费马原理与光线传播

Learning objectives / 学习目标

1. 把 Fermat principle 精确写成 stationary optical path，而非无条件的 shortest path。
2. 对平面镜与平面折射界面构造 optical-path function，并由一阶导数导出 reflection law 与 Snell law。
3. 从 Helmholtz equation 的 high-frequency ansatz 得到 eikonal equation，并连接 ray tangent 与 phase gradient。
4. 从变分形式推出 \(d(n\hat{\mathbf t})/ds=\nabla n\)，判断光线向高折射率区域弯曲的方向。
5. 说明 ray reversibility 的成立条件，并识别非互易或时变系统的例外。

Prerequisites / 先修知识

• Models of Light：\(\mathcal L=\int n\,ds\) 与 \(\phi=k_0\mathcal L\)。
• 微分、stationary point、Euler–Lagrange equation 的基本概念。
• 平面波相位、wavefront normal 与 Snell law。

Scope and conventions / 范围与约定

• 介质先假设 linear、stationary、isotropic、local，折射率 \(n(\mathbf r)>0\) 为实数。
• 路径参数 \(s\) 是几何弧长，单位切向量 \(\hat{\mathbf t}=d\mathbf r/ds\)。
• 入射角、反射角、折射角都相对界面法线测量，范围取 \(0\le\theta<\pi/2\)。
• “stationary”意为任意端点固定的小路径变分使一阶变化 \(\delta\mathcal L\) 为零；可以是 minimum、maximum 或 saddle。
• Ray approximation 需要 \(n\) 与振幅在一个波长尺度上缓慢变化；sharp interface 作为分段光滑极限单独处理。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Stationary optical path / 光程平稳原理

Knowledge ID: P05-U01-L02-K01

在固定起点 \(A\) 与终点 \(B\) 之间，给每条候选曲线 \(C\) 定义

\[\mathcal L[C]=\int_C n(\mathbf r)\,ds, \qquad T[C]=\frac{1}{c}\mathcal L[C].\]

费马原理的准确形式是

\[\boxed{\delta\mathcal L[C]=0}\]

对实际 ray 成立。若把实际路径做端点固定的小扰动 \(C\to C+\delta C\)，一阶 optical-path change 消失，只剩二阶或更高阶变化。因而邻近路径的 phase \(k_0\mathcal L\) 变化较慢，波幅在高频极限中能相干累积；非平稳路径的相位快速转动并相互抵消。

“平稳”比“最短”更一般。单个平面界面的直接折射常对应 minimum；成像系统中也可能存在 local maximum 或 saddle，且同一对端点可能由多条 stationary rays 相连。若只搜索全局最短路径，会丢掉 secondary images、multiple reflections 与 caustic branches。

在均匀介质中 \(n\) 为常数，stationary length 是两点间直线。这既可由三角不等式理解，也可由一般 ray equation 在 \(\nabla n=0\) 时得到 \(d\hat{\mathbf t}/ds=0\)。

对任意参数 \(u\) 写 \(ds=\lvert\mathbf r'(u)\rvert du\)，functional 为

\[\mathcal L=\int n(\mathbf r)\lvert\mathbf r'\rvert\,du.\]

Euler–Lagrange equation 化为

\[\boxed{\frac{d}{ds}\left(n\hat{\mathbf t}\right)=\nabla n}.\]

将其分解到法向可见：只有 \(\nabla n\) 垂直于 ray 的分量改变方向，光线向更高 \(n\) 的区域弯曲。

Knowledge 2 — Reflection and refraction from Fermat's principle / 由费马原理导出反射与折射

Knowledge ID: P05-U01-L02-K02

Reflection / 反射

令点 \(A=(0,a)\)、\(B=(D,b)\) 位于平面镜 \(y=0\) 同侧，反射点 \(P=(x,0)\)。介质均匀，故除去共同因子 \(n\) 后候选路径长度为

\[\ell(x)=\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{(D-x)^2+b^2}.\]

stationary condition 给

\[\frac{d\ell}{dx} =\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} -\frac{D-x}{\sqrt{(D-x)^2+b^2}} =0.\]

两项分别是 \(\sin\theta_i\) 与 \(\sin\theta_r\)，且角度均在第一象限，因此

\[\boxed{\theta_i=\theta_r}.\]

等价几何法是把 \(B\) 关于镜面反射为 \(B'\)；任意 broken path \(A\to P\to B\) 与直线路径 \(A\to P\to B'\) 等长。最短直线与镜面交点就是反射点。这一构造适用于平面镜，但变分法可推广到曲面。

Refraction / 折射

令界面上方折射率 \(n_1\)、下方 \(n_2\)；\(A=(0,a)\)、\(B=(D,-b)\)，穿越点仍为 \(P=(x,0)\)。光程函数为

\[\mathcal L(x)=n_1\sqrt{x^2+a^2}+n_2\sqrt{(D-x)^2+b^2}.\]

对 \(x\) 求导并令零：

\[n_1\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} =n_2\frac{D-x}{\sqrt{(D-x)^2+b^2}},\]

即

\[\boxed{n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2}.\]

Snell law 不是说光“偏爱短距离”；进入较慢的高 \(n\) 区域时，路径会以牺牲一部分几何距离来减少在慢区的行程。界面平移对称性也可解释为 tangential wavevector conservation：

\[k_1\sin\theta_1=k_2\sin\theta_2, \qquad k_j=n_jk_0.\]

Knowledge 3 — Ray approximation and eikonal viewpoint / 光线近似与程函观点

Knowledge ID: P05-U01-L02-K03

考虑 scalar Helmholtz equation

\[\nabla^2U+k_0^2n^2(\mathbf r)U=0.\]

令场分成缓变 amplitude 与快变 phase：

\[U(\mathbf r)=A(\mathbf r)e^{ik_0S(\mathbf r)}.\]

代回并按 \(k_0\) 次数排序。最高的 \(k_0^2\) 项给

\[\boxed{\lvert\nabla S\rvert^2=n^2(\mathbf r)},\]

这就是 eikonal equation。\(S=\mathrm{constant}\) 是 wavefront，\(\nabla S\) 垂直 wavefront；单位 ray tangent 为

\[\hat{\mathbf t}=\frac{\nabla S}{n}.\]

下一阶项给 amplitude transport，而不是 ray path；因此 eikonal alone 无法在 caustic 给有限强度。近似要求

\[\frac{\lvert\nabla A\rvert}{k_0n\lvert A\rvert}\ll1, \qquad \frac{\lvert\nabla n\rvert}{k_0n^2}\ll1.\]

由 eikonal characteristics 或变分法都得到

\[\frac{d}{ds}(n\hat{\mathbf t})=\nabla n.\]

例如 \(n\) 随高度 \(y\) 增大而减小，\(\nabla n\) 向下，近水平 ray 就向下弯；mirage 与 gradient-index lens 都是这一机制，而不是界面上的一次折转。

多条 characteristic 可能交叉，形成 caustic。几何光学把有限能量压到零宽区域而预测发散；真实波场以 Airy-like diffraction structure 平滑它。

Knowledge 4 — Reversibility of optical paths / 光路可逆性

Knowledge ID: P05-U01-L02-K04

若 \(n(\mathbf r)\) 是静态标量且材料 reciprocal，同一几何曲线反向积分有

\[\int_A^B n\,ds=\int_B^A n\,ds.\]

因此从 \(A\) 到 \(B\) 的 stationary path 反向仍为从 \(B\) 到 \(A\) 的 stationary path；反射定律与 Snell law 在交换入射、出射方向后形式不变。reversibility 是几何路径陈述，不保证任意实际装置的反向功率相同；aperture clipping、gain/loss distribution 与 detector/source coupling 仍会改变通量。

可逆性的模型边界包括：

• magneto-optic Faraday rotation 由外加磁场破坏 time-reversal symmetry；
• time-modulated index 可在正反向给不同频率/路径；
• nonlinear medium 的 \(n\) 依赖强度，反向注入不一定重现原场分布；
• moving media 与 active nonreciprocal elements 需用更完整的 reciprocity analysis。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — 平面镜反射点

点 \(A=(0,2.00\,\mathrm m)\) 与 \(B=(6.00\,\mathrm m,1.00\,\mathrm m)\) 位于镜面 \(y=0\) 上方。求 stationary reflection point、总路程与入射角。

研究对象： 从 \(A\) 经镜面一次反射到 \(B\) 的光线。
参考系/系统： 镜面静止的二维实验室坐标系；角度相对 \(+y\) 法线。
模型： 均匀介质、理想平面镜、ray approximation。
方程与计算： 将 \(B\) 映射为 \(B'=(6.00,-1.00)\,\mathrm m\)。直线 \(AB'\) 从 \(y=2.00\) 降到 \(-1.00\)，在下降 \(2/3\) 时穿过 \(y=0\)：

\[x_P=\frac{2}{3}(6.00\,\mathrm m)=4.00\,\mathrm m.\]

\[\ell=\sqrt{(4.00)^2+(2.00)^2}+\sqrt{(2.00)^2+(1.00)^2} =6.71\,\mathrm m.\]

\[\theta_i=\tan^{-1}\left(\frac{4.00}{2.00}\right)=63.4^\circ, \qquad \theta_r=\tan^{-1}\left(\frac{2.00}{1.00}\right)=63.4^\circ.\]

检查： 两角相等且方向分别指向/离开镜面；展开后的距离 \(\sqrt{6.00^2+3.00^2}=6.71\,\mathrm m\) 相符；长度量纲与三位有效数字正确。

Worked Example 2 — 数值求折射界面穿越点

\(A=(0,1.00\,\mathrm m)\) 位于 \(n_1=1.00\) 区域，\(B=(1.20\,\mathrm m,-1.50\,\mathrm m)\) 位于 \(n_2=1.50\) 区域，界面为 \(y=0\)。求穿越点 \(P=(x,0)\) 与两角。

研究对象： 跨越一个平面介质界面的 stationary ray。
参考系/系统： 界面静止，\(x\) 沿界面，\(y\) 为法向。
模型： 分段均匀、各向同性、无损；忽略界面厚度。
方程与计算： 解

\[\frac{x}{\sqrt{x^2+1.00^2}} =1.50\frac{1.20-x}{\sqrt{(1.20-x)^2+1.50^2}}.\]

数值根为

\[x=0.630\,\mathrm m.\]

因此

\[\theta_1=\tan^{-1}\left(\frac{0.630}{1.00}\right)=32.2^\circ,\]

\[\theta_2=\tan^{-1}\left(\frac{1.20-0.630}{1.50}\right)=20.8^\circ.\]

检验 Snell law：

\[n_1\sin\theta_1=0.533, \qquad n_2\sin\theta_2=0.533.\]

检查： 进入较高 \(n\) 后向法线弯，故 \(\theta_2<\theta_1\)；两侧无量纲 Snell quantities 相等；\(0<x<1.20\,\mathrm m\)，几何位置有效。

Worked Example 3 — 线性渐变折射率中的小角弯曲

介质折射率为 \(n(y)=1.500-(2.00\times10^{-2}\,\mathrm{m^{-1}})y\)。一条 ray 从 \(y=0\) 水平沿 \(+x\) 发射，求传播 \(x=2.00\,\mathrm m\) 后的小角近似偏移和方向。

研究对象： 平滑 GRIN 介质中的单条近水平 ray。
参考系/系统： 介质静止，\(+y\) 向上。
模型： \(\lvert dy/dx\rvert\ll1\)，把 \(n\) 在起点附近取 \(n_0=1.500\)；忽略 amplitude transport。
方程与计算： ray equation 的法向分量给

\[\frac{d^2y}{dx^2}\approx\frac{1}{n_0}\frac{dn}{dy} =-1.33\times10^{-2}\,\mathrm{m^{-1}}.\]

初始 \(y(0)=0\)、\(y'(0)=0\)，故

\[y(2.00)\approx\frac12\frac{d^2y}{dx^2}x^2 =-2.67\times10^{-2}\,\mathrm m.\]

\[\theta\approx y'(x)=\frac{d^2y}{dx^2}x =-2.67\times10^{-2}\,\mathrm{rad}=-1.53^\circ.\]

检查： \(dn/dy<0\) 表示较高 \(n\) 在下方，偏移为负正好向高 \(n\) 弯；curvature 单位 \(\mathrm{m^{-1}}\)；\(\lvert\theta\rvert\ll1\) 支持小角近似。

Worked Example 4 — 用 Snell law 验证光路可逆

光从水 \(n_w=1.333\) 以 \(40.0^\circ\) 入射到空气 \(n_a=1.000\)。求空气角；再从空气沿相反方向入射，验证返回水中的角度。

研究对象： 同一平面界面的正、反两条 ray。
参考系/系统： 界面静止；角度均对同一法线取锐角。
模型： reciprocal、各向同性、无损介质；角度低于全反射临界条件。
方程与计算：

\[\sin\theta_a=\frac{n_w}{n_a}\sin40.0^\circ=0.857,\]

\[\theta_a=59.0^\circ.\]

反向时

\[\sin\theta'_w=\frac{n_a}{n_w}\sin59.0^\circ=0.643, \qquad \theta'_w=40.0^\circ.\]

检查： 正反 Snell quantities 相同；方向箭头反转但几何线重合；\(40.0^\circ<\sin^{-1}(1/1.333)=48.6^\circ\)，正向确有透射 ray。

Lesson synthesis / 本课综合

Fermat principle 把几何光学压缩为一个变分陈述：固定端点的实际 ray 使 \(\int n\,ds\) 一阶平稳。对离散界面，它给 reflection 与 Snell law；对平滑 \(n(\mathbf r)\)，它给 \(d(n\hat{\mathbf t})/ds=\nabla n\)。从 wave equation 的高频展开又得到 \(\lvert\nabla S\rvert=n\)，说明 stationary ray 是 phase front 的 characteristic。静态 reciprocal 系统中 functional 反向不变，于是路径可逆；caustic、sharp structure、非互易与强波动效应则标出模型边界。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Fermat functional with scalar \(n\) omits anisotropy; crystals require direction-dependent phase surfaces.
• Stationary phase does not choose amplitudes; transport equation, boundary coefficients and diffraction are still needed.
• Geometrical intensity diverges at ideal caustics; wave optics supplies a finite pattern.
• At discontinuous \(n\), smooth ray equation is replaced by phase matching/Snell law.
• Absorbing media have complex \(n\); path phase and attenuation may require complex eikonal methods.
• Reversibility requires reciprocity and a stationary system; Faraday rotators, moving/time-modulated media and nonlinear state dependence are exceptions.

Misconception clinic / 误区诊所

1. “费马原理就是光永远走最短几何距离。” 它平稳的是 optical path，且 stationary point 不一定是 minimum。
2. “光先试遍所有路径，再决定最快一条。” 这是拟人化；高频 wave amplitude 的 stationary-phase limit 才是物理桥梁。
3. “进入高折射率介质时总是少走几何路。” 真正被平稳的是 \(n\,ds\) 的积分，结果由端点几何共同决定。
4. “eikonal 方程能给完整强度。” 它主要给 phase 与 ray；amplitude 需下一阶 transport equation。
5. “光路可逆说明任何器件正反透射功率相同。” 它首先是几何路径结论；通光孔径、损耗、增益与耦合仍需另算。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01 概念： stationary optical path 与 minimum optical path 有何差别？

2. K01 均匀介质： 为什么均匀介质中的 ray 是直线？

3. K02 反射： 点 \(A,B\) 距平面镜同高且水平相距 \(D\)，反射点在哪里？

4. K02 计算： 光从 \(n_1=1.00\) 以 \(30.0^\circ\) 入射到 \(n_2=1.50\)，求折射角。

5. K02 方向： \(n_2>n_1\) 时，为什么 ray 向法线弯？

6. K03 推导： 写出 eikonal ansatz 与最高阶方程。

7. K03 判断： 为什么 sharp aperture edge 附近不能只用 eikonal rays？

8. K03 方向： 若 \(dn/dy>0\)，一条近水平 ray 初始将向哪边弯？

9. K04 可逆： 空气到玻璃的折射 ray 反向后为什么能回到原入射线？

10. 综合边界： Faraday rotator 中能否直接用本课的几何可逆性？

Exit ticket / 离堂检核

1. 从一个界面穿越点 \(x\) 的 optical-path function 出发，逐行推导 Snell law，并解释每个正弦的几何来源。
2. 说明 \(\delta\int n\,ds=0\)、\(\lvert\nabla S\rvert=n\) 与 \(d(n\hat{\mathbf t})/ds=\nabla n\) 三者分别属于哪种视角、如何描述同一 ray。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料和链接实际核对日期：2026-08-28。例题与练习为原创并独立复算；TikZ 为基于方程的原创示意图，未按比例者均已标注。

复习与拓展

• Radiometry and Photometry：ray bundle 的功率与 phase-space measure。
• Reflection and Refraction：加入 Fresnel amplitude、total internal reflection 与 apparent depth。
• Lenses and Optical Systems：stationary optical path 导出成像与 ABCD systems。
• Imaging Quality and Aberrations：不同 stationary rays 的 optical-path error 形成像差。
• Resolution and Fourier Optics：在 ray approximation 失效处恢复完整波动传播。