Learning objectives / 学习目标
- 把 ray、scalar wave、electromagnetic wave 与 photon 视为针对不同可观测量的模型，而非互相排斥的“故事”。
- 用 \(\lambda/L\)、相干性、偏振需求与光子统计判断模型的适用域。
- 区分真空常数 \(c\)、phase velocity、group velocity 与信号传播，并用 \(n=c/v_p\) 处理无损窄带介质。
- 从局域波数推导 optical path length 与 phase accumulation 的关系。
- 用复折射率描述 dispersion 与 absorption，并明确振幅和强度衰减的因子 2。
Prerequisites / 先修知识
- Electromagnetic Waves：横波、\(\mathbf E\)、\(\mathbf B\) 与 Poynting vector。
- Dispersion and Wave Packets：相位、群速度与波包。
- 正弦函数、复指数、能量守恒和量纲分析。
Scope and conventions / 范围与约定
- 单色复场采用 \(e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\)；实际场取实部。
- 真空波长为 \(\lambda_0=2\pi c/\omega\)，介质内局域波长为 \(\lambda=\lambda_0/n\)（无损、局域、窄带意义）。
- 被动介质的复折射率写作 \(\tilde n=n+i\kappa\)，配合上述相位约定得到沿 \(+z\) 的振幅因子 \(e^{-\kappa\omega z/c}\)，故 \(\kappa\ge 0\)。
- “intensity”若未另说明，指时间平均能流密度；辐射度学中的 radiant intensity 将在 Lesson 5.1.3 明确写作 \(I_e\)。
- 本课不把 photon 画成沿已知轨道飞行的小球；几何光线不是单个光子的可测轨迹。
Notation and modeling contract / 符号与建模契约
| Symbol | Meaning | SI unit |
|---|---|---|
| \(c\) | vacuum speed of light, exact | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(v_p,v_g\) | phase and group velocity | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(n,\tilde n=n+i\kappa\) | real and complex refractive index | 1 |
| \(k_0=2\pi/\lambda_0\) | vacuum wavenumber | \(\mathrm{rad\,m^{-1}}\) |
| \(\mathcal L=\int n\,ds\) | optical path length | m |
| \(\phi=k_0\mathcal L\) | accumulated phase | rad |
| \(E_\gamma=h\nu=hc/\lambda_0\) | photon energy | J |
| \(a_I=2k_0\kappa\) | intensity absorption coefficient | \(\mathrm{m^{-1}}\) |
Knowledge 1 — Ray, wave, electromagnetic, and photon models / 光线、波、电磁与光子模型
Knowledge ID: P05-U01-L01-K01
“光是什么”在可计算的物理学中首先应改写为：“现在要预测哪个可观测量，在哪个尺度与精度上？”四个常用模型形成一条由粗到细、但并非简单互相取代的链：
- ray model 只跟踪传播方向与几何路径，适合反射、折射、成像位置。
- scalar-wave model 跟踪复振幅与相位，能描述 interference、diffraction、coherence。
- electromagnetic-wave model 还保留矢量方向、边界条件、偏振与能流。
- photon/quantum model 预测离散探测事件、能量与动量转移以及统计关联。
光线是等相位面的法线方向。在均匀各向同性介质中，平面波相位 \(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t\) 的等相位面彼此平行，\(\mathbf k\) 同时给出光线方向。于是 ray model 可由 short-wavelength limit 得到，而不是与波模型毫无关系。
电磁模型进一步规定，在均匀无源介质的横平面波中 \(\mathbf E\perp\mathbf B\perp\mathbf k\)，且能流方向由 \(\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf H\) 给出。因此相同的标量相位图可能对应不同偏振，只有矢量模型能区分。
量子模型不否定传播振幅的波性。一个典型安排是：振幅通过两条路径叠加，探测器却一次记录一个局域 click。若两路复概率振幅为 \(A_1,A_2\)，单事件位置不可预言，但大量事件的概率密度满足
\[p\propto\lvert A_1+A_2\rvert^2,\]
而不是 \(\lvert A_1\rvert^2+\lvert A_2\rvert^2\)。光子能量与动量为
\[E_\gamma=h\nu=\frac{hc}{\lambda_0}, \qquad p_\gamma=\frac{E_\gamma}{c}=\frac{h}{\lambda_0}.\]
Knowledge 2 — Domains of validity of optical models / 各光学模型的适用范围
Knowledge ID: P05-U01-L01-K02
首先比较真空或介质波长 \(\lambda\) 与装置中控制场变化的最小尺度 \(L\)：
\[\varepsilon=\frac{\lambda}{L}.\]
若 \(\varepsilon\ll1\) 且只问路径或像的位置，ray approximation 通常有效；若孔径、边缘或结构尺度与 \(\lambda\) 同阶，diffraction 不能忽略。即便 \(\lambda/L\ll1\)，若问题问 fringe phase、polarization、coherence 或单光子统计，也必须升级模型。
模型选择可按以下顺序做：
- 可观测量是否涉及离散能量转移或低光子数相关？若是，用 quantum model。
- 是否涉及 \(\mathbf E\) 方向、边界条件或偏振？若是，用 vector EM model。
- 是否涉及相位叠加、相干、干涉或衍射？若是，至少用 scalar-wave model。
- 若以上皆否且 \(\lambda/L\ll1\)，ray model 是最经济选择。
边界尤其重要：geometric optics 在 caustic 附近会预测无限强度，在 sharp edge 附近漏掉衍射，在 subwavelength structure 中也失效；经典电磁波能给平均能流，却不能给 antibunching 或单光子不可分割的探测统计。
Knowledge 3 — Speed of light in vacuum and matter / 真空与介质中的光速
Knowledge ID: P05-U01-L01-K03
真空光速是 SI 中的精确定义常数：
\[\boxed{c=299\,792\,458\ \mathrm{m\,s^{-1}}\quad\text{(exact)}}.\]
在均匀、各向同性、无损、弱色散介质中，折射率常用
\[n=\frac{c}{v_p}, \qquad v_p=\frac{\omega}{k}.\]
这里 \(v_p\) 是相位面速度，不必等于脉冲包络速度。频率依赖 \(k(\omega)=n(\omega)\omega/c\) 给出
\[v_g=\left(\frac{dk}{d\omega}\right)^{-1} =\frac{c}{n+\omega\,dn/d\omega}.\]
通常透明区 \(n>1\)，所以 \(v_p<c\)；但 \(n<1\)、\(v_p>c\) 或异常 \(v_g\) 本身都不等同于信息超光速。因果信息由信号前沿与完整材料响应约束。
Knowledge 4 — Optical path length and phase accumulation / 光程与相位累积
Knowledge ID: P05-U01-L01-K04
沿曲线 \(C\) 的 infinitesimal phase 为 \(d\phi=k\,ds=k_0n\,ds\)。积分得到
\[\boxed{\mathcal L[C]=\int_C n(\mathbf r,\omega)\,ds}, \qquad \boxed{\phi[C]=k_0\mathcal L[C]=\frac{2\pi}{\lambda_0}\mathcal L[C]}.\]
\(\mathcal L\) 的单位是米；它等于“在真空中获得相同相位所需的距离”。在分段均匀介质中
\[\mathcal L=\sum_j n_jL_j.\]
若介质不随时间变化且用相速度定义 \(n\)，单色相位延迟对应 \(t_p=\mathcal L/c\)。脉冲到达则要用 group index \(n_g=n+\omega dn/d\omega\)，不能把 phase delay 直接当 group delay。
两路干涉只关心 optical path difference
\[\Delta\mathcal L=\mathcal L_2-\mathcal L_1, \qquad \Delta\phi=k_0\Delta\mathcal L.\]
在没有额外反射相位的同频两束光中，\(\Delta\mathcal L=m\lambda_0\) 给相长，\(\Delta\mathcal L=(m+1/2)\lambda_0\) 给相消。后续薄膜课会加入界面相位突变。
Knowledge 5 — Refractive index, dispersion, and absorption / 折射率、色散与吸收
Knowledge ID: P05-U01-L01-K05
对线性、均匀、各向同性介质，频域 Maxwell equations 给
\[\tilde n^2(\omega)=\epsilon_r(\omega)\mu_r(\omega).\]
在多数光学介质中 \(\mu_r\approx1\)，但 \(\epsilon_r\) 随频率变化，因此 \(n\) 也随波长变化：这就是 material dispersion。透明区的 normal dispersion 常表现为短波长的 \(n\) 较大；靠近吸收共振时可出现 anomalous dispersion，不能把“蓝光总折得更多”当成无条件定律。
吸收要求复折射率 \(\tilde n=n+i\kappa\)。沿 \(+z\) 的场为
\[\tilde E(z,t)=E_0e^{i(k_0nz-\omega t)}e^{-k_0\kappa z}.\]
所以 amplitude 与 intensity 分别为
\[E_{\mathrm{amp}}(z)=E_{\mathrm{amp}}(0)e^{-k_0\kappa z},\]
\[I(z)=I(0)e^{-2k_0\kappa z}=I(0)e^{-a_Iz}, \qquad a_I=\frac{4\pi\kappa}{\lambda_0}.\]
由于材料响应必须因果，dispersion 与 absorption 并非两个任意独立函数；完整联系由 Kramers–Kronig relations 给出。本课只保留定性结论：显著吸收结构附近必伴随折射率的快速频变。
Worked Examples / 完整例题
Worked Example 1 — 绿光激光的光子通量
一束真空波长 \(\lambda_0=532\,\mathrm{nm}\)、平均功率 \(P=2.00\,\mathrm{mW}\) 的连续激光，求单个光子能量与每秒平均光子数。
研究对象： 穿过固定横截面的光束能量。
参考系/系统： 实验室惯性系；稳态光源与固定探测截面。
模型： 以 photon model 处理离散能量，以平均功率连接大量事件；忽略带宽和损耗。
方程与计算：
\[E_\gamma=\frac{hc}{\lambda_0} =\frac{(6.62607015\times10^{-34})(2.99792458\times10^8)}{532\times10^{-9}} =3.73\times10^{-19}\ \mathrm J.\]
\[\dot N=\frac{P}{E_\gamma} =\frac{2.00\times10^{-3}}{3.73\times10^{-19}} =5.36\times10^{15}\ \mathrm{s^{-1}}.\]
检查： \(\mathrm W/\mathrm J=\mathrm{s^{-1}}\)；\(\lambda_0\) 增大时每个光子能量降低、同功率光子通量升高；结果按输入保留三位有效数字。
Worked Example 2 — 玻璃中的传播延迟
长度 \(L=0.250\,\mathrm m\) 的无损、近似无色散玻璃折射率为 \(n=1.52\)。求单色相位穿越时间，并与同长度真空比较。
研究对象： 沿玻璃法线传播的窄带相位面。
参考系/系统： 玻璃静止的实验室系；入口到出口为系统边界。
模型： 均匀无损介质，\(v_p=c/n\)；不把结果解释为宽带信号的群延迟。
方程与计算：
\[t_p=\frac{nL}{c} =\frac{(1.52)(0.250)}{2.99792458\times10^8} =1.27\times10^{-9}\ \mathrm s.\]
\[t_0=\frac{L}{c}=8.34\times10^{-10}\ \mathrm s, \qquad \Delta t=4.34\times10^{-10}\ \mathrm s=0.434\ \mathrm{ns}.\]
检查： \(n\to1\) 时 \(\Delta t\to0\)；\(n>1\) 给正延迟；\(nL/c\) 的量纲为秒，三位有效数字。
Worked Example 3 — 两层介质的光程与相位
\(\lambda_0=632.8\,\mathrm{nm}\) 的单色光依次垂直穿过水层 \(n_1=1.33,L_1=2.00\,\mathrm{mm}\) 与玻璃层 \(n_2=1.50,L_2=3.00\,\mathrm{mm}\)。求总光程、相位圈数与相位。
研究对象： 两层内的同一单色相位。
参考系/系统： 两层静止；沿法线取 \(+z\)，忽略界面反射相位。
模型： piecewise-uniform、无损、同一 \(\omega\)。
方程与计算：
\[\mathcal L=n_1L_1+n_2L_2 =(1.33)(2.00\times10^{-3})+(1.50)(3.00\times10^{-3}) =7.16\times10^{-3}\ \mathrm m.\]
\[N_\phi=\frac{\mathcal L}{\lambda_0} =\frac{7.16\times10^{-3}}{632.8\times10^{-9}} =1.13\times10^4\ \text{cycles},\]
\[\phi=2\pi N_\phi=7.11\times10^4\ \mathrm{rad}.\]
检查： \(\mathcal L\) 是长度，\(\mathcal L/\lambda_0\) 无量纲；任一 \(n_j\) 或 \(L_j\) 增大都会增加相位；相位绝对值很大而干涉通常只测其模 \(2\pi\)。
Worked Example 4 — 由消光系数求 \(1\%\) 穿透深度
某被动介质在 \(\lambda_0=500\,\mathrm{nm}\) 时 \(\kappa=2.00\times10^{-5}\)。忽略界面反射，求强度降至 \(I_0\) 的 \(1.00\%\) 所需厚度。
研究对象： 介质内部沿 \(+z\) 的平均能流。
参考系/系统： 介质静止，\(z=0\) 为入射面内侧。
模型： 均匀线性介质、单色波、Beer exponential attenuation。
方程与计算：
\[a_I=\frac{4\pi\kappa}{\lambda_0} =\frac{4\pi(2.00\times10^{-5})}{500\times10^{-9}} =5.03\times10^2\ \mathrm{m^{-1}}.\]
\[0.0100=e^{-a_Iz} \quad\Rightarrow\quad z=\frac{\ln100}{a_I} =9.16\times10^{-3}\ \mathrm m=9.16\ \mathrm{mm}.\]
检查： 指数 \(a_Iz\) 无量纲；\(\kappa\to0\) 时所需深度发散；沿 \(+z\) 强度单调下降，三位有效数字。
Lesson synthesis / 本课综合
模型选择的核心不是问“哪一个模型永远正确”，而是先问 observable，再问 scale。光线是波前法线的短波近似；标量波负责相位叠加；电磁波补入矢量场与能流；光子模型给离散探测和量子统计。在重叠范围内，它们必须通过 \(k=n\omega/c\)、\(\mathcal L=\int n\,ds\)、\(E_\gamma=h\nu\) 等桥梁相互一致。最后必须把 \(c\)、\(v_p\)、\(v_g\)，以及振幅与强度衰减分别写清。
Formula-and-decision table / 公式与决策表
| Need | Formula or criterion | Conditions | Main caution |
|---|---|---|---|
| choose ray model | \(\lambda/L\ll1\) | path/image only; smooth structures | phase, edges and caustics may still require waves |
| photon energy | \(E_\gamma=hc/\lambda_0\) | photon counting or energy transfer | no classical point trajectory is implied |
| phase velocity | \(v_p=\omega/k=c/n\) | real \(n\), monochromatic local plane wave | not automatically pulse or information speed |
| group velocity | \(v_g=(dk/d\omega)^{-1}\) | narrowband, weak reshaping | strong absorption invalidates simple peak tracking |
| optical path | \(\mathcal L=\int n\,ds\) | stationary, isotropic local medium | use \(n_g\) for group delay |
| phase difference | \(\Delta\phi=k_0\Delta\mathcal L\) | same frequency and convention | add interface phase shifts when present |
| absorption | \(I=I_0e^{-4\pi\kappa z/\lambda_0}\) | uniform passive medium | amplitude exponent is half as large |
Model boundaries / 模型边界
- Ray optics 不能解析 diffraction、interference、subwavelength structure 或 caustic 的有限强度。
- Scalar waves 忽略 polarization 与 vector boundary conditions；高数值孔径或各向异性问题通常需要矢量场。
- 经典 Maxwell field 可预测平均功率与连续探测率，却不能给 antibunching、entanglement 等非经典统计。
- \(n=c/v_p\) 的简写针对相速度；色散材料中的 pulse delay 应使用 \(n_g\) 或完整传播算子。
- 复折射率的正负号依赖 phasor convention；必须连同 \(e^{i(kz-\omega t)}\) 一起声明。
- Beer 指数模型忽略饱和、散射回流、非线性吸收和界面反射。
Misconception clinic / 误区诊所
- “光有时变成波、有时变成粒子。” 更准确的说法是：同一量子电磁场对不同实验可观测量需要不同有效描述。
- “光线就是一个光子的轨迹。” 光线是几何光学中的传播方向；单光子干涉中不存在可同时验证且不扰动的经典路径。
- “介质中光速就是 \(c/n\)，没有别的速度。” \(c/n\) 通常指相速度；群速度和信号前沿需另行判断。
- “光走过几何长度相同，相位一定相同。” 相位由 optical path \(\int n\,ds\) 决定。
- “吸收系数作用在电场和强度上相同。” 强度正比于振幅平方，所以指数系数相差 2。
- “色散只会改变折射角，不会影响脉冲。” \(dn/d\omega\) 改变群延迟并可展宽脉冲。
Practice and retrieval / 练习与提取
- K01 模型选择： 只需预测望远镜中主光线的像高，且 \(\lambda/L=10^{-6}\)，优先用什么模型？
Answer
优先用 ray model；可观测量是几何像高且尺度比极小。若随后要求 diffraction-limited spot，则必须升级为 wave model。
- K01 计算： \(400\,\mathrm{nm}\) 光子的能量是多少？取三位有效数字。
Answer
\[E_\gamma=\frac{hc}{\lambda_0}=4.97\times10^{-19}\ \mathrm J=3.10\ \mathrm{eV}.\]
- K02 判断： 孔宽由 \(1\,\mathrm{mm}\) 缩到 \(0.5\,\mathrm{\mu m}\)，可见光的 ray approximation 为什么恶化？
Answer
因为 \(\lambda/L\) 从远小于 1 增至约 1，孔边各点的相位叠加产生不可忽略的 diffraction。
- K02 边界： \(\lambda/L\ll1\) 是否足以保证 scalar ray model 能预测偏振器输出？
Answer
不足。偏振是电场方向的矢量可观测量，即使几何尺度很大也至少需要 vector EM model。
- K03 计算： \(n=1.40\) 的非色散模型给出的相速度是多少？
Answer
\[v_p=\frac{c}{n}=2.14\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]
- K03 概念： 为什么测得 \(v_p>c\) 不能直接宣称信息超光速？
Answer
单色相位面不携带可独立调制的新信息；信息传播需考察因果介质中的波包重塑与信号前沿。
- K04 计算： 真空波长 \(600\,\mathrm{nm}\) 的光在 \(n=1.50\)、厚 \(2.00\,\mathrm{\mu m}\) 薄层中累积多少个相位圈？
Answer
\[N_\phi=\frac{nL}{\lambda_0}=\frac{(1.50)(2.00\times10^{-6})}{600\times10^{-9}}=5.00.\]
- K04 干涉： 两路无额外反射相位，\(\Delta\mathcal L=3\lambda_0/2\)，合束时是相长还是相消？
Answer
\[\Delta\phi=2\pi\frac{\Delta\mathcal L}{\lambda_0}=3\pi,\] 因而两束反相，理想等振幅时相消。
- K05 比例： 固定 \(\kappa\) 时波长减半，强度吸收系数怎样变化？
Answer
由 \(a_I=4\pi\kappa/\lambda_0\)，波长减半使 \(a_I\) 加倍，\(1/e\) 强度长度减半。
- 综合审模： 要预测“单光子通过双缝后的点击位置分布与偏振标记是否毁掉干涉”，最少需要哪些层次？
Answer
需要 quantum amplitude 描述点击概率与路径信息，同时保留 polarization 的矢量自由度；纯 ray 或 scalar classical intensity 模型都不够。
Exit ticket / 离堂检核
- 给定一个新光学实验，用 observable、\(\lambda/L\)、phase、polarization、photon statistics 五项写出模型选择理由。
- 从 \(k=\tilde n\omega/c\) 同时推出 phase accumulation 与 intensity attenuation，并解释为什么两个指数相差 2。
References and source notes / 参考资料与来源说明
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| OpenStax University Physics Vol. 3, 1.1 | ray model, \(c\), \(n=c/v\) | K01, K03 | elementary uniform-medium model |
| OpenStax University Physics Vol. 3, 6.6 | wave/photon complementarity | K01–K02 | classical models alone are incomplete for quantum observables |
| MIT OCW 3.46 Lecture 4 | \(k=n\omega/c\), phase/group velocity, dispersion | K01, K03, K05 | linear media and narrowband interpretation |
| MIT OCW 2.71 Lecture 9 | Maxwell wave, irradiance, high-frequency/eikonal bridge | K01–K02, K04 | isotropic medium; slowly varying amplitude |
| NIST CODATA speed of light | exact numerical value and uncertainty status | K03 | vacuum value is exact in SI |
资料和链接实际核对日期：2026-08-28。例题、练习与 TikZ 图均为本课原创并独立复算；示意图未按比例者已标注。
复习与拓展
- Fermat's Principle：由 optical path 的 stationary condition 得到光线。
- Radiometry and Photometry：从场/光子转向可测功率、方向与视觉权重。
- Two-Source Interference：把 \(\Delta\mathcal L\) 转为条纹。
- Polarization States：展开电磁模型的横向矢量自由度。
- Quantum optics：从单光子概率振幅进入相干态、Fock state 与 correlation functions。