描述微观世界的新语言

前置知识： 波、驻波、动量、能量与原子能级；矩阵、波函数和概率解释会在文中介绍。

1920 年代初，量子理论已有一批引人注目的成果。玻尔模型解释了氢原子光谱中的重要规律，能量量子和光量子也在辐射研究中发挥作用。

问题是，这些成果还没有组成一套适用于微观世界的完整力学。研究者一面使用经典轨道和电磁理论，一面又必须加入经典理论没有给出的量子条件。遇到更复杂的原子、谱线强度与磁场中的精细结构时，这种拼接越来越困难。

后来被称为量子力学的新理论，没有沿着唯一的道路诞生。有人重新安排可计算的物理量，有人寻找物质波的方程，还有人追问方程与实验概率怎样相连。它们最终汇入一个可以共同使用的数学框架。

一、德布罗意：如果光有粒子性，物质能否有波动性？

波长成为一种可检验的联系

德布罗意（Louis de Broglie）在 1923—1924 年发展物质波的想法，并将相关工作写入博士论文。光的波动性质与粒子性质既然必须一起考虑，电子等物质粒子是否也需要类似的新描述？德布罗意诺贝尔演讲：电子的波动性

最著名的关系是：

\[\lambda=\frac{h}{p}.\]

这里的 \(p\) 是动量，\(h\) 是普朗克常数。它把粒子力学中的动量与波动描述中的波长联系起来。电子仍能以局域事件被探测，但它在传播和叠加中表现出的规律，不能完全由经典小球模型代替。

一个现代量级例子：忽略初始动能、采用非相对论近似，让电子经过约 \(150\ \mathrm V\) 电势差加速，可由 \(p=\sqrt{2meV}\) 得到约 \(0.10\ \mathrm{nm}\) 的德布罗意波长。这个尺度与晶体中原子间距相近，因此晶体有可能成为电子波的衍射结构。

1927 年，戴维孙（Clinton Davisson）与革末（Lester Germer）报告镍晶体对电子的散射规律，显示出与波动描述相符的衍射。G. P. 汤姆孙（George Paget Thomson）及合作者也通过电子穿过薄膜的实验取得衍射证据。Davisson 与 Germer，1927；1937 年诺贝尔奖相关历史说明

注意这里的时间顺序：物质波提出以后，量子力学的数学工作已经在推进；1927 年的衍射实验为新图像增添了有力证据。不能把历史写成每个想法都先等实验完全定案，下一步理论才开始。

二、海森堡：先问理论应当计算哪些量

从轨道位置，转向状态之间的关系

经典力学常从 \(x(t)\) 出发，描述粒子每一时刻在哪里。但在原子中，研究者直接得到的往往是谱线频率、强度和跃迁规律，而不是绕核运行的电子影片。

1925 年，海森堡（Werner Heisenberg）尝试重新解释力学量的表达方式，使理论围绕与原子状态和跃迁相联系的量展开。一个量不再只附属于某条轨道，还带有两个状态的指标。Heisenberg，1925

玻恩（Max Born）认识到其中的乘法结构与矩阵有关，并与约尔丹（Pascual Jordan）等人发展出系统形式。海森堡、玻恩、约尔丹以及狄拉克（Paul Dirac）的工作，使这种新语言逐渐成为能够运算的理论。Heisenberg 诺贝尔演讲

相乘的顺序，开始具有物理意义

普通实数满足 \(ab=ba\)，矩阵却一般不满足这个关系。比如，取一个变换先翻转某个分量，再交换两个分量，与先交换再翻转，结果就可能不同。

量子力学中，位置和动量的算符满足特定的对易关系。现代记法是：

\[[\hat x,\hat p]=\hat x\hat p-\hat p\hat x=i\hbar.\]

帽子表示这里使用的是算符，\(\hbar=h/(2\pi)\)。初学者不必立即掌握完整矩阵计算，但要看出改变有多深：新的规律涉及物理量之间怎样相互作用，不能只把经典公式中的数值换得更小。

“先做什么、后做什么”也不应粗略等同于两个理想测量的全部实验过程。算符乘积是理论运算；测量还涉及状态制备、装置和结果。区分这些层次，才能准确使用新语言。

三、薛定谔：另一条路线，从波与边界条件出发

原子能级能否像驻波一样出现？

一根两端固定的弦，并不允许任意波长的驻波。边界条件筛选出特定模式。德布罗意的物质波启发人们追问：原子中的离散能量，是否也能够从一种波动方程与相应条件中自然产生？

1926 年，薛定谔（Erwin Schrödinger）发表波动力学的一系列工作。它为定态和能量提供了新的求解方法，也让熟悉微分方程的研究者找到一条进入量子问题的路线。Schrödinger：Quantisierung als Eigenwertproblem，1926

这个简化模型中，粒子被限制在长度为 \(L\) 的区间内，两端波函数为零。允许的定态能量为：

\[E_n=\frac{n^2h^2}{8mL^2},\qquad n=1,2,3,\ldots\]

因此前几个能量之比是 \(1:4:9\)。同一种粒子若被限制到原来一半的长度，对应能级增为四倍。这是模型给出的可计算联系，不是说所有原子能级都遵守 \(n^2\) 规律；氢原子的势能不同，能谱也不同。

两种数学形式，逐步成为同一个理论的不同表示

波动力学看起来使用连续函数，矩阵力学看起来使用离散指标。它们起初给人的直观很不相同，研究者也对怎样解释这些数学对象有过分歧。

随后，二者在共同适用的框架内的联系被逐步建立。选定一组基底，波函数可以展开成一列系数，算符可以写成矩阵；改变表示不应改变对同一实验的预测。这是今天整理理论时的语言，不能假装所有历史上的解释困难都在同一天消失。关于两种形式及其等价问题的物理史研究

真正尚待回答的问题，是波函数究竟怎样与探测结果相联系。仅仅会求一个波动方程，还不等于已经知道实验会看到什么。

四、玻恩：波动方程怎样给出概率？

波函数不是一层普通物质的厚薄

1926 年，玻恩在研究碰撞与散射时，将波函数同实验结果出现的概率联系起来。这使新理论能够讨论电子向不同方向散射的可能性，而不必先给每个电子指定一条无法测得的经典路线。Born，1926

采用今天的单粒子位置表示，归一化的波函数 \(\psi(\mathbf r)\) 给出概率密度 \(|\psi(\mathbf r)|^2\)。在某个区域找到粒子的概率，要把概率密度在这个区域积分；一个点的曲线高度与一个有限区域的概率并不相同。

图中上半部分的负值，不表示“负的电子数量”。整体把波函数变号，也不改变它的概率密度。但不同部分或不同路径之间的相对相位，可能影响叠加以后的结果。

例如，对于能够保持相干的两条路径，先加的是相应概率幅 \(a\) 与 \(b\)，再计算 \(|a+b|^2\)。它一般不等于 \(|a|^2+|b|^2\)，多出的交叉项正是干涉的重要来源。

这使量子概率不同于简单地把两堆经典粒子的数量相加。若路径信息被其他自由度可靠记录，干涉条件就会改变；决定因素是物理关联与相干性，不是有没有一个人盯着屏幕。

后来的实验，让这种区别变得直观

外村彰（Akira Tonomura）团队的真实单电子干涉实验，可以在日立原站查看。装置采用电子双棱镜，并不是在不透明板上简单开两道缝；相关论文发表于 1989 年，不是 1920 年代的发现照片。每次探测留下局域的点，许多次事件的分布却形成条纹。把电子一个一个送入，说明不能简单依赖“很多电子彼此碰撞，才排出条纹”的解释。

下面另画一幅原创教学模型，用来说明“单个事件”与“整体分布”的区别，不复制原实验图片：

概率解释没有使物理学停止预测。它改变了预测的对象：理论给出不同结果的概率、平均值和关联，再通过重复实验检验。一个具体点落在哪里通常无法预先确定，并不妨碍整体分布被严格比较。Born 诺贝尔演讲：量子力学的统计解释

五、不确定关系：为什么不能把波包无限收窄而什么都不改变？

1927 年，海森堡讨论了位置、动量等概念在量子理论中的关系。后来形成的严格标准差表述，对于通常的位置和动量算符写作：

\[\Delta x\,\Delta p\geq\frac{\hbar}{2}.\]

\(\Delta x\) 与 \(\Delta p\) 是同一种状态中相应测量分布的标准差。它们不是随意写在测量结果后面的仪器误差条，也不是“同一次测量的两个读数必然偏差这么多”的简单口号。Heisenberg，1927

波包为理解这个关系提供了入口。要把空间中的波集中到较窄区域，通常需要叠加更宽的一组波数；由 \(p=\hbar k\)，这也对应更宽的动量成分。量子状态本身的结构已经包含这种限制。

仪器与被测体系当然会相互影响，但如果把不确定关系全部归因于“测量时碰了一下电子”，就漏掉了它对同样制备状态的统计分布所作的约束。反过来，也不能由一个宽度关系直接推出全部测量理论。

不确定关系也不是“任何事情都不可知”。能量、位置或某个自旋分量，在适当状态下可以具有很明确的预测；限制取决于选择哪些量、它们的数学关系以及状态的性质。

六、自旋、泡利原理与相对论：新语言继续扩展

电子还需要怎样的状态标签？

1925 年，泡利（Wolfgang Pauli）提出不相容原理，处理原子谱线与电子状态的组织问题。同年，乌伦贝克（George Uhlenbeck）与古兹米特（Samuel Goudsmit）提出电子自旋的想法，为相关的两值性质提供新的解释。Pauli 诺贝尔演讲

今天，自旋被理解为一种内禀量子角动量。沿选定轴测量电子自旋分量，可能得到 \(+\hbar/2\) 或 \(-\hbar/2\)。这不是把一个有表面的微型带电球自转速度调快，就能完整解释的性质。

“同一轨道可以容纳两个电子”和“每个单电子态最多一个电子”并不矛盾。前者的轨道只指空间部分，还没有把自旋标签包括进去。这个区别后来成为理解周期表和材料中电子占据的基础。

如果只知道一个粒子的波动方程，却不知道粒子是否相同以及如何占据状态，就仍不足以理解许多电子组成的原子和固体。

狄拉克把另一项要求带进来

量子理论也必须面对狭义相对论。狄拉克在 1928 年发表相对论电子理论，使电子自旋等性质在新的方程结构中出现，并推动了后来的反粒子研究。Dirac：The Quantum Theory of the Electron，1928

这不是说 1928 年的一篇论文已经直接给出后来量子场论的全部解释。新方程也带来负能量解等问题，对它们的理解经历了继续研究、争论与实验。现代教材中的简洁体系，是这些工作被反复整理后的结果。

七、一套能共同使用的理论，并不消除全部解释问题

到 1920 年代末，量子力学已经能系统处理许多经典图像难以处理的微观现象。状态、算符、演化和概率，形成了与实验相连的一套语言。

但研究者对理论如何描述现实、什么构成测量、波函数是否足够完备，仍有深刻分歧。这些分歧没有使成功计算自动失效，也不能被整理成“某一次会议以后，所有人都赞同同一种哲学”。

对初学者来说，可以先掌握一个可靠的阅读顺序：说明如何制备体系，写出适合的状态和动力学，明确将测量什么，再比较预测分布与实验。之后讨论解释时，才能分清哪些是共同的计算事实，哪些是对这些事实的进一步理解。

量子力学最深的变化之一，是让人们发现：放弃一幅过于狭窄的经典轨道图，并不意味着放弃清楚的物理问题。新的图像需要新的数学，而新的数学仍然必须回到可检验的结果。

八、把本篇放回时间线

九、读后思考

1. 德布罗意关系为什么能给出一个适合用晶体检验的量级？
2. 为什么图 19-1 的 \(1:4:9\) 能量比不能直接用于氢原子？
3. 波函数某处为负，是否意味着发现粒子的概率为负？
4. 不确定关系为什么不能全部归结为测量仪器不精密？
5. 为什么一个空间轨道中可有两个电子，却没有违反泡利原理？

继续学习可连接 物质波与量子证据、波函数与概率、薛定谔方程、态、基底与算符、测量与不确定关系、自旋、相同粒子。