粒子加速器

Learning objectives / 学习目标

• 从 Lorentz force 推导电场做功、磁场弯转和 magnetic rigidity，并判断方向与电荷符号；
• 比较 linac、cyclotron 与 synchrotron 的同步条件、能量限制和适用粒子；
• 用 invariant energy 比较 fixed-target 与 symmetric collider 的有效能量；
• 用束流尺寸、bunch population、collision frequency 与 cross section 估算 luminosity 和 event yield；
• 解释 synchrotron radiation 的质量与能量标度为何限制电子环，同时使 storage ring 成为强光源。

Prerequisites / 先修知识

• Charged Particles in Fields：Lorentz force、圆周轨道与速度选择。
• Energy, Momentum, and Reactions：四动量、不变量 \(s\) 与质心能。
• Neutrinos and Open Questions：为什么能量前沿与强度前沿都能寻找新物理。
• 指数记数法、Gaussian rms width、截面单位 barn 与基本误差传播。

Scope and conventions / 范围与约定

• 实验室为惯性系；束线中心定义纵向 \(s\)，横向为 \(x,y\)。除注明外讨论单个带电粒子和近轴束流。
• 数值使用 SI；高能物理常用 \(\mathrm{eV}\)、\(\mathrm{GeV}/c\) 与 \(\mathrm{T\,m}\)，每次给出换算关系。
• 先写矢量 Lorentz law，再投影；磁场本身不做功，实际环形机的能量补偿来自 RF electric field。
• Luminosity 公式采用头碰、独立 Gaussian 横向分布的理想模型；crossing angle、hourglass effect、emittance growth 与 pileup 需额外修正。
• 本课不展开 nonlinear lattice design、collective instability、wakefield、space charge 或 radiation safety 的工程细节。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

这里 \(s\) 在 \(\sqrt{s}\) 中是 Mandelstam invariant；束线坐标写作斜体文字 “longitudinal coordinate”，避免一符多义。

1. Electric acceleration and magnetic steering / 电场加速与磁场偏转

Knowledge ID: P11-U04-L01-K01

单粒子的 relativistic Lorentz equation 是

\[\frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B).\]

与 \(\mathbf v\) 点乘得到能率

\[\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}=q\mathbf E\cdot\mathbf v,\]

因为 \(\mathbf v\cdot(\mathbf v\times\mathbf B)=0\)。因此纵向 electric field 改变 energy；transverse magnetic field 改变 momentum direction。穿过电势差 \(\Delta V\) 时，若损耗可忽略，kinetic-energy change 是 \(\Delta K=-q\Delta V\)；在 RF cavity 中则取决于到达 phase。

对 \(\mathbf v\perp\mathbf B\) 的局部圆弧，\(p=|q|B\rho\)。常用换算为

\[p[\mathrm{GeV}/c]=0.2998\,|q/e|\,B[\mathrm T]\rho[\mathrm m].\]

它是 magnetic rigidity 关系：同一 \(B\rho\) 选择相同 charge-to-momentum ratio，而非相同速度。弯转方向由 \(q\mathbf v\times\mathbf B\) 决定，不能从半径公式看出正负号。

图 1 — RF 相位选对时，电场沿速度方向做正功；箭头表示瞬时场，不表示粒子持续受同向静电场。

图 2 — 正电荷在出纸面磁场中的弯转；起点速度向上时 \(q\mathbf v\times\mathbf B\) 向右，恰好指向曲率中心，轨道半径编码 momentum。

2. Linear accelerators, cyclotrons, and synchrotrons / 直线加速器、回旋加速器与同步加速器

Knowledge ID: P11-U04-L01-K02

Linear accelerator（linac） 把 RF cavities 沿直线排列。粒子只通过一次，所以 final energy 近似是各 gap 的有效电压增益之和；没有弯转辐射，但更高能量通常意味着更长结构或更高 gradient。

Cyclotron 在均匀 \(B\) 中以两个 “dees” 反复跨 gap。非相对论极限下

\[\omega_c=\frac{|q|B}{m},\qquad f_c=\frac{|q|B}{2\pi m},\]

与半径无关，固定 RF frequency 可同步。随着 \(\gamma\) 增大，实际 revolution frequency 约为 \(|q|B/(2\pi\gamma m)\)，粒子逐渐失步；synchrocyclotron 调频，isochronous cyclotron 调整磁场。

Synchrotron 固定主轨道半径，在加速 ramp 中同步改变 dipole field 与 RF frequency/phase。Dipoles 弯转，quadrupoles 以一横向聚焦、另一横向散焦；交替梯度 lattice 可在两个平面总体稳定。Reference particle 每圈按 synchronous phase 接受恰好所需的 energy increment，偏早或偏晚粒子在 longitudinal phase space 做 synchrotron oscillation。真实接受度有限，不能把“同步”理解成每个粒子都走同一条几何线。

图 3 — 直线加速器的电压增益沿束线累加；图中腔体不按比例。

图 4 — 非相对论 cyclotron 在固定频率下每次跨 gap 加速、半径增大；高 \(\gamma\) 时失步是模型边界。

3. Fixed-target and collider experiments / 固定靶与对撞实验

Knowledge ID: P11-U04-L01-K03

反应的可用能量不是某个 beam particle 的 laboratory kinetic energy，而是总四动量的不变量

\[s=(p_1+p_2)^2c^2.\]

两个相同质量 \(m\) 的粒子，一粒静止、另一粒总能量 \(E_b\) 时

\[s=2m^2c^4+2mc^2E_b.\]

在 \(E_b\gg mc^2\) 下，\(\sqrt{s}\approx\sqrt{2mc^2E_b}\)：能量大量成为 center-of-momentum 整体运动。对称 head-on collider 中，两束总能量均为 \(E_b\) 且 ultra-relativistic，则 \(\sqrt{s}\approx2E_b\)，几乎全部可用于产生新质量与 final-state kinetic energy。

Fixed target 仍有重要优势：高 areal density、容易改变 target species、可得到高 interaction rate，并让 forward secondaries 形成二次束。Collider 则最大化 energy reach，但需要两束储存、聚焦和同步。比较实验必须同时写 \(\sqrt{s}\)、luminosity、species、polarization 与 detector acceptance，不能只比较 accelerator 的单粒子 energy。

图 5 — 固定靶实验的总动量不为零；末态质心必须向前运动，因此 beam energy 不能全部转成新粒子静质量。

图 6 — 对称对撞在 laboratory 中近似就是 center-of-momentum frame，可用能量随 beam energy 线性增长。

4. Beam focusing, luminosity, and energy reach / 束流聚焦、亮度与能量前沿

Knowledge ID: P11-U04-L01-K04

束流不是单线，而是 transverse phase-space distribution。Quadrupole field 近轴形式可写为 \(B_y=Gx\)、\(B_x=Gy\)（符号随磁极约定）；它在一个平面聚焦、另一个平面散焦。交替 F–D 元件像光学透镜列，控制 beta function 与 beam envelope。Liouville-type phase-space constraints 表明，单靠保守磁场不能任意压缩 emittance；source quality、cooling、radiation damping 与 collective effects 都重要。

对头碰、相互独立的 Gaussian bunches，理想 instantaneous luminosity 为

\[\mathcal L=\frac{f_{\mathrm{coll}}N_1N_2}{4\pi\sigma_x\sigma_y}.\]

过程发生率与 integrated yield 是

\[R=\mathcal L\sigma,\qquad N=\sigma\int\mathcal L(t)\,\mathrm dt.\]

因此 energy frontier 决定哪些 final states 运动学可达，luminosity frontier 决定稀有过程是否积累足够 events。减小 beam spot 会提高理想 \(\mathcal L\)，但 beam-beam disruption、crossing angle、hourglass effect、instabilities、detector pileup 与 machine protection 给出反向约束。Luminosity 是 beam overlap density，不是 beam energy，也不是“每秒碰撞数”本身；后者还乘 cross section。

图 7 — 交替梯度 lattice 中束包络周期变化；这不是单个粒子轨迹，另一横向平面的相位相反。

图 8 — Luminosity 来自单位时间的束团重叠；真实 bunch 是三维且可能有 crossing angle。

5. Synchrotron radiation limits and uses / 同步辐射的限制与应用

Knowledge ID: P11-U04-L01-K05

任何横向加速度的相对论带电粒子都会辐射。对 circular motion，重要标度为

\[P_{\mathrm{SR}}\propto\frac{q^2c}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma^4}{\rho^2},\]

而固定 beam energy 时 \(\gamma=E/(mc^2)\)，所以 lighter particles 的损耗急剧更大。电子 storage ring 的每圈能损近似 \(U_0\propto E^4/\rho\)；提高 radius 可缓解，RF 必须每圈补回 \(U_0\)。这解释了为什么极高能 electron–positron machines 常考虑 linac，而 proton rings 在同能量下辐射弱得多。

辐射并非纯粹“坏事”。Electron storage rings 利用其明亮、collimated、可调谐且有时间结构的光进行 X-ray diffraction、spectroscopy 与 imaging；radiation damping 还能缩小 transverse emittance，但 quantum photon emission 带来 excitation，与 damping 达到平衡。Critical frequency、polarization 与 brilliance 需要完整 lattice 和 electron energy 才能确定，不能由上面的 proportionality 单独预测。

图 9 — 超相对论同步辐射集中在瞬时切线附近；RF 补偿能量，dipole 负责曲率。

图 10 — 固定曲率半径与总能量时的质量标度示意；两曲线不按可视比例，proton 曲线实际远更低。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — 由 rigidity 选择 dipole field

已知： 单电荷 proton momentum \(p=7.00\,\mathrm{TeV}/c\)，有效弯转半径 \(\rho=2.80\times10^3\,\mathrm m\)。
研究对象与参考系： laboratory 中的 reference proton；\(\mathbf v\perp\mathbf B\)。
模型理由： 在 uniform dipole arc 上用 \(p=0.2998B\rho\)；忽略 fringe field。

\[B=\frac{7000}{0.2998(2.80\times10^3)}=8.34\,\mathrm T.\]

检查： \(\mathrm{T\,m}\) 与 \(\mathrm{GeV}/c\) 的转换已含在 \(0.2998\) 中；更大 \(p\) 需更大 \(B\) 或 \(\rho\)。方向须另用 \(q\mathbf v\times\mathbf B\) 判断。三位有效数字为 \(8.34\,\mathrm T\)。

Worked Example 2 — Cyclotron frequency 与相对论边界

已知： proton 在 \(B=1.20\,\mathrm T\) 中，\(q=e=1.602\times10^{-19}\,\mathrm C\)，\(m_p=1.673\times10^{-27}\,\mathrm{kg}\)。
系统与坐标： 匀强磁场垂直轨道；先用 nonrelativistic cyclotron model。

\[f_c=\frac{eB}{2\pi m_p} =\frac{(1.602\times10^{-19})(1.20)}{2\pi(1.673\times10^{-27})} =1.83\times10^7\,\mathrm{Hz}.\]

即 \(18.3\,\mathrm{MHz}\)。若 proton 达到 \(\gamma=1.10\)，实际频率约降为 \(f_c/\gamma=16.6\,\mathrm{MHz}\)。合理性： 频率与 \(B\) 成正比；相对论质量效应使固定 RF 逐渐失步，正是简单 cyclotron 的能量边界。

Worked Example 3 — Fixed target 与 collider 的能量利用

已知： proton beam 总能量 \(E_b=1.00\,\mathrm{TeV}\)，\(m_pc^2=0.938\,\mathrm{GeV}\)。比较静止 proton target 与两束各 \(1.00\,\mathrm{TeV}\) 的对称 collider。
参考系： 前者 laboratory target rest frame；后者 laboratory 即 CM frame。

固定靶：

\[\sqrt{s}=\sqrt{2m_p^2c^4+2m_pc^2E_b} =\sqrt{2(0.938)^2+2(0.938)(1000)}\,\mathrm{GeV} =43.3\,\mathrm{GeV}.\]

对撞：\(\sqrt{s}\simeq2E_b=2.00\,\mathrm{TeV}\)。检查： fixed-target 值远小于 beam energy，因为动量守恒迫使 final state 整体前进；collider 总动量近零。两位/三位有效数字分别给出 \(43.3\,\mathrm{GeV}\) 与 \(2.00\,\mathrm{TeV}\)。

Worked Example 4 — Luminosity 与 event rate

已知： \(N_1=N_2=1.00\times10^{11}\)，\(f_{\mathrm{coll}}=3.00\times10^7\,\mathrm{s^{-1}}\)，\(\sigma_x=16.0\,\mu\mathrm m\)，\(\sigma_y=8.00\,\mu\mathrm m\)；过程截面 \(\sigma=2.00\,\mathrm{pb}=2.00\times10^{-40}\,\mathrm{m^2}\)。
模型： head-on、独立 Gaussian、每 crossing 一个 bunch pair；忽略 geometric reduction。

\[\mathcal L=\frac{(3.00\times10^7)(1.00\times10^{11})^2} {4\pi(16.0\times10^{-6})(8.00\times10^{-6})} =1.87\times10^{38}\,\mathrm{m^{-2}s^{-1}}.\]

\[R=\mathcal L\sigma=(1.87\times10^{38})(2.00\times10^{-40}) =3.73\times10^{-2}\,\mathrm{s^{-1}}.\]

约每 \(26.8\,\mathrm s\) 一个 signal event。量纲检查： \(\mathrm{m^{-2}s^{-1}}\times\mathrm{m^2}=\mathrm{s^{-1}}\)。这只是 produced rate；trigger、acceptance 与 efficiency 会进一步降低 recorded yield。

Worked Example 5 — 电子环每圈同步辐射损耗

已知： electron beam energy \(E=3.00\,\mathrm{GeV}\)，弯转半径 \(\rho=25.0\,\mathrm m\)。采用 PDG 近似 \(U_0[\mathrm{keV/turn}]=88.5E^4[\mathrm{GeV}]/\rho[\mathrm m]\)。
系统： reference electron 一整圈；RF 必须平均补回辐射能损。

\[U_0=88.5\frac{(3.00)^4}{25.0}\,\mathrm{keV} =287\,\mathrm{keV/turn}.\]

若提高到 \(6.00\,\mathrm{GeV}\)、半径不变，损耗乘 \(2^4=16\)，为 \(4.59\,\mathrm{MeV/turn}\)。极限检查： \(E^4\) 标度十分陡峭；结果解释了高能 electron ring 的 RF-power 压力，也说明增大 \(\rho\) 可线性减轻每圈损耗。

Lesson synthesis / 全课综合

加速器建模可以压缩为五步：先用 \(q\mathbf E\) 记能量账，用 \(q\mathbf v\times\mathbf B\) 记方向账；再选择一次通过还是重复回转的 architecture；用 invariant \(s\) 判断 reaction energy，而非把 beam energy 当作可用能量；用 emittance、focusing 与 luminosity 判断 event yield；最后把 synchrotron radiation、collective effects、power 和 detector pileup 作为约束闭环。能量前沿回答“能否产生”，亮度前沿回答“能否看见足够多次”。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Magnetic field changes momentum direction, not energy; curved electric fields or RF cavities may do work, so “环形机只用磁场”不成立。
• Cyclotron constant-frequency result is nonrelativistic. Synchrotron timing and field ramp replace that approximation at high energy。
• \(\sqrt{s}\simeq2E_b\) assumes symmetric ultra-relativistic head-on beams; unequal energies require full four-momentum addition。
• Gaussian luminosity omits crossing angle, bunch length, offset, disruption and time evolution；reported machine luminosity is measured/calibrated, not merely inferred from one formula。
• Event yield also needs branching fraction, geometric acceptance, reconstruction and selection efficiency。
• Synchrotron-radiation proportionalities describe scaling, not a full spectral or thermal-load calculation；quantum excitation and lattice optics matter。

Misconception clinic / 误区诊所

• “磁铁把粒子加速到更高能量。” 静态 magnetic force 与 velocity 垂直；RF electric field supplies energy。
• “1 TeV fixed-target 等于 1 TeV 可用来造新粒子。” 应计算 invariant \(\sqrt{s}\)；大部分能量成为 CM bulk motion。
• “束流越细，luminosity 可以无限增大。” Emittance、beam-beam effects、instabilities、power、pileup 与 protection 共同限制。
• “Cyclotron 与 synchrotron 只是大小不同。” 前者经典固定频率依赖非相对论等时性；后者同步 ramp field/RF 并固定主轨道。
• “同步辐射只有损失。” 对 collider 是 power/energy limit，对 light source 与 radiation damping 又是核心功能。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01·方向] 正电荷沿 \(+x\)，磁场沿 \(+z\)。磁力方向是什么？磁场是否改变 kinetic energy？
2. [K01·定量] 单电荷 \(3.00\,\mathrm{GeV}/c\) particle 在 \(1.50\,\mathrm T\) dipole 中的曲率半径是多少？
3. [K02·比较] 为什么 ideal cyclotron 可用固定 RF frequency，而 synchrotron 要同步改变 machine parameters？
4. [K02·边界] Linac 没有弯转同步辐射是否意味着无限能量？
5. [K03·定量] \(100\,\mathrm{GeV}\) proton 打静止 proton，估算 \(\sqrt{s}\)。
6. [K03·概念] 说出 fixed target 相对 collider 的两项实验优势。
7. [K04·定量] 若两横向 rms beam size 都缩小为原来一半，其他量不变，ideal luminosity 变为多少倍？
8. [K04·判断] Cross section 为零以外的有限值时，高 luminosity 是否保证发现？
9. [K05·标度] 同一 electron ring 把 beam energy 提高 20%，\(U_0\) 约增至多少倍？
10. [K01–K05·综合] 为一个新 collider 写四项必须同时报告的性能量，并说明各回答什么问题。

Exit ticket / 离堂检验

1. 某新闻稿称“固定靶获得 \(10\,\mathrm{TeV}\) collision energy”。写出你首先要求的 beam、target 与 invariant 信息，并说明为何。
2. 用一张能量账与一张事件账区分 \(\Delta E=qV\)、\(\sqrt{s}\)、\(\mathcal L\) 和 \(N=\sigma\int\mathcal Ldt\)。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下链接均于 2026-08-30 实际打开并核对；正文重新组织，所有图均依据方程原创绘制。

1. CERN — How an accelerator works — RF acceleration, dipole steering, quadrupole focusing, fixed target and collider architecture
2. CERN — Accelerators — linac/ring comparison, energy and luminosity as accelerator performance axes
3. CERN — Accelerating: Radiofrequency cavities — RF phase, bunching, superconducting cavities and repeated energy gain
4. PDG 2022 — Accelerator Physics of Colliders — luminosity, phase-space optics, synchrotron radiation and collider limitations
5. PDG 2016 — Accelerator Physics of Colliders — Gaussian bunch luminosity formula and integrated event yield

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复习与拓展

• 下一课 Particle Detectors 将把 beam energy 与 collision products 转化为 tracks、showers、timing 和 missing transverse momentum。
• 回链 Energy, Momentum, and Reactions：所有 energy-reach 比较都应从 four-momentum invariant 开始。
• 未来扩展：Courant–Snyder parameters、emittance、longitudinal buckets、beam–beam tune shift、plasma wakefield acceleration 与 machine protection。