s}\)，开始时为 \(2\,\mathrm{m/s}\)，四秒末便达到 \(6\,\mathrm{m/s}\)。

图 3　原创数值示例。每个一秒时段的平均速度依次为2.5、3.5、4.5、5.5米每秒，路程相加为16米；不能把各时段末的速度直接当成整个时段的平均速度。数值不是历史实验记录。

把第一个时段与最后一个时段配在一起，平均速度之和是 \(8\,\mathrm{m/s}\)；中间两个时段相配，也得到同样的和。这样的对称提示我们：速度线性增加时，开始较慢的部分和后来较快的部分，可以围绕一个中间值互相补足。

平均速度定理正是把这种关系说清楚。若运动始终同向，速度在用时 \(\Delta t\) 内从 \(v_0\) 均匀变到 \(v_1\)，用现代记号写，路程为

\[s=\frac{v_0+v_1}{2}\,\Delta t.\]

它的意义不在于又多了一条可背的公式，而在于把一段不断变化的运动，与一段恒定速度的运动作严格比较。只要变化满足条件，即使还不知道运动由什么引起，仍能推出总路程。

八、奥雷姆让变化的程度有了几何形状

同在十四世纪，奥雷姆用几何图形表示一个基底上不同位置或时刻的强度。讨论运动时，可以让基底表示时间，竖直线段的高度表示相应速度；均匀变化于是形成直边的图形，便于比较总效果。他用这种方法论证平均速度关系。SEP：奥雷姆，§2.6

今天我们可以用速度—时间图重述这个思路。图中横轴每一小段是时间，相应高度是速度；一块很窄的面积，代表这段时间内的路程。对于本例的直线变化，完整面积是一个梯形。

图 4　原创现代重述。把左图高于中线的橙色三角形旋转半圈，恰好补进低于中线的空缺；梯形与右侧矩形面积都对应16米路程，单位来自速度乘时间。图形不是奥雷姆手稿的复制。

图形的面积要连同坐标单位理解：这里纵轴单位是米每秒，横轴单位是秒，因此数值面积对应米，不能把它当作一块真实土地的面积。横向长度为4，平均高度为4，总路程就是16米。

对于从静止开始、速度均匀增至 \(v_1\) 的特殊情形，梯形成为三角形，平均速度恰好为终速度的一半。若再用现代定义 \(v_1=a\Delta t\)，便得到

\[s=\frac12a(\Delta t)^2.\]

推导清楚地显示了所用条件：初速度为零，加速度恒定，所讨论的路程没有混入反向运动。公式中的平方，来自速度随时间增长，同时运动又持续了一段时间，并不是看到一个三角形便随意给时间加上平方。

这样的重述有助于理解历史数学，但不能把现代坐标符号、微积分和全部图像规范一起归给奥雷姆。几何表示已经很有力量，它仍有自己的时代背景和讨论对象。

九、知道起点和终点，还不足以知道整个过程

平均速度是否总等于初末速度的平均值？只要画出另一种变化，就能看出答案。

仍取四秒用时，初速度2米每秒、末速度6米每秒。第一种情况线性增速；第二种情况在前半段时间增加得较慢，后来才加快追上。两者端点相同，中间的速度却不同，因此总路程也不同。

图 5　原创数学对照。用图示单位表示，左图 \(v=2+t\) 的路程为16米，右图 \(v=2+t^2/4\) 的路程为 \(40/3\) 米，约13.33米。曲线由明示函数计算，不是中世纪的实测或拟合结果。

这也划出了数学命题与自然规律之间的边界。证明“如果速度均匀改变，就有某种路程关系”，还没有证明真实石头一定按这种方式下落。后一个判断需要把所设条件与自然现象连接起来，处理阻力、测时、释放方式和测量误差。

同样，某一段运动符合一条路程公式，也不自动给出唯一的动力学原因。不同机制可能在有限条件下产生相同的运动学结果。描述运动与解释运动可以互相帮助，却不能互相替代。

十、近代前夜留下的是可以继续工作的难题

回看本篇，变化发生在几个层次。介质不再是唯一可以考虑的运动原因；物体内部的能力与倾向被提出，又因是否自行耗尽而引起分歧；时间、速度和总路程之间，则获得了越来越精确的条件性关系。

这些工作没有直接组成一部尚未署名的牛顿力学，也没有因为保留旧概念就失去价值。它们使一些原来含混的问题变得具体：要解释的是持续还是改变，所谈的是作用原因还是运动程度，结论依赖的是经验还是数学假设。

接下来，天空也将提出类似的要求。重新安排地球和行星，可以改变我们对视运动的解释，却还需要可检验的轨道与时间规律。第6篇将转向哥白尼、第谷与开普勒；随后第7篇再回到地面，讨论伽利略怎样把运动的理想化、几何与测量联系起来。

时间线：运动的原因与变化的形式

与物理知识体系的连接

• 运动模型与参考系：先交代描述运动所用的对象和条件。
• 一维运动：区分速度、速度变化率、平均速度与路程。
• 牛顿定律与相互作用：用现代框架理解“维持运动”和“改变运动”的区别。
• 受力分析与约束：离手后的受力图不应添上虚构的向前冲力。
• 二维与三维运动：抛体有水平运动，并不意味着水平方向必有外力。

读后思考

1. 为什么“手已经离开”不能直接推出物体的合外力为零？
2. 认为运动能力会自行耗尽，与认为它只有遇到阻碍才改变，有什么解释上的不同？
3. 为什么不能仅凭“冲力与速度和物质多少有关”就写成 \(\mathbf p=m\mathbf v\)？
4. 一物体在3秒内由2米每秒均匀加速到8米每秒，路程是多少？这项计算用到什么条件？
5. 平均速度定理成立，是否已经证明自然落体具有恒定加速度？