自由粒子、势阶与势垒

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

由自由粒子色散关系区分 phase velocity 与 group velocity，并解释可归一化波包为何会展宽。
从概率流 $$j$$ 定义 $$R$$ 与 $$T$$ ，推导势阶在 $$E>V_0$$ 与 $$E<V_0$$ 两种能区的结果。
用边界连续条件建立有限矩形势垒的精确透射率，并判断厚势垒近似何时有效。
解释 $qa=n\pi$ 的 transmission resonance，区分驻波增强与真正束缚态。
用无量纲参数 $\kappa a$ 与作用量相位判断 STM、核衰变等隧穿模型的敏感性和经典极限。

Prerequisites / 先修知识

Schrödinger Equation：定态方程、概率流守恒与边界连续条件。
Wave Functions and Probability： $\lvert\psi\rvert^2$ 、归一化与 expectation value。
复指数 $e^{ikx}$ 、双曲函数、复数模方和一阶导数。
本课不重复 Born rule 的基础论证，而把它用于一维 scattering state。

Scope and conventions / 范围与约定

研究单个无自旋、非相对论粒子，质量 $$m$$ ，沿 $$x$$ 轴运动；势能 $$V(x)$$ 为实函数且分段常数。
采用 SI；数值例中电子伏特只作为能量输入，最终同时标注 eV 或换算为 J。
所有定态散射均为从左入射。 $$+x$$ 为入射与透射正方向，反射流为负。
定态时间因子统一为 $e^{-iEt/\hbar}$ ；空间平面波 $e^{+ikx}$ 向 $$+x$$ 传播， $e^{-ikx}$ 向 $$-x$$ 传播。
$$R$$ 与 $$T$$ 按概率流比定义，不按振幅平方机械定义。仅当入射区和透射区波数相同，才有 $T=\lvert F/A\rvert^2$ 。
势阶取 $$V=0$$ （ $$x<0$$ ）、 $$V=V_0$$ （ $$x>0$$ ）；有限势垒取 $$V=V_0$$ （ $$0<x<a$$ ），两侧 $$V=0$$ 。
不讨论吸收势、复势、相对论 Klein tunneling、多通道散射或三维 partial waves。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Symbol	Meaning	SI unit
$$E,V_0$$	total energy and barrier height	J
$$k,q$$	propagating-region wavenumber	$\mathrm{m^{-1}}$
$\kappa$	evanescent decay constant	$\mathrm{m^{-1}}$
$$A,B,F$$	incident, reflected, transmitted amplitudes	depends on normalization
$$j$$	probability current density in one dimension	$\mathrm{s^{-1}}$
$$R,T$$	reflected and transmitted current fractions	1
$$a$$	barrier width	m
$$v_g,v_p$$	group and phase velocities	$\mathrm{m\,s^{-1}}$
$\sigma_x,\sigma_k$	position and wavenumber widths	m, $\mathrm{m^{-1}}$

Knowledge 1 — Free-particle plane waves and wave packets / 自由粒子平面波与波包

Knowledge ID: P07-U03-L01-K01

自由区 $$V=0$$ 的定态方程给出

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\phi}{dx^2}=E\phi, \qquad E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}.$

单一动量本征态

$\psi_k(x,t)=A e^{i(kx-\omega t)}, \qquad \omega=\frac{\hbar k^2}{2m}$

在全空间不可平方可积，因此是 generalized eigenstate，而不是可归一化单粒子态。实际局域粒子由波数叠加形成 wave packet：

$\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\widetilde\psi(k) e^{i[kx-\omega(k)t]}\,dk.$

Free Particles, Steps, and Barriers — Knowledge 1 — Free-particle plane waves and wave packets / 自由粒子平面波与波包（图 1） — 图 1Knowledge 1 — Free-particle plane waves and wave packets / 自由粒子平面波与波包

对非相对论自由粒子，

$v_p=\frac{\omega}{k}=\frac{\hbar k}{2m}, \qquad v_g=\frac{d\omega}{dk}=\frac{\hbar k}{m}.$

$$v_g$$ 等于经典速度 $$p/m$$ ，而 $$v_p=v_g/2$$ 。由于 $d^2\omega/dk^2=\hbar/m\ne0$ ，不同 $$k$$ 分量具有不同群速度，初始 Gaussian packet 会展宽。若初始 rms 宽度为 $\sigma_{x0}$ ，最小不确定 Gaussian 的宽度满足

$\sigma_x(t)=\sigma_{x0} \sqrt{1+\left(\frac{\hbar t}{2m\sigma_{x0}^2}\right)^2}.$

Free Particles, Steps, and Barriers — Knowledge 1 — Free-particle plane waves and wave packets / 自由粒子平面波与波包（图 2） — 图 2Knowledge 1 — Free-particle plane waves and wave packets / 自由粒子平面波与波包

Knowledge 2 — Potential step reflection and transmission / 势阶反射与透射

Knowledge ID: P07-U03-L01-K02

2.1 概率流先于振幅比

一维概率流为

$j=\frac{\hbar}{2mi} \left(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x} -\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\right).$

对 $C e^{ikx}$ ，有 $j=(\hbar k/m)\lvert C\rvert^2$ ；对 $C e^{-ikx}$ ，符号相反。因而从左入射时

$R=\frac{\lvert j_{\rm ref}\rvert}{j_{\rm in}}, \qquad T=\frac{j_{\rm tr}}{j_{\rm in}}.$

Free Particles, Steps, and Barriers — 2.1 概率流先于振幅比（图 3） — 图 32.1 概率流先于振幅比

2.2 $$E>V_0$$ ：两侧都有传播波

写

$\phi_I=Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}, \qquad \phi_{II}=Fe^{ik_2x},$

其中

$k_1=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, \qquad k_2=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}.$

有限势阶没有从 $+\infty$ 入射的波，所以区域 II 不含 $e^{-ik_2x}$ 。 $\phi$ 与 $d\phi/dx$ 在 $$x=0$$ 连续，给出

$r\equiv\frac BA=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}, \qquad t\equiv\frac FA=\frac{2k_1}{k_1+k_2}.$

流系数为

$R=\left(\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\right)^2, \qquad T=\frac{k_2}{k_1}\lvert t\rvert^2 =\frac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^2}, \qquad R+T=1.$

Free Particles, Steps, and Barriers — 2.2 $E>V_0$：两侧都有传播波（图 4） — 图 42.2 $E>V_0$：两侧都有传播波

尽管 $\lvert t\rvert$ 可大于 1， $$T$$ 仍不超过 1，因为区域 II 的速度因子 $$k_2/k_1$$ 同时改变。量子反射并不要求经典 turning point；波阻抗改变本身就能产生反射。

2.3 $$E<V_0$$ ：半无限区中的倏逝尾

此时 $k_2=i\kappa$ ，

$\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}, \qquad \phi_{II}=F e^{-\kappa x}.$

发散项 $e^{+\kappa x}$ 被物理边界条件排除。纯实指数的定态流为零，所以半无限势阶有 $$T=0$$ 、 $$R=1$$ ，但区域 II 仍有非零概率密度，penetration depth 的振幅尺度为 $\delta=1/\kappa$ 。

Free Particles, Steps, and Barriers — 2.3 $E<V_0$：半无限区中的倏逝尾（图 5） — 图 52.3 $E<V_0$：半无限区中的倏逝尾

Knowledge 3 — Finite barrier and quantum tunneling / 有限势垒与量子隧穿

Knowledge ID: P07-U03-L01-K03

取 $$V=V_0$$ 于 $$0<x<a$$ ，两侧 $$V=0$$ 。当 $$0<E<V_0$$ 时，三段解为

$\phi_I=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, \quad \phi_{II}=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x}, \quad \phi_{III}=Fe^{ikx},$

其中 $k=\sqrt{2mE}/\hbar$ 、 $\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$ 。在 $$x=0,a$$ 同时匹配 $\phi$ 和 $\phi'$ ，得到精确结果

$T=\left[ 1+\frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)} \right]^{-1}.$

该式的条件是：一维、矩形实势垒、两侧势能相同、入射能 $$0<E<V_0$$ 。不能直接用于圆滑势垒、非对称两侧或吸收介质。

Free Particles, Steps, and Barriers — Knowledge 3 — Finite barrier and quantum tunneling / 有限势垒与量子隧穿（图 6） — 图 6Knowledge 3 — Finite barrier and quantum tunneling / 有限势垒与量子隧穿

当 $\kappa a\gg1$ ， $\sinh^2(\kappa a)\simeq e^{2\kappa a}/4$ ，故

$T\simeq \frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}e^{-2\kappa a}.$

指数近似不仅要求 $$E<V_0$$ ，还要求 $\kappa a\gg1$ 。它说明质量、势能差和宽度进入指数；前因子则不能在需要高精度时丢弃。

Free Particles, Steps, and Barriers — Knowledge 3 — Finite barrier and quantum tunneling / 有限势垒与量子隧穿（图 7） — 图 7Knowledge 3 — Finite barrier and quantum tunneling / 有限势垒与量子隧穿

Knowledge 4 — Transmission resonance / 透射共振

Knowledge ID: P07-U03-L01-K04

若 $$E>V_0$$ ，势垒内部也是传播波，令

$q=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}.$

在相同的矩形势垒约定下，

$T=\left[ 1+\frac{V_0^2\sin^2(qa)}{4E(E-V_0)} \right]^{-1}.$

当

$qa=n\pi, \qquad n=1,2,3,\ldots,$

内部往返相位使反射振幅相消， $$T=1$$ 。这是 transmission resonance：散射态在两侧仍振荡、能量属于连续谱，并非归一化束缚态。

Free Particles, Steps, and Barriers — Knowledge 4 — Transmission resonance / 透射共振（图 8） — 图 8Knowledge 4 — Transmission resonance / 透射共振

Free Particles, Steps, and Barriers — Knowledge 4 — Transmission resonance / 透射共振（图 9） — 图 9Knowledge 4 — Transmission resonance / 透射共振

在 $$E=V_0$$ 时不能把 $$q=0$$ 直接代入含 $\sin(qa)/q$ 的中间表达式；应取极限，得到

$T(E=V_0)= \left(1+\frac{mV_0a^2}{2\hbar^2}\right)^{-1}.$

这也验证透射率在阈值处连续。

Knowledge 5 — Tunneling applications and classical limit / 隧穿应用与经典极限

Knowledge ID: P07-U03-L01-K05

在缓慢变化的一维禁阻区 $$x_1<x<x_2$$ ，WKB 指数尺度为

$T\sim\exp\left[-2\int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{2m[V(x)-E]}}{\hbar}\,dx\right].$

指数中的无量纲量是禁阻区作用量除以 $\hbar$ 。 $$m$$ 、宽度或势能差增加时，隧穿快速受抑； $\hbar\to0$ 或该作用量远大于 $\hbar$ 时回到 classical limit。

典型应用包括：

scanning tunneling microscope（STM）：电流对针尖—样品间距近似指数敏感，因而可分辨原子级高度差；
alpha decay：预成形的 $\alpha$ 粒子穿过核外 Coulomb barrier，寿命对能量极敏感；
tunnel diode 与 Josephson junction：需加入固体能带或凝聚态相位，单粒子矩形势垒只提供第一层直觉；
stellar fusion：量子穿透 Coulomb barrier，但真实反应率还需 Maxwell distribution、Gamow factor 与核反应截面。

Free Particles, Steps, and Barriers — Knowledge 5 — Tunneling applications and classical limit / 隧穿应用与经典极限（图 10） — 图 10Knowledge 5 — Tunneling applications and classical limit / 隧穿应用与经典极限

Free Particles, Steps, and Barriers — Knowledge 5 — Tunneling applications and classical limit / 隧穿应用与经典极限（图 11） — 图 11Knowledge 5 — Tunneling applications and classical limit / 隧穿应用与经典极限

Worked examples / 完整例题

Example 1 — 高于势阶的流系数

已知： 电子从左入射， $E=9.00\,\mathrm{eV}$ ， $V_0=5.00\,\mathrm{eV}$ 。
研究对象与 frame： 势阶静止的实验室系，单电子定态散射； $$+x$$ 向右。
模型理由： 实、突变、半无限势阶，且 $$E>V_0$$ ，可用两传播波公式。
建立方程：

$\frac{k_2}{k_1}=\sqrt{\frac{E-V_0}{E}} =\sqrt{\frac49}=\frac23.$

于是

$R=\left(\frac{1-2/3}{1+2/3}\right)^2=0.0400, \qquad T=1-R=0.960.$

振幅比 $$t=2/(1+2/3)=1.20$$ 。
单位与有效数字： $$R,T,t$$ 无量纲，结果取三位有效数字。
方向与守恒检查： $j_{\rm ref}<0$ ，但 $$R$$ 取其绝对流； $$R+T=1.000$$ 。
物理解释： $$t>1$$ 不违背概率守恒，因为透射区速度较小， $T=(k_2/k_1)\lvert t\rvert^2$ 。

Example 2 — 半无限势阶的穿透尺度

已知： 电子 $E=2.00\,\mathrm{eV}$ 遇到 $V_0=5.00\,\mathrm{eV}$ 。
对象与约定： 势阶静止系， $$x>0$$ 为禁阻区；求振幅衰减到 $e^{-1}$ 的距离。
模型： $$E<V_0$$ 的半无限实势阶，忽略相对论和材料有效质量。
计算： 取 $m_e=9.109\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$ 、 $1\,\mathrm{eV}=1.602\times10^{-19}\,\mathrm{J}$ ，

$\kappa=\frac{\sqrt{2m_e(3.00\,\mathrm{eV})}}{\hbar} =8.87\times10^9\,\mathrm{m^{-1}},$

$\delta=\kappa^{-1}=1.13\times10^{-10}\,\mathrm{m}=0.113\,\mathrm{nm}.$

检查： $\kappa$ 量纲为 $\mathrm{m^{-1}}$ ；密度按 $e^{-2\kappa x}$ 衰减，所以密度的 $e^{-1}$ 长度是 $1/(2\kappa)$ ，不可与振幅长度混淆。
解释： 区域 II 有非零密度，但 $j_{\rm tr}=0$ 、 $$R=1$$ 。

Example 3 — 有限势垒的精确透射率

已知： 电子 $E=1.00\,\mathrm{eV}$ ，矩形势垒 $V_0=3.00\,\mathrm{eV}$ ， $a=0.400\,\mathrm{nm}$ ，两侧 $$V=0$$ 。
系统与坐标： 势垒静止实验室系；从左入射。
模型理由： $$0<E<V_0$$ 且势垒分段常数，可用精确 $\sinh$ 公式。
计算：

$\kappa=\frac{\sqrt{2m_e(2.00\,\mathrm{eV})}}{\hbar} =7.25\,\mathrm{nm^{-1}}, \qquad \kappa a=2.90.$

$T=\left[1+\frac{(3.00)^2}{4(1.00)(2.00)} \sinh^2(2.90)\right]^{-1} =1.08\times10^{-2}.$

有效数字与单位： $T=1.08\%$ ，无量纲，三位有效数字。
合理性检查： $$0<T<1$$ ； $\kappa a$ 接近 3，厚势垒近似会给对的数量级但不是精确值。
解释： 经典粒子完全不能越过该势垒，量子透射由有限宽度允许。

Example 4 — 第一透射共振能量

已知： 电子通过 $V_0=2.00\,\mathrm{eV}$ 、 $a=0.500\,\mathrm{nm}$ 的矩形势垒，求 $$n=1$$ 共振。
对象与 frame： 势垒静止实验室系；两侧势能均为零。
模型： $$E>V_0$$ ，内部波数 $$q$$ 实，resonance condition 为 $qa=n\pi$ 。
推导：

$E_n=V_0+\frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2m_ea^2}.$

用 $\hbar^2/(2m_e)=0.03810\,\mathrm{eV\,nm^2}$ ，

$E_1=2.00\,\mathrm{eV} +0.03810\frac{\pi^2}{(0.500)^2}\,\mathrm{eV} =3.50\,\mathrm{eV}.$

检查： $$E_1>V_0$$ ，且 $qa=\pi$ ；代回透射式使 $\sin^2(qa)=0$ ，故 $$T=1$$ 。
解释： 完全透射来自反射振幅相消，不表示势垒消失，也不是内部形成可归一化束缚态。

Lesson synthesis / 全课综合

一维散射的可靠流程是：

先画 $$V(x)$$ 和能量 $$E$$ ，逐区判断 $$k$$ 为实还是 $i\kappa$ 。
写出每区允许的传播或指数解；用“无右侧来波”和“无无穷远发散”删去不物理解。
在每个有限势跳处匹配 $\phi$ 与 $\phi'$ 。
先解振幅，再用概率流把振幅比转为 $$R,T$$ 。
检查 $$R+T=1$$ 、 $0\le R,T\le1$ 、阈值连续性与 $a\to0$ 、 $a\to\infty$ 极限。
最后才判断是倏逝、普通透射、厚势垒隧穿还是相位共振。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Situation	Quantity	Use condition	Main caution
free packet	$v_g=d\omega/dk$	narrow spectrum around $$k_0$$	broad packets need full Fourier evolution
plane-wave current	$j=(\hbar k/m)\lvert C\rvert^2$	single propagating component	sign follows propagation direction
step, $$E>V_0$$	$$T=4k_1k_2/(k_1+k_2)^2$$	real step, left incidence	include $$k_2/k_1$$ flux factor
step, $$E<V_0$$	$\delta=1/\kappa$	semi-infinite forbidden region	density nonzero but net transmitted current zero
barrier, $$E<V_0$$	$T=[1+V_0^2\sinh^2(\kappa a)/(4E(V_0-E))]^{-1}$	equal outer potentials, rectangular barrier	not the formula for a smooth barrier
thick barrier	$T\propto e^{-2\kappa a}$	$\kappa a\gg1$	prefactor matters quantitatively
barrier, $$E>V_0$$	$T=[1+V_0^2\sin^2(qa)/(4E(E-V_0))]^{-1}$	same rectangular geometry	$qa=n\pi$ gives resonance

Model boundaries / 模型边界

Nonrelativistic: require kinetic and potential scales small compared with $$mc^2$$ ; pair creation and Klein paradox are excluded.
Single particle: solid-state electrons may require effective mass, band structure, Fermi occupation and many-body effects.
Real potential: for complex absorbing potentials, flux need not obey $$R+T=1$$ in the one-channel subsystem.
Sharp boundaries: a finite discontinuity keeps $\phi$ and $\phi'$ continuous for constant mass; delta potentials or position-dependent effective mass alter the matching rule.
Stationary scattering: a finite wave packet has arrival-time and transient effects; $$R,T$$ are asymptotic packet probabilities only after reflected and transmitted packets separate.
WKB: the integral exponent assumes a slowly varying potential away from turning points; the exact rectangular result is the correct benchmark for a discontinuous barrier.

Misconception clinic / 易错诊所

“ $T=\lvert t\rvert^2$ 永远成立。” 错。透射区速度不同则 $T=(k_2/k_1)\lvert t\rvert^2$ 。
“倏逝波没有任何概率。” 错。它有非零 $\lvert\psi\rvert^2$ ，只是单一衰减指数的定态净流为零。
“隧穿违反能量守恒。” 错。弹性散射前后能量相同；禁阻区是空间解的性质。
“ $$E>V_0$$ 就完全透射。” 错。势能突变可反射；仅共振相位或无势差等特殊条件给 $$T=1$$ 。
“共振态就是束缚态。” 错。这里两侧有传播波，能量属于连续谱；共振仅使反射振幅相消。
“指数律在任何势垒都精确。” 错。 $e^{-2\kappa a}$ 是厚矩形势垒或 WKB 的主导尺度，前因子和形状仍重要。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. 平面波概率流

对 $\psi=Ae^{i(kx-\omega t)}$ ，求 $$j$$ ；若改成 $e^{-ikx}$ 会怎样？

Answer 1

$j=(\hbar k/m)\lvert A\rvert^2$ 。改成 $e^{-ikx}$ 后 $$j$$ 变为 $-(\hbar k/m)\lvert A\rvert^2$ ，密度不变但流向反转。

2. 群速度与相速度

非相对论自由粒子 $$E=p^2/(2m)$$ ，证明 $$v_g=2v_p$$ 。

Answer 2

$\omega=\hbar k^2/(2m)$ ，所以 $v_p=\omega/k=\hbar k/(2m)$ ， $v_g=d\omega/dk=\hbar k/m=2v_p$ 。

3. 势阶流系数

粒子遇到 $$E=4V_0/3$$ 的上升势阶，求 $$R,T$$ 。

Answer 3

$k_2/k_1=\sqrt{(E-V_0)/E}=1/2$ ，故 $$R=[(1-1/2)/(1+1/2)]^2=1/9$$ ， $$T=8/9$$ ；二者和为 1。

4. 倏逝尾是否透射

为什么半无限势阶中 $F e^{-\kappa x}$ 非零却有 $$T=0$$ ？

Answer 4

因为纯衰减指数可取固定整体相位，代入 $j=(\hbar/2mi)(\psi^*\psi'-\psi\psi'^*)$ 得 $$j=0$$ 。非零的是局域密度，不是穿越到 $+\infty$ 的流。

5. 质量效应

相同 $$V_0-E$$ 下，质子的 penetration depth 与电子相比约为多少？

Answer 5

$\delta=\hbar/\sqrt{2m(V_0-E)}\propto m^{-1/2}$ ，所以 $\delta_p/\delta_e=\sqrt{m_e/m_p}\approx1/42.9$ 。重粒子倏逝更快。

6. 势垒阈值

说明 $E\to V_0$ 时不能把 $\kappa=0$ 直接解释成 $$T=1$$ ，并写出正确极限。

Answer 6

因为 $\sinh(\kappa a)/\kappa$ 同时出现，形成 $$0/0$$ 型极限；用 $\sinh(\kappa a)\sim\kappa a$ 得 $T=[1+mV_0a^2/(2\hbar^2)]^{-1}$ ，一般小于 1。

7. 宽度敏感性

厚势垒近似下把宽度从 $$a$$ 增加到 $a+0.10\,\mathrm{nm}$ ，若 $\kappa=8.0\,\mathrm{nm^{-1}}$ ， $$T$$ 乘以多少？

Answer 7

比值为 $e^{-2\kappa(0.10\,\mathrm{nm})}=e^{-1.6}=0.202$ 。宽度只增加 $0.10\,\mathrm{nm}$ ，透射约降到原来的 $20.2\%$ 。

8. 第二共振

沿用 Example 4 的电子势垒，求 $$n=2$$ 共振能量。

Answer 8

$E_n=V_0+1.504n^2\,\mathrm{eV}$ ，故 $E_2=2.00+6.016=8.02\,\mathrm{eV}$ 。代入有 $qa=2\pi$ 、 $$T=1$$ 。

9. 流守恒诊断

某计算给 $$R=0.35$$ 、 $$T=0.80$$ 。在本课实势、单通道模型内这意味着什么？

Answer 9

$R+T=1.15\ne1$ ，说明振幅匹配或速度因子有误；在实、定态、单通道势中概率流必须守恒。若是复吸收势才可能需要额外损失通道。

10. 经典极限判断

固定 $$V(x)-E$$ 与几何宽度，令 $$m$$ 增大 100 倍，WKB 指数怎样变？

Answer 10

禁阻区作用量 $S_B=\int\sqrt{2m(V-E)}dx$ 增大 10 倍， $T\sim e^{-2S_B/\hbar}$ 因而被指数抑制。这里不能说透射只缩小 10 倍。

Exit ticket / 退出检核

不看公式，解释为什么透射振幅大于 1 不等于透射概率大于 1。
对一个给定矩形势垒，列出区分“半无限倏逝”“有限势垒隧穿”“高能普通透射”“透射共振”所需的最少三个无量纲判断量。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下来源均于 2026-08-29 实际打开核验；正文为重新组织的推导，TikZ 均为依据方程原创绘制。

MIT OpenCourseWare, 8.04 Quantum Physics I, Lecture Notes 4: Free Particles.
MIT OpenCourseWare, 8.04 Quantum Physics I, Lecture Notes 6: Probability Current.
MIT OpenCourseWare, 8.04 Quantum Physics I, Lecture Notes 16: Scattering and Potential Steps.
MIT OpenCourseWare, 8.04 Quantum Physics I, Lecture Notes 17: Resonant Transmission.
OpenStax, University Physics Volume 3, 7.6 Quantum Tunneling through Potential Barriers.
David Tong, University of Cambridge, Quantum Mechanics, Section 2: One-Dimensional Potentials.

Source-to-content map / 来源—内容映射

Source	Used for	Knowledge ID / Section	Model boundary or convention
MIT 8.04 Notes 4	free plane waves, dispersion and packet velocity	K01	nonrelativistic $E=\hbar^2k^2/(2m)$
MIT 8.04 Notes 6	probability current and continuity	K02	real potential, one-dimensional current
MIT 8.04 Notes 16	step solutions, flux-defined $$R,T$$	K02–K03	left incidence and piecewise constant potential
MIT 8.04 Notes 17	finite barrier and transmission resonances	K03–K04	equal exterior potentials; stationary scattering
OpenStax 7.6	tunneling applications and exponential sensitivity	K03, K05	textbook single-particle applications
Tong Section 2	boundary matching and one-dimensional scattering structure	K02–K04	stationary Schrödinger equation

复习与拓展

下一课把“外侧指数衰减、内部振荡”的同一数学结构改成可归一化边界条件，从 scattering state 进入 bound state。
在 Time-Independent Approximation Methods 中，将用 WKB 系统推导圆滑势垒指数与 turning-point connection formula。
在多层介质、超晶格和量子器件中，可把本课匹配方程组织成 transfer matrix；其数值稳定性需要单独讨论。

Learning objectives / 学习目标

Prerequisites / 先修知识

Scope and conventions / 范围与约定

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Knowledge 1 — Free-particle plane waves and wave packets / 自由粒子平面波与波包