形成与轨道结构

Learning objectives / 学习目标

• 从 disk temperature、surface density 与 Kepler motion 解释凝结线和吸积区域；
• 用 mass、radius、density、period、eccentricity 与 inclination 描述体系结构，并识别 selection bias；
• 计算 mean-motion resonance、mutual Hill spacing，区分短期规则与长期稳定；
• 解释 disk migration、planet–planet scattering、tidal synchronization 与 tidal heating 的能量和角动量账本；
• 对任何形成情景明确可观测约束、时间尺度和模型边界。

Prerequisites / 先修知识

• Orbits and Kepler's Laws：\(P^2\propto a^3\)、轨道能量与角动量；
• Angular Momentum 与 Energy, Heat, and Work；
• Telescopes and Detectors 的 selection function。

Scope and conventions / 范围与约定

• 采用以恒星为中心的 osculating elements；\(a,e,i\) 分别为半长轴、偏心率、倾角。
• 原行星盘先作轴对称、薄盘、近 Keplerian 模型；真实盘含湍流、磁场、螺旋结构和 photoevaporation。
• “rocky / giant / sub-Neptune”是观测与组成类别，不是无歧义的形成标签。
• 稳定性必须给出时间跨度；在有限积分时间内不相撞并不等价于永远稳定。
• 潮汐采用 equilibrium-tide 的定性框架；耗散参数 \(Q\) 和 Love number \(k_2\) 有模型依赖。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Protoplanetary disks and accretion / 原行星盘与吸积

Knowledge ID: P12-U02-L01-K01

分子云核坍缩时，微小的初始角动量使物质不能全部径直落入恒星，而形成旋转的 protoplanetary disk。薄盘中圆轨道角速度近似

\[\Omega_K(r)=\sqrt{\frac{GM_*}{r^3}}.\]

温度随半径降低，只有当局部温度低于某物质凝结温度时，它才贡献固体表面密度。水雪线外的冰增加可用固体量，有利于快速形成能吸积 H/He 的大质量核心。尘粒经历 sticking、fragmentation、radial drift；跨过“米级障碍”后形成 planetesimals，再由 gravitational focusing 加速增长。焦聚后的有效碰撞截面近似

\[\sigma_{\rm coll}=\pi(R_1+R_2)^2\left(1+\frac{v_{\rm esc}^2}{v_\infty^2}\right).\]

这不是单调“越撞越大”：高速碰撞会碎裂，气体阻力会令固体漂移，巨行星还必须在盘气体消散前取得包层。

图 1 把 snow line 画成温度阈值的位置；它会随恒星光度与盘演化移动，并非固定边界。

图 2 显示形成链条和逆过程；“尘埃直接变行星”的省略会隐藏最困难的尺度跨越。

2. Planet classes and orbital distributions / 行星类别与轨道分布

Knowledge ID: P12-U02-L01-K02

可观测的 bulk density 是

\[\bar\rho=\frac{3M_p}{4\pi R_p^3},\]

但相同 \(M_p,R_p\) 可由不同 core/mantle/volatile/envelope 组合产生，存在 composition degeneracy。轨道体系结构至少需联合报告 multiplicity、period ratios、\(e\)、mutual inclination 与 host properties。观测样本不是母总体：transit 偏爱短周期且近 edge-on 的轨道，radial velocity 偏爱大 \(M_p\sin i\) 与短周期。因此“热木星常见”必须经 detection efficiency 校正。

图 3 强调类别是连续参数空间上的描述，虚线不代表唯一 mass–radius law。

图 4 表示一个低互倾多行星系统；实际系统的轨道可能偏心、倾斜并存在未探测成员。

3. Resonances, migration, and long-term stability / 共振、迁移与长期稳定

Knowledge ID: P12-U02-L01-K03

若 \(P_2/P_1\approx p/q\)（\(p,q\) 为小整数），系统接近 mean-motion resonance。真正的共振要看 resonant angle 是否 librate，而不只是 period ratio 接近整数。盘的内外密度波对行星施加不等 torque，净角动量交换可使 \(a\) inward 或 outward migration；当多行星迁移会聚时可捕获入共振，后续盘消散又可能打破链条。

两颗近圆、近共面行星常用 mutual Hill radius

\[R_{\rm H,m}=\left(\frac{m_1+m_2}{3M_*}\right)^{1/3}\frac{a_1+a_2}{2},\qquad \Delta=\frac{a_2-a_1}{R_{\rm H,m}}\]

衡量间隔。对两行星的特定理想条件，Hill criterion 可给出避免 close encounter 的充分条件；对多行星、偏心或共振系统，\(\Delta\) 只是 heuristic，必须 N-body integration 并检查能量、角动量误差。

图 5 比较 resonant angle 的 libration 与 circulation；period commensurability 本身不足以判定共振。

图 6 是 torque ledger；箭头方向只是一个 inward-migration 情形，真实净 torque 可反号。

图 7 把轨道间隔与 Hill 尺度分开，避免把星际距离直接当稳定指标。

4. Tides, spin–orbit coupling, and tidal heating / 潮汐、自转—轨道耦合与潮汐加热

Knowledge ID: P12-U02-L01-K04

潮汐来自外部引力场在天体尺度上的梯度。若潮汐隆起相对两体连线有 phase lag，torque 会在 spin 与 orbit 间交换 angular momentum，同时机械能因内部摩擦转为热。孤立两体总角动量近守恒，但 mechanical energy 下降；常见终态是 synchronous rotation、较低 eccentricity，或在偏心轨道上形成其他 spin–orbit resonance。

耗散强度常以 \(k_2/Q\) 参数化。它依赖内部结构、频率与温度，不能当作普适常数。潮汐加热需非零 time-varying deformation（例如 eccentricity、obliquity 或非同步自转）；完全圆、共面且同步的理想两体极限中稳态潮汐热趋近零。

图 8 的 bulge lag 产生 torque；箭头方向取决于 spin 与 orbital mean motion 的相对大小。

图 9 显示一种超同步自转被耗散拉向 \(\Omega_s=n\) 的情形；并非所有体系都到达这一终态。

图 10 是形成推断流程：先校正探测过程，再用动力学模型产生可检验预测。

Worked examples / 完整例题

Worked Example 1 — 由温度律估算 snow line

已知： \(T(r)=280\,\mathrm{K}(r/\mathrm{AU})^{-1/2}\)，水凝结温度 \(170\,\mathrm{K}\)。系统/参考系： 一颗太阳型星周围的轴对称被动盘；\(r\) 从恒星向外。模型理由： 只求数量级，忽略黏性加热和阴影。

\[170=280\left(\frac{r}{\mathrm{AU}}\right)^{-1/2} \quad\Rightarrow\quad r=\left(\frac{280}{170}\right)^2\mathrm{AU}=2.71\,\mathrm{AU}.\]

两位有效数字为 \(2.7\,\mathrm{AU}=4.0\times10^{11}\,\mathrm m\)。量纲检查：比值平方无量纲，结果保留长度。\(T\) 随 \(r\) 降低，所以水冰在更外侧稳定，方向合理。若恒星更亮或盘有显著 viscous heating，snow line 应外移。

Worked Example 2 — Mutual Hill spacing

已知： \(M_*=M_\odot\)，\(m_1=m_2=5M_\oplus\)，\(a_1=0.100\,\mathrm{AU}\)，\(a_2=0.130\,\mathrm{AU}\)，取 \(M_\oplus/M_\odot=3.00\times10^{-6}\)。系统： 近圆、近共面两行星；半径向外为正。

\[R_{\rm H,m}=\left(\frac{10(3.00\times10^{-6})}{3}\right)^{1/3}(0.115\,\mathrm{AU}) =2.48\times10^{-3}\,\mathrm{AU},\]

\[\Delta=\frac{0.030}{0.00248}=12.1.\]

\(R_{\rm H,m}=3.71\times10^8\,\mathrm m\)。比值无量纲，数量级合理。较大的 \(\Delta\) 通常意味着更少近遇，但不能在未知 \(e\)、resonance、其他行星和所需寿命时宣称“永久稳定”。

Worked Example 3 — 2:1 commensurability 的半长轴比

已知： 同一恒星周围 \(P_2/P_1=2\)。模型： 行星质量远小于恒星，Keplerian two-body approximation。由 \(P^2\propto a^3\)：

\[\frac{a_2}{a_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/3}=2^{2/3}=1.587.\]

若 \(a_1=0.100\,\mathrm{AU}\)，则 \(a_2=0.159\,\mathrm{AU}\)（三位有效数字）。外行星周期更长且半径更大，方向正确。该计算只证明 period commensurability；必须检验 resonant angle 才能称为 resonance。

Worked Example 4 — 同步自转频率

已知： 卫星圆轨道周期 \(P=10.0\,\mathrm d\)。系统/参考系： 惯性系中的自转角速度，轨道法线定正方向；采用理想同步终态。\(P=8.64\times10^5\,\mathrm s\)，故

\[n=\Omega_s=\frac{2\pi}{P}=7.27\times10^{-6}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.\]

同步自转周期仍为 \(10.0\,\mathrm d\)。若初始自转周期 \(1.00\,\mathrm d\)，则 \(\Omega_{s,0}=7.27\times10^{-5}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}>n\)，常见 torque 会降低 spin 并把角动量送入轨道。频率量纲为 s\(^{-1}\)；具体锁定时间不能仅由 \(P\) 推出，还需 \(k_2/Q\)、半径、质量与初始轨道。

Lesson synthesis / 本课综合

形成问题的可执行链条是：盘的 \(T,\Sigma,\Omega\) 决定材料与时间尺度 → 固体增长和气体捕获产生行星 → disk torque 与多体散射重排 \(a,e,i\) → 潮汐在近距离体系继续演化 spin、orbit 与 heat → 观测选择函数把真实母总体变成样本。任何“形成故事”都必须同时通过组成、年龄、轨道分布和观测偏差四重检验。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• Thin axisymmetric disk 不含磁流体 wind、self-gravity spiral 和局部 pressure traps。
• Core accretion 不是唯一 giant-planet 机制；massive cold disks 可能 gravitationally fragment。
• 轨道分布是 formation、evolution 与 detection 的卷积，不能只反演一种过程。
• Hill spacing 不能替代长期 symplectic N-body integration；积分也要报告 timestep 与守恒误差。
• Constant-\(Q\) equilibrium tide 对频率依赖复杂的岩石、海洋或流体内部只是参数化。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “所有行星都在今天的位置形成。” 盘 torque 与散射可显著迁移半长轴。
2. “接近 2:1 就必定共振。” 必须看共振角是否 librate。
3. “大密度唯一决定岩石组成。” mass–radius inversion 有核心、包层和温度退化。
4. “潮汐会消灭角动量。” 孤立系统总角动量近守恒；耗散主要降低机械能。
5. “观测到的周期分布就是本征分布。” detection efficiency 随周期、半径、质量和几何变化。

Practice and retrieval / 练习与检索

1. [K01] 若 \(T=240(r/\mathrm{AU})^{-1/2}\,\mathrm K\)，\(T_{\rm cond}=120\,\mathrm K\)，求凝结半径。
2. [K01] 写出 gravitational focusing 显著的速度条件并解释。
3. [K02] 同质量下半径增大 20%，平均密度变为原来的多少？
4. [K02] 为什么 transit survey 偏爱短周期体系？给出两个因素。
5. [K03] \(P_2/P_1=3/2\) 时求 \(a_2/a_1\)。
6. [K03] 两行星间隔 \(0.040\,\mathrm{AU}\)、\(R_{\rm H,m}=0.0040\,\mathrm{AU}\)，求 \(\Delta\)，并说明结论边界。
7. [K03] period ratio 固定在 2.000 是否足以证明 resonance？
8. [K04] 圆轨道周期 4.00 d 的同步角速度是多少？
9. [K04] 为什么理想圆、共面、同步两体的稳态 tidal heating 趋近零？
10. [综合] 为“热木星原位形成”与“外侧形成后迁移”提出各一个可检验观测预测。

Exit ticket / 离堂检验

选一个多行星系统，只用四行写出：一个形成假说、一个可观测量、一个选择效应、一个足以推翻该假说的结果。

References and source notes / 参考资料与来源说明

本课所有 TikZ 均依据正文方程原创绘制，未复制来源插图；来源文字经重组表述。

1. OpenStax Astronomy 2e, 14.3 Formation of the Solar System — 凝结、吸积、分异与后期散射；核对 2026-08-30。
2. OpenStax Astronomy 2e, 21.3 Evidence That Planets Form around Other Stars — 原行星盘观测与时间尺度；核对 2026-08-30。
3. OpenStax Astronomy 2e, 21.6 New Perspectives on Planet Formation — migration、hot Jupiters 与散射；核对 2026-08-30。
4. NASA Astrobiology Strategy, Formation of Habitable Planetary Systems — architecture、volatile transport 与 habitability context；核对 2026-08-30。
5. Fabrycky et al., Identifying non-resonant Kepler planetary systems — resonant-angle libration/circulation 与 Hill-stability 判据的直接动力学来源；核对 2026-08-30。
6. Gladman, Dynamics of Systems of Two Close Planets — mutual-Hill separation 与近圆、近共面两行星 Hill-stability 充分条件；核对 2026-08-30。
7. Barnes, Tidal locking of habitable exoplanets — equilibrium-tide 模型中的 \(k_2\)、\(Q\)、角动量交换及同步/非同步边界；核对 2026-08-30。

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复习与拓展

• 后续可用 symplectic integrator 比较 resonance capture 与 scattering。
• Planetary Interiors, Surfaces, and Atmospheres 将把 formation history 连接到内部、挥发分与磁层。
• Exoplanets 将把 selection function 与 mass–radius inference 定量化。