剂量学与核应用

Learning objectives / 学习目标

学完本课后，你应能：

• 从 imparted energy 定义 absorbed dose，并区分 gray、equivalent dose 与 effective dose；
• 区分 tissue reactions 与 stochastic effects，说明剂量、剂量率、空间分布和不确定性在风险表述中的作用；
• 推导封闭体系的 parent–daughter dating equation，并为 tracer 建立质量—衰变账本；
• 比较 SPECT 的 collimation 与 PET 的 coincidence localization，解释图像重建为什么是 inverse problem；
• 用 target coverage、organs at risk、fractionation 与 verification 描述 treatment planning 的物理优化，而不把教学模型当作临床处方。

Prerequisites / 先修知识

• Decay Law and Statistics 的 exponential decay、activity 与 half-life。
• Radiation Interaction with Matter 的能量沉积与 shielding。
• Radiation Detection 的 efficiency、spectroscopy 与 counting uncertainty。
• 质量守恒、指数函数、加权和与基本图像几何。

Scope and conventions / 范围与约定

• Absorbed dose 是物理能量—质量量；equivalent/effective dose 是辐射防护量，加入 ICRP/IAEA 的 radiation 与 tissue weighting conventions。
• Effective dose 用于计划与比较辐射防护，不是个体确定性损伤、患者特异风险或 radiotherapy prescription 的精确估计。
• Biological response 依赖 organ、endpoint、dose rate、fractionation、age 与个体差异；本课不给医疗建议或个人风险判断。
• Dating 默认 parent–daughter system 在 closure 后封闭，decay constant 已知且 initial daughter 可约束；违反这些条件会产生 apparent age。
• PET、SPECT 和 treatment planning 只讲物理原理；实际临床决策必须由合格医疗团队使用设备校准、患者数据和监管规范。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

为避免与粒子能量 \(E\) 混淆，本课在叙述中把 effective dose 写作 \(E_{\mathrm{eff}}\)，但正式标准常直接记为 \(E\)。

1. Absorbed, equivalent, and effective dose / 吸收、当量与有效剂量

Knowledge ID: P10-U05-L03-K01

Absorbed dose 是单位质量中平均 imparted energy：

\[D=\frac{\mathrm d\bar{\varepsilon}}{\mathrm dm}, \qquad 1\,\mathrm{Gy}=1\,\mathrm{J\,kg^{-1}}.\]

它可用于物质、器官或 detector volume，但必须说明质量元素、空间平均与时间区间。同样的 macroscopic \(D\) 可由稀疏低-LET 轨迹或密集高-LET 轨迹产生，微观结构和生物效应不必相同。

Radiation protection 用 radiation weighting factor 建立 tissue equivalent dose：

\[H_T=\sum_R w_R D_{T,R}.\]

再用 tissue weighting factor 建立 effective dose：

\[E_{\mathrm{eff}}=\sum_T w_T H_T.\]

\(H_T\) 与 \(E_{\mathrm{eff}}\) 的单位均是 sievert（Sv），但意义不同：前者针对一个 tissue 的 radiation-weighted dose，后者把多个 tissues 按参考人群的相对 detriment 再加权。不能把 Gy 与 Sv 只当“不同换算单位”，也不能对 radiotherapy 的不均匀高剂量直接用 effective dose 取代 organ-specific absorbed dose。

图 1 表示有限体积平均。若把质量缩小到微米甚至细胞尺度，能量沉积变得离散，需进入 microdosimetry 而非把宏观 \(D\) 当作连续场。

图 2 清楚分离 measured/calculated absorbed dose 与 protection-weighted quantities；权重不是材料常数。

2. Biological effects and risk / 生物效应与风险

Knowledge ID: P10-U05-L03-K02

Ionization 可直接或经 water radiolysis 间接损伤 DNA、membranes 和其他 molecules。细胞可能 repair、misrepair、die 或保持可繁殖；组织层面响应由 cell type、oxygenation、spatial distribution 与 time pattern 共同决定。

Radiation protection 常区分：

• tissue reactions（旧称 deterministic effects）： 通常存在与 endpoint 相关的阈值区间，超过后 severity 随 dose 增长；阈值不是所有人共享的单一硬数值。
• stochastic effects： 主要关注 cancer 与 heritable risk；保护模型把 probability 与 dose 联系，severity 本身不随引发该事件的 dose 简单增加。

低剂量风险受到统计功效、confounders、dose reconstruction 与模型选择限制。监管或防护采用的 nominal coefficients 是人群层面的规划工具，不应输出为某个个体的确定概率。Dose rate 和 fractionation 可给 biological repair 时间；但效应依 endpoint 与 radiation quality 而异，不能用一句“分次永远更安全”覆盖所有情形。

图 3 比较的是两类建模逻辑，不是给出个人风险曲线；橙线代表常用 protection-model idea，不声称低剂量个体效应可由图精确预测。

图 4 表示时间结构是独立变量；即使 total absorbed dose 相同，repair、repopulation 和 dose-rate effects 也会改变 response。

3. Radioisotope dating and tracers / 放射性测年与示踪

Knowledge ID: P10-U05-L03-K03

设 closure 时有 parent 数量 \(P_0\)，之后无 parent/daughter 进出且 radiogenic daughter 初始量可扣除。则

\[P(t)=P_0e^{-\lambda t}, \qquad D^\ast(t)=P_0-P(t).\]

消去 \(P_0\)：

\[\frac{D^\ast}{P}=e^{\lambda t}-1, \qquad t=\frac{1}{\lambda}\ln\left(1+\frac{D^\ast}{P}\right).\]

半衰期应与待测 timescale 同量级，且 daughter origin、closure time、contamination 与 later loss 必须可约束。Isochron methods 通过多个共生样品的比值关系同时处理 initial daughter；若体系开放或样品经历重置，所得是 model age 而非“石头唯一的年龄”。

Tracer 是可区分但在所研究过程上尽量跟随目标物质的标记。设 tracer inventory \(N\) 同时受 flow 和 decay 控制，则简单 compartment model 可写

\[\frac{\mathrm dN}{\mathrm dt} =q_{\mathrm{in}}C_{\mathrm{in}} -q_{\mathrm{out}}\frac{N}{V} -\lambda N.\]

稳定同位素也可做 tracer；放射性 tracer 的额外优势是高灵敏 detection 与 time clock，但必须进行 decay correction、mass-balance check，并控制引入量不扰动系统。

图 5 是 initial radiogenic daughter 已扣除、体系封闭的一对一 decay ledger；branching 或 decay chain 需扩展方程。

图 6 把 flow、decay 和 sampling 分开；忽略任一项都可能把 residence time 误估为 radioactive age。

4. PET, SPECT, and nuclear medicine / PET、SPECT 与核医学

Knowledge ID: P10-U05-L03-K04

Nuclear medicine 把 radionuclide 接到参与特定 biological pathway 的 tracer 上，测量其空间—时间分布。图像信号反映 tracer kinetics、delivery、binding/metabolism、decay、attenuation 与 detector response 的组合，不是单纯的解剖密度。

SPECT 使用 gamma-emitting tracer。机械 collimator 只接受某些方向的光子，gamma camera 从多个角度取得 projections，再重建三维 activity distribution。Collimation 给方向信息，却牺牲大量 efficiency。

PET 的 positron 在组织中减速后与 electron annihilate，理想静止情形产生两束近 \(511\,\mathrm{keV}\)、近反向光子。两个 detectors 在 coincidence window 内触发定义 line of response；time-of-flight difference 给出沿线位置约束

\[x=\frac{c\Delta t}{2}.\]

实际图像需修正 attenuation、scatter、random coincidences、dead time、normalization 与 positron range。Reconstruction 是带噪的 inverse problem；resolution、sensitivity 与 dose/scan time 之间存在权衡。

图 7 显示 collimator 以效率换方向选择。Camera rotation 或多头 geometry 提供不同角度的 projection data。

图 8 中 annihilation point 在 center 右侧；右侧光子先到。有限 timing resolution 只把点限制在一段概率分布，而不是精确定位。

5. Radiotherapy and treatment planning / 放射治疗与治疗计划

Knowledge ID: P10-U05-L03-K05

External-beam radiotherapy 用 photons、electrons 或 particles 从体外沉积能量；brachytherapy 把 sealed sources 置于或靠近 target。Treatment planning 先通过 CT/MRI/PET 等确定 target 与 organs at risk（OARs），再用 calibrated beam model 计算三维 absorbed-dose distribution。

Conformal beams 或 intensity modulation 从多个方向叠加，使 target 达到 prescribed coverage，同时尽量降低 OAR dose。优化可抽象为

\[\min_{\mathbf w\ge0} \left[ \sum_{i\in T}a_i(D_i(\mathbf w)-D_i^{\mathrm{goal}})^2 + \sum_{j\in O}b_j\,\Phi(D_j(\mathbf w)) \right],\]

其中 \(\mathbf w\) 是 beamlet weights，\(\Phi\) 对 OAR overdose 加罚。这个目标函数不是临床真理：contouring uncertainty、motion、beam-model error、setup error 与 biological response 都要求 margins、image guidance、independent QA 和 plan verification。

Fractionation 把 total treatment 分成多次 delivery，使 tumor control 与 normal-tissue recovery 的时间响应可被权衡。Dose-volume histogram（DVH）压缩了三维分布，便于比较 coverage 与 OAR exposure，但丢失空间位置；两个 DVH 相同的 plan 仍可能有不同 hot-spot geometry。

图 9 仅表示多方向叠加；真实 beams 有有限宽度、energy spectrum、penumbra 与 patient-dependent attenuation。

图 10 展示理想目标是 target curve 靠高剂量、OAR curve 靠低剂量；DVH 不能告诉你高剂量落在器官的哪个位置。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — 吸收剂量

已知： 平均 \(2.00\,\mathrm{mJ}\) 能量沉积在质量 \(0.500\,\mathrm{kg}\) 的均匀体积中。
系统边界： 只计该体积内的 imparted energy；忽略能量随时间和空间的不均匀。

\[D=\frac{2.00\times10^{-3}}{0.500} =4.00\times10^{-3}\,\mathrm{J\,kg^{-1}} =4.00\,\mathrm{mGy}.\]

检查与解释： Gy 与 J/kg 量纲一致。这个数不指定 radiation type 或 tissue sensitivity，因此不能直接称为 equivalent/effective dose。

Worked Example 2 — 当量与有效剂量的两级加权

已知： Tissue 1 受 \(2.00\,\mathrm{mGy}\) photon dose 与 \(0.100\,\mathrm{mGy}\) alpha dose；取 \(w_R=1\) 与 20，\(w_{T1}=0.12\)。Tissue 2 的 equivalent dose 为 \(1.00\,\mathrm{mSv}\)，\(w_{T2}=0.04\)；其他 tissues 在此简化例中为 0。
模型： 仅演示防护权重计算，不代表患者剂量评价。

\[H_{T1} =(1)(2.00)+(20)(0.100) =4.00\,\mathrm{mSv}.\]

\[E_{\mathrm{eff}} =(0.12)(4.00)+(0.04)(1.00) =0.520\,\mathrm{mSv}.\]

检查： weighting factors 无量纲，Sv 保留。\(H_{T1}\) 与 \(E_{\mathrm{eff}}\) 不能互换；若 exposure 非均匀，必须逐 tissue 计算。

Worked Example 3 — Parent–daughter 测年

已知： 封闭样品中已扣除 initial daughter，测得 \(D^\ast/P=3.00\)；parent half-life 为 \(1.25\,\mathrm{Ga}\)。
系统与模型： closure 后无 parent/daughter 迁移，一对一 decay，decay constant 恒定。

\[t=\frac{1}{\lambda}\ln(1+3.00) =\frac{t_{1/2}}{\ln2}\ln4 =2t_{1/2}=2.50\,\mathrm{Ga}.\]

检查与解释： 两个半衰期后 parent 剩 \(1/4\)，daughter/parent \(=(3/4)/(1/4)=3\)。若 daughter 曾流失，测得比值偏小并给出偏年轻 apparent age。

Worked Example 4 — PET time-of-flight 定位

已知： 沿一条 detector diameter，右侧 photon 比左侧早到 \(\Delta t=400\,\mathrm{ps}\)。规定 \(+x\) 向右，取 \(c=3.00\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}\)。
模型： 两 photon 近反向、速度为 \(c\)，忽略 detector timing bias 和 non-collinearity。

\[x=\frac{c\Delta t}{2} =\frac{(3.00\times10^8)(400\times10^{-12})}{2} =6.00\times10^{-2}\,\mathrm m.\]

annihilation point 在中心右侧 \(6.00\,\mathrm{cm}\)。方向检查： 右侧先到意味着右侧路程短，点确实位于右侧。实际 timing uncertainty 会把该位置展宽。

Worked Example 5 — 简化 treatment-plan objective

已知： 以 normalized dose 评价两个 plan：目标剂量 goal 为 1。Plan A 有 \((D_T,D_O)=(0.98,0.40)\)，Plan B 有 \((1.01,0.25)\)。简化 objective

\[J=(D_T-1)^2+2D_O^2.\]

系统： 一个 target metric 与一个 OAR metric；这是数学示例，不是临床处方。

\[J_A=(-0.02)^2+2(0.40)^2=0.3204,\]

\[J_B=(0.01)^2+2(0.25)^2=0.1251.\]

在此权重下 Plan B 较优。边界检查： 改变 OAR 权重、加入 hot spots、robustness 或 delivery constraints 可改变排序；objective value 不能替代 clinician review 与 QA。

Lesson synthesis / 全课综合

本课的共同结构是“物理量 → 模型权重或反演 → 应用决策”：

1. Energy deposition 给 absorbed dose；
2. protection conventions 给 equivalent/effective dose；
3. biological evidence 与 uncertainty 给 population-level risk models；
4. radioactive clock 或 tracer balance 反演 age、flow 与 residence time；
5. detector projections 反演 activity image；
6. beam transport 与 optimization 反演 treatment delivery。

越靠近应用端，模型依赖、数据校准和伦理/监管边界越重要。高质量物理笔记必须同时写清可计算量、不可直接推断量与验证步骤。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Gray measures absorbed energy per mass; sievert quantities add biological/protection weighting. They are not universally convertible by one factor.
• Effective dose is intended for radiological protection comparisons and optimization, not retrospective individual risk or therapeutic dose prescription.
• Tissue-reaction thresholds and stochastic-risk coefficients depend on endpoint, population and evidence; low-dose estimates carry substantial uncertainty.
• Dating equations require closed systems, correct decay constants and initial daughter treatment; weathering or metamorphism may reset or mix clocks.
• Tracer must follow the process being inferred and not perturb it; decay, exchange and sampling all enter the balance.
• PET/SPECT reconstruction requires attenuation/scatter/random correction and a validated system response.
• Treatment planning is patient- and machine-specific; teaching objectives and schematic DVHs are not executable clinical plans.

Misconception clinic / 误区诊所

• “1 Gy 就等于 1 Sv。” 只有在特定 weighting conditions 下数值可能相同，物理意义仍不同。
• “Effective dose 能给某个患者精确的患癌概率。” 错；它是 reference-person protection quantity，不能承担个体化预测。
• “放射性测年只要代半衰期，不需要地质模型。” closure、initial daughter、contamination 与重置历史决定年龄是否有意义。
• “PET 直接拍到 positron 的轨迹。” PET 探测 annihilation photons 的 coincidence lines，并通过统计重建 activity。
• “DVH 相同就说明两个治疗计划等价。” DVH 丢失空间位置、运动与 delivery robustness。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01·定量] \(6.00\,\mu\mathrm J\) 均匀沉积于 \(2.00\,\mathrm g\)，求 absorbed dose。
2. [K01·概念] 分别说明 Gy、equivalent Sv 与 effective Sv 的计算层级。
3. [K02·判断] 为什么“相同 total dose 就有相同 biological effect”通常不成立？列出三项遗漏变量。
4. [K02·表达] 用一句准确表述区分 tissue-reaction severity 与 stochastic-effect probability。
5. [K03·定量] 封闭体系中 \(D^\ast/P=1\)，年龄是多少个 half-lives？
6. [K03·边界] Parent 流失会使简单 parent–daughter age 偏大还是偏小？说明理由。
7. [K04·比较] SPECT 与 PET 分别怎样获得方向/位置约束？各自牺牲或依赖什么？
8. [K04·定量] PET arrival-time difference 为 \(200\,\mathrm{ps}\)，求沿 line of response 的中心偏移大小。
9. [K05·概念] 为什么 treatment plan 需要 image guidance 与 independent QA，即使计算机 objective 已很低？
10. [K01–K05·综合] 选 dating、imaging 或 therapy 中任一应用，写出“输入数据—物理模型—输出—关键不可直接推断量”的四列表。

Exit ticket / 离堂检验

1. 写一段不超过三句的报告语言，准确说明某组织吸收了 \(2\,\mathrm{mGy}\)，并避免把它误报为 effective dose 或个人风险。
2. 对“PET 图像亮区就是肿瘤”和“测得 parent/daughter 比就得到岩石真年龄”各指出一个共同的 inverse-problem 错误。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下链接均于 2026-08-30 实际核对。医疗部分只用于物理教学，不构成医学建议。

1. ICRP Publication 147: Use of Dose Quantities in Radiological Protection — absorbed、equivalent、effective dose uses and limitations。
2. IAEA Basic Safety Standards: Dose Quantities — definitions, weighting and units。
3. NIST SP 330, Section 2 — SI absorbed-dose and dose-equivalent units。
4. US EPA: Radiation Health Effects — tissue damage, cancer risk and public-facing risk context。
5. US NRC: Radiation and Its Health Effects — dose, rate and health-effect overview。
6. USGS: Radiogenic Isotopes and the Eastern Mineral Resources Program of the U.S. Geological Survey — parent–daughter systems, half-lives and closed-system assumption。
7. IAEA: Isotope Hydrology Training Courses — stable/radioactive isotopes, groundwater dating and tracer interpretation。
8. NIBIB: Nuclear Medicine — PET、SPECT、tracers and clinical imaging principles。
9. NCI: External Beam Radiation Therapy — imaging, planning, conformal delivery and normal-tissue sparing。

Source-to-content map

复习与拓展

• 与 Radiation Detection 联结：dose 与 image 都由 counts、efficiency、calibration 和 uncertainty 建立。
• 下一 Part 的 particle decays 将把核衰变推广到 relativistic particles、lifetimes、branching fractions 与 detector signatures。
• 未来扩展：microdosimetry、linear–quadratic model、kinetic compartment imaging、tomographic reconstruction、robust treatment optimization。