Lab_dot力09

绳摆与杆摆，绕一圈的门槛相同吗？

String versus rigid-rod pendulum

g = 9.81 m/s²

同样的长度、起点和初速度，细绳只能拉，刚杆还可以推。比较摆回、松绳飞行和完整转圈，并寻找两种约束的速度门槛。

运动观察窗准备就绪

纵横等比例 · θ 自竖直向下向右计 · 杆的径向力允许为负，表示向外推

时间 t—

自竖直向下角度—

速率—

径向约束力—

播放速度

0.00 / 0.00 s

能量随时间的变化

竖线对应当前时刻 · 单位 J

—

先用能量计算最高点速度，再检查绳张力。切换到刚杆后，比较同样初始位置下的临界速度。

结果分区图：寻找不同结果的边界

点击图中的位置，或聚焦图后使用左右、上下方向键，同时改变两个参数。其他条件保持当前值；颜色表示预测结果，十字表示当前条件。

查看物理模型、公式与适用范围

球为质点，连接物无质量、长度不变；无阻力。初始角度限制在 0–80°，使细绳初始可绷紧。使用完整 sinθ 力矩，不采用小角度近似。

θ̈ = −(g/L)sinθ
E = ½mv² + mgL(1 − cosθ)

细绳张力不能为负。张力第一次降到零且即将变负时，球沿当时的切线脱离圆周，进入重力下的抛体运动。

T = m(v²/L + g cosθ) ≥ 0
cosθ_detach = 2(1 − E/mgL)/3

细绳完整转圈要求顶端速率至少为 √(gL)。刚杆可以推球，只要求能越过势能最高点；恰好等于杆的能量门槛时只会渐近顶端。

细绳：E ≥ 5mgL/2
刚杆越顶：E > 2mgL

按抛体轨迹计算，直到离悬点的距离再次达到 L。演示停在绳重新绷紧前，速度尚未发生冲量改变。摆动的十四个自然时间单位观察窗结束也不代表停止。

x = x_d + v_x,dτ
y = y_d + v_y,dτ − ½gτ²
重新绷紧前：x² + y² = L²

参考：OpenStax · Pendulums。图标不代表真实尺寸；运动按 SI 单位计算。