辐射度学与光度学

Learning objectives / 学习目标

1. 严格区分 radiant energy、radiant flux、irradiance、radiant intensity 与 radiance，并写出 SI units。
2. 用 solid angle、projected area 和 inverse-square law 计算点源到有限探测器的功率。
3. 用 CIE photopic spectral luminous efficiency \(V(\lambda)\) 把 spectral radiometric quantity 转为对应 photometric quantity。
4. 建立 étendue \(dG=n^2\cos\theta\,dA\,d\Omega\) 与 radiance invariance，判断 passive concentration 是否可能。
5. 识别 point source、resolved extended source、Lambertian source 与 coherent beam 等模型边界。

Prerequisites / 先修知识

• Models of Light：ray model、能流与 photon energy。
• Fermat's Principle：ray bundle 与折射率。
• 球面几何、微分面积、积分、功率和 SI units。

Scope and conventions / 范围与约定

• 辐射度量用下标 \(e\)（energetic），光度量用下标 \(v\)（visual）。
• 本课将中文“强度”限定为 radiant intensity \(I_e\)；面上接收功率密度写作 irradiance \(E_e\)，避免把二者混叫 intensity。
• \(dA_\perp=dA\cos\theta\) 中，\(\theta\) 是面法线与从接收面指向 source 的 viewing direction \(\hat{\boldsymbol\omega}=-\hat{\mathbf k}\) 之间的锐角；出射问题则取出射方向。不要把它与入射传播矢量的有向夹角混用。
• solid angle 的 SI coherent unit 是 steradian，量纲为 1，但单位符号 \(\mathrm{sr}\) 保留。
• Étendue conservation 先限于 lossless、passive、geometrical、incoherent ray transport；coherent diffraction-limited beams 需用 mode/phase-space 的波动版本。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Radiant energy, power, intensity, and radiance / 辐射能、功率、强度与辐亮度

Knowledge ID: P05-U01-L03-K01

辐射度学描述 optical radiation 携带的能量，而不先问人眼是否敏感。最上层是 radiant energy \(Q_e\)；对时间求率得到 radiant flux

\[\Phi_e=\frac{dQ_e}{dt}.\]

其余量都是对 flux 再按几何变量取密度：

\[E_e=\frac{d\Phi_e}{dA}, \qquad I_e=\frac{d\Phi_e}{d\Omega},\]

\[\boxed{L_e=\frac{d^2\Phi_e}{dA\cos\theta\,d\Omega}}.\]

Irradiance 回答“某个面单位面积收到多少功率”；radiant intensity 回答“点状源朝某方向每单位立体角发出多少功率”；radiance 则在指定位置和指定方向同时分辨 ray density。它是成像、相机曝光、radiative transfer 与 étendue 的核心。

若表面是 Lambertian emitter，它的 radiance 与观察方向无关；但 projected area 随 \(\cos\theta\) 减小，所以 radiant intensity obeys cosine law。对 uniform Lambertian patch 面积 \(A\)、radiance \(L_e\)，法向 radiant exitance 为

\[M_e=\int_{\mathrm{hemisphere}}L_e\cos\theta\,d\Omega=\pi L_e.\]

Radiance 不是“总功率除面积”；它还保留 direction。只有把方向积分后才得到 irradiance 或 exitance。

Knowledge 2 — Solid angle and inverse-square spreading / 立体角与平方反比扩散

Knowledge ID: P05-U01-L03-K02

立体角是单位球面上的面积。距观察点 \(r\) 的小面积 \(dA\) 对观察点张开的 solid angle 为

\[d\Omega=\frac{dA\cos\theta}{r^2}.\]

圆锥半角为 \(\alpha\) 时

\[\Omega_{\mathrm{cone}}=2\pi(1-\cos\alpha).\]

对 point source，\(I_e\) 只依赖方向，不随 \(r\) 改变。一个朝向 source 的小 detector 接收

\[d\Phi_e=I_e\,d\Omega =I_e\frac{dA\cos\theta}{r^2},\]

因此

\[\boxed{E_e=\frac{I_e\cos\theta}{r^2}}.\]

isotropic point source 满足球面总 flux \(\Phi_e=4\pi I_e\)，故法向 irradiance

\[E_e(r)=\frac{\Phi_e}{4\pi r^2}.\]

倾斜 detector 还要乘 \(\cos\theta\)；这是 projected area，不是额外的 inverse-square law。

平方反比仅适用于 unresolved point source、无吸收、无聚焦且 far enough that source size is negligible。对 resolved extended uniform-radiance object，距离增大时单个 image element 对应更大物面积与更小 solid angle，radiance ideally 不变；“看起来表面亮度不随距离降为 \(1/r^2\)”并不违背能量守恒。

Knowledge 3 — Photometric quantities and visual response / 光度量与视觉响应

Knowledge ID: P05-U01-L03-K03

Photometry 不是另一种能量守恒，而是把可见光谱按标准人眼响应加权。对任何 spectral radiometric quantity \(X_{e,\lambda}(\lambda)\)，对应 photopic quantity 为

\[\boxed{X_v=K_m\int_{360\,\mathrm{nm}}^{830\,\mathrm{nm}} X_{e,\lambda}(\lambda)V(\lambda)\,d\lambda}.\]

在 SI 中，频率 \(540\times10^{12}\,\mathrm{Hz}\) 的 monochromatic radiation 的 maximum luminous efficacy 取

\[K_m=683\ \mathrm{lm\,W^{-1}}.\]

\(V(\lambda)\) 是 photopic（明视觉）效率函数，归一化峰值在约 \(555\,\mathrm{nm}\)；暗视觉用另一函数 \(V'(\lambda)\)，不能混用。

Radiometric 与 photometric quantities 的几何定义一一平行：

相同 radiant watts 的蓝、绿、红光可有极不相同的 lumens；相反，同样 lux 也不保证相同辐射功率或 photochemical hazard。光度量只代表特定标准视觉响应，不是所有生物效应的通用权重。

Knowledge 4 — Étendue and conservation of brightness / 光学扩展量与亮度守恒

Knowledge ID: P05-U01-L03-K04

一个 ray bundle 不只占据空间面积，还占据方向空间。微分 étendue 定义为

\[\boxed{dG=n^2\cos\theta\,dA\,d\Omega}.\]

对 lossless passive geometrical optics，bundle 的 \(G\) 沿系统守恒。功率微元为

\[d\Phi_e=L_e\cos\theta\,dA\,d\Omega =\frac{L_e}{n^2}dG.\]

因此 same medium 中 radiance \(L_e\) 沿 ray 不变；跨 refractive interface 时不变量是 \(L_e/n^2\)（在本课的 radiance 定义与无损条件下）。

小面积 \(A\) 接受轴对称半角 \(u\) 的 cone 时，projected solid-angle integral 为 \(\pi\sin^2u\)，所以

\[G=n^2A\pi\sin^2u=A\pi\mathrm{NA}^2, \qquad \mathrm{NA}=n\sin u.\]

若被动系统把 source area 压小，必须扩大 output angular spread 或舍弃 rays；不能同时把 \(A\) 与 \(\Omega\) 都压小而保持全部功率。

这就是“brightness conservation”：ideal lens 可以把较大 source 成像成较小 spot，但 output cone 变大；若 output NA 有上限，最大 concentration 也有上限。吸收、vignetting 和 scattering 只会降低可用 radiance，不能提高它。

Radiance invariance 与 inverse-square law 并不冲突。点源 irradiance 随 \(r^{-2}\)，因为 fixed detector 截获的 solid angle 变小；resolved extended surface 的 radiance 不随距离变，因为 area 和 solid angle 的几何变化正好配对。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — 各向同性源的 radiant intensity 与 irradiance

一个各向同性点源总 radiant flux 为 \(\Phi_e=60.0\,\mathrm W\)。求 radiant intensity，以及距源 \(r=3.00\,\mathrm m\)、探测面正对光源处的 irradiance。

研究对象： 点源发出的稳态辐射与小面积探测面。
参考系/系统： source 与 detector 静止；无吸收自由空间。
模型： isotropic unresolved point source，detector normal 对准 source。
方程与计算：

\[I_e=\frac{\Phi_e}{4\pi} =\frac{60.0}{4\pi} =4.77\ \mathrm{W\,sr^{-1}}.\]

\[E_e=\frac{I_e}{r^2} =\frac{4.77}{(3.00)^2} =0.531\ \mathrm{W\,m^{-2}}.\]

检查： \(\mathrm{W\,sr^{-1}}/\mathrm{m^2}=\mathrm{W\,m^{-2}}\)，steradian 量纲为 1；\(r\) 加倍时 \(E_e\) 变四分之一；三位有效数字。

Worked Example 2 — 圆形探测器张开的立体角

半径 \(a=1.00\,\mathrm{cm}\) 的圆形 detector 与其轴上的点源相距 \(r=0.500\,\mathrm m\)，面正对 source。若 source isotropically emits \(10.0\,\mathrm W\)，求 detector 的 exact solid angle 与接收功率。

研究对象： 点源到圆盘的全部 rays。
参考系/系统： 圆盘静止、轴线穿过 source。
模型： 无吸收、无遮挡；使用轴上圆盘 exact solid angle。
方程与计算：

\[\Omega=2\pi\left(1-\frac{r}{\sqrt{r^2+a^2}}\right) =1.26\times10^{-3}\ \mathrm{sr}.\]

\[\Phi_{\mathrm{det}}=\Phi_e\frac{\Omega}{4\pi} =(10.0)\frac{1.26\times10^{-3}}{4\pi} =1.00\times10^{-3}\ \mathrm W.\]

检查： 小角近似 \(\Omega\approx\pi a^2/r^2=1.26\times10^{-3}\,\mathrm{sr}\) 一致；接收 fraction 为 \(1.00\times10^{-4}\)；三位有效数字。

Worked Example 3 — 单色 radiant flux 转 luminous flux

频率 \(540\times10^{12}\,\mathrm{Hz}\) 的 monochromatic beam 有 radiant flux \(2.00\,\mathrm{mW}\)，并均匀分布在 \(0.100\,\mathrm{sr}\) 内。求 luminous flux 与 luminous intensity。

研究对象： 标准 photopic observer 对该单色 beam 的光度量。
参考系/系统： steady beam；只计给定角锥。
模型： 使用 SI defining luminous efficacy \(K_m=683\,\mathrm{lm\,W^{-1}}\)；方向内均匀。
方程与计算：

\[\Phi_v=K_m\Phi_e =(683)(2.00\times10^{-3}) =1.37\ \mathrm{lm}.\]

\[I_v=\frac{\Phi_v}{\Omega} =\frac{1.366}{0.100} =13.7\ \mathrm{cd}.\]

检查： \(\mathrm{lm/sr}=\mathrm{cd}\)；若频率移离视觉峰而 radiant watts 不变，\(V(\lambda)<1\) 使 lumens 减少；三位有效数字。

Worked Example 4 — Étendue 限制下的面积压缩

空气中一个均匀 source 面积 \(A_1=1.00\,\mathrm{cm^2}\)，被系统以 \(\mathrm{NA}_1=0.200\) 全部接收。若无损系统把它成像到 \(A_2=0.250\,\mathrm{cm^2}\)，求至少需要的 output NA。

研究对象： 轴对称 incoherent ray bundle。
参考系/系统： 输入与输出都在空气；passive lossless optics。
模型： small-area cone，\(G=A\pi\mathrm{NA}^2\)，忽略 vignetting。
方程与计算：

\[G_1=A_1\pi\mathrm{NA}_1^2 =(1.00\times10^{-4})\pi(0.200)^2 =1.26\times10^{-5}\ \mathrm{m^2\,sr}.\]

由 \(G_2=G_1\)，

\[\mathrm{NA}_2=\mathrm{NA}_1\sqrt{\frac{A_1}{A_2}} =(0.200)\sqrt{\frac{1.00}{0.250}} =0.400.\]

检查： 面积压为四分之一时 angular-width measure 必须增四倍，故 NA 加倍；NA 无量纲且小于空气中的上限 1；若系统只允许 \(\mathrm{NA}_2=0.200\)，就不能无损接收全部 bundle。

Lesson synthesis / 本课综合

从 \(Q_e\) 到 \(\Phi_e\) 是时间率；从 \(\Phi_e\) 到 \(E_e\)、\(I_e\)、\(L_e\) 是对 area、solid angle 或二者取密度。inverse-square law 源自同一方向功率扩散到 \(r^2\) 增长的面积；photometry 则在相同几何量上加 CIE \(V(\lambda)\) 光谱权重。把 ray bundle 视为面积—方向 phase space 后，étendue conservation 说明被动系统可以交换 spot area 与 angular spread，却不能在保留全部功率的同时压缩二者；这就是 brightness conservation 的几何核心。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Point-source inverse-square law fails in the near field, for resolved extended sources, guided beams, focused systems or absorbing/scattering media.
• Radiance invariance requires lossless propagation along a ray; absorption and vignetting reduce it.
• Lambertian is an angular model, not a claim that every matte surface is perfectly diffuse.
• Photopic \(V(\lambda)\) represents a standardized visual response; it does not predict scotopic vision, color appearance or photochemical hazard by itself.
• Étendue conservation is a geometrical/incoherent statement; diffraction-limited coherent beams are better described by optical modes and uncertainty-like phase-space limits.
• Real detectors integrate over finite area, angle, wavelength and time and have calibration uncertainty.

Misconception clinic / 误区诊所

1. “Intensity 就是 \(\mathrm{W\,m^{-2}}\)。” 在辐射度学标准命名中 \(I_e\) 是 radiant intensity，单位 \(\mathrm{W\,sr^{-1}}\)；\(\mathrm{W\,m^{-2}}\) 是 irradiance \(E_e\)。
2. “所有光量都按 \(1/r^2\) 降低。” point-source irradiance 如此，resolved source 的 radiance 在理想自由空间中不变。
3. “一瓦绿光与一瓦红光同样亮。” radiant power 相同，photopic luminous flux 因 \(V(\lambda)\) 不同而不同。
4. “lens 能把任意大光源全部压到任意小 spot。” étendue 要求面积压缩以角扩展或功率损失为代价。
5. “steradian 有长度量纲。” solid angle 量纲为 1；\(\mathrm{sr}\) 是为清楚表达几何密度而保留的单位名。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01 单位： 哪个量的单位是 \(\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}}\)？

2. K01 区分： radiant intensity 与 irradiance 分别回答什么问题？

3. K02 计算： \(12.0\,\mathrm W\) isotropic point source 在 \(r=2.00\,\mathrm m\) 的法向 irradiance 是多少？

4. K02 投影： 在相同 \(r\)，detector normal 与 ray 成 \(60.0^\circ\)，相对正对 source 的接收功率比例是多少？

5. K02 立体角： 半角 \(30.0^\circ\) 的 cone solid angle 是多少？

6. K03 计算： \(540\times10^{12}\,\mathrm{Hz}\) 的 \(1.00\,\mathrm{mW}\) 单色辐射对应多少 luminous flux？

7. K03 概念： 为什么只给总 radiant power 通常不能求白光灯的 lumens？

8. K04 判断： lossless lens 把 image area 减半而接收全部 bundle，output angular measure 至少怎样变化？

9. K04 计算： 输入输出均在空气，\(A_2=A_1/9\)。若保留全部 rays，\(\mathrm{NA}_2/\mathrm{NA}_1\) 是多少？

10. 综合： 远离一面均匀发光、仍被相机分辨的墙时，为什么每个像素可近似保持亮度而相机总收光仍下降？

Exit ticket / 离堂检核

1. 从 \(d^2\Phi_e=L_e\cos\theta\,dA\,d\Omega\) 出发，说明 irradiance、radiant intensity 与 flux 分别通过什么积分得到。
2. 给一个“把大面积 LED 无损压到小光纤芯”的提案，用 \(G=A\pi\mathrm{NA}^2\) 判断还缺哪个条件，并说明 brightness conservation 的结论。

References and source notes / 参考资料与来源说明

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资料和链接实际核对日期：2026-08-28。所有数值题独立复算；TikZ 图为原创，未按比例者均明确标注。

复习与拓展

• Reflection and Refraction：界面改变 ray direction，并以 Fresnel factors 改变 radiance。
• The Eye and Cameras：aperture、exposure、sensor irradiance 与视觉响应。
• Optical Instruments：aperture、light gathering 与 étendue matching。
• Imaging Quality：PSF 将 radiance 分配到 image plane。
• Nonimaging optics：concentration limit、compound parabolic concentrator 与 illumination design。