Learning objectives / 学习目标
- 从无源 Maxwell curl equations 推导 \(\mathbf E\)、\(\mathbf B\) 的三维波动方程。
- 由 \(\epsilon_0,\mu_0\) 识别传播速度 \(c\)，并完成量纲和数量级检查。
- 证明真空平面波满足 \(\mathbf E\perp\mathbf B\perp\mathbf k\)、\(E=cB\)。
- 写出线偏振、圆偏振和椭圆偏振的 plane-wave solutions，判断传播方向与 handedness convention。
- 用 \(c=f\lambda\) 连接电磁波谱，区分“频段名称”和基本场方程。
Prerequisites / 先修知识
- Maxwell's Completion of Electromagnetism。
- The Wave Equation：\(\nabla^2\psi=v^{-2}\partial_t^2\psi\)。
- Superposition and Interference。
- 叉积、旋度恒等式 \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf A)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)-\nabla^2\mathbf A\)。
Scope and conventions / 范围与约定
- 先研究真空、无源区：\(\rho=0\)、\(\mathbf J=0\)。
- 采用 \(\cos(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t+\phi)\)；因此 \(\mathbf k\) 指向相位传播方向。
- 对沿 \(+z\) 传播的例子，默认 \(\mathbf E\) 横向分量沿 \(x,y\)，\(\mathbf B=(1/\omega)\mathbf k\times\mathbf E\)。
- “plane wave” 表示等相位面为平面、振幅横向均匀，是局部/远场理想化；有限束流不可能处处严格平面。
- 本课把 spectrum 作为经典波频率分类；光子能量 \(E_\gamma=hf\) 只作接口，不据此替代经典场描述。
Notation and modeling contract / 符号与建模契约
| Symbol | Meaning | SI unit |
|---|---|---|
| \(\mathbf k\) | wave vector, \(k=2\pi/\lambda\) | \(\mathrm{rad\,m^{-1}}\) |
| \(\omega\) | angular frequency, \(2\pi f\) | \(\mathrm{rad\,s^{-1}}\) |
| \(c=(\mu_0\epsilon_0)^{-1/2}\) | vacuum wave speed | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(\mathbf E_0,\mathbf B_0\) | signed vector amplitudes | \(\mathrm{V\,m^{-1}}\), T |
| \(\phi\) | phase constant | rad |
| \(\hat{\mathbf n}=\mathbf k/k\) | propagation unit vector | 1 |
| \(\lambda,f,T\) | wavelength, frequency, period | m, Hz, s |
Knowledge 1 — Wave equations for electric and magnetic fields / 电场与磁场波动方程
Knowledge ID: P04-U10-L02-K01
无源真空 Maxwell equations 为
\[\nabla\cdot\mathbf E=0,\quad \nabla\cdot\mathbf B=0,\]
\[\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\quad \nabla\times\mathbf B=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.\]
对 Faraday law 再取旋度，并交换空间、时间微分：
\[\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) =-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf B) =-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.\]
左侧用向量恒等式和 \(\nabla\cdot\mathbf E=0\) 化为 \(-\nabla^2\mathbf E\)，故
\[\boxed{\nabla^2\mathbf E=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}}, \qquad \boxed{\nabla^2\mathbf B=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf B}{\partial t^2}}.\]
一维选择 \(\mathbf E=E_x(z,t)\hat{\mathbf x}\)、\(\mathbf B=B_y(z,t)\hat{\mathbf y}\) 可直观看到两式互锁，但三维推导说明结果并非某个坐标巧合。
Knowledge 2 — Speed of light from electromagnetic constants / 由电磁常数得到光速
Knowledge ID: P04-U10-L02-K02
与标准波动方程比较，
\[v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}\equiv c.\]
数值为约 \(2.998\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)。关键不是“把光速代入电磁学”，而是 Maxwell theory 用静电和磁学常量预言出与已测光速一致的传播速度，从而识别光是电磁波。
量纲检查可从 \(\mu_0\epsilon_0\) 得 \(\mathrm{s^2m^{-2}}\)。在介质中相速一般不是 \(c\)，而为 \(1/\sqrt{\mu\epsilon}\) 的无色散近似；这将在 Unit 4.11 处理。
Knowledge 3 — Transverse fields and field ratios / 横向场与场强比
Knowledge ID: P04-U10-L02-K03
令单色平面波的空间因子为 \(e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\)。散度方程给出
\[\mathbf k\cdot\mathbf E_0=0, \qquad \mathbf k\cdot\mathbf B_0=0.\]
Faraday law 给出
\[\mathbf k\times\mathbf E_0=\omega\mathbf B_0.\]
因此
\[\mathbf B_0=\frac{1}{c}\hat{\mathbf n}\times\mathbf E_0, \qquad E_0=cB_0.\]
\(\mathbf E,\mathbf B,\hat{\mathbf n}\) 组成右手三元组；\(\mathbf E\times\mathbf B\) 指向能量传播方向。
“横波”不是说电磁场沿一条弦摆动，而是场向量没有沿传播方向的分量。有限近场、波导模或带源区域可出现纵向分量，不能把真空平面波结论无条件推广。
Knowledge 4 — Plane-wave solutions and polarization / 平面波解与偏振
Knowledge ID: P04-U10-L02-K04
沿 \(+z\) 传播的一般单色横向电场可写
\[\mathbf E(z,t)=E_{0x}\cos(kz-\omega t)\hat{\mathbf x} +E_{0y}\cos(kz-\omega t+\delta)\hat{\mathbf y}.\]
- 一分量为零或 \(\delta=0,\pi\)：端点走直线，linear polarization。
- \(E_{0x}=E_{0y}\) 且 \(\delta=\pm\pi/2\)：端点走圆，circular polarization。
- 一般情况：端点走椭圆，elliptical polarization。
handedness 必须声明观察方向；“从接收者看”与“沿传播方向看”会互换左右。本文只用 \(\delta\)，不凭口头左右旋判断。
线性叠加允许把任意偏振分解为两正交线偏振，也可分解为两圆偏振。偏振是横向矢量轨迹的性质，不是频率类别。
Knowledge 5 — Electromagnetic spectrum / 电磁波谱
Knowledge ID: P04-U10-L02-K05
所有频段在真空中满足相同 Maxwell equations 和
\[c=f\lambda.\]
通常按频率递增排列：radio → microwave → infrared → visible → ultraviolet → X-ray → gamma ray。分界是历史与应用约定，存在重叠；尤其 X-ray 与 gamma ray 常按产生机制而非只按频率命名。
经典上，不同频段主要差在 \(f,\lambda\) 及其与物质特征时间/长度的耦合；量子上单光子能量 \(hf\) 随频率升高。不能仅凭“波长短”判断实际风险；还需强度、剂量、吸收机制与暴露时间。
Worked Examples / 完整例题
Worked Example 1 — Verify a proposed plane wave
给定 \(\mathbf E=E_0\cos(kz-\omega t)\hat{\mathbf x}\)。求相伴 \(\mathbf B\) 和 dispersion relation。
参考系与模型： 无源真空，传播沿 \(+z\)；采用 \(\cos(kz-\omega t)\)。
由 \(\mathbf B=(1/\omega)\mathbf k\times\mathbf E\)，
\[\mathbf B=\frac{kE_0}{\omega}\cos(kz-\omega t)\hat{\mathbf y}.\]
波动方程要求 \(k^2=\mu_0\epsilon_0\omega^2\)，故 \(\omega=ck\)，
\[\boxed{\mathbf B=\frac{E_0}{c}\cos(kz-\omega t)\hat{\mathbf y}}.\]
检查： \(\hat x\times\hat y=\hat z\)，能流向 \(+z\)；\(E/B=c\)，单位正确。
Worked Example 2 — Radio wavelength and transit time
频率 \(f=100.0\,\mathrm{MHz}\) 的广播波在真空中传播 \(30.0\,\mathrm{km}\)。求波长与传播时间。
系统与模型： 真空平面波；距离沿传播方向。
\[\lambda=\frac{c}{f}=\frac{2.998\times10^8}{1.000\times10^8}=2.998\,\mathrm m,\]
\[\Delta t=\frac{L}{c}=\frac{3.00\times10^4}{2.998\times10^8}=1.00\times10^{-4}\,\mathrm s.\]
检查： 100 MHz 应对应米量级；30 km 约为光在 \(100\,\mu\mathrm s\) 走过的距离。均保留四/三位有效数字。
Worked Example 3 — Field ratio and direction
某真空波瞬时 \(\mathbf E=(0,120,0)\,\mathrm{V\,m^{-1}}\)，传播方向为 \(+x\)。求 \(\mathbf B\)。
\[\mathbf B=\frac{1}{c}\hat{\mathbf x}\times(120\hat{\mathbf y}) =4.00\times10^{-7}\hat{\mathbf z}\,\mathrm T.\]
研究对象与坐标： 场本身；右手 Cartesian frame。
检查： \(\mathbf E\times\mathbf B=\hat y\times\hat z=\hat x\)；方向和量纲正确。
Worked Example 4 — Diagnose polarization
沿 \(+z\) 传播的波有
\[E_x=3.00\cos\psi\,\mathrm{V\,m^{-1}}, \qquad E_y=1.50\cos(\psi+\pi/2)\,\mathrm{V\,m^{-1}},\]
其中 \(\psi=kz-\omega t\)。判断偏振轨迹并给半轴。
由于 \(\cos(\psi+\pi/2)=-\sin\psi\)，消去 \(\psi\)：
\[\left(\frac{E_x}{3.00}\right)^2+\left(\frac{E_y}{1.50}\right)^2=1.\]
故为轴与 \(x,y\) 对齐的 elliptical polarization，半轴 \(3.00\) 与 \(1.50\,\mathrm{V\,m^{-1}}\)。不是圆偏振，因为振幅不等。旋转意义若需命名，必须再声明观察方向。
Lesson synthesis / 本课综合
建模链条是：无源 Maxwell equations → curl 再取 curl → wave equations → \(c=(\mu_0\epsilon_0)^{-1/2}\) → divergence 给横向性 → curl 给 \(E/B\) 与三元组 → 两横向分量的相位差给偏振 → \(f\lambda=c\) 组织全波谱。
Formula-and-decision table / 公式与决策表
| Need | Equation | Conditions | Caution |
|---|---|---|---|
| vacuum field propagation | \(\nabla^2\mathbf E=c^{-2}\partial_t^2\mathbf E\) | source-free vacuum | near sources adds inhomogeneous terms |
| speed | \(c=(\mu_0\epsilon_0)^{-1/2}\) | vacuum | media can disperse |
| triad | \(\mathbf B=c^{-1}\hat{\mathbf n}\times\mathbf E\) | traveling vacuum plane wave | not general static/near field |
| phase | \(\psi=\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t\) | stated convention | sign determines propagation direction |
| spectrum conversion | \(c=f\lambda\) | vacuum wavelength | material wavelength uses phase speed |
| polarization | \((E_x,E_y,\delta)\) | monochromatic transverse field | handedness needs viewing convention |
Model boundaries / 模型边界
- 无限平面单色波具有无限横向范围和无限总能量，是局部近似。
- 近场中 \(E/B\) 不必等于 \(c\)，且 \(\mathbf E\times\mathbf B\) 不一定简单径向。
- 有限波束受 diffraction 约束，可有小纵向场分量。
- “真空无色散”是经典 Maxwell theory；量子真空强场修正不在本课范围。
- 波谱分段没有精确自然边界，应用与产生机制可比数值频率更重要。
Misconception clinic / 误区诊所
- “电磁波需要以太或空气传播。” 真空 Maxwell equations 已容许传播；空气只是稍微改变相速和吸收。
- “\(E=cB\) 对任意电磁场成立。” 只对真空行波平面波成立；静电场、近场、驻波节点都可不满足。
- “\(\mathbf E\) 和 \(\mathbf B\) 相差 \(90^\circ\) 相位。” 真空单向平面波二者同相；空间方向才互相垂直。
- “圆偏振是场矢量沿螺旋路径前进。” 固定空间点的 \(\mathbf E\) 端点画圆；螺旋只是把不同 \(z\) 的相位同时画出的示意。
- “gamma ray 一定比 X-ray 频率高。” 两频段重叠，命名也常依据核过程或电子过程的来源。
Practice and retrieval / 练习与提取
- K01 推导： 写出推导 \(\mathbf B\) 波动方程时应从哪条 curl equation 开始。
Answer
从 Ampère–Maxwell law 取旋度，再代入 Faraday law；用 \(\nabla\cdot\mathbf B=0\) 得 \(\nabla^2\mathbf B=\mu_0\epsilon_0\partial_t^2\mathbf B\)。
- K01 判断： 有源区域能否直接使用齐次波动方程？
Answer
一般不能；\(\rho,\mathbf J\) 产生非齐次源项。只有观察区域确实无源时才用齐次式。
- K02 计算： 用 \(\mu_0\epsilon_0=1.1127\times10^{-17}\,\mathrm{s^2m^{-2}}\) 求 \(c\)。
Answer
\[c=(\mu_0\epsilon_0)^{-1/2}=2.998\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}.\]
- K03 方向： \(\mathbf E\parallel+z\)、\(\mathbf B\parallel+x\)，传播方向是什么？
Answer
\(\mathbf E\times\mathbf B=\hat z\times\hat x=+\hat y\)，故沿 \(+y\)。
- K03 定量： \(B_0=2.50\,\mu\mathrm T\)，求 \(E_0\)。
Answer
\[E_0=cB_0=(2.998\times10^8)(2.50\times10^{-6})=7.50\times10^2\,\mathrm{V\,m^{-1}}.\]
- K04 判断： \(E_x=E_0\cos\psi\)、\(E_y=E_0\cos\psi\) 是什么偏振？
Answer
两分量同相且相等，\(E_y=E_x\)，为沿 \(y=x\) 的线偏振。
- K04 判断： \(E_x=E_0\cos\psi\)、\(E_y=E_0\sin\psi\) 的端点轨迹是什么？
Answer
\(E_x^2+E_y^2=E_0^2\)，是圆；左右旋名称仍需观察方向约定。
- K05 计算： \(\lambda=500\,\mathrm{nm}\) 的光频率是多少？
Answer
\[f=\frac{c}{\lambda}=\frac{2.998\times10^8}{5.00\times10^{-7}}=6.00\times10^{14}\,\mathrm{Hz}.\]
- K05 概念： 波从真空进入透明介质时，频率与波长通常如何变？
Answer
界面时间连续性使频率保持；相速降低时 \(\lambda=v/f\) 变短。
- 综合： 为什么单凭波动方程不足以确定 \(\mathbf E\) 与 \(\mathbf B\) 的相对方向？
Answer
波动方程分别允许许多分量解；还必须使用原始 Maxwell divergence/curl constraints 才得到横向性、幅值比与右手关系。
Exit ticket / 离堂检核
- 从四条无源 Maxwell equations 出发，说明哪一步分别给出“能传播”“传播速度”“横向性”“\(E/B\)”。
- 给定两横向分量的振幅与相位差，画端点轨迹并明确 handedness 所需观察约定。
References and source notes / 参考资料与来源说明
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| OpenStax University Physics Vol. 2, §16.2 Plane Electromagnetic Waves | wave equation, speed, transverse fields, \(E/B\) | K01–K04 | one-direction vacuum plane wave |
| OpenStax University Physics Vol. 2, §16.5 The Electromagnetic Spectrum | spectrum ranges, production and applications | K05 | range boundaries are approximate |
| MIT OCW 8.02, Chapter 13 | independent plane-wave derivation and problem conventions | K01–K05 | calculus-based SI treatment |
| MIT OCW 2.71, Lecture 13: 3D waves and introduction to electromagnetics | 3D waves, dispersion relation and wave equation | K01–K04 | ideal monochromatic components |
| NASA Science, The Electromagnetic Spectrum | official spectrum ordering and observational context | K05 | bands grouped by radiation type |
资料和链接实际核对日期：2026-08-28。图示依据本课方程原创绘制；数值独立复算。
复习与拓展
- Energy and Momentum：\(\mathbf E\times\mathbf B\) 定量成为能流。
- Radiation from Accelerated Charges：真实源如何形成远区平面波近似。
- Waves in Media and Waveguides：色散、衰减、反射和受限模式。
- Part V Optics：偏振、干涉、衍射与光学成像。