辐射过程

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 区分 absorption、spontaneous emission 与 stimulated emission 的初末态、对入射场的依赖和相干性。
2. 在明确频谱密度约定后写出 Einstein rate equations，并由 Planck distribution 推导 \(A\)、\(B\) 系数及简并度关系。
3. 从 electric-dipole interaction \(\hat H_{\mathrm{int}}=-\hat{\mathbf d}\cdot\mathbf E\) 解释 transition dipole、偏振选择与“能量允许但矩阵元为零”。
4. 从指数衰减推导 Lorentzian natural line，正确区分角频率 FWHM 与普通频率 FWHM。
5. 用 optical Bloch steady state 计算饱和布居、散射率和 power-broadened linewidth，并判断理想二能级模型何时失效。

Prerequisites / 先修知识

• Electronic and Molecular Spectroscopy：电子跃迁、荧光与光谱结构。
• Time-Dependent Processes：跃迁振幅、Fermi golden rule 与 selection rules。
• Energy and Momentum of Electromagnetic Fields：电磁能量密度与 photon momentum。
• 指数衰减、Fourier transform、复振幅和概率守恒。

Scope and conventions / 范围与约定

• 研究两个裸能级 \(\lvert1\rangle,\lvert2\rangle\)，\(E_2>E_1\)，\(\omega_0=(E_2-E_1)/\hbar\)，能级简并度分别为 \(g_1,g_2\)。
• Einstein \(B\) 系数统一乘每单位普通频率的各向同性谱能量密度 \(u_\nu(\nu)\)，单位 \(\mathrm{J\,m^{-3}\,Hz^{-1}}\)。若改用 \(u_\omega\)，系数关系会出现 \(2\pi\) 因子；本课不混用。
• \(\Gamma\) 表示 excited-state population decay rate，单位 \(\mathrm{s^{-1}}\)；若仅有一个 radiative channel，\(\Gamma=A_{21}=1/\tau\)。
• laser detuning 定义为 \(\Delta=\omega_L-\omega_0\)；Rabi frequency 定义为 \(\Omega=\mathbf d_{21}\cdot\mathbf E_0/\hbar\) 的大小，后课继续固定这一 convention。
• 电偶极公式默认自由空间、Markov approximation、weak system–vacuum coupling。碰撞、Doppler、inhomogeneous、cavity Purcell effect 与非辐射衰减另行标明。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Absorption, spontaneous emission, and stimulated emission / 吸收、自发与受激辐射

Knowledge ID: P08-U03-L01-K01

1.1 三种过程的状态账本

Absorption 消耗一个 resonant photon 并使物质从 \(\lvert1\rangle\) 到 \(\lvert2\rangle\)；stimulated emission 由已有场诱导 \(\lvert2\rangle\to\lvert1\rangle\)，向驱动模增加一个与之同频、同偏振、相位相关的 photon；spontaneous emission 即便入射模真空也会发生，并把 photon 发射到真空允许模的概率分布中。

\[\hbar\omega_0=E_2-E_1.\]

图 1 用同一能量账本比较三种过程。三者都须满足 energy conservation；但 spontaneous emission 的方向、偏振和起始相位呈概率分布，而 stimulated emission 对占据模有 Bose enhancement。

1.2 速率方程与净光子增益

对窄带 radiation field，在本课 convention 下

\[R_{\rm abs}=N_1B_{12}u_\nu(\nu_0),\]

\[R_{\rm stim}=N_2B_{21}u_\nu(\nu_0), \qquad R_{\rm sp}=N_2A_{21}.\]

若只看这两个能级，\(\dot N_2=R_{\rm abs}-R_{\rm stim}-R_{\rm sp}\)。净 stimulated photon production 需要 \(N_2B_{21}>N_1B_{12}\)；若 \(g_1=g_2\)，这就是 population inversion \(N_2>N_1\)。

图 2 强调 spontaneous term 没有 \(u_\nu\) 因子；但量子场观点把它解释为真空涨落与 mode density 的共同结果，而非“没有相互作用”。

2. Einstein coefficients and detailed balance / 爱因斯坦系数与细致平衡

Knowledge ID: P08-U03-L01-K02

2.1 含简并度的平衡关系

热平衡时，每个 sublevel 的 Boltzmann population 相同，因此

\[\frac{N_2}{N_1}=\frac{g_2}{g_1}e^{-h\nu_0/(k_BT)}.\]

令上、下跃迁总速率相等，并与 Planck spectral energy density

\[u_\nu(\nu)=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/(k_BT)}-1}\]

比较，得到

\[g_1B_{12}=g_2B_{21}, \qquad A_{21}=\frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3}B_{21}.\]

这组关系依赖 \(u_\nu\) convention。若使用 angular-frequency density \(u_\omega\)，应重新从 \(u_\nu d\nu=u_\omega d\omega\) 换元，不能照抄系数。

图 3 表示 detailed balance 的强约束：若无 \(A_{21}\)，无法产生 Planck 分母中的 “\(-1\)”，故 spontaneous emission 不是可任意省略的附加项。

2.2 何谓 microscopic reversibility

\(g_1B_{12}=g_2B_{21}\) 不是说单个简并态的所有 polarization channel 都同强，而是说在规定的 polarization、方向平均及 sublevel 求和 convention 下，上下过程的总 line strength 服从 time-reversal symmetry。比较数据库 \(A\) 值、oscillator strength 与 line strength 时必须先核对这些平均方式。

3. Transition dipole moment / 跃迁偶极矩

Knowledge ID: P08-U03-L01-K03

3.1 从相互作用 Hamiltonian 到矩阵元

当 optical wavelength 远大于原子尺度时，electric-dipole approximation 给出

\[\hat H'(t)=-\hat{\mathbf d}\cdot\mathbf E(t), \qquad \mathbf d_{21}=\langle2\lvert\hat{\mathbf d}\rvert1\rangle.\]

驱动偏振 \(\boldsymbol\epsilon\) 选取投影 \(\boldsymbol\epsilon\cdot\mathbf d_{21}\)。即使 \(E_2-E_1=\hbar\omega\)，若该矩阵元因 parity 或 angular-momentum symmetry 为零，一阶 E1 transition 仍 forbidden；它可能通过更弱的 M1、E2 或多光子通道发生。

图 4 用一维 parity 示意 \(x\) 使 integrand 变成 even。它只说明 symmetry，不表示真实 orbital 振幅按比例。

3.2 自由空间 E1 spontaneous rate

对非简并、固定取向 dipole，在 SI 中

\[A_{21}=\frac{\omega_0^3\lvert\mathbf d_{21}\rvert^2}{3\pi\epsilon_0\hbar c^3}.\]

原子多重态实际使用 reduced matrix element、Clebsch–Gordan coefficient，并对初态平均、末态和 polarization 求和。\(A\propto\omega^3\lvert d\rvert^2\) 同时包含 coupling strength 与 free-space photon density of states。

图 5 的双叶极图以偶极轴为 \(\theta=0\)：轴向强度为零，横向达到最大。它表示经典 dipole pattern 与量子 E1 angular distribution 的联系；具体 Zeeman sublevel 和 polarization 会改变图样。

4. Natural lifetime and linewidth / 自然寿命与线宽

Knowledge ID: P08-U03-L01-K04

4.1 population decay 与 coherence decay

若 excitation 在 \(t=0\) 准备，只有 radiative decay，则

\[P_2(t)=e^{-\Gamma t}, \qquad \tau=\Gamma^{-1}.\]

amplitude 按 \(e^{-\Gamma t/2}\) 衰减。one-sided exponential Fourier transform 产生 Lorentzian power spectrum

\[L(\Delta)=\frac{1}{\pi}\frac{\Gamma/2}{\Delta^2+(\Gamma/2)^2}, \qquad \int_{-\infty}^{\infty}L(\Delta)d\Delta=1.\]

因此 angular-frequency FWHM 为 \(\Gamma\)。

图 6 中 \(\tau\) 是 ensemble survival probability 降到 \(1/e\) 的时间，不是每个原子都恰在 \(t=\tau\) 发光。

图 7 的横轴是 angular detuning；半高点在 \(\Delta=\pm\Gamma/2\)。

4.2 加性与非加性展宽

非辐射 population loss 会增大 \(\Gamma_1\)；pure dephasing 则使

\[\gamma_2=\frac{\Gamma_1}{2}+\gamma_\phi.\]

homogeneous Lorentzian FWHM 是 \(2\gamma_2\)。Gaussian Doppler width 与 Lorentzian natural/collision width 卷积形成 Voigt profile，FWHM 不能简单相加。实验 linewidth 只有在其他 broadening 可忽略时才能直接反推 lifetime。

5. Saturation and power broadening / 饱和与功率展宽

Knowledge ID: P08-U03-L01-K05

5.1 closed two-level steady state

对 ideal closed two-level atom，定义

\[s(\Delta)=\frac{2\Omega^2}{\Gamma^2+4\Delta^2}.\]

steady-state excited population 与 photon scattering rate 为

\[\rho_{22}^{(\rm ss)}=\frac{s}{2(1+s)}, \qquad R_{\rm sc}=\Gamma\rho_{22}^{(\rm ss)}=\frac{\Gamma}{2}\frac{s}{1+s}.\]

\(s\ll1\) 时 rate 与 intensity 成正比；\(s\gg1\) 时 \(\rho_{22}\to1/2\)、\(R_{\rm sc}\to\Gamma/2\)。强场不能使 closed two-level steady state 长期保持 inversion。

图 8 显示 saturation 是 stimulated upward/downward processes 使 populations 趋于相等，而非 transition “停止吸收”。

5.2 power-broadened resonance

令 \(s_0=2\Omega^2/\Gamma^2\) 为 on-resonance saturation parameter，则 resonant response 的 angular-frequency FWHM

\[\Delta\omega_{\rm FWHM}=\Gamma\sqrt{1+s_0}.\]

峰值趋于饱和、宽度增长，但 integrated response 的处理取决于测量 observable。开放多能级原子还会发生 optical pumping，不能只用一个 \(s_0\) 描述。

图 9 对比 weak 与 strong drive；曲线用于说明宽化，不声称峰高按某一探测器 response 精确归一。

图 10 是辐射过程建模的审计流程；在比较教材或数据库数值前，先统一 density 与 degeneracy convention。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — 由 lifetime 求自然线宽

题目。 某孤立 excited state 只有一个 radiative channel，measured lifetime 为 \(\tau=26.0\,\mathrm{ns}\)。求 \(A_{21}\)、angular-frequency FWHM 与 ordinary-frequency FWHM。

研究对象、系统与模型。 系统为自由空间原子加量子真空；在原子静止系、无碰撞无 Doppler，population 单指数衰减。频率轴正方向取升高。

方程与计算。

\[A_{21}=\Gamma=\tau^{-1}=\frac{1}{26.0\times10^{-9}\,\mathrm{s}} =3.85\times10^7\,\mathrm{s^{-1}}.\]

\[\Delta\omega_{\rm FWHM}=\Gamma=3.85\times10^7\,\mathrm{rad\,s^{-1}},\]

\[\Delta\nu_{\rm FWHM}=\frac{\Gamma}{2\pi}=6.12\times10^6\,\mathrm{Hz}.\]

检查与解释。 \(\tau\Gamma=1\) 无量纲；\(2\pi\Delta\nu=\Delta\omega\)。三位有效数字与输入一致。若实测线宽更大，不能立即说 lifetime 更短，须排除 dephasing、Doppler 与 power broadening。

Worked Example 2 — Einstein coefficients 与简并度

题目。 设 \(g_1=2\)、\(g_2=4\)，\(\lambda_0=600\,\mathrm{nm}\)，\(A_{21}=2.0\times10^7\,\mathrm{s^{-1}}\)。按本课 \(u_\nu\) convention 求 \(B_{21}\) 与 \(B_{12}\)。

系统、参考系与模型。 原子处在各向同性 blackbody field；频率为实验室普通频率，忽略 recoil。使用 sublevel-summed Einstein coefficients。

计算。 \(\nu_0=c/\lambda_0=4.997\times10^{14}\,\mathrm{Hz}\)，故

\[B_{21}=\frac{A_{21}c^3}{8\pi h\nu_0^3} =2.60\times10^{20}\,\mathrm{m^3\,J^{-1}\,s^{-2}}.\]

由 \(g_1B_{12}=g_2B_{21}\)，

\[B_{12}=\frac{g_2}{g_1}B_{21} =5.20\times10^{20}\,\mathrm{m^3\,J^{-1}\,s^{-2}}.\]

检查与解释。 \(B u_\nu\) 的单位为 \(\mathrm{s^{-1}}\)。上能级简并度更大，所以按总 level population 定义的 absorption coefficient 更大；若按单个 magnetic sublevel 定义则关系会改写，必须声明 convention。

Worked Example 3 — 由 transition dipole 估算 \(A\)

题目。 对 \(\lambda=500\,\mathrm{nm}\) 的非简并 E1 transition，取 \(\lvert d\rvert=2.0\,e a_0\)。估算 \(A\) 与 lifetime。

系统与模型。 自由空间 point dipole，原子静止，固定 transition matrix element；用 SI，\(e=1.602\times10^{-19}\,\mathrm C\)、\(a_0=5.292\times10^{-11}\,\mathrm m\)。

计算。

\[d=2ea_0=1.70\times10^{-29}\,\mathrm{C\,m}, \qquad \omega=\frac{2\pi c}{\lambda}=3.77\times10^{15}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.\]

\[A=\frac{\omega^3d^2}{3\pi\epsilon_0\hbar c^3} =6.47\times10^7\,\mathrm{s^{-1}}, \qquad \tau=15.5\,\mathrm{ns}.\]

检查与解释。 \(A\) 在 allowed optical transition 常见 \(10^7\)–\(10^8\,\mathrm{s^{-1}}\) 数量级。若 \(d\to0\)，\(A\to0\)；若频率增加，\(A\propto\omega^3\)。真实多重态需 angular factors，故此为 order-of-magnitude estimate。

Worked Example 4 — 饱和散射与功率宽化

题目。 某 closed two-level transition 有 \(\Gamma=2\pi\times6.0\,\mathrm{MHz}\)。on resonance 时 \(s_0=3.0\)。求 steady-state excited fraction、scattering rate 与 power-broadened FWHM。

系统、参考系与坐标。 原子静止系，frequency detuning 轴取 \(\Delta=\omega_L-\omega_0\)；忽略 recoil 与 multilevel optical pumping。

计算。

\[\rho_{22}=\frac{3}{2(1+3)}=0.375,\]

\[R_{\rm sc}=\Gamma\rho_{22} =2\pi(6.0\times10^6)\times0.375 =1.41\times10^7\,\mathrm{s^{-1}}.\]

ordinary-frequency FWHM 为

\[\Delta\nu_{\rm FWHM}=\frac{\Gamma\sqrt{1+s_0}}{2\pi} =6.0\,\mathrm{MHz}\times2=12.0\,\mathrm{MHz}.\]

检查与解释。 \(\rho_{22}<1/2\)、\(R_{\rm sc}<\Gamma/2=1.88\times10^7\,\mathrm{s^{-1}}\)，符合 closed two-level saturation ceiling；宽度随 \(\sqrt{1+s_0}\) 增大。

Lesson synthesis / 全课综合

1. 先用 \(E_2-E_1=\hbar\omega_0\) 定位 transition，再用 \(\mathbf d_{21}\) 判断 E1 coupling 是否存在。
2. incoherent radiation 用 Einstein rate picture；coherent monochromatic drive 则用 \(\Omega\) 与 optical Bloch picture。
3. detailed balance 将 microscopic absorption/emission 与 macroscopic Planck spectrum 相连，并固定 \(A/B\) ratio。
4. lifetime 决定最小 homogeneous width，但 experiment line 还可能含 dephasing、Doppler、collision 与 power broadening。
5. 强驱动使 population 饱和和 linewidth 增大；下一课把这一过程提升为 coherent time evolution。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

1. Einstein coefficients 是 rate model，不包含 coherent phase evolution；短 pulse 与 Rabi oscillation 需 Schrödinger/Bloch treatment。
2. electric-dipole approximation 要求 \(ka\ll1\)；forbidden transition 可由更高 multipole 主导。
3. free-space \(A\) 假设 continuum vacuum modes；cavity 或 interface 会改变 density of states 与 decay rate。
4. natural linewidth 只在无 Doppler、collision、transit-time、laser linewidth 与 power broadening 时可直接观测。
5. \(\Gamma=A_{21}\) 仅当没有其他 radiative branches 与 nonradiative loss；一般 \(\Gamma_2=\sum_f A_{2f}+\Gamma_{\rm nr}\)。
6. closed two-level saturation 忽略 dark states、Zeeman pumping、branching leakage 与 repumping。
7. Markov exponential decay忽略 very short-time quadratic survival 与强 coupling nonexponential dynamics。
8. 激光场本身的 quantum statistics、spontaneous-emission antibunching 与 cavity QED 留待更高阶课程。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “受激辐射只是更快的自发辐射。” 受激率正比于 mode occupation，并向 seed mode 增加相干 photon；自发辐射的 mode、方向与相位呈概率分布。
2. “\(B_{12}=B_{21}\) 永远成立。” 只有在逐 sublevel 或相同简并约定下；对总 level coefficients 应写 \(g_1B_{12}=g_2B_{21}\)。
3. “有能级差就一定有强谱线。” transition dipole 可能因 symmetry 为零，能量匹配只是必要条件。
4. “lifetime \(10\,\mathrm{ns}\) 意味 linewidth \(100\,\mathrm{MHz}\)。” \(100\,\mathrm{Mrad\,s^{-1}}\) 才对应 \(\Gamma\)；Hz 线宽还要除以 \(2\pi\)。
5. “饱和就是原子全在 excited state。” closed two-level steady state 的上限是 \(1/2\)；强场使上下受激过程趋于平衡。
6. “测得宽线就证明寿命短。” observed width 是多种 broadening 的结果，必须通过 intensity、pressure、temperature 等外推分离。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01｜概念： 分别说明三种 radiative process 是否需要 incident photon、物质能量变化方向和 emitted mode 的相干性。
2. K01｜速率： \(N_1=8N_2\) 且 \(B_{12}=B_{21}\) 时，忽略 spontaneous term，净 stimulated photon 是产生还是吸收？
3. K02｜推导： 从含 \(g_1,g_2\) 的 Boltzmann ratio 与 Planck law 写出两条 Einstein relations。
4. K02｜convention： 若 \(u_\nu d\nu=u_\omega d\omega\)，求 \(u_\omega\) 与 \(u_\nu\) 的关系，并解释为何 \(B\) 数值会改变。
5. K03｜symmetry： 一维 parity 中，\(\psi_1,\psi_2\) 都是 even，判断 \(\langle2\lvert qx\rvert1\rangle\)。
6. K03｜scaling： 相同 \(d\) 下频率加倍，free-space E1 \(A\) 变化多少倍？
7. K04｜计算： \(\tau=5.00\,\mathrm{ns}\) 时求 natural FWHM，单位用 MHz。
8. K04｜边界： 给出两个会使 measured linewidth 大于 lifetime limit 的机制。
9. K05｜计算： on resonance \(s_0=1\) 时求 \(\rho_{22}\)、\(R_{\rm sc}/\Gamma\) 与 width factor。
10. 综合： 某线随 laser intensity 降低后 width 外推到 \(8.0\,\mathrm{MHz}\)，且 pressure 外推后不再变化。若认为是 purely natural line，估算 lifetime；列出仍须验证的一项系统误差。

Exit ticket / 离堂检验

1. 用“density convention—matrix element—lifetime—drive strength”四个短语写出评估一条 optical line 的顺序。
2. 某资料写 \(A/B=\hbar\omega^3/(\pi^2c^3)\)，本课写 \(8\pi h\nu^3/c^3\)。说明它们可能并不矛盾，并指出首先要查什么。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下来源均于 2026-08-30 实际打开核验。正文统一采用 SI、\(u_\nu\) Einstein convention 与本课 \(\Omega\) convention；所有 TikZ 根据方程原创，未复制来源插图。

1. MIT OpenCourseWare 8.421, Lecture 14: Atom–Light Interactions III
2. MIT OpenCourseWare 6.974, Quantum Nature of Light and Matter
3. MIT OpenCourseWare 6.974, Chapter 6: Two-Level Model and Saturation
4. MIT OpenCourseWare 8.421, Assignment 7: Optical Bloch Equations with Spontaneous Emission
5. NIST Atomic Spectra Database: Lines Form and Transition Probabilities
6. NIST, Atomic Spectroscopy: An Introduction

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复习与拓展

• 下一课把 \(\Omega\)、\(\Delta\) 与 \(\Gamma\) 放入 rotating-frame Hamiltonian 与 optical Bloch equations，研究 transient coherent control。
• Laser Operation 将把 \(N_2B_{21}-N_1B_{12}\) 解释为 gain，并加入 cavity feedback 与 threshold。
• Laser Cooling 将把 \(R_{\rm sc}\) 乘以 photon momentum \(\hbar k\)，得到 velocity-dependent force。
• 可扩展数值项目：对不同 \(s_0\) 解 Bloch equations，比较 transient Rabi oscillation 与 steady-state rate model。