转动能量与滚动 · Rotational Energy and Rolling

Learning objectives / 学习目标

从各质点动能之和推导 $K_{\rm rot}=\tfrac12I\omega^2$ ，说明 $$I$$ 与轴的选择。
推导 $dW=\tau_zd\theta$ 、 $P=\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\omega$ 并识别其适用条件。
使用 König 分解 $K=\tfrac12Mv_{\rm CM}^2+K_{\rm rel}$ ，处理平动与转动组合。
同时用受力—力矩方程和能量方程求解斜面纯滚，并检查静摩擦限制。
区分静止地面纯滚、移动表面、滑滚与滚动阻力中的功和耗散。

Prerequisites / 先修知识

0. Energy ledger and notation / 能量账本与记号

Symbol	Meaning	SI unit
$K_{\rm rot}$	rotational kinetic energy about chosen axis	J
$K_{\rm CM}$	translational kinetic energy of center of mass	J
$W_\tau$	work of torque in fixed-axis rotation	J
$$P$$	instantaneous power	W
$I_{\rm CM}=\beta MR^2$	shape factor representation	$\mathrm{kg\,m^2}$
$$f_s$$	static friction, signed along surface	N

Knowledge 1 — Rotational kinetic energy / 转动动能

Knowledge ID: P01-U05-L03-K01

刚体绕固定轴以角速度 $\omega$ 转动，第 $$i$$ 个质点速度为 $v_i=r_{\perp i}\omega$ ，所以

$K=\sum_i\frac12m_iv_i^2 =\frac12\left(\sum_i m_ir_{\perp i}^2\right)\omega^2.$

因此

$\boxed{K_{\rm rot}=\frac12I\omega^2}.$

这是动能的重写，不是额外的一种能量。 $$I$$ 与 $\omega$ 必须关于同一轴；三维一般式是 $K=\tfrac12\boldsymbol\omega\cdot\mathbf I\boldsymbol\omega$ 。

Rotational Energy and Rolling — Knowledge 1 — Rotational kinetic energy / 转动动能（图 2） — 图 2Knowledge 1 — Rotational kinetic energy / 转动动能

Worked Example 1 — 飞轮可用动能

均匀实心飞轮质量 $M=80.0\ \mathrm{kg}$ 、半径 $R=0.400\ \mathrm m$ ，转速从 $600\ \mathrm{rpm}$ 降至 $200\ \mathrm{rpm}$ 。忽略轴平动，求释放的动能。

$I=\frac12MR^2=6.40\ \mathrm{kg\,m^2},$

$\omega_i=600\frac{2\pi}{60}=20\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad \omega_f=\frac{20\pi}{3}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$

$E_{\rm out}=K_i-K_f =\frac12I(\omega_i^2-\omega_f^2) =\boxed{1.12\times10^4\ \mathrm J}.$

结果为正，表示系统对外最多释放约 $11.2\ \mathrm{kJ}$ （若无其他损失）。由于能量随 $\omega^2$ 而非 $\omega$ 变化，转速降为三分之一时仍剩初动能的九分之一。

Rotational Energy and Rolling — Worked Example 1 — 飞轮可用动能（图 3） — 图 3Worked Example 1 — 飞轮可用动能

Knowledge 2 — Work and power in rotation / 转动中的功与功率

Knowledge ID: P01-U05-L03-K02

固定轴转动中，作用点的微位移为 $d\mathbf r=d\boldsymbol\theta\times\mathbf r$ ，因而

$dW=\mathbf F\cdot d\mathbf r =(\mathbf r\times\mathbf F)\cdot d\boldsymbol\theta =\boldsymbol\tau\cdot d\boldsymbol\theta.$

固定轴标量形式为

$\boxed{W=\int_{\theta_i}^{\theta_f}\tau_z(\theta)\,d\theta}, \qquad \boxed{P=\frac{dW}{dt}=\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\omega}.$

净力矩功满足

$W_{\rm net}=\Delta K_{\rm rot}$

但只有在同一个系统和轴下才可直接使用。

Rotational Energy and Rolling — Knowledge 2 — Work and power in rotation / 转动中的功与功率（图 4） — 图 4Knowledge 2 — Work and power in rotation / 转动中的功与功率

Worked Example 2 — 角度依赖的力矩

某转轴上作用 $\tau(\theta)=12.0-2.00\theta$ （ $\mathrm{N\,m}$ ， $\theta$ 以 rad 计），物体由 $\theta=0$ 转到 $4.00\ \mathrm{rad}$ 。初始静止， $I=4.00\ \mathrm{kg\,m^2}$ 。求功与末角速度。

$W=\int_0^4(12-2\theta)d\theta =\left[12\theta-\theta^2\right]_0^4 =32.0\ \mathrm J.$

$W=\Delta K=\frac12I\omega_f^2 \quad\Rightarrow\quad \omega_f=\sqrt{\frac{2W}{I}} =\boxed{4.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}}.$

在区间内 $\tau\ge4\ \mathrm{N\,m}>0$ ，故动能应增加；符号检查一致。

2.1 Motor power and units

若电机在角速度 $\omega$ 下提供同向轴力矩 $\tau$ ，机械输出功率为 $P=\tau\omega$ 。例如 $\tau=150\ \mathrm{N\,m}$ 、 $1200\ \mathrm{rpm}$ ：

$P=150\left(1200\frac{2\pi}{60}\right) =18.8\ \mathrm{kW}.$

不能直接把 rpm 代入 SI 公式。

Rotational Energy and Rolling — 2.1 Motor power and units（图 5） — 图 52.1 Motor power and units

Knowledge 3 — Combined translation and rotation / 平动与转动的组合

Knowledge ID: P01-U05-L03-K03

对任意质点系，写 $\mathbf v_i=\mathbf v_{\rm CM}+\mathbf v_i'$ 。由于 $\sum m_i\mathbf v_i'=0$ ，总动能分解为

$\boxed{K=\frac12Mv_{\rm CM}^2+\sum_i\frac12m_i\lvert\mathbf v_i'\rvert^2}.$

对刚体，质心系内是绕 CM 的转动，因此

$\boxed{K=\frac12Mv_{\rm CM}^2+\frac12I_{\rm CM}\omega^2}.$

这称为 König 分解。第二项必须用过质心的轴；若直接用瞬时接触点轴，需要确保该点在惯性系中瞬时静止，并正确使用平行轴定理。

Rotational Energy and Rolling — Knowledge 3 — Combined translation and rotation / 平动与转动的组合（图 6） — 图 6Knowledge 3 — Combined translation and rotation / 平动与转动的组合

Worked Example 3 — 同速滚动的环与盘

质量均为 $M=3.00\ \mathrm{kg}$ 、半径均为 $R=0.200\ \mathrm m$ 的薄环与实心盘，都以 $v_{\rm CM}=4.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ 纯滚。求各自动能。

纯滚给出 $\omega=v/R$ 。令 $I=\beta MR^2$ ，则

$K=\frac12Mv^2+\frac12\beta MR^2\frac{v^2}{R^2} =\frac12Mv^2(1+\beta).$

薄环 $\beta=1$ ：

$K_{\rm ring}=Mv^2=\boxed{48.0\ \mathrm J}.$

实心盘 $\beta=1/2$ ：

$K_{\rm disk}=\frac34Mv^2=\boxed{36.0\ \mathrm J}.$

同样的质心速度并不意味着同样的总动能；环的质量更远离轴，转动能份额更大。

Rotational Energy and Rolling — Worked Example 3 — 同速滚动的环与盘（图 7） — 图 7Worked Example 3 — 同速滚动的环与盘

Knowledge 4 — Energy and force analysis of rolling / 滚动物体的能量与受力分析

Knowledge ID: P01-U05-L03-K04

4.1 Rolling down an incline

刚体在倾角 $\gamma$ 的斜面上无滑下滚。取沿斜面向下为正：

$Mg\sin\gamma-f_s=Ma,$

$f_sR=I_{\rm CM}\alpha, \qquad a=R\alpha.$

令 $I_{\rm CM}=\beta MR^2$ ，解得

$\boxed{a=\frac{g\sin\gamma}{1+\beta}}, \qquad \boxed{f_s=\frac{\beta}{1+\beta}Mg\sin\gamma}.$

此情形中静摩擦沿斜面向上，提供绕 CM 的转矩；但方向必须由方程或潜在滑动趋势判断，不能泛化。

Rotational Energy and Rolling — 4.1 Rolling down an incline（图 8） — 图 84.1 Rolling down an incline

从能量也可得到速度。若自静止下降高度 $$h$$ ，且接触点对静止斜面的速度为零，则理想静摩擦的瞬时功率为

$P_f=\mathbf f_s\cdot\mathbf v_C=0.$

于是

$Mgh=\frac12Mv^2+\frac12I_{\rm CM}\frac{v^2}{R^2},$

$\boxed{v=\sqrt{\frac{2gh}{1+\beta}}}.$

能量法不给出 $$f_s$$ ；必须再用动力学检查 $\lvert f_s\rvert\le\mu_sN$ 。若不满足，纯滚假设自相矛盾，需改用动摩擦和滑滚方程。

Rotational Energy and Rolling — 4.1 Rolling down an incline（图 9） — 图 94.1 Rolling down an incline

Worked Example 4 — 实心球下滚与摩擦检查

均匀实心球从 $30.0^\circ$ 斜面由静止纯滚下行， $I_{\rm CM}=\tfrac25MR^2$ 。求加速度、所需静摩擦与最低 $\mu_s$ 。

$\beta=2/5$ ：

$a=\frac{g\sin30^\circ}{1+2/5} =\frac57g\left(\frac12\right) =\boxed{3.50\ \mathrm{m\,s^{-2}}}.$

$f_s=\frac{2/5}{1+2/5}Mg\sin30^\circ =\frac27Mg\sin30^\circ =\frac17Mg,$

方向沿斜面向上。由于 $N=Mg\cos30^\circ$ ，

$\mu_{s,\min}=\frac{f_s}{N} =\frac{2\tan30^\circ}{7} =\boxed{0.165}.$

若实际 $\mu_s$ 小于此值，球将滑动， $a=5g\sin\gamma/7$ 不再成立。

Rotational Energy and Rolling — Worked Example 4 — 实心球下滚与摩擦检查（图 10） — 图 10Worked Example 4 — 实心球下滚与摩擦检查

4.2 When can static friction do work?

“静摩擦不做功”只对特定对象、参考系和理想接触成立：

刚体在静止表面纯滚：轮上瞬时接触点 $\mathbf v_C=0$ ，故对整个刚体的接触功率为零。
运动传送带上无相对滑动：接触点对地速度通常不为零，静摩擦可向物体传递能量。
可变形轮胎：有限接触斑内存在形变与滞后，可产生滚动阻力和热。
若滑动，动摩擦通常把有序机械能转为内能；其耗散率与相对滑动速度有关。

Rotational Energy and Rolling — 4.2 When can static friction do work?（图 11） — 图 114.2 When can static friction do work?

Lesson synthesis / 全课综合

滚动问题的可靠流程：

选系统与惯性参考系，画质心受力图。
分别写 $\sum F_\parallel=Ma_{\rm CM}$ 与 $\sum\tau_{\rm CM}=I_{\rm CM}\alpha$ 。
若假设无滑，加入接触速度或加速度约束。
解出静摩擦并检查 $|f_s|\le\mu_sN$ 。
能量法用于求速率，但不能单独确定摩擦大小；明确接触功率是否为零。

Formula-and-decision table

Need	Relation	Conditions
fixed-axis rotational energy	$K_{\rm rot}=\tfrac12I\omega^2$	same fixed axis for $I,\omega$
torque work	$W=\int\tau_zd\theta$	fixed axis and signed component
rotational power	$P=\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol\omega$	instantaneous inertial-frame power
rigid-body kinetic energy	$K=\tfrac12Mv_{\rm CM}^2+\tfrac12I_{\rm CM}\omega^2$	rigid body; second axis through CM
no-slip constraint	$v_{\rm CM}=R\omega$	stationary surface and declared signs
incline acceleration	$a=g\sin\gamma/(1+\beta)$	pure rolling, $I=\beta MR^2$
incline speed after drop $$h$$	$v=\sqrt{2gh/(1+\beta)}$	conservative ideal pure rolling

Model boundaries / 模型边界

$K_{\rm rot}=\tfrac12I\omega^2$ uses a scalar $$I$$ only for fixed-axis or principal-axis rotation.
$W=\int\tau d\theta$ requires conjugate signed torque and angle about the same fixed axis.
Pure rolling is a kinematic constraint that must pass the static-friction inequality; it is not guaranteed by the words “rough surface”.
Ideal static contact on a stationary surface transfers no instantaneous work to a rigid rolling body, but may supply a torque and redistribute how gravitational energy becomes translation versus rotation.
Real rolling resistance comes from deformation, hysteresis and contact geometry; it is absent from the ideal point-contact model.

Misconception clinic

Practice and retrieval

$I=2.0\ \mathrm{kg\,m^2}$ 、 $\omega=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ ，求转动动能。
恒力矩 $8.0\ \mathrm{N\,m}$ 使物体转过 $3.0\ \mathrm{rad}$ ，求功。
力矩 $12\ \mathrm{N\,m}$ 与角速度 $4.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ 同向，求功率；若反向呢？
证明刚体动能分解中的交叉项为零。
薄环以 $$v$$ 纯滚，总动能用 $$Mv^2$$ 表示。
实心圆柱从高度 $$h$$ 纯滚下落，求末速度。
同斜面上薄环与实心球谁先到达底部？
一轮在静止水平面匀速纯滚，理想模型中静摩擦必须非零吗？
若解得所需静摩擦满足 $\lvert f_s\rvert/N=0.30$ ，但 $\mu_s=0.20$ ，能否维持纯滚？下一步如何建模？
判断：轮与向右运动传送带无相对滑动，因此静摩擦对轮一定不做功。

Answers / 答案

$K=\tfrac12(2.0)(5.0)^2=25\ \mathrm J$ 。
$W=\tau\Delta\theta=24\ \mathrm J$ 。
同向 $P=48\ \mathrm W$ ；反向 $P=-48\ \mathrm W$ 。
写 $\mathbf v_i=\mathbf V+\mathbf v_i'$ ；交叉项为 $\mathbf V\cdot\sum m_i\mathbf v_i'=\mathbf V\cdot0$ 。
$$I=MR^2$$ 、 $\omega=v/R$ ，故 $K=\tfrac12Mv^2+\tfrac12Mv^2=Mv^2$ 。
$\beta=1/2$ ， $v=\sqrt{2gh/(3/2)}=\sqrt{4gh/3}$ 。
实心球 $\beta=2/5$ 小于薄环的 $$1$$ ，故加速度更大、先到。
不必须；理想无阻力匀速纯滚可有 $$f_s=0$$ 。
不能；静摩擦上限不足。改用动摩擦，并分别解平动、转动和相对滑动。
错。接触点对地可随传送带运动， $P_f=\mathbf f_s\cdot\mathbf v_C$ 可非零。

Exit ticket

为什么能量法能求纯滚物体末速度，却通常不能告诉你静摩擦是否足够？
写出一个静摩擦对刚体做正功的具体场景，并明确参考系与系统边界。

References and source notes

以下直接来源于 2026-08-20 核对。

OpenStax, 10.4 Moment of Inertia and Rotational Kinetic Energy.
OpenStax, 10.8 Work and Power for Rotational Motion.
OpenStax, 11.1 Rolling Motion.
MIT OpenCourseWare 8.01SC, Online Textbook: Chapters 20 and 21.
MIT OpenCourseWare 8.01SC, Readings: Lessons 35–37.
MIT OpenCourseWare 16.07, Lecture L22 — 2D Rigid Body Dynamics: Work and Energy.

Source-to-content map

Source	Used for	Knowledge ID / section	Boundary or convention
OpenStax 10.4	derivation of $K_{\rm rot}$	K01	fixed-axis scalar inertia
OpenStax 10.8	torque work and power	K02	torque and angle about same fixed axis
OpenStax 11.1	rolling energy and incline dynamics	K03, K04	ideal rolling without slipping
MIT 8.01SC Chapters 20–21	CM decomposition and rolling dynamics	K03, K04	inertial ground frame
MIT 8.01SC readings	course-sequence cross-check	K01–K04	undergraduate scope
MIT 16.07 L22	rigid-body work-energy framework	K01–K03	two-dimensional rigid body

复习与拓展

Lesson 1.5.4 将用角动量解释滚动物体与碰撞后的转动状态。
Lesson 1.5.5 将把 $K=\tfrac12I\omega^2$ 推广为 $\tfrac12\boldsymbol\omega\cdot\mathbf I\boldsymbol\omega$ 。
Unit 1.6 的弹性与材料响应将解释真实轮胎的形变损耗和滚动阻力来源。
可扩展实验：让不同形状物体从同一斜面滚下，以到达时间反推 $\beta$ 并估计不确定度。