边值与多极方法

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 区分 Dirichlet、Neumann 与 mixed boundary data，陈述并证明相应 electrostatic uniqueness result。
2. 在 Cartesian、cylindrical 和 spherical geometry 中选择分离变量的本征函数，并由边界数据确定系数。
3. 定义满足指定边界的 Green function，用 Green identity 构造势，并正确解释 image charges 的适用域与能量因子 \(1/2\)。
4. 推导局域源的 electric monopole、dipole、quadrupole 以及 magnetic dipole far field。
5. 用 source size / observation distance 估计截断误差，并检查边界、单位、奇点与远场极限。

Prerequisites / 先修知识

• Local Form of Electrostatics：\(\nabla^2V=-\rho/\epsilon_0\)。
• Electrostatic potential、导体等势面、surface charge。
• Green’s identities、Fourier series、Legendre polynomials。
• Biot–Savart Law：磁偶极远场。
• 磁静力学中的局域稳恒电流与磁偶极远场；本课在 K04 最小定义 \(\mathbf A\)，规范自由留到下一课。

Scope and conventions / 范围与约定

• 静电势定义 \(\mathbf E=-\nabla V\)，满足 \(\nabla^2V=-\rho/\epsilon_0\)；无电荷区域为 Laplace equation。
• 边界外法向记 \(\hat{\mathbf n}'\)，\(\partial/\partial n'=\hat{\mathbf n}'\cdot\nabla'\)。
• Green function 采用约定 \(\nabla'^2G(\mathbf r,\mathbf r')=-4\pi\delta(\mathbf r-\mathbf r')\)；若来源采用 \(-\delta\) 约定，\(4\pi\) 因子会重新分配。
• image charges 只放在被排除的数学区域；它们替代边界条件，不是实际导体内部的电荷。
• multipole expansion 要求观察点到选定原点的距离 \(r\) 大于整个局域源的尺度 \(a\)；本课以 \(a/r\) 为小参数。
• 采用 SI；图示均为 schematic / not to scale。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Electrostatic uniqueness and boundary conditions / 静电唯一性与边界条件

Knowledge ID: P04-U11-L01-K01

1.1 Boundary data define the problem

Poisson equation alone does not select a unique physical solution; boundary data are part of the model.

• Dirichlet： 给定 \(V\) 在 \(\partial\Omega\) 上的值。
• Neumann： 给定 \(\partial V/\partial n\)；还须满足 compatibility condition，解只确定到加法常数。
• Mixed： 在互不重叠的边界部分给定 \(V\) 或其法向导数。

图 1 说明“系统边界”不是可忽略外框；同一 \(\rho\) 配不同边界会产生不同 \(V\)。

1.2 Dirichlet uniqueness proof

设 \(V_1,V_2\) 满足同一 Poisson equation 和同一 Dirichlet data。差函数 \(U=V_1-V_2\) 满足

\[\nabla^2U=0,\qquad U\big|_{\partial\Omega}=0.\]

Green first identity 给

\[\int_\Omega\lvert\nabla U\rvert^2d\tau =\int_{\partial\Omega}U\frac{\partial U}{\partial n}\,da -\int_\Omega U\nabla^2U\,d\tau=0.\]

被积函数非负，所以 \(\nabla U=0\)；\(U\) 是常数，而边界值迫使 \(U=0\)。故解唯一。

图 2 把唯一性证明压缩为“非负积分为零”；它授权我们用任何满足方程和边界的构造作为物理解。

1.3 Neumann qualification

Neumann data 必须满足由 Poisson equation 导出的 compatibility：

\[\int_{\partial\Omega}\frac{\partial V}{\partial n}\,da =-\frac{1}{\epsilon_0}\int_\Omega\rho\,d\tau.\]

因为只给梯度，\(V+C\) 与 \(V\) 有同一数据，所以最多唯一到加法常数。电场 \(\mathbf E\) 仍唯一。

Knowledge 2 — Separation of variables in common geometries / 常见几何中的分离变量

Knowledge ID: P04-U11-L01-K02

2.1 Product ansatz is a boundary-matched basis

在矩形无源区域，令 \(V(x,y)=X(x)Y(y)\)，Laplace equation 给

\[\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-k^2.\]

边界决定允许的 \(k\) 与 sin/cos/sinh/cosh 组合；一般边界数据再展开为这些本征函数的级数。

若 \(0<x<a\)、\(0<y<b\)，三边接地且

\[V(x,0)=V_0\sin\frac{\pi x}{a},\]

则单一匹配模式是

\[V(x,y)=V_0\sin\frac{\pi x}{a} \frac{\sinh[\pi(b-y)/a]}{\sinh(\pi b/a)}.\]

图 3 中红线表示边界势的函数形状，不是物理导线轨迹；蓝线只示意势随 \(y\) 指数型衰减。

2.2 Geometry chooses the eigenfunctions

图 4 强调坐标选择由边界几何驱动，而不是由个人偏好驱动。

2.3 Convergence and corners

级数解通常在域内快速收敛，但不连续边界或尖角会产生大梯度与较慢 Fourier convergence。数学理想尖角处场可发散；真实圆角和有限材料尺度会正则化。

Knowledge 3 — Green functions and image methods / 格林函数与镜像法

Knowledge ID: P04-U11-L01-K03

3.1 Green function as boundary-aware point response

定义

\[\nabla'^2G(\mathbf r,\mathbf r')=-4\pi\delta(\mathbf r-\mathbf r').\]

Green second identity 给出

\[V(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_\Omega \rho(\mathbf r')G(\mathbf r,\mathbf r')\,d\tau' +\frac{1}{4\pi}\int_{\partial\Omega} \left[ G\frac{\partial V}{\partial n'} -V\frac{\partial G}{\partial n'} \right]da'.\]

Dirichlet Green function 在边界上满足 \(G=0\)，于是边界项只含已知 \(V\)。Green function 同时编码微分算子、几何和边界条件。

图 5 把 Green function 看成“单位点源的边界适配响应”；对 \(\rho\) 的积分就是响应叠加。

3.2 Grounded-plane image

真实点电荷 \(q\) 位于 \(z=a>0\)，无限接地导体占边界 \(z=0\)。在物理域 \(z>0\) 内，可用 \(z=-a\) 处的 image charge \(-q\) 构造

\[V(\rho,z)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{q}{\sqrt{\rho^2+(z-a)^2}} -\frac{q}{\sqrt{\rho^2+(z+a)^2}} \right].\]

它在 \(z=0\) 恰为零；由 uniqueness theorem，此构造就是物理域内唯一解。

图 6 中蓝色 image 不是真实导体内电荷；它只在 \(z>0\) 复现正确边界势。紫色电场线从正电荷出发，并以法向到达等势导体表面。

导体表面感应电荷密度为

\[\sigma(\rho)=-\epsilon_0\left.\frac{\partial V}{\partial z}\right|_{0^+} =-\frac{qa}{2\pi(\rho^2+a^2)^{3/2}},\]

且 \(\int\sigma\,da=-q\)。

图 7 的横坐标可取有符号径向剖面；真实轴对称密度只依赖 \(\rho\ge0\)。

3.3 Force and energy caveat

真实电荷所受力可直接视为 image charge 的 Coulomb force。但能量必须计

\[U=\frac12qV_{\mathrm{image}}(\mathbf r_q),\]

因为感应电荷随真实电荷从无穷远移入而逐步建立；漏掉 \(1/2\) 会把能量算成两倍。

Knowledge 4 — Electric and magnetic multipole expansions / 电与磁多极展开

Knowledge ID: P04-U11-L01-K04

4.1 Electric expansion

对局域电荷源且 \(r>a\)，展开 Coulomb kernel：

\[V(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{Q}{r} +\frac{\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}}{r^2} +\frac{1}{2r^3}Q_{ij}\hat r_i\hat r_j +\cdots \right],\]

其中采用求和约定，且

\[Q=\int\rho\,d\tau',\qquad \mathbf p=\int\rho\,\mathbf r'\,d\tau',\]

\[Q_{ij}=\int\rho(\mathbf r') \left(3x_i'x_j'-r'^2\delta_{ij}\right)d\tau'.\]

最低非零矩控制远场：monopole 势按 \(r^{-1}\)，dipole 按 \(r^{-2}\)，quadrupole 按 \(r^{-3}\)。若 \(Q\neq0\)，\(\mathbf p\) 会随原点平移；若 \(Q=0\)，\(\mathbf p\) 与原点无关。

图 8 将各阶与远场幂律对应；复杂源只有在低阶矩因对称性为零时才由更高阶主导。

4.2 Magnetic expansion

这里采用磁静力学矢势（magnetostatic vector potential）\(\mathbf A\)，定义为满足 \(\mathbf B=\nabla\times\mathbf A\) 的矢量场；同一 \(\mathbf B\) 可对应多个 \(\mathbf A\)，其 gauge freedom 留到 Potentials and Gauge Freedom 系统讨论。

稳恒局域电流没有磁单极项。其领先 far-field moment 为

\[\mathbf m=\frac12\int\mathbf r'\times\mathbf J(\mathbf r')\,d\tau',\]

对应

\[\mathbf A(\mathbf r)\simeq \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf m\times\hat{\mathbf r}}{r^2},\]

\[\mathbf B(\mathbf r)\simeq \frac{\mu_0}{4\pi r^3} \left[3(\mathbf m\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf m\right].\]

平面细线回路给 \(\mathbf m=IA\hat{\mathbf n}\)。

图 9 表示电流环到磁偶极描述的尺度压缩；近环场不能由该图外推。

4.3 Method selection

图 10 表示方法不是互斥的：Green function 可用 modes 展开，image 是特殊 Green construction，multipoles 可再压缩其远场。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — One mode in a rectangle / 矩形中的单一模式

已知： \(0<x<a=0.200\ \mathrm m\)、\(0<y<b=0.100\ \mathrm m\)；除 \(y=0\) 外三边接地，底边 \(V(x,0)=100\sin(\pi x/a)\ \mathrm V\)。求 \((x,y)=(0.100,0.0400)\ \mathrm m\) 的 \(V\) 与 \(\mathbf E\)。

系统、坐标与模型： 矩形内部无电荷，二维 Laplace equation；边界恰是第一 sine mode。

\[V=100\sin\frac{\pi x}{a} \frac{\sinh[\pi(b-y)/a]}{\sinh(\pi b/a)}.\]

在 \(x=a/2\)，\(\sin(\pi x/a)=1\)、\(\cos(\pi x/a)=0\)：

\[V=100\frac{\sinh(0.9425)}{\sinh(1.571)} =47.3\ \mathrm V, \qquad E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}=0.\]

\[E_y=-\frac{\partial V}{\partial y} =\frac{100\pi}{a} \frac{\cosh[\pi(b-y)/a]}{\sinh(\pi b/a)} =1.01\times10^3\ \mathrm{V\,m^{-1}}.\]

检查： \(0<V<100\ \mathrm V\)；向上接近接地边界时势下降，所以 \(E_y>0\)。边界和单位一致。

Worked Example 2 — Charge above a grounded plane / 接地平面上方点电荷

已知： \(q=5.00\ \mathrm{nC}\) 位于 \(z=a=3.00\ \mathrm{cm}\)。求静电吸引力与相对无穷远的系统能量。

系统与模型： 真实系统是点电荷加接地导体；在 \(z>0\) 用 \(-q\) image。\(+z\) 远离平面。

image 与真实电荷相距 \(2a\)：

\[\mathbf F=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{(2a)^2}\hat{\mathbf z} =-6.24\times10^{-5}\hat{\mathbf z}\ \mathrm N.\]

能量不是真实—image 两电荷的完整 Coulomb 能，而是

\[U=\frac12qV_{\mathrm{image}}(\mathbf r_q) =-\frac{q^2}{16\pi\epsilon_0a} =-1.87\times10^{-6}\ \mathrm J.\]

检查： \(-\partial U/\partial a=-q^2/(16\pi\epsilon_0a^2)\)，与力一致；漏掉 \(1/2\) 会破坏此检查。

Worked Example 3 — Electric dipole far field / 电偶极远场

已知： \(+3.00\ \mathrm{nC}\) 位于 \(z=+2.00\ \mathrm{cm}\)，\(-3.00\ \mathrm{nC}\) 位于 \(z=-2.00\ \mathrm{cm}\)。求 \(+z\) 轴 \(r=0.500\ \mathrm m\) 的 dipole potential。

源、原点与模型： 原点在两电荷中点，净电荷 \(Q=0\)；最大源坐标 \(a=0.0200\ \mathrm m\)，\(a/r=0.0400\)。

\[\mathbf p=q(0.0400\ \mathrm m)\hat{\mathbf z} =1.20\times10^{-10}\hat{\mathbf z}\ \mathrm{C\,m}.\]

\[V_{\mathrm{dip}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{p}{r^2} =4.31\ \mathrm V.\]

检查： \(r/a=25\)，下一非零相对修正为 \(O[(a/r)^2]\)；\(+z\) 轴靠近正电端，势应为正。

Worked Example 4 — Magnetic loop far field / 磁环远场

已知： 圆环 \(I=2.00\ \mathrm A\)、\(R=3.00\ \mathrm{cm}\)，求赤道面 \(r=0.400\ \mathrm m\) 处的偶极场。

系统与模型： \(\mathbf m\) 沿 \(+z\)；\(R/r=0.0750\ll1\)，观察点在 \(\mathbf m\cdot\hat{\mathbf r}=0\) 的赤道面。

\[m=I\pi R^2=5.65\times10^{-3}\ \mathrm{A\,m^2}.\]

\[\mathbf B_{\mathrm{eq}} =-\frac{\mu_0m}{4\pi r^3}\hat{\mathbf z} =-8.84\times10^{-9}\hat{\mathbf z}\ \mathrm T.\]

检查： 赤道场与 \(\mathbf m\) 反向，单位为 T，且 \(r\) 增大时按 \(r^{-3}\) 衰减。

Lesson synthesis / 本课综合

边值问题的首要对象是“域 + 源 + 边界数据”，而不是孤立微分方程。Uniqueness theorem 让正确构造升级为唯一物理解；separation 将边界展开为本征模式；Green function 是边界适配点响应，image method 是其特殊构造；multipole expansion 则在 \(a/r\ll1\) 时只保留少量远场矩。四种方法通过边界、尺度和所需输出互相衔接。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Uniqueness assumes specified domain, regularity and consistent boundary data; Neumann data require compatibility.
• Separation of variables depends on separable coordinates and a complete basis; irregular geometries often need numerical methods.
• Point sources and perfect sharp conductors create mathematical singularities; finite source size and rounded edges regularize reality.
• Image charges solve only the stated boundary and physical domain; they cannot be used as real internal charge distributions.
• Multipoles converge outside a sphere containing all sources; near field or extended nonlocal sources may not admit useful truncation.
• Static electric and magnetic multipoles are not yet radiation multipoles; time dependence adds retardation and gauge structure.

Misconception clinic / 误区诊所

1. “满足 Laplace equation 就是答案。” 没有边界数据，存在无穷多个解。
2. Neumann problem 与 Dirichlet 一样绝对唯一。 Neumann 解可加常数，且数据须满足 compatibility。
3. 分离变量只能给单个乘积。 一般边界需要本征函数叠加；单乘积只是 basis mode。
4. Image charge 在导体内部真实存在。 它是被排除域中的数学构造。
5. image 能量直接用 \(qV_{\mathrm{image}}\)。 感应边界问题必须乘 \(1/2\)。
6. dipole moment 总与原点无关。 只有总电荷为零时才与原点无关。
7. 远场只看源到观察点距离大。 必须与源尺寸比较，即 \(a/r\ll1\)。
8. 磁 multipole 也从 monopole 开始。 经典 Maxwell theory 中 \(\nabla\cdot\mathbf B=0\)，局域稳恒电流的领先项是 dipole。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. 唯一性（K01）： 为什么 Dirichlet 差函数证明中的 \(\int\lvert\nabla U\rvert^2d\tau=0\) 能推出 \(U=0\)？
2. Neumann（K01）： 写出 Poisson problem 的 Neumann compatibility condition，并说明剩余自由度。
3. 矩形模式（K02）： 在三边接地矩形中，底边为 \(V_0\sin(2\pi x/a)\)，写出解。
4. 坐标选择（K02）： 球面边界且轴对称时，为何 Legendre polynomials 比 Cartesian sine modes 自然？
5. Green convention（K03）： 本课 \(G\) 的微分方程是什么？它的单位是什么？
6. Image surface charge（K03）： 接地点电荷问题中，\(\sigma(\rho)\) 的符号为何处处为负？总感应电荷是多少？
7. Image energy（K03）： 解释 energy expression 中因子 \(1/2\) 的物理来源。
8. Electric multipole（K04）： 净电荷为零且 \(\mathbf p=0\) 的局域源，领先势通常按什么幂衰减？
9. Origin shift（K04）： 总电荷 \(Q\neq0\) 时将原点平移 \(\mathbf a\)，\(\mathbf p\) 如何变化？
10. Magnetic dipole（K04）： 电流环半径减半、电流不变，固定远场点的 dipole field 变为原来的多少？

Exit ticket / 离堂检核

1. 对“点电荷在接地平面上方”的问题，按逻辑顺序写出 image construction、边界核验、唯一性论证、force 与 energy 的区别。
2. 一个中性局域源的 dipole moment 也为零。说明观察距离加倍时其领先 potential 与 electric field 各缩小多少倍。

References and source notes / 参考资料与来源说明

Source-to-content map

资料与链接实际浏览、阅读和核对日期：2026-08-28。Green function 的 \(4\pi\) normalization 已在正文显式声明；全部图为基于方程的原创示意。

复习与拓展

• Potentials and Gauge Freedom：Green functions 与 potentials 的 gauge structure。
• Radiation theory：把 static multipoles 推广为 time-dependent radiation multipoles。
• Numerical electromagnetism：有限差分、有限元与 boundary element method。
• Mathematical physics：self-adjoint operators、spectral expansions 与 reciprocity。