二能级原子与相干控制

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 从 \(\hat H_0-\hat{\mathbf d}\cdot\mathbf E(t)\) 建立二能级 matrix Hamiltonian，并说明 basis、global energy shift 与 phase convention。
2. 推导 on/off-resonant Rabi probability，计算 \(\pi\)、\(\pi/2\) pulse duration 与 pulse area。
3. 解释 detuning、generalized Rabi frequency、rotating frame 与 RWA，并给出 RWA 的 small parameters。
4. 由 density matrix 写出含 \(T_1,T_2\) 的 optical Bloch equations，区分 population relaxation 与 coherence decay。
5. 设计 resonant pulse 或 STIRAP-like coherent transfer，判断 fidelity 对 area、detuning、dephasing 与 adiabaticity 的敏感性。

Prerequisites / 先修知识

• Radiative Processes：\(\mathbf d_{eg}\)、\(\Omega\)、\(\Gamma\)、saturation。
• Quantum Time Evolution：unitary evolution 与 time-dependent Hamiltonian。
• Mixed States and Decoherence：density operator 与 open systems。
• Pauli matrices、complex exponential、rotating vectors 与 first-order ODE。

Scope and conventions / 范围与约定

• basis 顺序固定为 \((\lvert e\rangle,\lvert g\rangle)\)，\(\sigma_z=\lvert e\rangle\langle e\rvert-\lvert g\rangle\langle g\rvert\)。
• bare Hamiltonian 去除 global constant 后为 \(\hat H_0=\hbar\omega_0\sigma_z/2\)。
• driving field 为 \(\mathbf E(t)=\mathbf E_0(t)\cos(\omega_Lt+\phi)\)；real positive Rabi magnitude 定义 \(\Omega(t)=\lvert\mathbf d_{eg}\cdot\mathbf E_0(t)\rvert/\hbar\)。
• detuning 固定为 \(\Delta=\omega_L-\omega_0\)。在合适 phase choice 和 RWA 下，rotating-frame Hamiltonian 取

\[\hat H_R=\frac{\hbar}{2}\left(\Omega\sigma_x-\Delta\sigma_z\right).\]

• \(\Gamma_1=1/T_1\) 是 population relaxation；\(\gamma_2=1/T_2=\Gamma_1/2+\gamma_\phi\) 是 coherence decay。无 pure dephasing 时 \(T_2=2T_1\)。
• 本课 semiclassical field 不量子化；vacuum Rabi oscillation、Jaynes–Cummings collapse/revival 与 ultrastrong coupling 作为边界。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Two-level Hamiltonian / 二能级哈密顿量

Knowledge ID: P08-U03-L02-K01

1.1 投影到近共振子空间

完整原子含很多 levels，但当 drive bandwidth 与 coupling 远小于邻近 transition separations，且只有一条 transition 近共振时，可投影到 \(\{\lvert e\rangle,\lvert g\rangle\}\)。在 dipole approximation 下

\[\hat H(t)=\frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z-\hat{\mathbf d}\cdot\mathbf E_0\cos(\omega_Lt+\phi).\]

若 diagonal permanent-dipole terms 可忽略，并把 \(\mathbf d_{eg}\) 的 phase 吸收到 basis state，中间矩阵为

\[H(t)=\frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \omega_0 & -2\Omega\cos(\omega_Lt+\phi)\\ -2\Omega\cos(\omega_Lt+\phi) & -\omega_0 \end{pmatrix}.\]

这里的“截断”不是说其余能级从原子中消失，而是说在所研究的时间尺度内，它们只通过很小的虚跃迁修正有效参数。判断是否能够截断，至少要比较三种量：驱动频谱宽度、目标跃迁的耦合强度、目标线与邻近谱线的间隔。如果脉冲很短，频谱会变宽；即使中心频率只对准一条谱线，也可能同时激发邻近态。若偏振不纯或选择定则允许多条磁子能级跃迁，所谓二能级模型同样会失效。因此，写下二乘二矩阵之前，必须先说明“保留谁、舍去谁、为什么舍去”。

图 1 的两条线是 Hilbert-space basis，不是原子内的空间轨迹。two-level approximation 同时要求 spectral isolation 与 selection-rule isolation。

1.2 rotating frame 是一种 basis transformation

取 \(U(t)=\exp(i\omega_Lt\sigma_z/2)\)，transformed Hamiltonian 为

\[H_R=UHU^\dagger+i\hbar\dot U U^\dagger.\]

它把快速 carrier rotation 从 state coefficients 移到 basis 中。保留慢项、舍去 \(e^{\pm2i\omega_Lt}\) counter-rotating terms 后得到前述 \(H_R\)。rotating frame 不改变任何 measurement probability。

物理上，旋转坐标系的价值在于把“接近共振的缓慢拍频”从极快的载波振荡中分离出来。实验室系里，状态振幅和驱动相位都高速转动，图像难以直接判断；换到随激光相位转动的基底后，失谐表现为纵向有效场，耦合表现为横向有效场。这个变换只重新分配了相位写在哪一部分，并没有给原子施加新的力，也没有改变最后测得的布居。若变换后忘记同步变换算符或初态，就会制造出并不存在的观测差异。

图 2 表示坐标系跟随 drive phase 旋转；在该 frame 中 resonant drive 变成近似静态 effective field。

2. Rabi oscillations / 拉比振荡

Knowledge ID: P08-U03-L02-K02

2.1 exact RWA solution

对 constant \(\Omega,\Delta\)，从 \(\lvert g\rangle\) 出发，RWA 给出

\[P_e(t)=\frac{\Omega^2}{\Omega_R^2} \sin^2\left(\frac{\Omega_Rt}{2}\right), \qquad \Omega_R=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}.\]

on resonance \(\Delta=0\) 时完全交换 population；off resonance 时 oscillation 更快但 amplitude 小于 1。

拉比振荡的关键是概率振幅之间反复建立和消除相干叠加，而不是原子以固定速率随机跳跃。共振时，转轴恰好横穿布洛赫球赤道，初态所在的南极轨道能够经过北极，所以可以实现完全转移；失谐后，转轴向纵轴倾斜，轨道虽然绕得更快，却与北极保持有限距离。于是“振荡频率变大”和“转移效率变高”是两件相反方向变化的事情。实验上若只看短时间的一小段信号，容易把快速但低振幅的失谐振荡误判成更强耦合。

图 3 显示 coherent population oscillation；它不是随机上、下跃迁的 rate equation，而是 amplitudes 的 unitary interference。

图 4 的 red curve 具有 \(P_{e,\max}=1/2\) 与 \(\Omega_R=\sqrt2\Omega\)；“oscillates faster”并不等于“transfers better”。

2.2 pulse area theorem

对 on-resonance、fixed phase、忽略 decay 的 envelope \(\Omega(t)\)，不同时间的 Hamiltonians commute，因此

\[P_e=\sin^2\left(\frac{A_p}{2}\right), \qquad A_p=\int_{-\infty}^{\infty}\Omega(t)dt.\]

\(A_p=\pi/2\) 制备 equal superposition，\(A_p=\pi\) 完全 inversion，\(A_p=2\pi\) 返回初态并可能积累 phase。detuning 或 phase chirp 会破坏简单 area-only result。

3. Resonance, detuning, and rotating-wave approximation / 共振、失谐与旋波近似

Knowledge ID: P08-U03-L02-K03

3.1 effective-field geometry

\(H_R=(\hbar/2)\boldsymbol\Omega_{\rm eff}\cdot\boldsymbol\sigma\)，其中

\[\boldsymbol\Omega_{\rm eff}=(\Omega,0,-\Delta).\]

Bloch vector 围绕此轴以 \(\Omega_R\) precess。resonance 时轴在 equator，可把 south pole \(\lvert g\rangle\) 旋到 north pole \(\lvert e\rangle\)；detuning 使轴倾向 \(z\)，轨道不再经过 north pole。

图 5 是 pure-state Bloch sphere schematic；有 relaxation 时向量长度可缩短并趋向 equilibrium。

3.2 RWA 的适用条件与 Bloch–Siegert boundary

把 cosine 拆成两项后，一项与 atomic phase 同向慢转，另一项以约 \(2\omega_L\) 快转。RWA 要求

\[\frac{\Omega}{\omega_0}\ll1, \qquad \frac{\lvert\Delta\rvert}{\omega_0}\ll1, \qquad \frac{1}{\omega_0T_{\rm env}}\ll1.\]

其中 \(T_{\rm env}\) 是 envelope variation time。counter-rotating term 的 leading resonance correction 为 Bloch–Siegert shift，数量级 \(\delta_{\rm BS}\sim\Omega^2/(4\omega_0)\)；具体 factor 依 Hamiltonian convention。

旋波近似真正依赖的是累计效应小，而不是被舍去的项在每个时刻都小。反旋项的瞬时振幅可以和共旋项相当，只因其相位在一个慢动力学周期内转过许多圈，正负贡献才大体抵消。少周期强脉冲、超强耦合或载频不够高时，这种抵消不充分；此时不仅共振位置发生修正，脉冲面积和旋转轴也会偏移。判断近似时应把无量纲比值写出来，而不能仅凭“光学频率很高”作口头保证。

图 6 显示 time-scale separation；“fast oscillation”并非数学上等于零，只是其 cumulative contribution 在许多 cycles 上很小。

4. Optical Bloch equations / 光学布洛赫方程

Knowledge ID: P08-U03-L02-K04

4.1 density matrix dynamics

令 \(u=2\Re\rho_{eg}\)、\(v=2\Im\rho_{eg}\)、\(w=\rho_{ee}-\rho_{gg}\)。与本课 \(H_R\)、\(\Delta\) convention 一致的 equations 是

\[\dot u=\Delta v-\gamma_2u,\]

\[\dot v=-\Delta u-\Omega w-\gamma_2v,\]

\[\dot w=\Omega v-\Gamma_1(w-w_{\rm eq}), \qquad w_{\rm eq}=-1.\]

无 damping 时等价于 \(\dot{\mathbf r}=\boldsymbol\Omega_{\rm eff}\times\mathbf r\)。damping 不是简单把三分量乘同一 exponential：longitudinal 与 transverse 分量通常有不同 time constants。

布洛赫方程把三类过程放在同一本账上：哈密顿量产生可逆转动，纵向弛豫改变能级布居，横向退相干抹去相对相位。若只测激发布居，横向相干仍会通过驱动项影响后续动力学；若只测相干信号，也不能把布居恢复忽略。特别是纯退相干只缩短相干寿命而不直接搬运能量，因此它会压低振荡对比度，却不等同于自发辐射。把三个分量统一乘同一个衰减因子，会同时破坏稳态、能量流向和线宽解释。

图 7 投影了 dephasing spiral；真实 three-dimensional Bloch vector 同时因 \(T_1\) 向 south pole 恢复。

4.2 steady state and saturation

在 purely radiative case \(\gamma_2=\Gamma_1/2\)，解 steady state 得

\[\rho_{ee}^{(\rm ss)}= \frac{\Omega^2/4}{\Delta^2+\Gamma_1^2/4+\Omega^2/2} =\frac{s}{2(1+s)},\]

\[s=\frac{2\Omega^2}{\Gamma_1^2+4\Delta^2}.\]

若存在 pure dephasing，不能继续使用同一简化 \(s\) 而不修改 denominator。

图 8 展示 saturation 与 power broadening 的同源性：它们都是 driven steady-state Bloch solution 的不同切面。

5. Coherent population transfer / 相干布居转移

Knowledge ID: P08-U03-L02-K05

5.1 resonant pulse control

对 resonant drive，rotation angle 就是 pulse area。若目标是 \(\lvert g\rangle\to\lvert e\rangle\)，理想 \(\pi\) pulse 的 area error \(\epsilon=A_p-\pi\) 产生

\[F=\sin^2\left(\frac{\pi+\epsilon}{2}\right) =\cos^2\left(\frac{\epsilon}{2}\right) \approx1-\frac{\epsilon^2}{4}.\]

detuning error 则同时改变 rotation axis 与 angle；phase error 对单个 inversion 可能不显著，但会改变 superposition phase 和后续 interferometer output。

图 9 的两条 Gaussian 具有相同宽度，且使用 \(\int e^{-2(t-t_0)^2}dt=\sqrt{\pi/2}\)：峰值分别取 \(\sqrt{\pi/2}\) 与 \(2\sqrt{\pi/2}\)，所以面积严格为 \(\pi/2\) 与 \(\pi\)。它也提醒 pulse peak 不等于 pulse area；Gaussian 与 square pulse 可有同 area 而不同 bandwidth。

5.2 STIRAP：三能级的稳健扩展

“coherent population transfer”不只指单个 \(\pi\) pulse。对 \(\Lambda\) system \(\lvert1\rangle\leftrightarrow\lvert2\rangle\leftrightarrow\lvert3\rangle\)，STIRAP 用 Stokes pulse 先于 pump pulse 的 counter-intuitive order，使 dark state

\[\lvert D(t)\rangle=\cos\theta(t)\lvert1\rangle-\sin\theta(t)\lvert3\rangle, \qquad \tan\theta=\frac{\Omega_P}{\Omega_S}\]

从 \(\lvert1\rangle\) adiabatically 转为 \(-\lvert3\rangle\)。关键条件包括 two-photon resonance、phase coherence 与 adiabaticity \(\Omega_{\rm gap}T\gg1\)；有限时间仍会有小的 intermediate-state amplitude，不能把“dark”绝对化。

反直觉脉冲次序的作用，是在初态仍占据时先建立一条通往目标态的无损相干通道；随后缓慢改变两个耦合的比例，使暗态的组成连续旋转。原子并不是先被送到中间态再落到目标态，而是尽量沿瞬时本征态绕开中间态。稳健性也有明确代价：脉冲必须足够缓慢且相干，双光子失谐必须小，两个场的相对相位要稳定。若追求过短操作时间，绝热条件首先失效，中间态布居与自发损耗便重新出现。

图 10 表示 STIRAP pulse ordering；它已超出严格 two-level system，但展示 coherent control 如何用 adiabatic dark-state path 提高 transfer robustness。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — \(\pi\) pulse 所需电场与强度

题目。 transition dipole \(d=2.0\times10^{-29}\,\mathrm{C\,m}\)，要求用 \(t_\pi=50.0\,\mathrm{ns}\) resonant square pulse 完成 inversion。求 \(\Omega\)、\(E_0\) 与 plane-wave intensity。

系统、参考系、坐标与模型。 原子静止系；polarization 与 \(\mathbf d\) 平行；closed two-level、RWA、pulse 内 \(\Omega\) constant，忽略 decay。

计算。

\[\Omega=\frac{\pi}{t_\pi}=6.28\times10^7\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.\]

\[E_0=\frac{\hbar\Omega}{d}=331\,\mathrm{V\,m^{-1}}.\]

\[I=\frac12c\epsilon_0E_0^2=1.46\times10^2\,\mathrm{W\,m^{-2}}.\]

检查与解释。 \(dE_0\) 的单位为 J，除以 \(\hbar\) 得 \(\mathrm{s^{-1}}\)。若 polarization 与 dipole 成角 \(\alpha\)，有效 \(d\) 乘 \(\lvert\cos\alpha\rvert\)，所需 intensity 增大。

Worked Example 2 — detuned pulse 的最大 transfer

题目。 \(\Delta=0.60\Omega\)，初态为 \(\lvert g\rangle\)。求 generalized Rabi frequency、最大 excited population 与首次达到最大值的时间。

模型与参考系。 rotating frame、constant drive、RWA、无 decay；detuning 使用 \(\omega_L-\omega_0\)。

计算。

\[\Omega_R=\Omega\sqrt{1+0.60^2}=1.166\Omega,\]

\[P_{e,\max}=\frac{\Omega^2}{\Omega_R^2}=\frac{1}{1.36}=0.735.\]

首次 maximum 满足 \(\Omega_Rt/2=\pi/2\)：

\[t_{\max}=\frac{\pi}{\Omega_R}=\frac{2.694}{\Omega}.\]

检查与解释。 \(P_{e,\max}<1\) 且 \(t_{\max}<\pi/\Omega\)；detuning 增加 precession rate，却倾斜 rotation axis，故 transfer 不完全。

Worked Example 3 — RWA 与 Bloch–Siegert 数量级

题目。 optical transition \(\omega_0=2\pi\times4.0\times10^{14}\,\mathrm{Hz}\)，drive \(\Omega=2\pi\times20\,\mathrm{MHz}\)。估算 \(\Omega/\omega_0\) 与 \(\delta_{\rm BS}/(2\pi)\)，取 \(\delta_{\rm BS}\approx\Omega^2/(4\omega_0)\)。

系统与模型。 resonant monochromatic drive；只估计 leading counter-rotating correction。

计算。

\[\frac{\Omega}{\omega_0}=\frac{2.0\times10^7}{4.0\times10^{14}}=5.0\times10^{-8}.\]

\[\frac{\delta_{\rm BS}}{2\pi} =\frac{(20\times10^6)^2}{4(4.0\times10^{14})} =0.25\,\mathrm{Hz}.\]

检查与解释。 correction 远小于 \(20\,\mathrm{MHz}\) coupling，故 RWA 极好。这里把 numerator/denominator 均用 ordinary-frequency ratios 后 \(2\pi\) 正确抵消；ultrastrong microwave systems 可能不再如此。

Worked Example 4 — 含纯退相干的 coherence time

题目。 population lifetime \(T_1=30.0\,\mathrm{ns}\)，pure-dephasing time \(T_\phi=100\,\mathrm{ns}\)，求 \(T_2\) 与 weak-drive homogeneous FWHM（MHz）。

系统与模型。 Markov population decay 与 independent exponential pure dephasing；无 Doppler、无 power broadening。

计算。

\[\frac{1}{T_2}=\frac{1}{2T_1}+\frac{1}{T_\phi} =\frac{1}{60.0\,\mathrm{ns}}+\frac{1}{100\,\mathrm{ns}} =2.667\times10^7\,\mathrm{s^{-1}},\]

\[T_2=37.5\,\mathrm{ns}.\]

Lorentzian angular FWHM 是 \(2/T_2\)，故

\[\Delta\nu_{\rm FWHM}=\frac{1}{\pi T_2}=8.49\,\mathrm{MHz}.\]

检查与解释。 无 pure dephasing 时 \(T_2=2T_1=60\,\mathrm{ns}\)；加入 \(\gamma_\phi\) 后缩短至 \(37.5\,\mathrm{ns}\)。linewidth 变宽但 population lifetime 不变。

Lesson synthesis / 全课综合

1. 选 basis、写 \(H_0\) 与 dipole coupling，并从 matrix 元素定义 \(\Omega\)；先消除 factor-of-two ambiguity。
2. 变到 rotating frame，用 \(\Omega/\omega_0\)、\(\lvert\Delta\rvert/\omega_0\) 与 envelope timescale 审查 RWA。
3. 无耗散时把 dynamics 看成 Bloch vector 围绕 \((\Omega,0,-\Delta)\) 旋转。
4. 有耗散时使用 density matrix 与 \(T_1,T_2\)；不要把 amplitude damping 当作单一 scalar exponential。
5. control design 由 pulse area、axis、phase、adiabaticity 与 decoherence 共同决定，而不只由 peak intensity 决定。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

1. two-level truncation requires all neglected detunings large relative to coupling and bandwidth；strong broadband pulses excite more levels。
2. RWA fails for ultrastrong coupling, few-cycle pulses or large detuning；then counter-rotating effects and Bloch–Siegert shift matter。
3. semiclassical drive omits photon-number fluctuation and atom–field entanglement。
4. Markov \(T_1,T_2\) assumes memoryless baths；\(1/f\) noise and spectral diffusion can produce nonexponential envelopes。
5. Bloch sphere surface represents pure states；mixed states lie inside sphere。
6. pulse-area theorem requires on-resonance, fixed phase and commuting Hamiltonians。
7. STIRAP is a three-level extension；finite-time transfer has small but nonzero intermediate amplitude and is not magically loss-free。
8. selection rules and multilevel Zeeman structure can make polarization coupling state dependent。

这些边界可以用一个统一问题检查：被忽略的自由度是否会在操作时间内积累可分辨的相位、布居或噪声。若答案为会，就必须扩大哈密顿量、加入相应耗散通道，或把结论降格为局部近似。数值上“曲线看起来差不多”不能替代量纲比值、极限检验和对照实验。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “Rabi frequency 等于 off-diagonal Hamiltonian 除以 \(\hbar\)。” 在本课 convention 中 off-diagonal 是 \(\hbar\Omega/2\)；必须看定义而非只看名称。
2. “detuning 只让 oscillation 变慢。” \(\Omega_R\) 反而增大，但 amplitude 降低，因为 rotation axis 倾斜。
3. “rotating frame 是原子真的旋转。” 它是 time-dependent basis transformation，observable 不变。
4. “RWA 把一个真实作用项设为零。” 它利用 scale separation 做 averaging；correction 如 Bloch–Siegert shift 并非严格为零。
5. “\(T_2=T_1\)。” purely radiative limit 是 \(T_2=2T_1\)；pure dephasing 使 \(T_2\) 更短。
6. “\(\pi\) pulse 对所有误差都稳健。” area、detuning、phase、inhomogeneous coupling 与 decoherence 都会降低 fidelity。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01｜matrix： 按本课 basis 写出 \(H_R\) 的 \(2\times2\) matrix。
2. K01｜boundary： 给出 two-level truncation 的两个独立条件。
3. K02｜计算： \(\Omega=2\pi\times5.0\,\mathrm{MHz}\) 时求 \(t_\pi,t_{\pi/2}\)。
4. K02｜area： square pulse amplitude 加倍、duration 减半，ideal resonant transfer 是否改变？
5. K03｜detuning： \(\Delta=2\Omega\) 时求 \(P_{e,\max}\)。
6. K03｜RWA： 为什么 few-cycle pulse 可能违反 RWA，即使 peak \(\Omega\) 不大？
7. K04｜Bloch： \(\Omega=0\) 时写出 \(u,v,w\) 的长期极限。
8. K04｜dephasing： \(T_1=20\,\mu\mathrm s\)、\(T_2=15\,\mu\mathrm s\)，求 \(T_\phi\)。
9. K05｜fidelity： \(\pi\) pulse area error 为 \(0.10\,\mathrm{rad}\)，用小误差式估计 infidelity。
10. 综合： 设计一个把 \(\lvert g\rangle\) 变为 \((\lvert g\rangle+\lvert e\rangle)/\sqrt2\) 的 pulse，并说明如何改变 optical phase 以制备相对相位 \(i\) 的 superposition。

Exit ticket / 离堂检验

1. 对同一实验分别用 Hamiltonian、effective-field 与 Bloch equations 三种语言说明 detuning 的作用。
2. 一次 transfer 的 population 看似 100%，为什么仍可能不是 high-fidelity quantum control？至少指出一个 phase 或 coherence 检验。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下来源均于 2026-08-30 实际打开核验。正文的 detuning、basis 与 Rabi factor 已统一声明；不同来源的 sign/factor convention 未机械拼接。

1. MIT OpenCourseWare 6.974, Chapter 6: Two-Level Model, Rabi Oscillations and Density Matrix
2. MIT OpenCourseWare 8.422, Lecture 13: Derivation of Optical Bloch Equations
3. MIT OpenCourseWare 8.421, Assignment 1: Rotating Frame and Rabi Dynamics
4. MIT OpenCourseWare 8.421, Assignment 7: Optical Bloch Equations
5. MIT OpenCourseWare 6.977, Ultrafast Optics: Maxwell–Bloch Equations
6. Vitanov et al., Stimulated Raman Adiabatic Passage in Physics, Chemistry, and Beyond — author preprint

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复习与拓展

• Laser Operation 把 single-atom Bloch response coarse-grain 成 gain-medium rate equations，并加入 cavity feedback。
• Magnetic Resonance 使用同一 rotating-frame/Bloch geometry，但 interaction 从 electric dipole 换成 magnetic dipole。
• Precision Measurement 使用 \(\pi/2\)–free evolution–\(\pi/2\) Ramsey sequence，把 detuning phase 变为 population signal。
• 数值扩展：同时积分 full lab Hamiltonian 与 RWA Hamiltonian，测量 Bloch–Siegert shift 和 RWA error。