辐射的量子化

Learning objectives / 学习目标

1. 从腔体模态密度和 equipartition 推出 Rayleigh–Jeans law，并指出 ultraviolet catastrophe 的数学来源。
2. 区分 \(u_\nu\)、\(u_\lambda\) 与 \(B_\lambda\)，从 Planck 分布得到 Rayleigh–Jeans、Wien limits 与 wavelength-peak displacement。
3. 用 Einstein photoelectric equation 解释 threshold frequency、stopping potential、光强与最大动能的不同角色。
4. 由 relativistic energy–momentum conservation 建立 Compton shift，并核对散射角、极限和反冲能。
5. 用 invariant threshold 解释单光子为何不能在真空中产生 \(e^-e^+\)，并分析 nuclear-field pair production 与 two-photon annihilation。

Prerequisites / 先修知识

• Electromagnetic Waves 与 Energy and Momentum of Electromagnetic Fields：\(\nu\lambda=c\)、电磁谱与能流。
• Ensembles and Partition Functions 与 Classical Applications：thermal equilibrium、Boltzmann factor 与 equipartition。
• Impulse and Momentum 与 Systems and Center of Mass：封闭系统的矢量动量守恒与系统边界。
• Energy, Momentum, and Reactions：\(E^2=p^2c^2+m^2c^4\) 与 threshold invariant。

Scope and conventions / 范围与约定

• SI 为默认单位制；粒子能量常以 \(\mathrm{eV}\) 表示，并显式换算 \(1\ \mathrm{eV}=1.602\,176\,634\times10^{-19}\ \mathrm{J}\)。
• 黑体是与壁温 \(T\) 达到热平衡的理想腔辐射；\(u_\nu\) 是每体积、每频率的能量密度，\(B_\lambda\) 是每面积、每立体角、每波长的 spectral radiance。
• 光电 stopping potential \(V_s\) 表示反向电势差的正大小，故 \(eV_s=K_{\max}\)；若画有符号电压轴，截止点在 \(V=-V_s\)。
• Compton 模型取实验室系中初始电子静止且近似自由；\(\theta\) 是入射与散射 photon 的夹角。
• Pair-production threshold 用初始靶静止的实验室系；核质量记 \(M\)，电子静质量记 \(m_e\)。不讨论 QED 截面推导。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Failure of classical blackbody theory / 经典黑体理论的失效

Knowledge ID: P07-U01-L01-K01

1.1 研究对象：thermal cavity，而非“任意热物体”

在带小孔的封闭腔内，电磁场与壁达到 thermal equilibrium。小孔发出的谱几乎只由 \(T\) 决定，因而给出 blackbody 的可重复实验定义。边长量级为 \(L\) 的腔只容许满足边界条件的 standing-wave modes；在三维中，频率落在 \([\nu,\nu+d\nu]\) 的模态数密度为

\[g(\nu)\,d\nu=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\,d\nu.\]

经典 equipartition 给每一模态平均能量 \(k_BT\)，于是

\[u_\nu^{\mathrm{RJ}}(T) =g(\nu)k_BT =\frac{8\pi k_BT\nu^2}{c^3}.\]

1.2 ultraviolet catastrophe

任一有限低频区间的 RJ 预测可用，但总能量密度为

\[u_{\mathrm{tot}}^{\mathrm{RJ}} =\int_0^\infty u_\nu^{\mathrm{RJ}}\,d\nu \longrightarrow\infty.\]

发散不是“积分技巧失败”，而是两个经典假设共同造成：高频模态数按 \(\nu^2\) 增长，且每个模态仍被分配 \(k_BT\)。实验谱在高频端反而指数下降。

2. Planck quantization and blackbody spectrum / 普朗克量子化与黑体谱

Knowledge ID: P07-U01-L01-K02

2.1 离散交换与平均模态能量

Planck 假设壁中频率为 \(\nu\) 的 oscillator 只能以

\[E_n=nh\nu,\qquad n=0,1,2,\ldots\]

取能。Boltzmann weights 给出

\[\langle E\rangle =\frac{\sum_{n=0}^{\infty}nh\nu\,e^{-nh\nu/(k_BT)}} {\sum_{n=0}^{\infty}e^{-nh\nu/(k_BT)}} =\frac{h\nu}{e^{h\nu/(k_BT)}-1}.\]

低频时能级间距相对热能很小，\(\langle E\rangle\to k_BT\)；高频时激发代价大，\(\langle E\rangle\sim h\nu e^{-h\nu/(k_BT)}\)。

2.2 三种常用谱量必须分清

把 \(\langle E\rangle\) 乘以模态密度：

\[u_\nu(T)= \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/(k_BT)}-1}.\]

同一能量区间必须满足 \(u_\lambda\,d\lambda=-u_\nu\,d\nu\) 的定向关系，取正区间宽度则

\[u_\lambda=u_\nu\left\lvert\frac{d\nu}{d\lambda}\right\rvert =u_\nu\frac{c}{\lambda^2} =\frac{8\pi hc}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/(\lambda k_BT)}-1}.\]

spectral radiance 为

\[B_\lambda=\frac{c}{4\pi}u_\lambda =\frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/(\lambda k_BT)}-1}.\]

因此 \(u_\nu\) 的峰与 \(u_\lambda\) 的峰不是同一组 photons 的“同一个横坐标换算”。对 \(B_\lambda\)，

\[\lambda_{\max}T=b,\qquad b=2.897\,771\,955\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}.\]

这不是只记一个常数。令

\[x=\frac{hc}{\lambda k_BT}, \qquad B_\lambda\propto\frac{\lambda^{-5}}{e^x-1},\]

对 \(\lambda\) 求导并令其为零，得到无量纲峰值方程

\[5\left(1-e^{-x}\right)=x, \qquad x=4.965\,114\ldots.\]

因此

\[\lambda_{\max}T=\frac{hc}{k_Bx}=b.\]

2.3 两个渐近极限

令 \(x=h\nu/(k_BT)\)。当 \(x\ll1\)，\(e^x-1\approx x\)，恢复 RJ law；当 \(x\gg1\)，

\[u_\nu\approx \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}e^{-h\nu/(k_BT)} \qquad\text{(Wien high-frequency approximation)}.\]

Wien approximation 是谱的高频极限；Wien displacement law 是峰值条件，二者相关但不是同一陈述。

3. Photoelectric effect and photon energy / 光电效应与光子能量

Knowledge ID: P07-U01-L01-K03

3.1 实验事实与 energy ledger

单色光照射真空管内金属阴极。对给定表面：

• \(\nu<\nu_0\) 时，即使增大光强也无 photoelectrons；
• \(\nu>\nu_0\) 时 emission 无可测经典积累延迟；
• 光强主要增加 photon arrival rate，因而增加 saturation current；
• \(K_{\max}\) 与 \(\nu\) 线性，而不随光强增加。

Einstein 把一次吸收视为一个 photon 把全部 \(h\nu\) 给一个电子：

\[h\nu=\phi+K_{\max}, \qquad K_{\max}=eV_s, \qquad \nu_0=\frac{\phi}{h}.\]

3.2 表面而不是“元素标签”决定 \(\phi\)

\(\phi\) 会受晶面、污染、氧化层与 contact potential 影响。理想直线给 microscopic energy balance；真实谱还有电子在材料内散射造成的能量分布。停止电势只测 fastest emitted electrons。

4. Compton scattering and photon momentum / 康普顿散射与光子动量

Knowledge ID: P07-U01-L01-K04

4.1 photon 四动量与碰撞

对真空 photon，

\[E_\gamma=h\nu=\frac{hc}{\lambda}, \qquad p_\gamma=\frac{E_\gamma}{c}=\frac{h}{\lambda}.\]

实验室系中 photon 与静止自由电子碰撞。能量守恒和二维动量守恒共同决定 scattered photon 与 recoil electron：

\[\frac{hc}{\lambda}+m_ec^2 =\frac{hc}{\lambda'}+E_e,\]

\[\mathbf p_\gamma =\mathbf p_\gamma'+\mathbf p_e.\]

消去 electron 的 \(E_e,\mathbf p_e\) 并用 \(E_e^2=p_e^2c^2+m_e^2c^4\)，得

\[\Delta\lambda =\lambda'-\lambda =\lambda_C(1-\cos\theta), \qquad \lambda_C=\frac{h}{m_ec}.\]

4.2 角度与边界检查

• \(\theta=0\) 给 \(\Delta\lambda=0\)；
• \(\theta=\pi\) 给最大位移 \(2\lambda_C\)；
• \(\Delta\lambda\ge0\)，故自由静止电子不会让 photon 在此过程获得能量；
• \(\lambda_C=2.426\,310\,235\ \mathrm{pm}\) 是 full Compton wavelength，不是 \(\hbar/(m_ec)=386.159\ \mathrm{fm}\)。

束缚电子的初始动量与 binding energy 会展宽 shifted peak；与整个原子相干散射会产生几乎 unshifted component。因此“两峰”不是标准自由电子式失效，而是 target degrees of freedom 不同。

5. Pair production and annihilation / 粒子对产生与湮灭

Knowledge ID: P07-U01-L01-K05

5.1 为什么 \(\gamma\to e^-+e^+\) 在真空中不可能

单个 photon 的四动量平方为零；两个有质量粒子的总四动量平方至少为 \((2m_ec^2)^2>0\)。没有第三体承担反冲时，四动量不可能守恒。核场过程为

\[\gamma+Z\longrightarrow e^-+e^++Z.\]

初始静止核的 invariant energy 满足

\[s=M^2c^4+2Mc^2E_\gamma.\]

threshold 时末态在 center-of-momentum frame 无相对动能，所以

\[s_{\mathrm{thr}}=(M+2m_e)^2c^4,\]

\[E_{\gamma,\mathrm{thr}} =2m_ec^2\left(1+\frac{m_e}{M}\right).\]

重核极限趋近 \(1.022\ \mathrm{MeV}\)，但有限核质量的 recoil correction 始终为正。若靶是静止电子，末态为两个电子加一个 positron，triplet-production threshold 为 \(4m_ec^2=2.044\ \mathrm{MeV}\)。

5.2 annihilation 也受动量守恒约束

静止的 \(e^-e^+\) 在其 center-of-momentum frame 中不能只变成一个 photon；最简单是两 photon：

\[e^-+e^+\longrightarrow\gamma+\gamma, \qquad E_{\gamma,1}=E_{\gamma,2}=m_ec^2\]

且二者 back-to-back。若 pair 有总动量，laboratory photon energies 一般不相等，但四动量和仍守恒。

Worked Examples / 完整例题

Example 1 — 同一黑体的两种谱峰

已知： \(T=5800\ \mathrm{K}\)；取 wavelength spectral radiance \(B_\lambda\) 与 frequency spectral radiance \(B_\nu\)。
研究对象与参考系： thermal cavity in its rest frame；观测器与腔体静止。
模型： ideal blackbody。对 \(B_\lambda\) 用 \(\lambda_{\max}T=b\)；对 \(B_\nu\) 的无量纲峰 \(x_\nu=h\nu/(k_BT)=2.82144\)。

\[\lambda_{\max} =\frac{2.897\,771\,955\times10^{-3}}{5800} =4.996\times10^{-7}\ \mathrm{m} =499.6\ \mathrm{nm}.\]

\[\nu_{\max} =\frac{2.82144\,k_BT}{h} =3.410\times10^{14}\ \mathrm{Hz},\]

\[\frac{c}{\nu_{\max}}=879.2\ \mathrm{nm}.\]

检查： \(499.6\ \mathrm{nm}\ne879.2\ \mathrm{nm}\) 并不矛盾；两种 density 的 Jacobian 不同。量纲分别为 m 与 Hz。
解释： “谱峰”必须连同横轴变量与谱密度定义一起报告；不能用 \(c=\lambda\nu\) 把一个 density 的 peak 直接变换成另一个。

Example 2 — 光电 stopping potential 与 threshold

已知： \(\lambda=250.0\ \mathrm{nm}\)，表面功函数 \(\phi=2.30\ \mathrm{eV}\)。
系统与坐标： photon + metal surface；实验室系，electron 离开表面方向取正；\(V_s\) 为反向电势的正大小。
模型理由： 单 photon absorption，忽略电子离开后碰撞。

\[E_\gamma=\frac{hc}{\lambda} =\frac{1239.841984\ \mathrm{eV\,nm}}{250.0\ \mathrm{nm}} =4.959\ \mathrm{eV}.\]

\[K_{\max}=E_\gamma-\phi =2.659\ \mathrm{eV}, \qquad V_s=\frac{K_{\max}}{e}=2.659\ \mathrm{V}.\]

\[\nu_0=\frac{\phi}{h}=5.56\times10^{14}\ \mathrm{Hz}, \qquad \lambda_0=\frac{hc}{\phi}=539.1\ \mathrm{nm}.\]

检查： incident \(\lambda<\lambda_0\)，所以 emission 允许；\(K_{\max}>0\)。四位有效数字受 \(\phi\) 的三位限制，结果宜报 \(2.66\ \mathrm{eV}\)、\(2.66\ \mathrm{V}\)。
解释： 增大同频光强会增加 current，但不会把 \(2.66\ \mathrm{eV}\) 这一截止动能抬高。

Example 3 — \(90^\circ\) Compton scattering

已知： \(\lambda=0.07110\ \mathrm{nm}\)，\(\theta=90.0^\circ\)，electron 初始静止。
系统与坐标： photon + electron 封闭碰撞系统；\(+x\) 沿 incident photon，散射平面为 \(xy\)。
模型： 电子近似自由，使用 relativistic conservation。

\[\Delta\lambda=\lambda_C(1-\cos90^\circ) =0.00242631\ \mathrm{nm},\]

\[\lambda'=0.0735263\ \mathrm{nm}.\]

\[E_i=\frac{hc}{\lambda}=17.438\ \mathrm{keV}, \qquad E_f=\frac{hc}{\lambda'}=16.863\ \mathrm{keV}.\]

\[K_e=E_i-E_f=0.575\ \mathrm{keV}.\]

检查： \(\Delta\lambda>0\)、\(E_f<E_i\)；能量差为 electron kinetic energy。最大可能 shift 为 \(2\lambda_C\)，本题恰为其一半。
解释： 波长变化只由 \(\theta\) 和 scatterer mass 决定；initial wavelength 决定能量转移的相对比例。

Example 4 — 含核反冲的 pair-production threshold

已知： photon 在静止 \({}^{12}\mathrm C\) 核场中产生 pair，近似 \(M=12u\)；\(uc^2=931.494\ \mathrm{MeV}\)。
系统与参考系： photon + nucleus；laboratory frame 中 nucleus initially at rest。
模型理由： threshold 用 invariant \(s\)；忽略电子束缚与核内部激发，但不丢弃整体 recoil。

\[Mc^2=12(931.494\ \mathrm{MeV})=1.1178\times10^4\ \mathrm{MeV}.\]

\[E_{\mathrm{thr}} =2m_ec^2\left(1+\frac{m_e}{M}\right) \approx1.021998\ \mathrm{MeV} +46.7\ \mathrm{eV} =1.022045\ \mathrm{MeV}.\]

检查： \(M\to\infty\) 时回到 \(2m_ec^2\)；修正为正，符合 nucleus 必须带 recoil momentum。
解释： 教材写 \(1.022\ \mathrm{MeV}\) 是 heavy-target precision 下的有效阈值，不等于“核完全不获得动量”。

Lesson synthesis / 本课综合

四类实验形成一条递进证据链：

1. blackbody spectrum 否定“每个高频模式都持续获得 \(k_BT\)”；
2. Planck factor 用 \(h\nu\) 的离散能级抑制高频模式；
3. photoelectric effect 显示一次局域交换携带确定能量 \(h\nu\)；
4. Compton scattering 显示同一 quantum 还携带矢量动量 \(h/\lambda\)；
5. pair production/annihilation 表明 photon 与 massive particles 可相互转化，但四动量守恒从不放松。

可执行建模流程：定义谱量或反应系统 → 声明参考系与 target state → 写 photon energy–momentum → 应用热统计或四动量守恒 → 检查阈值、方向、极限和单位。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• ideal blackbody 需要 thermal equilibrium 与 unit absorptivity；真实材料用 emissivity \(\epsilon(\lambda,\theta,T)\) 修正。
• \(u_\nu\)、\(u_\lambda\)、\(B_\nu\)、\(B_\lambda\) 是不同 density；峰值依赖选择的横轴变量。
• Planck oscillator levels 是能量交换模型；现代 quantum field language 中每一场模态具有 occupation number，本课不展开 zero-point energy。
• Einstein photoelectric equation 描述最大表面动能；solid-state bands、contact potentials 与 multiphoton strong-field emission 超出本课。
• free-electron Compton formula 需 incident energy 足以忽略 binding；inverse Compton 涉及初始运动 electron，可能使 photon 增能。
• pair-production threshold 是 kinematic condition，不给出 cross section；刚过阈值时截面仍可很小。
• two-photon annihilation 结论针对 pair center-of-momentum frame；三 photon 等更高阶末态也允许。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “紫外灾难说明 Maxwell equations 错了。” 失败来自 classical mode energy statistics；Maxwell propagation 仍可成立。
2. “Planck curve 的 frequency peak 转成 wavelength 就是 wavelength peak。” density 变换必须乘 Jacobian，峰位置因此改变。
3. “光越强，单个 photoelectron 越快。” 单 photon regime 中强度主要改变 photon 数率；\(K_{\max}\) 由 \(\nu\) 决定。
4. “stopping potential 本身一定是正电压坐标。” \(V_s\) 常报告大小；实际反向 bias 在所选坐标上可能为负。
5. “Compton wavelength 是 electron 的空间大小。” 它是由 \(h,m_e,c\) 构成的 kinematic scale，不是硬球半径。
6. “超过 \(1.022\ \mathrm{MeV}\) 的 photon 可在真空自行裂成 pair。” 单 photon 四动量平方为零，需 recoil body 或第二 photon。
7. “湮灭表示电荷不守恒。” \(e^-+e^+\) 初始总电荷为零，photon final state 也为零。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. 从 \(g(\nu)=8\pi\nu^2/c^3\) 与 equipartition 推出 RJ law，并说明积分为何发散。
2. 对 \(x=h\nu/(k_BT)=0.050\)，求 Planck 平均模态能量与 \(k_BT\) 之比。
3. \(T=3000\ \mathrm{K}\) 的 ideal blackbody 的 \(B_\lambda\) peak 在何处？
4. 说明为什么 \(\nu_{\max}\lambda_{\max}\ne c\) 不违反 \(\nu\lambda=c\)。
5. 表面 \(\phi=2.10\ \mathrm{eV}\)，用 \(450\ \mathrm{nm}\) 光照射，求 \(K_{\max}\) 与 \(V_s\)。
6. 同题把光强加倍，预测 saturation current 与 stopping potential 怎样变化。
7. 求 photon 在 \(\theta=180^\circ\) 散射于静止 electron 时的最大 wavelength shift。
8. incident photon 为 \(100.0\ \mathrm{keV}\)，静止电子上 backscatter；用 \(E'=E/[1+(E/(m_ec^2))(1-\cos\theta)]\) 求 \(E'\)。
9. 为什么 nuclear-field pair production 的 threshold 略高于 \(2m_ec^2\)？写出 heavy-nucleus limit。
10. 静止 \(e^-e^+\) pair 湮灭成两 photon。求每个 photon 能量及两动量夹角。

Exit ticket / 离堂检验

1. 用一句话分别指出 blackbody、photoelectric、Compton 三个实验对 \(h\nu\) 的不同约束。
2. 对任一 photon reaction，写出“只检查能量而漏掉动量”会给出错误结论的一个具体例子。

References and source notes / 参考资料与来源说明

1. MIT OpenCourseWare STS.042J/8.225J, Blackbody Radiation and Compton Scattering — mode density、Planck spectrum、RJ/Wien limits；核对于 2026-08-29。
2. OpenStax University Physics Vol. 3, 6.1 Blackbody Radiation — cavity model、ultraviolet catastrophe、Planck/Wien/Stefan laws；核对于 2026-08-29。
3. OpenStax University Physics Vol. 3, 6.2 Photoelectric Effect — threshold、stopping potential、intensity dependence；核对于 2026-08-29。
4. OpenStax University Physics Vol. 3, 6.3 The Compton Effect — photon momentum、shift and bound-electron context；核对于 2026-08-29。
5. MIT OpenCourseWare 8.04, Lecture Note 3 — photoelectric and Compton conservation derivations；核对于 2026-08-29。
6. MIT OpenCourseWare 22.55J, Photon Energy Deposition — nuclear-field pair production and energy deposition；核对于 2026-08-29。
7. IAEA, Nuclear Medicine Physics: A Handbook for Teachers and Students — pair production, recoil and threshold boundary；核对于 2026-08-29。
8. NIST XCOM, Interpolation and Pair-Production Thresholds — nuclear-field \(1.022\ \mathrm{MeV}\) and electron-field \(2.044\ \mathrm{MeV}\) data thresholds；核对于 2026-08-29。
9. NIST 2022 CODATA, Fundamental Physical Constants — \(h,k_B,m_ec^2,\lambda_C\) and conversion constants；核对于 2026-08-29。

所有 TikZ 依据本课方程原创绘制，未复制教材插图。函数图均为教学示意；其零点、渐近趋势、峰序与所述公式一致。

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复习与拓展

• 下一课 Matter Waves and Quantum Evidence 把 \(p=h/\lambda\) 从 photon 推广到 massive particles。
• 与 Quantum Gases and Radiation 对照：quantum statistics 如何改变 high-frequency mode occupation。
• 与 Energy, Momentum, and Reactions 对照：threshold 最可靠的工具是 invariant，而非只做 rest-energy bookkeeping。
• 可扩展：Bose–Einstein occupation、Stefan–Boltzmann integral、Klein–Nishina cross section、Breit–Wheeler two-photon pair production。