苹果与月亮之间

前置知识： 速度与加速度、圆周运动、开普勒定律；公式采用现代记号。

一、苹果故事留下的问题，比故事本身更重要

人们常把万有引力的发现讲成一个瞬间：苹果落下，牛顿便理解了宇宙。这个故事确有早期文字根据，却不是发现当年的现场记录。威廉·斯图克利在 1752 年写成的回忆中，追述自己于 1726 年拜访晚年牛顿，听他谈到落苹果引发的思考。记载没有苹果砸中头的情节，也不能用来证明一套成熟理论在那个下午突然完成。斯图克利回忆原文；皇家学会手稿目录

不过，故事保留了一个很好的问题。地面物体受到向下的作用，这种作用会在高处突然停止吗？若它一直延伸到月球，月球为什么没有掉下来？

回答这个问题，首先需要改变对运动的看法。若认为一切运动都要有某种力量不断向前推动，就容易把月球的绕行当成一种特殊的天上运动。惯性观念则把问题改成：物体若不受合力，将沿直线匀速前进；月球偏离这条直线、不断改变速度方向，是什么造成的？

二、轨道可以是一种持续的下落

把一个物体水平抛出，它一边前进，一边下落。若增加水平初速度，它在相同时间里前进得更远。如果地面不是无限延伸的平面，而是一颗球的表面，那么在足够大的速度下，物体下落时，地表也沿着球面不断弯向下方。

于是，物体可以始终向地心加速，同时始终绕过地面。轨道运动并不是重力消失后的运动，也不需要额外添加一股沿轨道向前推的力。

图 1　原创数值模型。球体半径取为单位，从距球心 1.15 倍半径处水平出发，比较当地圆轨道速度的 0.25、0.70 和 1.00 倍。不计空气阻力，采用指向球心的平方反比引力；到达球面即停止计算。这是说明概念的现代模型，不是牛顿做过的发射实验。

这里最容易混淆的是速度与加速度。圆轨道上，速度沿切线，加速度指向圆心；二者方向不同。物体可以保持速率不变，却因速度方向持续变化而具有加速度。“下落”在此指向中心的加速，并不要求到中心的距离越来越小。

这张图先让我们看见统一解释的可能性，但它本身不能证明自然界真的服从平方反比。图中已经把这条力律作为计算条件输入；接下来必须追问：历史上的研究者凭什么选择它？

三、从许多人的问题，走向一本《原理》

牛顿面对的不是一片空白。伽利略把地面落体与抛体写成可检验的数学关系；开普勒从观测中整理出行星运动规律；惠更斯研究圆周运动。胡克、克里斯托弗·雷恩和哈雷也讨论天体吸引与距离平方反比的联系。牛顿在《原理》第一卷的注释中提到他们，说明这个问题属于当时一个相互竞争、交流的研究网络。

但猜到一种距离关系，距离建立完整动力学还很远。什么样的力能够产生椭圆？力应该指向哪里？已知初始位置与速度，怎样判断轨道？如果各天体彼此吸引，又如何从理想两体推广到真实太阳系？每一步都需要证明或比较。

1665—1666 年的研究是牛顿工作的早期阶段，不能直接等同于后来完整的万有引力体系。1684 年哈雷来访后，牛顿整理出关于轨道运动的研究，并在同年送出《论运动》稿件。随后数年的扩充，形成 1687 年出版的《自然哲学的数学原理》，通常简称《原理》。哈雷推动出版并承担费用，也是这本书得以面世的重要条件。Newton Project 生平年表；1684 年《论运动》原文

《原理》的成就不只是一条引力公式。它把运动定律、数学方法、天文资料与地面实验组织成了一个可以互相约束的体系。

四、先给不同运动建立共同语言

牛顿在书的开头区分物质的量、运动量和各种力。用现代记号，质点的动量为 \(\boldsymbol p=m\boldsymbol v\)。同样的速度变化，对不同质量的物体意味着不同的动量变化；只说物体“动得多快”，不足以描述相互作用。

随后出现三条运动定律。第一定律把静止与匀速直线运动放在同一地位，并使“合力造成运动状态变化”成为出发点。第二定律联系所施加的力、运动量的变化及其方向。第三定律说明两个物体相互作用时，双方的作用大小相等、方向相反。

图 2　《原理》1687 年首版，印刷第 12 页，完整列出第一、第二定律。页底的“Lex. III”只是接下页的提示，第三定律正文在第 13 页。Wellcome Collection，馆藏 EPB/B/38606，公共领域。

原书没有直接印出今天熟悉的 \(F=ma\)。对于惯性参考系中的固定质量质点，把第二定律用现代连续变化的形式表达，可以写为

\[\sum\boldsymbol F=\frac{d\boldsymbol p}{dt}=m\boldsymbol a.\]

式子里的合力很关键。向前运动不意味着向前合力，静止也不意味着没有任何力。第三定律中的两个力还必须分属两个物体，不能把它们放到同一个物体的受力图里相互抵消。1687 年定义；三定律与推论原文

有了这些区分，摆球、碰撞、抛体与行星不再各自需要一套互不相干的基本语言。它们的条件不同，分析运动变化的规则却可以相同。

五、面积定律为什么会透露力的方向？

开普勒第二定律说，行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积。它看起来是一条关于几何图形的规律，牛顿却从中读出了动力学信息。

《原理》第一卷的开头，用一条折线近似连续轨道。物体在两次短促作用之间匀速直线前进，到某个点时，再接受一次指向固定中心 S 的冲量。把时间间隔逐渐缩小，折线便趋近光滑曲线。

图 3　1687 年首版印刷第 37 页，第一卷第二节命题一。S 是力中心，A、B、C……表示相等时间间隔的构造点；小写 c、d……标记不受下一次冲量时的延长位置。这一页讨论面积关系，不能把它标成平方反比定律的原图。来源与许可同图 2。

原图线条较密，可以只取最初一步重新画出。物体从 A 到 B 后，若没有新的作用，将在下一个相等时间到达 c，因而 \(AB=Bc\)。三角形 SAB 与 SBc 的底边等长、到 S 的高相同，所以面积相等。

若在 B 受到指向 S 的冲量，随后到达的位置改成 C。位置差 \(cC\) 平行于 BS，因此 C 与 c 到直线 SB 的垂直距离相同；三角形 SBC 与 SBc 也就等面积。合起来，SAB 与 SBC 等面积。

图 4　原创分步几何图。左侧先利用相等时间中的匀速运动得到两块等面积三角形；右侧再利用 \(cC\parallel BS\)，说明中心方向的冲量不改变下一块三角形面积。\(cC\) 表示有、无冲量时的终点差，不是物体从 c 突然跳到 C。

这个证明的力量，在于它没有先指定中心力随距离怎样变化。只要力始终指向固定中心，就能建立相应的面积关系。用今天的语言，这是关于该中心的力矩为零、角动量守恒的几何表现。

因此必须区分：**等时等面积告诉我们中心力的结构，单靠它还不能推出平方反比。**要确定距离关系，还需要轨道形状、周期等额外信息。《原理》第一卷，命题 I、IV、XI

六、从周期关系走到平方反比

先用近圆轨道作一个现代推导。半径为 \(r\)、周期为 \(T\) 的匀速圆周运动，需要向心加速度

\[a=\frac{v^2}{r}=\frac{4\pi^2r}{T^2}.\]

若绕同一个中心运动的这些轨道满足 \(T^2\propto r^3\)，就得到

\[a\propto\frac{1}{r^2}.\]

行星周期和距离之间的观测关系，由此成为判断力如何随距离变化的线索。它把天文表格中的数字，与地面力学中的加速度连了起来。

但真正的开普勒第三定律使用椭圆的半长轴，不能把椭圆每一处的瞬时距离直接放进同一个圆周运动推导。牛顿还需要研究椭圆焦点、轨道曲率和作用方向，证明轨道与力律之间更完整的关系。《原理》的几何、比例与极限论证承担了这项工作；它的书写面貌也不同于今天满页微分方程的力学教材。

七、把月球的加速度与地面的重力放在一起

现在可以返回苹果与月亮的问题。若同一种重力按距离平方反比减弱，月球距地心约为地球半径的 60 倍，那么那里的重力加速度应约为地面的 \(1/60^2\)。

另一方面，月球的轨道大小与周期，可以独立估计维持其绕行所需的加速度。两条计算路径是否得到相近结果，才是有内容的比较。

图 5　原创现代估算。左侧取月地距离约 \(3.84\times10^8\) m、恒星月约 27.3 天；右侧取 \(g\approx9.8\) m/s²、距离比约 60。两者都给出约 \(0.0027\) m/s²。数值是现代取整教学值，不是牛顿当年的原始数据或精度报告。

这个比较不是把两种量凑成同一单位后就宣告成功。左边来自月球的运动，右边来自地面重力与候选距离规律；两条证据能够相接，才支持把天上与地面的作用放入同一解释。

计算仍有近似：月轨道不是正圆，地球和月球绕共同质心运动，太阳也会改变它们的相对运动。牛顿的体系必须容纳这些进一步的问题，不能把一张近似相符的表格当成对所有细节的最终解决。《原理》第三卷，命题 IV

八、“普遍”意味着每个物体都参与相互作用

用现代记号，两个质点间引力大小为

\[F=G\frac{m_1m_2}{r^2}.\]

这不只是“太阳吸引行星”或“地球吸引月球”。行星也吸引太阳，月球也吸引地球；作用双方对称，任何一方都不是天生不动的舞台。对球对称物体，在彼此不重叠、考察外部引力的适用条件下，才可以把质量集中到各自中心来使用这个形式。把许多微小部分的作用合成整个球的作用，本身就是需要证明的数学问题。

引力中的质量与运动定律中的惯性质量之间为何保持同样比例，也是需要实验支持的关系。牛顿在不同材料的摆上比较运动，检验重量与物质的量的关系；这类工作给出有限精度内的证据，不能说已经在无限精度下证明一切材料完全相同。

图 6　原创示意。质量分别为 \(m\) 与 \(4m\) 时，相互引力大小相等；较轻物体的加速度是较重物体的 4 倍。力箭头只能与力箭头比较，加速度箭头只能与加速度箭头比较；图中质量比不是实际地月质量比。

这也回答了一个常见疑问：既然地球吸月球、月球吸地球，为什么没有互相抵消？因为两个力作用在不同物体上。把二者作为一个系统时，内力相消决定的是系统总动量的变化，不意味着每个成员都没有加速度。

九、统一理论必须继续接受新的检验

《原理》把引力研究延伸到地球形状、潮汐、月球运动与彗星。这样的统一越广，接受检验的入口也越多。地球并非完美球体，其他天体的作用不能永远忽略；观测与理论不一致时，需要检查测量、初始条件、近似和理论本身。

彗星回归是一个著名例子。哈雷在 1705 年利用牛顿力学研究过去的彗星记录，提出 1531、1607、1682 年出现的彗星可能是同一个天体，并预言它会返回。后来克莱罗、拉朗德与妮科尔-雷讷·勒波特进一步计算木星、土星等造成的主要摄动。1758 年末彗星再度被观测到，1759 年经过近日点，提供了一次面向未来的检验。NASA：哈雷彗星；巴黎天文台：回归预报

这不是一个人写出公式后，其他人只需等待答案的过程。长期观测、轨道辨认、繁重计算与多人协作，把抽象法则变成可以核对的预报。与此同时，月球运动等问题仍持续推动新的计算方法。

十、知道怎样运动，不等于知道作用怎样传递

牛顿引力理论能够说明许多运动，却没有给出后来意义上已经验证的引力传播机制。1693 年致理查德·本特利的信中，牛顿也没有把毫无媒介的远距作用当作一种不言自明的物质属性。牛顿致本特利原信

常被引用的“我不虚构假说”，出现在 1713 年第二版新增的《总释》中，不能放回 1687 年初版当作原句。这里的关键是区分已经从现象建立的数学关系，与尚未得到充分根据的机制解释；并不意味着牛顿一生从来不提出假设。《总释》，1729 年英译文本

苹果与月亮之间建立起来的，是一座可以计算和检验的桥。地面与天上开始进入共同的运动框架，新的困难也随之显现：对象更多、约束更复杂时，怎样组织计算？下一篇将沿着这个问题，走向分析力学、作用量和对称性。

时间线：从运动问题到普遍引力

与物理知识体系的连接

• 牛顿定律与相互作用：区分速度、加速度、合力及作用反作用。
• 系统与质心：为何相互吸引的两体都运动，而系统质心可保持匀速。
• 牛顿引力：质点、球对称条件与平方反比关系。
• 轨道与开普勒定律：从运动描述转向动力学解释。
• 中心力方法：面积关系、角动量与轨道分析。
• 等效与弯曲时空：后来理论怎样重新理解引力与惯性的关系。

读后思考

1. 圆轨道上的物体与地心距离不变，为什么仍可说它在向地心“下落”？
2. 图 4 证明等时等面积时，是否用到了力与距离平方反比？
3. 为什么图 5 要比较两条独立计算路径，而不能只画出一条漂亮的绕行轨迹？
4. 地球与月球之间的引力大小相等，为什么它们的加速度不同？
5. 能够准确预报某种运动，是否意味着已经知道作用如何在空间中传递？