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Lesson 1.5.2

力矩与转动惯量

Torque and Rotational Inertia

HS→UG15 个知识点12 幅图示3 张表格

Learning objectives / 学习目标

  1. 相对指定点或轴计算 \(\boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F\)，并用力臂解释大小与符号。
  2. 说明 \(\sum\boldsymbol\tau=d\mathbf L/dt\) 的一般性，以及 \(\sum\tau_z=I_z\alpha_z\) 的额外条件。
  3. 由 \(I=\sum m_ir_{\perp i}^2\) 或 \(I=\int r_\perp^2dm\) 计算离散和连续体的转动惯量。
  4. 正确使用并推导平行轴定理，判断垂直轴定理何时成立。
  5. 通过量纲、极限和质量重分布判断转动响应的合理性。

Prerequisites / 先修知识

0. Notation / 记号

Symbol Meaning SI unit
\(\boldsymbol\tau_O\) torque about point \(O\) \(\mathrm{N\,m}\)
\(\ell\) perpendicular lever arm m
\(I_z\) scalar moment of inertia about axis \(z\) \(\mathrm{kg\,m^2}\)
\(\rho,\sigma,\lambda\) volume, surface, line mass density \(\mathrm{kg\,m^{-3}}\), \(\mathrm{kg\,m^{-2}}\), \(\mathrm{kg\,m^{-1}}\)
\(\alpha_z\) angular acceleration about fixed axis \(\mathrm{rad\,s^{-2}}\)
Torque and Rotational Inertia — 0. Notation / 记号（图 1）
图 10. Notation / 记号

Knowledge 1 — Torque as \(\mathbf r\times\mathbf F\) / 力矩的叉积定义

Knowledge ID: P01-U05-L02-K01

力 \(\mathbf F\) 对点 \(O\) 的力矩定义为

\[\boxed{\boldsymbol\tau_O=\mathbf r_{O\to P}\times\mathbf F}.\]

其大小有三种等价写法：

\[\tau_O=rF\sin\phi=F\ell=rF_\perp,\]

其中 \(\phi\) 是 \(\mathbf r\) 到 \(\mathbf F\) 的夹角，\(\ell\) 是点 \(O\) 到力的作用线的垂距。叉积方向由右手定则决定。力矩不是力；虽同为 \(\mathrm{N\,m}\)，力矩也不是能量。

Torque and Rotational Inertia — Knowledge 1 — Torque as $\mathbf r\times\mathbf F$ / 力矩的叉积定义（图 2）
图 2Knowledge 1 — Torque as $\mathbf r\times\mathbf F$ / 力矩的叉积定义

改变参考点会改变 \(\mathbf r\)，因而通常改变力矩。若 \(O'\) 相对 \(O\) 的位置为 \(\mathbf a\)，合力为 \(\mathbf F_{\rm net}\)，则

\[\boldsymbol\tau_{O'}=\boldsymbol\tau_O-\mathbf a\times\mathbf F_{\rm net}.\]

只有合力为零时，合力矩才与平移参考点无关。

Worked Example 1 — 门把手的作用方向

门宽 \(r=0.900\ \mathrm m\)。在门把手施加 \(F=35.0\ \mathrm N\)，力与从铰链到把手的矢量夹角 \(60.0^\circ\)。求关于竖直铰链轴的力矩大小；若同一力沿门板径向推，结果如何？

\[\tau=rF\sin60.0^\circ =(0.900)(35.0)(0.866)=\boxed{27.3\ \mathrm{N\,m}}.\]

若沿径向，\(\phi=0\)，作用线穿过铰链，故 \(\tau=0\)。同样的力能产生完全不同的转动效应；这也通过极限 \(\sin\phi\to0\) 检查。

Torque and Rotational Inertia — Worked Example 1 — 门把手的作用方向（图 3）
图 3Worked Example 1 — 门把手的作用方向

Knowledge 2 — Rotational form of Newton's second law / 转动形式的牛顿第二定律

Knowledge ID: P01-U05-L02-K02

对惯性系中固定点 \(O\)，粒子系的一般角动量定理为

\[\boxed{\sum\boldsymbol\tau_{O,\rm ext}=\frac{d\mathbf L_O}{dt}}.\]

若刚体绕固定主轴 \(z\) 转动且 \(I_z\) 不随时间改变，\(L_z=I_z\omega_z\)，于是

\[\boxed{\sum\tau_z=I_z\alpha_z}.\]

这不是任意三维转动的矢量式 \(\boldsymbol\tau=I\boldsymbol\alpha\)。一般情形需要惯性张量，且 \(\mathbf L\) 未必平行 \(\boldsymbol\omega\)。

Torque and Rotational Inertia — Knowledge 2 — Rotational form of Newton's second law / 转动形式的牛顿第二定律（图 4）
图 4Knowledge 2 — Rotational form of Newton's second law / 转动形式的牛顿第二定律

Worked Example 2 — 有惯量滑轮的双物体系统

质量 \(m_1=4.00\ \mathrm{kg}\)、\(m_2=2.00\ \mathrm{kg}\) 由轻绳跨过半径 \(R=0.200\ \mathrm m\)、转动惯量 \(I=0.0800\ \mathrm{kg\,m^2}\) 的固定轴滑轮相连。轴无摩擦，绳不滑。求加速度和两侧张力。

取 \(m_1\) 向下、\(m_2\) 向上为正：

\[m_1g-T_1=m_1a, \qquad T_2-m_2g=m_2a.\]

滑轮方程与约束为

\[(T_1-T_2)R=I\alpha, \qquad \alpha=\frac aR.\]

消元：

\[a=\frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2+I/R^2} =\frac{(2.00)(9.81)}{6.00+2.00} =\boxed{2.45\ \mathrm{m\,s^{-2}}}.\]

\[T_1=m_1(g-a)=29.4\ \mathrm N, \qquad T_2=m_2(g+a)=24.5\ \mathrm N.\]

\(T_1\ne T_2\) 正是滑轮获得角加速度所需的净力矩；令 \(I\to0\) 时两张力趋于相等，极限正确。

Torque and Rotational Inertia — Worked Example 2 — 有惯量滑轮的双物体系统（图 5）
图 5Worked Example 2 — 有惯量滑轮的双物体系统

Knowledge 3 — Moment of inertia for particles and continuous bodies / 质点系与连续体转动惯量

Knowledge ID: P01-U05-L02-K03

离散质点系相对指定轴的转动惯量是

\[\boxed{I=\sum_i m_i r_{\perp i}^2}.\]

连续体极限为

\[\boxed{I=\int r_\perp^2\,dm},\]

并根据几何选择 \(dm=\lambda\,dl\)、\(dm=\sigma\,dA\) 或 \(dm=\rho\,dV\)。\(I\) 不是只由总质量决定，而是关于给定轴的质量分布二阶矩。

Torque and Rotational Inertia — Knowledge 3 — Moment of inertia for particles and continuous bodies / 质点系与连续体转动惯量（图 6）
图 6Knowledge 3 — Moment of inertia for particles and continuous bodies / 质点系与连续体转动惯量

3.1 Uniform rod about its center

长 \(L\)、质量 \(M\) 的细均匀杆，轴过中心且垂直杆：\(\lambda=M/L\)，

\[I=\int_{-L/2}^{L/2}x^2\lambda\,dx =\frac{M}{L}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-L/2}^{L/2} =\boxed{\frac1{12}ML^2}.\]

Torque and Rotational Inertia — 3.1 Uniform rod about its center（图 7）
图 73.1 Uniform rod about its center

Worked Example 3 — 非均匀细杆

长度 \(L\) 的细杆沿 \(0\le x\le L\) 放置，线密度 \(\lambda(x)=Cx\)。求总质量 \(M\)，并求关于 \(x=0\) 端点垂直轴的 \(I\)。

\[M=\int_0^LCx\,dx=\frac12CL^2 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{2M}{L^2}.\]

\[I_0=\int_0^Lx^2\,dm =\int_0^Lx^2(Cx\,dx) =\frac14CL^4 =\boxed{\frac12ML^2}.\]

均匀杆关于端点为 \(ML^2/3\)；本杆更多质量位于远端，所以 \(I\) 更大。量纲为 \(ML^2\)，并满足 \(0<I<ML^2\)。

Torque and Rotational Inertia — Worked Example 3 — 非均匀细杆（图 8）
图 8Worked Example 3 — 非均匀细杆

Knowledge 4 — Parallel-axis and perpendicular-axis theorems / 平行轴与垂直轴定理

Knowledge ID: P01-U05-L02-K04

4.1 Parallel-axis theorem

若一条轴通过质心 CM，另一条轴与之平行、相距 \(d\)，则

\[\boxed{I=I_{\rm CM}+Md^2}.\]

推导关键是以 \(\mathbf r'=\mathbf r_{\rm CM}+\boldsymbol\rho\) 展开；质心定义保证交叉项 \(\int\boldsymbol\rho\,dm=0\)。因此已知轴必须穿过质心；不能从任意旧轴直接写 \(I_{\rm new}=I_{\rm old}+Md^2\)。

Torque and Rotational Inertia — 4.1 Parallel-axis theorem（图 9）
图 94.1 Parallel-axis theorem

4.2 Perpendicular-axis theorem

对全部质量都位于 \(xy\) 平面的薄片，且 \(x,y,z\) 三轴交于同一点、\(z\) 垂直薄片：

\[I_z=\int(x^2+y^2)dm=I_x+I_y.\]

三维厚物体一般不满足这一标量关系；若三轴不共点也不能直接使用。

Torque and Rotational Inertia — 4.2 Perpendicular-axis theorem（图 10）
图 104.2 Perpendicular-axis theorem

Worked Example 4 — 薄盘的切线轴惯量

均匀薄盘质量 \(M=2.00\ \mathrm{kg}\)、半径 \(R=0.300\ \mathrm m\)。求：(a) 通过圆心、位于盘面内的直径轴 \(x\) 的惯量；(b) 与 \(x\) 平行、在盘边缘相切的轴 \(x'\) 的惯量。

盘面对称，\(I_x=I_y\)，且 \(I_z=\tfrac12MR^2\)。由垂直轴定理

\[I_x=I_y=\frac14MR^2=0.0450\ \mathrm{kg\,m^2}.\]

切线轴与质心直径轴平行且相距 \(R\)，故

\[I_{x'}=I_x+MR^2 =\frac54MR^2 =\boxed{0.225\ \mathrm{kg\,m^2}}.\]

第二步使用平行轴定理，而不是再次使用垂直轴定理；\(I_{x'}>I_x\) 符合质量离轴更远的直觉。

Knowledge 5 — Dependence on axis and mass distribution / 对转轴与质量分布的依赖

Knowledge ID: P01-U05-L02-K05

同一物体没有唯一标量 \(I\)。指定轴的方向或位置改变，\(r_\perp\) 随之改变；同样 \(M,R\) 的环和盘也因质量径向分布不同而有

\[I_{\rm ring}=MR^2, \qquad I_{\rm disk}=\frac12MR^2.\]

在相同净力矩下，\(\alpha=\tau/I\)，所以环的角加速度只有盘的一半。把一小质量 \(\delta m\) 从半径 \(r_1\) 移到 \(r_2\)，

\[\Delta I=\delta m(r_2^2-r_1^2),\]

显示外移质量的效应是平方增长。

Torque and Rotational Inertia — Knowledge 5 — Dependence on axis and mass distribution / 对转轴与质量分布的依赖（图 11）
图 11Knowledge 5 — Dependence on axis and mass distribution / 对转轴与质量分布的依赖
Torque and Rotational Inertia — Knowledge 5 — Dependence on axis and mass distribution / 对转轴与质量分布的依赖（图 12）
图 12Knowledge 5 — Dependence on axis and mass distribution / 对转轴与质量分布的依赖

Lesson synthesis / 全课综合

  1. 先选取惯性参考系中的参考点或固定轴。
  2. 为每个外力标出作用点与作用线；用叉积或力臂求带符号力矩。
  3. 由质量分布相对同一轴求 \(I\)，必要时积分或用轴定理。
  4. 仅在固定轴、刚体、常量 \(I_z\) 条件下写 \(\sum\tau_z=I_z\alpha_z\)。
  5. 最后用量纲、\(I\to0\) 或 \(d\to0\) 等极限检查。

Formula-and-decision table

Need Relation Conditions
torque about \(O\) \(\boldsymbol\tau_O=\mathbf r\times\mathbf F\) \(\mathbf r\) begins at \(O\)
lever-arm magnitude \(\tau=F\ell\) \(\ell\) perpendicular to line of action
general angular dynamics \(\sum\boldsymbol\tau_O=d\mathbf L_O/dt\) \(O\) fixed in inertial frame
fixed-axis scalar dynamics \(\sum\tau_z=I_z\alpha_z\) rigid body, fixed axis, constant \(I_z\)
discrete inertia \(I=\sum m_ir_{\perp i}^2\) all distances to same axis
continuous inertia \(I=\int r_\perp^2dm\) density and geometry specified
parallel axes \(I=I_{\rm CM}+Md^2\) one axis through CM; axes parallel
perpendicular axes \(I_z=I_x+I_y\) planar lamina; axes concurrent

Model boundaries / 模型边界

  • 力矩必须注明参考点；当合力不为零时，平移参考点会改变净力矩。
  • \(\sum\tau_z=I_z\alpha_z\) 不是三维矢量公式；Lesson 1.5.5 将给出张量与 Euler 方程。
  • 平行轴定理的基准轴必须通过质心；垂直轴定理只对平面质量分布成立。
  • \(I\) 的积分假设物体密度模型已给定；中空、分层或非均匀体不能套用均匀体表格。
  • “轻绳、无滑滑轮、无摩擦轴”是例题的理想化；若绳有质量或弹性，张力和约束需重新建模。

Misconception clinic

Practice and retrieval

  1. \(0.40\ \mathrm m\) 扳手端受到垂直的 \(50\ \mathrm N\) 力，求力矩。
  2. 上题若夹角为 \(30^\circ\)，力矩是多少？
  3. 作用线穿过转轴时，为什么即使 \(F\ne0\) 也没有该轴力矩？
  4. \(I=0.80\ \mathrm{kg\,m^2}\) 的轮受净力矩 \(2.4\ \mathrm{N\,m}\)，求 \(\alpha\)。
  5. 两质点 \(m\) 分别位于轴两侧距离 \(R\)，求 \(I\)。
  6. 均匀细杆关于中心垂直轴为 \(ML^2/12\)，求端点平行轴惯量。
  7. 薄圆盘 \(I_z=MR^2/2\)，用对称性与垂直轴定理求任一直径惯量。
  8. 判断：旧轴不经过 CM，但新轴与旧轴平行，所以仍可直接加 \(Md^2\)。
  9. 相同 \(M,R,\tau\) 下，薄环和实心盘谁的角加速度大？比值多少？
  10. 为什么 \(\mathrm{N\,m}\) 的力矩不能自动与同单位的能量相加？
Answers / 答案
  1. \(\tau=rF=20\ \mathrm{N\,m}\)。
  2. \(\tau=(0.40)(50)\sin30^\circ=10\ \mathrm{N\,m}\)。
  3. 力臂 \(\ell=0\)，即 \(\mathbf r\parallel\mathbf F\)，叉积为零。
  4. \(\alpha=\tau/I=3.0\ \mathrm{rad\,s^{-2}}\)。
  5. \(I=2mR^2\)。
  6. \(I_{\rm end}=ML^2/12+M(L/2)^2=ML^2/3\)。
  7. \(I_x=I_y\) 且 \(I_z=I_x+I_y\)，故 \(I_x=MR^2/4\)。
  8. 错。平行轴定理的已知基准轴必须通过 CM；应先回到 CM 轴再移到新轴。
  9. \(I_{\rm ring}=MR^2\)，\(I_{\rm disk}=MR^2/2\)，故盘的 \(\alpha\) 是环的 2 倍。
  10. 力矩是轴矢量并描述转动效应；能量是标量。单位相同不代表物理类型相同。

Exit ticket

  1. 写出 \(\sum\tau_z=I_z\alpha_z\) 的三个必要建模条件。
  2. 设计一个不改变总质量但使同一轴转动惯量增大的质量重排，并用 \(\Delta I\) 说明。

References and source notes

以下直接来源于 2026-08-20 核对。

Source-to-content map

Source Used for Knowledge ID / section Boundary or convention
OpenStax 10.6 cross product, lever arm, sign K01 torque about a named point/axis
OpenStax 10.7 fixed-axis rotational dynamics K02 fixed axis and constant scalar \(I\)
OpenStax 10.4 discrete and continuous \(I\) K03, K05 rigid mass distribution
OpenStax 10.5 standard integrals, parallel-axis theorem K03, K04 reference axis through CM
MIT 8.01SC Chapters 17, 21 coupled translation/rotation reasoning K01–K05 undergraduate mechanics
MIT 16.07 L26 tensor boundary of scalar \(I\) K02, K05 prepares for three-dimensional treatment

复习与拓展

  • Lesson 1.5.3 用 \(I\) 构造转动动能并比较环、盘和球的滚动加速度。
  • Lesson 1.5.4 用 \(\sum\boldsymbol\tau=d\mathbf L/dt\) 恢复一般角冲量与角动量观点。
  • Lesson 1.5.5 把标量 \(I_z\) 升级为惯性张量，并解释 \(\mathbf L\not\parallel\boldsymbol\omega\)。
  • Lesson 1.6.1 将使用净力矩为零的静力平衡条件。
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