量子散射

Learning objectives / 学习目标

1. 由 incident plane wave 与 outgoing spherical wave 定义 \(f(\theta,\phi)\)、\(d\sigma/d\Omega\) 和 total cross section。
2. 从 Lippmann–Schwinger equation 得到 first Born approximation，并解释 momentum transfer \(\mathbf q\)。
3. 对 central potential 展开 partial waves，计算 \(\delta_\ell\)、\(\sigma_\ell\) 与 optical theorem。
4. 用 phase shift 通过 \(\pi/2\) 识别 resonance，区分 resonance energy、width 与 lifetime。
5. 检查 flux normalization、reduced mass、short-range 条件、unitarity 与 identical-particle 修正边界。

Prerequisites / 先修知识

• Wave Functions and Probability：probability current。
• Central Potentials：radial equation、\(\ell\) barrier。
• Approximation Methods：Born series 的小参数思想。
• Legendre polynomial、solid angle 与 Fourier transform。

Scope and conventions / 范围与约定

• 两体弹性散射化为相对坐标，质量取 reduced mass \(\mu\)；center-of-mass frame 中 \(k=\sqrt{2\mu E}/\hbar\)。
• 入射沿 \(+z\)，远场 \(r\) 大于 potential range；\(f\) 的单位是 length，cross section 单位是 \(\mathrm{m^2}\)。
• 默认 distinguishable particles、real short-range central potential；Coulomb long range 需要 modified asymptotics。
• plane-wave normalization 与 Green function convention 固定为本课公式；换 convention 时 \(2\pi\) 因子必须整体一致。
• 本课不处理 inelastic channels、spin-dependent scattering、relativistic S-matrix 或 many-body targets。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Scattering amplitude and differential cross section / 散射振幅与微分截面

Knowledge ID: P07-U07-L03-K01

远离 localized target，stationary solution 采用 asymptotic form

\[\psi(\mathbf r)\sim e^{ikz}+f(\theta,\phi)\frac{e^{ikr}}{r}.\]

plane wave 提供 incident flux \(j_{\rm in}=\hbar k/\mu\)；spherical wave 在 solid angle \(d\Omega\) 中的 radial flux 给

\[\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{r^2j_{\rm sc}}{j_{\rm in}}=\lvert f(\theta,\phi)\rvert^2, \qquad \sigma=\int\lvert f\rvert^2d\Omega.\]

\(f\) 的 phase 虽不直接出现在单一角度强度中，却通过 interference、optical theorem 与多中心散射可测。

图 1 给出 scattering boundary condition；红箭头是 far-field directions，不是 classical trajectories。

图 2 把 detector area、solid angle 与 cross section 的 operational definition 对齐。

图 3 用 impact parameter 提供 \(\ell\sim kb\) 的直觉；quantum calculation 仍由 wave amplitude 完成。

2. Born approximation / 玻恩近似

Knowledge ID: P07-U07-L03-K02

Lippmann–Schwinger equation 是

\[\lvert\psi^{(+)}\rangle=\lvert\mathbf k\rangle+ \frac{1}{E-H_0+i0}\,V\lvert\psi^{(+)}\rangle.\]

以 incident plane wave 替换右侧 exact state 得 first Born amplitude

\[f_B(\mathbf q)=-\frac{\mu}{2\pi\hbar^2} \int e^{-i\mathbf q\cdot\mathbf r}V(\mathbf r)d^3r, \qquad \mathbf q=\mathbf k'-\mathbf k.\]

对 elastic scattering，\(q=2k\sin(\theta/2)\)。因此 angular pattern 是 potential 的 spatial Fourier transform。Born approximation 适合 weak potential 或 high energy；它常在低能强散射、near resonance 和长程 Coulomb forward direction 失效。

判断 Born 是否可信时，不能只说“入射能量很高”。还要比较势在一个穿越时间内积累的相位是否很小，并查看算出的 partial amplitudes 是否接近 unitarity 上限。若 Born 结果随耦合增强无限长大，而精确弹性通道必须满足 \(\sin^2\delta_\ell\le1\)，这就是近似已经越界的直接信号。对于长程势，远距离的大量微小偏转还能累积成显著 forward amplitude，因而需要修改渐近态而非简单截断积分。

图 4 定义 momentum-transfer triangle；注意本课 \(\mathbf q\) 是 wave-vector transfer，真实 momentum transfer 为 \(\hbar\mathbf q\)。

图 5 是 Yukawa-type potential 的 Born amplitude：较短 range（较大 \(\alpha\)）使 Fourier pattern 更宽。

3. Partial-wave analysis / 分波分析

Knowledge ID: P07-U07-L03-K03

central potential 保持 \(\ell\)，可将 amplitude 写成

\[f(\theta)=\frac{1}{k}\sum_{\ell=0}^{\infty}(2\ell+1)e^{i\delta_\ell}\sin\delta_\ell\,P_\ell(\cos\theta).\]

各通道 cross section 与总截面为

\[\sigma_\ell=\frac{4\pi}{k^2}(2\ell+1)\sin^2\delta_\ell, \qquad \sigma=\sum_\ell\sigma_\ell.\]

elastic unitarity 给 \(\lvert S_\ell\rvert=1\)。forward amplitude 还满足 optical theorem：

\[\sigma_{\rm tot}=\frac{4\pi}{k}\operatorname{Im}f(0).\]

低能 \(kR\ll1\) 时 centrifugal barrier 抑制 \(\ell>0\)，通常由 \(s\) wave 主导；但 identical fermions 的 symmetry 可排除某些 channels。

图 6 不是 universal numerical spectrum，而是 \(kR\) 小时 high-\(\ell\) 通道被 barrier 过滤的图景。

图 7 将 phase shift 解释为相对 free radial wave 的远场节点偏移；它汇总了 potential region 的全部影响。

图 8 的 Argand trajectory 表示 elastic amplitude 受 unitarity 约束，不可任意增大。

4. Resonances and phase shifts / 共振与相移

Knowledge ID: P07-U07-L03-K04

当 centrifugal barrier 或 attractive pocket 支持 quasi-bound state，某个 \(\delta_\ell(E)\) 在 \(E_r\) 附近迅速通过 \(\pi/2\)。Breit–Wigner form 可写为

\[\sin^2\delta_\ell(E)\approx \frac{(\Gamma/2)^2}{(E-E_r)^2+(\Gamma/2)^2}, \qquad \tau\sim\frac{\hbar}{\Gamma}.\]

\(\Gamma\) 是 energy width，不是 rate；\(\Gamma/\hbar\) 才是 inverse-time scale。background phase 与 overlapping channels 会使 line shape 不对称，不能每个峰都机械拟合成 isolated Lorentzian。

图 9 使用 \(E_r=3\)、\(\Gamma=1\) 的 normalized Lorentzian schematic；半高交点严格位于 \(E_r\pm\Gamma/2\)，两点之差才是 full width at half maximum。

图 10 是 scattering decision map；Born 与 partial waves 不是互斥语言，但控制条件不同。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — 由 amplitude 积分 total cross section

已知。 \(f(\theta)=a\cos\theta\)，\(a=2.00\,\mathrm{fm}\)。
系统、参考系与模型。 distinguishable elastic scattering，入射沿 \(+z\)，azimuthal symmetry。
计算。 \(d\sigma/d\Omega=a^2\cos^2\theta\)；\(\sigma=2\pi a^2\int_0^\pi\cos^2\theta\sin\theta d\theta=4\pi a^2/3=16.8\,\mathrm{fm^2}\)。
检查与解释。 \(f\) 是 length，因此截面为 area；前后方向最大、\(90^\circ\) 为 node。结果非负且 finite。

Worked Example 2 — Yukawa Born amplitude

已知。 用 \(f_B=-A/(q^2+\alpha^2)\)，\(A=1.00\,\mathrm{nm^{-1}}\)、\(\alpha=2.00\,\mathrm{nm^{-1}}\)、\(k=3.00\,\mathrm{nm^{-1}}\)，\(\theta=60.0^\circ\)。
系统与模型。 center-of-mass elastic scattering；weak screened potential，first Born valid。
计算。 \(q=2k\sin30^\circ=3.00\,\mathrm{nm^{-1}}\)，\(f_B=-1/(9+4)\,\mathrm{nm}=-0.0769\,\mathrm{nm}\)，\(d\sigma/d\Omega=5.92\times10^{-3}\,\mathrm{nm^2\,sr^{-1}}\)。
检查与解释。 \(A/(q^2+\alpha^2)\) 单位 nm；large angle 增大 \(q\) 并压低强度，符合 screened smooth potential 的 forward peaking。

Worked Example 3 — 低能 \(s\)-wave scattering length

已知。 \(a_s=0.400\,\mathrm{nm}\)、\(k=0.200\,\mathrm{nm^{-1}}\)，采用 \(f_0=-a_s/(1+ika_s)\)。
系统与模型。 distinguishable particles、short-range potential、仅 \(s\) wave。
计算。 \(\sigma=4\pi\lvert f_0\rvert^2=4\pi a_s^2/(1+k^2a_s^2)=2.00\,\mathrm{nm^2}\)（3 s.f.）。
检查与解释。 \(ka_s=0.0800\ll1\)，接近 threshold limit \(4\pi a_s^2=2.01\,\mathrm{nm^2}\)；denominator 提供 elastic unitarity correction。

Worked Example 4 — \(p\)-wave resonance 的 unitarity peak

已知。 \(\ell=1\)，\(k_r=2.00\,\mathrm{fm^{-1}}\)，resonance center 有 \(\delta_1=\pi/2\)。
系统与模型。 单一 elastic channel，background 可忽略。
计算。 \(\sigma_1=(4\pi/k_r^2)(2\ell+1)\sin^2\delta_1=(4\pi/4)3=3\pi=9.42\,\mathrm{fm^2}\)。
检查与解释。 达到该 partial wave 的 unitarity maximum；若测得更大且仍声称单一 \(p\) channel，说明 normalization、inelastic channels 或背景处理有误。

Lesson synthesis / 全课综合

从 observable 倒推理论：先用 flux 定义 \(d\sigma/d\Omega\)；弱/高能时用 potential Fourier transform 的 Born picture；central potential 下用 phase shifts 保证 unitarity；低能只保留少数 \(\ell\)；若 \(\delta_\ell\) 快速过 \(\pi/2\)，再用 resonance width 连接 lifetime。每一步都要声明 reduced mass、normalization 与 asymptotic range。

更具体地说，实验给出的角分布不是势函数的“照片”。Born 近似下它主要读取势的傅里叶分量，但测量通常只给振幅绝对值平方，phase information 还要借助干涉或 optical theorem。分波方法则把同一信息重新组织为各角动量通道的相移：低能粒子只能穿透少数 centrifugal barriers，高能粒子可调用更多 \(\ell\)。因此判断一个峰是否为共振，不能只看截面变大，还要检查相移随能量的连续变化、峰宽是否与 lifetime 相容，以及各通道的 unitarity 是否满足。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

1. Coulomb potential 不够 short range，standard plane-plus-spherical asymptotics 与 partial sums 需修正。
2. Inelastic scattering 有 \(k_f/k_i\) flux factor，\(d\sigma/d\Omega\) 不再仅为 \(\lvert f\rvert^2\)。
3. Born approximation 可能违反 partial-wave unitarity，尤其 near resonance。
4. Identical particles 要 (anti)symmetrize \(f(\theta)\pm f(\pi-\theta)\) 并避免 double counting final states。
5. Spin、internal target excitation 与 coupled channels 将 \(S_\ell\) 推广为 matrix。
6. Breit–Wigner 只适合 isolated pole plus slowly varying background。
7. Cross section 是 ensemble flux ratio，不是单粒子几何“撞中面积”。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “散射粒子沿图中的红线经典飞行。” 红线标记 outgoing wave directions；quantum amplitude 在所有方向同时存在。
2. “\(f\) 就是 probability。” \(f\) 有长度单位且带 phase；\(\lvert f\rvert^2\) 才给每立体角截面。
3. “Born 对高 barrier 也因能量高就总有效。” 应检验 integrated phase/coupling；forward long-range 部分仍可能失败。
4. “高 \(\ell\) 永远不重要。” 低能 short-range 时常被抑制；高能时可有许多 partial waves。
5. “phase shift 只是任意整体相位。” 它是 interacting 与 free asymptotic radial wave 的相对相位，影响可观测截面。
6. “任何峰都是新粒子/准束缚态。” threshold cusp、interference 与 detector acceptance 也可造峰，需 phase motion 与 channel analysis。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01： 说明 \(f\) 的单位并由 flux 推出 cross-section 单位。
2. K01： 若 isotropic \(f=a\)，求 total cross section。
3. K02： elastic scattering 中 \(\theta=180^\circ\) 时 \(q\) 是多少？
4. K02： 为什么 Born amplitude 反映 potential 的 spatial scale？
5. K03： \(\delta_0=0.20\)、\(k=1.0\,\mathrm{nm^{-1}}\)，求 \(\sigma_0\)。
6. K03： 写出 optical theorem 并说明它体现什么守恒。
7. K03： \(kR\ll1\) 时为何 \(s\) wave 常主导？
8. K04： 若 \(\Gamma=1.0\,\mu\mathrm{eV}\)，估算 lifetime。
9. K04： isolated resonance center 的 \(\delta_\ell\) 约多少？
10. 综合： 强低能势出现窄峰时，应选 Born 还是 partial-wave method？列出两项审计。

Exit ticket / 离堂检验

1. 用一条式子把 \(f\)、\(d\sigma/d\Omega\) 与 detector count rate 连接起来。
2. 解释“Born 看 Fourier transform、partial waves 看 phase shifts”怎样描述同一 potential，而非两个不同实验。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下来源均于 2026-08-30 实际打开核验。

1. MIT OCW 8.06 (2018), Chapter 7: Scattering
2. MIT OCW 8.06, Scattering and Identical Particles lectures
3. University of Texas at Austin, Upper-Division Quantum Mechanics Notes
4. MIT OCW 22.101 Applied Nuclear Physics, Lecture 7: Partial Waves and Phase Shifts
5. MIT OCW 8.06 (2016), Readings and detailed scattering syllabus

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复习与拓展

• 下一课加入 exchange symmetry 后，identical-particle angular pattern 会出现 \(f(\theta)\pm f(\pi-\theta)\)。
• Atomic/nuclear units 将使用 resonance width、cross section 与 selection rules。
• 可数值积分 radial equation，提取 \(\delta_\ell\) 并验证 optical theorem。
• 多通道扩展以 unitary \(S\) matrix 取代 scalar \(e^{2i\delta_\ell}\)。