Lab_dot力04
撞在哪里，杆会转得最快？
Impact, angular momentum & a physical pendulum
小块撞上竖直悬挂的杆并粘住。改变撞击位置，比较碰后角速度，并探索摆回与完整翻转的临界条件。
θ 从竖直向下起算，向右转为正 · 小块在碰撞后粘住杆
能量随时间的变化
竖线对应当前时刻 · 单位 J这组条件会发生什么？
挑战：找出使碰后角速度最大的撞击位置
固定两者质量、杆长和入射速率，只改变撞击位置。力臂变大时，转动惯量也会增加；最优位置未必在杆的末端。
结果分区图：寻找不同结果的边界
点击图中的位置，或聚焦图后使用左右、上下方向键，同时改变两个参数。其他条件保持当前值；颜色表示预测结果，十字表示当前条件。
查看物理模型、公式与适用范围
01 / 碰撞瞬间
均匀细杆初始静止，上端由无摩擦铰链固定。小块经光滑水平导槽入射，导槽在碰撞时撤去，小块粘住杆。碰撞时间忽略，关于铰链的角动量守恒；铰链有冲量，系统线动量不守恒。碰后图中的转动动能包含小块与杆关于铰链的总动能。
I = ⅓ML² + mr²
mvr = Iω₊
ΔEcollision = ½mv² − ½Iω₊²
02 / 碰后的真实物理摆
使用完整的 sin θ 力矩，不采用小角近似。碰后只有重力做功，机械能守恒，但重力对铰链有力矩，所以角动量通常不守恒。
Iθ̈ = −g(ML/2 + mr) sin θ
U = g(ML/2 + mr)(1 − cos θ)
03 / 临界不等于有限时间越顶
碰后动能大于势垒时完整翻转；小于势垒时摆回。恰好等于势垒时，理想系统无限接近顶端，不会在有限时间到达并越过。临界动画只展示这一渐近过程。
Ebarrier = 2g(ML/2 + mr)
vcritical = √[4g(ML/2 + mr)I]/(mr)
04 / 最优撞击位置
对 ω₊ 关于 r 求导，并考虑撞击点必须在杆上，可得到最大碰后角速度的位置。摆回演示到再次经过最低点，翻转演示到完成一圈；播放结束不表示杆停下。
ω₊(r) = mvr/(⅓ML² + mr²)
r* = min[L, √(ML²/(3m))]
参考：OpenStax · Conservation of Angular Momentum。图标不代表真实尺寸；运动按 SI 单位计算。